维纳-辛钦定理证明

按定义：

(1) 其中

(2) 将(2)代入(1)：

(3)

式中

(4) 对所有有

(5) 将(5)代入(3)：

(6) 这样一来，维纳-辛钦定理不需要额外的条件：只要式(6)右侧的积分有意义，它就是

功率谱，否则功率谱不存在。或者说，条件就是功率谱密度、自相关函数有意义。更进一步，还可以使条件更弱：可以去掉“平稳”。将换成

之后继续上述证明过程，最后可以得到

(7)

实际上，上述对功率谱密度的定义适用于任意随机过程（定义本身不要求必须是平稳过程），对上面的式(7)改变时间平均和傅氏变换的次序，就是时变功率谱的时间平均。

计算方法习题

《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 210- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝? ? ????3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+96292321 21x x x x ，

数值分析与实验复化辛卜生公式 龙贝格算法

数值分析与实验课程设计 班级： 姓名： 学号：

08级应用数学《数值分析与实验(实践)》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、利用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯－赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程 组； 8、利用幂法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； （ 8个中选取1个） 三、设计时间 2011—2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日

前言 数值计算方法是一种利用计算机解决数学问题的数值近似解方法，特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。

武汉大学计算方法考题2份

自测题一 （时间120分钟） 1、 已知方程 02=+-x e x 有一个正根及一个负根， （1） 估计出含根的区间； （2） 分别讨论用迭代格式 21-=+n x n e x 求这两个根时的收敛性； （3） 如果上述迭代不收敛，请写出一个你认为收敛的迭代格式。 2、 用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，并利用A 的分解式求行列式A . 其中 ???? ? ?????-=976034112A ???? ??????=34156b 3、 设常数0a 1，方程组 1231331213225a x a a x a a x a 骣骣骣-鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 =+珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 --桫桫桫 （1） 分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式； （2） 试求a 的取值范围，使得Jacobi 迭代格式是收敛的。 4、 设 32 ()y f x ax bx cx d ==+++（系数,,,a b c d 是未知常数，且0a ≠）。已知() f x 的一组值： （1）求二次拉格朗日插值多项式及余项。 （2）问能否计算出 3 1 ()f x dx ò 的准确数值？并说明理由。 如果能够，请计算出结果。 5、已知数据 求形如 6 sin 2 b ax y += 的拟合曲线。 6、 给定)(x f y =的一组值

分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 ? 6 .20 .1)(dx x f 7、用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长5.0=h ）： ?????==1 )0(y xy dx dy ]1,0[∈x （取4位有效数字计算） 8、设)(x f 在],[b a 上二阶导数连续。将],[b a 2n 等分，分点为012n a x x x b =<<<=L ， 步长2b a h n -= （1）证明求积公式 222 21()2()k k x k x f x dx hf x --?ò 的截断误差为 3 222()[,]3 k k k k k h R f x x x x -ⅱ= ，1,2,,k n =L （2）利用（1）中的求积公式及误差结论，导出求积分? b a dx x f )(的复化求积公式及其误差。 自测题二 （120分钟） 一、填空 1、 为计算积分 0 sin (1,2, ,49)n n I x xdx n π = =? ,设计了算法： 2 1(1)(1, ,49)2 5.14159 n n n I n n I n I ππ-=--?=? =+≈?， 设1I 的绝对误差为ε，则49I 的绝对误差为 ，该算法是否数值稳定？ 。 2、设132)(3 8-+=x x x f ，则差商=]1,0[f ，=]8,,1,0[ f 3、设???? ??-=12x ，??? ? ??--=2513A ，求∞Ax = ，∞)(A Cond =

