2013年数学中考试题专题1二次函数与相似三角形

2013年数学中考试题专题1——二次函数与相似三角形

1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2

关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点??

? ??

232，D 在抛物线上，直线是一次函数

()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.

答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以?

??=++=+-5.1240

c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

又12=-

a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2

3

212++-=x x y . （2）由（1）知2

3

212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,

令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23

,27k )，

令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2

k

)，

根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,

即：

,5

11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2

1

232122+--=++-=x x x y

所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2

2

1x y -

= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,

所以

1

1

11PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 则（1）式变为

N

M

N M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以（t+2）(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入2

2

1x y -

=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入（2）得t=2,符合条件， 故在y 轴上存在一点P （0,2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.

考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.

点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。

4、（2013陕西）

两点．

（1）写出这个二次函数的对称轴；

（2）设这个二次函数的顶点为D ，与y 轴交于点C ，

它的对称轴与x 轴交于点E ，连接AD 、DE 和DB ， 当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式。

[提示：如果一个二次函数的图象与x 轴的交点 为)0,(),0,(21x B x A A ，那么它的表达式可表示 为：))((21x x x x a y --=]

考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定

系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，

抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。

解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x 轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；

（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D 与E 的坐标表示出来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（1）对称轴为直线：x=2。 （2）∵A （1，0）、B （3，0），所以设)3)(1(--=x x a y 即a ax ax y 342

+-=

当x=0时，y=3a ，当x=2时，y=a -

∴C （0，3a ），D(2,-a) ∴OC=|3a|,

（第24题图）

∵A （1，0）、E （2，0）， ∴OA=1,EB=1,DE=}-a|=|a| 在△AOC 与△DEB 中， ∵∠AOC=∠DEB=90° ∴当

EB

DE

OC AO =

时，△AOC ∽△DEB ∴

1|||3|1a a =

时，解得33=a 或33

-=a 当

DE

EB

OC AO =

时，△AOC ∽△BED ∴

|

|1

|3|1a a =

时，此方程无解， 综上所得：所求二次函数的表达式为：

3334332+-=

x x y 或333

4332-+-=x x y

7、（2013?内江）如图，在等边△ABC 中，AB=3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE 翻折，与梯形BCED 重叠的部分记作图形L ． （1）求△ABC 的面积；

（2）设AD=x ，图形L 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式；

（3）已知图形L 的顶点均在⊙O 上，当图形L 的面积最大时，求⊙O 的面积．

．

==

x

x

＞

（

（）﹣

＜

=

，

标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM 的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；

（3）由于∠PFC和∠A EM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，﹣ m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，

∴点P的坐标为（m，﹣ m2+m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，

即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=．

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，

∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，

∴△PCM为直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．

∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．

10、（2013?曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．

（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

3236+）32﹣3234=12．

BD=

m

15、(2013浙江丽水压轴题)如图1，点A是x轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M 是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂

足为F ，过点B 作y 轴的垂线与直线CF 相交于点E ，点D 点A 关于直线CF 的对称点，连结AC ，BC ，CD ，设点A 的横坐标为t （1）当2 t 时，求CF 的长；

（2）①当t 为何值时，点C 落在线段BD 上？

②设△BCE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）如图2，当点C 与点E 重合时，△CDF 沿x 轴左右平移得到△C ’D ’F ’，再将A ，

B ，

C ’，

D ’为顶点的四边形沿C ’F ’剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C ’的坐标。

17、（2013?自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．

BC=x

AP

=sin45°=

P

；

BC

BC=

x

3x x

（+

与y轴交于点C，点D为顶点．

（1）求点B及点D的坐标．

（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标．

②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．

，CB=3

==

x解方程组，CB=3

==

﹣

由方程组

的坐标为（，﹣）

==

a

∴MG=FG=

a

a

，﹣

==

a

∴MG=FG=

a3+

，

坐标为（，﹣

二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣2

3

，

0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

=，由此求得

﹣

，

，

=

=

，

=

=

+t

次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函

数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据一次函数解析式求出点A．点C坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点D坐标，利用待定系数法可求出b、c的值，继而得出二次函数表达式．

（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，继而确定点P的位置；

②只需使△APQ的面积最大，就能满足四边形PDCQ的面积最小，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO，利用对应边成比例得出h的表达式，继而表示出△APQ 的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形PDCQ的最小值，也可确定点P的位置．

解答：解：（1）由y=﹣x+3，