计算方法习题

《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

常用求积公式MTALAB

实验报告 课程名称：专业课程实践训练 实验名称：几种常用的求积公式 班级： 姓名（学号）： 同组人（学号）： 成绩： 指导教师： 实验目的、要求： 比较并掌握常用数值求积公式。 实验仪器： 安装有Matlab 软件的计算机。 实验步骤、内容： 数学原理： 1、梯形公式2()[()()]2 b a I f f a f b -= + 2、辛卜生（Simpson ）公式或抛物公式 3()[()4()()]62 b a a b I f f a f f b -+=++ 3、柯特斯（Cotes ）公式 501234()[7()32()12()32()7()]90 b a I f f x f x f x f x f x -=++++， 其中,0,1,,44 i b a x a i i -=+= ， 4、复化梯形公式 11 [()()2()]2n n i h T f a f b f a ih -==+++ ∑ 5、复化辛卜生公式 121 10 [()4()()]6n n i i i i h S f x f x f x -++==++ ∑ 实验内容与步骤： 根据各求积公式，用Matlab 语言作出适用于一般函数的程序，并分别给出具体积分例子进行实验，写清例子真实值及数值积分值，输出相应的数值结果及图形结果。 1、 用Matlab 语言作出各算法相应的适用于一般函数的程序； 2、 分别对具体积分10x e dx ?,210x e dx ?,?102sin dx x ,?103tan dx x ,?10 2)sin(cos dx x 执行程序进行实验，写清楚例子真实值（可以求解的）及数值积分值，输出相应的数值结果,对复化梯形公式、复化辛卜生公式分别取n=10,n=20进行计算给出计算结果。 3、 本实验所有输出结果均要求小数点后14位（Matlab 命令窗口 File---preferences —Text display —numeric format--long ）

复化梯形公式和复化辛卜生公式

实验三：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=sin(x)/x的积分，并与准确值比较判断精度。 #include #include #include double Trapezoid(float,float,float,int); double Simpson(float,float,float,int); double Integral(float,float); int SigDigT(double,double,int); void Euler(float a[50],float b); float f(float); float Bisection(float,float); main() {char q; double d1,d2; float a,b,h1,h2; int i,m,n; printf("\t\t\t实验三：数值积分\n"); printf("实验题目：分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算f(x)=sin(x)/x的积分，并与准确值比较判断精度。\n\n"); printf("请输入定积分的上下限：\n"); printf("定积分下限：a="); scanf("%f",&a); printf("定积分上限：b="); scanf("%f",&b); if(a==b) {printf("积分上下限相等，定积分的值为0。\n"); goto sign1;} else printf("请输入复化梯形公式划分的份数："); scanf("%d",&n); printf("请输入复化辛卜生公式划分的份数："); scanf("%d",&m); h1=(b-a)/n; h2=(b-a)/m; printf("复化梯形公式的步长为：h=%f\n",h1); printf("复化辛朴生公式的步长为：h=%f\n",h2); printf("复化梯形公式的结果是：\nT=%f\n",Trapezoid(a,b,h1,n)); printf("复化辛卜生公式的结果是：\nS=%f\n",Simpson(a,b,h2,m)); printf("定义计算该公式的结果是：\nI=%f\n",Integral(a,b)); d1=fabs(Integral(a,b)-Trapezoid(a,b,h1,n)); d2=fabs(Integral(a,b)-Simpson(a,b,h2,m)); printf("复化梯形公式的误差是：\nd=%f\n",d1);

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---=== -----= ==----=== ---

故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 01123126119234a a ??????????=?????????? ??????? ?? ?，经过消元得012311 62110123a a ??? ???? ???=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳 平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有

计算方法及答案

《计算方法》练习题一 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ）。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （ ）。 4．乘幂法是求实方阵（ ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ）。 6． 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是（ ）。 7．用辛卜生公式计算积分 ?≈+1 01x dx （ ） 。 8．设)()1()1(--=k ij k a A 第k 列主元为) 1(-k pk a ，则=-)1(k pk a （ ）。 9．已知?? ? ? ??=2415A ，则=1A （ ）。 10．已知迭代法：),1,0(),(1 ==+n x x n n ? 收敛，则)(x ?'满足条件（ ）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ ）． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4 h o 6．近似数2 1047820.0?=a 的误差限是（ ）。 Ａ． 51021-? Ｂ．41021-? Ｃ．31021-? Ｄ．2102 1 -? 7．矩阵Ａ满足（ ）,则存在三角分解A=LR 。 A ．0det ≠A Ｂ． )1(0det n k A k <≤≠ Ｃ．0det >A Ｄ．0det

数值计算方法期末考精彩试题

1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分段 线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 [] 0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --= ?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 所以分段线性插值函数为 ()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ?-∈?=? -∈??% ()1.50.80.3 1.50.35 L =-?=% 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1 01 1dx x +?. 计算题4.答案 4 解 梯形公式 ()()()2b a b a f x dx f a f b -≈ ?+???? 应用梯形公式得 1 01111 []0.75121011dx x ≈+=+++? 辛卜生公式为

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度 ()()()() 1010h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 证明题答案

故 ( )()()()40333h h h h f x dx f h f f h -= -++? 具有三次代数精确度。 1．设 3 2 01219 (), , 1, 44f x x x x x ==== （1）试求()f x 在 19,44???? ??上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x === () x H 以升幂形式给出。 （2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式 计算题1.答案 1、（1） ()32142632331 22545045025x x x x H =- ++- （2） ()522191919()(1)(),()(,) 4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈ 3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 计算题3.答案

数值分析与实验复化辛卜生公式龙贝格算法

数值分析与实验课程设计 班级: 姓名: 学号:

08级应用数学《数值分析与实验（实践）》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验（实践）》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、禾U用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯-赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 \ 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组； &利用幕法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； \ （8个中选取1个） 二、设计时间 2011 —2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日

、八 刖 数值计算方法是一种利用计算机解决数学 .言 问题的数值近似解方法， 特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。

《数值计算方法》复习资料

《数值计算方法》复习资料 课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。 第一章数值计算方法与误差分析 一考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及 它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题 例1设x*= π=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有 即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即 m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效 数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5 x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，

数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分） 1、3、142与3、１４１分别作为得近似数具有( )与( )位有效数字、 A.4与3 B.3与2 Ｃ．３与4 Ｄ.4与４ 2、已知求积公式,则＝( ) A.Ｂ． C. Ｄ. 3、通过点得拉格朗日插值基函数满足( ) A．＝0, B.＝0, C.=1, Ｄ. =1, ４、设求方程得根得牛顿法收敛,则它具有（）敛速。 Ａ.超线性 B.平方 C.线性 D.三次 5、用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到得第3个方程（)、 A． B. C．Ｄ. 单项选择题答案 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1、设, 则 , 、 2、一阶均差 3、已知时,科茨系数,那么 4、因为方程在区间上满足 ,所以在区间内有根。 5、取步长,用欧拉法解初值问题得计算公式、 填空题答案

三、计算题(每题15分,共60分) 1、已知函数得一组数据:求分段线性插值函数,并计算得近似值、 计算题1、答案 1、解, , 所以分段线性插值函数为 2、已知线性方程组 (1) 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式; (2) 对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算(保留小 数点后五位数字)、 计算题2、答案 1、解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3、用牛顿法求方程在之间得近似根 (1)请指出为什么初值应取2？

(2)请用牛顿法求出近似根,精确到0、0001、 计算题3、答案 3、解,, ,,,故取作初始值 迭代公式为 , ,, , 方程得根 4、写出梯形公式与辛卜生公式,并用来分别计算积分、 计算题4、答案 四、证明题(本题10分) 确定下列求积公式中得待定系数,并证明确定后得求积公式具有3次代数精确度证明题答案 证明:求积公式中含有三个待定系数,即,将分别代入求积公式,并令其左右相等,得 得,。所求公式至少有两次代数精确度。 又由于

计算方法复习习题

第1章 误差 三、重、难点分析 例1. 近似值0.45的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 解 因 210450.00.45?=，它为具有3位有效数字的近似数， 其误差限为 123102 1 101021--?=??= ε。 或3,2==p m ，其误差限为 132102 1 1021--?=?=ε 所以 答案为B. 例2.. 已知 4142135.12==*x ，求414.1=x 的误差限和相对误差限。 解：（绝对）误差限：0005.00003.00002135.0241.1<<=-=? x 所以（绝对）误差限为0003.0=ε，也可以取0005.0=ε。 一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 0005.0=ε。 相对误差限： r x x x x εδ=<=-=-=*0002.000015.0414 .14142135.1414.1)( 所以，相对误差限0002.0=r ε 例3 .已知 ,1415926.3* ==πx 求近似值142.3=x 的误差限，准确数字 或有效数字。 解 由,00041.01415926.3142.3<-= x ? 误差限为3102 1 -?= ε 因为4,3,1=--==p m p m ，所以由定义知x 是具有4位有效数字的近似值，准确到310-位的近似数。 注意：当只给出近似数x 时，则x 必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。 例 4. 已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a b -,2的误差限和准确数位。

解 因41021-?= ）（a ε，3102 1 -?=）（b ε ()()23102 1 1021635.022--?

数值分析计算方法

《计算方法》实验内容 一．实验一：用两种不同的顺序计算 644834.110000 1 2 ≈∑=-n n ，分析其误差的变化。 1.实验目的：通过正序反序两种不同的顺序求和，比较不同算法的误差；了解在 计算机中大数吃小数的现象，以后尽量避免；体会单精度和双精度数据的差别。 2.算法描述：累加和s=0； 正序求和： 对于n=1,2,3,......,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和： 对于n=10000,9999,9998,.....,1 s+=1.0/(n*n); 3.源程序： #双精度型# #includec void main() { double s=0; int n; for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n); printf("正序求和结果是：%lf\n",s); s=0; for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n); printf("反序求和结果是:%lf\n",s); } #单精度型# #include void main() { float s=0; int n; for(n=1;n<=10000;n++) s+=1.0/(n*n); printf("正序求和结果是：%f\n",s); s=0; for(n=10000;n>=1;n--) s+=1.0/(n*n); printf("反序求和结果是:%f\n",s); }

4.运行结果： 双精度型运行结果： 单精度型运行结果： 5.对算法的理解与分析：舍入误差在计算机中会引起熟知的不稳定，算法不同，肯结果也会不同，因此选取稳定的算法很重要。选取双精度型数据正反序求和时结果一致，但选用单精度型数据时，求和结果不一致，明显正序求和结果有误差，所以第一个算法较为稳定可靠。 二．实验二： 1、拉格朗日插值 按下列数据 x i -3.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 y i 1.0 1.5 2.0 2.0 1.0 作二次插值，并求x 1=-2，x 2 =0，x 3 =2.75时的函数近似值 2牛顿插值 按下列数据 x i 0.30 0.42 0.50 0.58 0.66 0.72 y i 1.04403 1.08462 1.11803 1.15603 1.19817 1.23223 作五次插值，并求x 1=0.46，x 2 =0.55，x 3 =0.60时的函数近似值. 1.实验目的：通过拉格朗日插值和牛顿插值的实例，了解两种求解方法，并分析各自的优缺点。 2.算法描述： 3.源程序： 拉格朗日插值： #include #define k 2 void main() {

计算方法模拟试题

1 模拟题（三） 一、选择题(单选，14道小题，每题3分，共42分) 1. 设A X =3.141是真值T X =π的近似值，则A X 有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 用毫米刻度的直尺测量一长度为x*的物体，测得其长度的近似值为x = 25mm ， mm 。 A 、20.510-? B 、10.510-? C 、0.5 D 、 5 3. 下面不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 数值x *的近似值为x ，那么按定义x 的绝对误差是。 **A B *C *D ** x x x x x x x x x x ----、、、、 5. 用列主元高斯消去法解线性方程组???? ??????=????????????????????-20111.0310********x x x ， 进行第二次列主元选择时所选取的列主 A 、5 B 、4 C 、-2.5 D 、-3 6. 用选列主元的方法解线性方程组AX ＝ b A 、提高计算速度 B 、简化计算步骤 C 、降低舍入误差 D 、方便计算 7. 以下方程求根的数值计算方法中，其迭代格式为111()()()() k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- A 、二分法 B 、简单迭代法 C 、牛顿迭代法 D 、割线法 8. 牛顿迭代法是用曲线f (x ) x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解。 A 、弧线 B 、折线 C 、割线 D 、切线 9. 设b >a ，在区间[],a b 上的插值型求积公式其系数为01 ,,A A ┅,n A ，则01A A ++┅＋n A ＝。

计算方法模拟题2(答案)

模拟题（二） 一、选择题(单选，14道小题，每题3分，共42分) 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 B 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 B 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ D _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量) 0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_C_。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(

计算方法复习题 (2)

《计算方法》复习题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面 不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量) 0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件 是 。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)(