既不离散也不连续的随机变量

目录

中文摘要 (1)

英文摘要 (1)

一、引言 (2)

二、随机变量及其分布 (2)

（一）随机变量及其分布 (2)

1．随机变量的概念 (2)

2．分布函数的定义 (2)

3．分布函数的性质 (3)

（二）离散型随机变量 (3)

1．离散型随机变量及其分布的定义 (3)

2．分布列的基本性质 (3)

3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法 (5)

（三）非离散型随机变量 (6)

1．连续型随机变量及密度函数的定义 (6)

2．密度函数的性质 (7)

3．连续型随机变量分布函数的特征 (8)

4。非离散非连续的随机变量 (8)

三、既不离散也不连续的随机变量及其判别 (9)

（一）随机变量的判别 (9)

（二）既不离散也不连续的随机变量的判别 (9)

（三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例 (11)

四、结束语 (13)

参考文献 (13)

既不离散也不连续的随机变量

彭惠敏

摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。

关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；分布函数

Neither Discrete Nor Continuous Random Variable

Peng Hui-min

Abstract: Through the study of the classification of random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables’distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables to the beginners.

Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function

一、引言

除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有既不离散也不连续的随机变量，有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机变量，在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还有既不离散也不连续的随机变量。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是离散型随机变量和连续型随机变量。

二、随机变量及其分布 （一）随机变量及其分布

1．随机变量的概念

设E 是随机试验，它的样本空间是{},ωΩ=如果对于每一个ω∈Ω都有一个实数和它相对应，这样就得到一个Ω上的实值函数()X ω，称()X ω为随机变量[1]。

随机变量按其取值情况可分为两类:离散型随机变量和非离散型随机量[2]。 如果随机变量X 的所有可能取值为有限个或可列个，则称X 为离散型随机变量。 非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，其中的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。 X 是一个随机变量，如果存在(,)-∞+∞上的非负可积函数()f x ，使X 的分布函数()()x F x f t dt -∞

=?，

则称X 为连续型随机变量， ()f x 是X 的概率密度函数。

既不离散也不连续的随机变量，一般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用，概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用密度函数只能表示其连续的部分，只有通过其分布函数{}()F x P X x =≤才能将分布表达清楚，而分布函数是初学者的难点。 2．分布函数的定义

设()X ω为随机变量，对任意实数x ，称

()(())F x P X x ω=<

为随机变量()X ω的分布函数。

3．分布函数的性质

任意分布函数()F x 都有如下三条基本性质：

（1） 单调性 ()F x 是定义在整个实轴,-∞+∞（）上的单调非递减函数，即对任意的12x x <，有12()()F x F x ≤.

（2） 有界性 对任意的x ，有0()1F x ≤≤，且

()lim ()0x F F x →-∞

-∞==,

()lim ()1x F F x →∞

∞==.

（3） 右连续性 ()F x 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有

00lim ()()x x

F x F x +

→=

即

00(0)()F x F x +=

这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。

（二）离散型随机变量

1．离散型随机变量及其分布的定义

假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。 设X 是一个离散随机变量，如果X 的所有可能取值是12,,,,,n x x x ??则称X 取i

x 的概率

()(),1,2,,n i i i p p x p X x i ====?? 为X 的概率分布列或简称分布列，记为{}i X p .

分布列也可用如下列表方式来表示：

或记成

1

212()

()

()

n n x x x p x p x p x ??

???

2．分布列的基本性质

（1）非负性 ()0,

1,2,3i p x i ≥=

（2）正则性

1

()1i

i p x

∞

==∑.

以上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布列的充要条件。

由离散型随机变量X 的分布列很容易写出X 的分布函数

()()i

i x F x p x =∑

它的图形是有限级（或无穷极）的阶梯函数。

()F x 是一个跳跃函数，它在i x 处有跳跃度()i p x .可见()F x 可以唯一决定i x 和

().i p x

例1、设随机变量X 的分布列为

试求 解：()(0.5)10.25P X P X ≤==-=，()(1.5 2.5)20.5P X P X <≤===.

0,

10.25,12,()0.250.50.75,23,0.250.50.251, 3.

x x F x x x <-??-≤

=?

+=≤

特别，常量c 可看作仅取一个值的随机变量X ，即(1)P X c ==.这个分布常称为单

点分布或退化分布，它的分布函数是

0,,

()1,.

x c F x x c

单点分布函数图

以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分布函数()F x 总是阶梯函数。 结论1 若随机变量ξ为离散型，那么其分布函数()F x 为阶梯函数。 证明

ξ为离散型随机变量

ξ∴的分布列为()i i x ξP ==P ， 1,2,3,i = （不妨这里设121i i x x x x +<<

<<<

）

下证（1）当1x x <时，()0F x =； （2）当1i i x x x +≤<， 1,2,3,

i =时，()i F x c =（常数），且

101i i c c +<<<.

事实上，（1）当1x x <时，

()()()1

0k k

x x F x x ξφ<=

P ==P =∑;

（2）当1i i x x x +≤<，1,2,3,

i =时，

()()()1

k i

k k x x

k F x x x ξξ<==P ==P =∑∑.

这是ξ取i （有限）个值对应概率相加

∴其和一定存在，记为i c ，即 当1,i i x x x +≤< 1,2,3,

i =时，()i F x c =

显然，()()1

11

1

01i

i i k k i k k c x x c ξξ++==<=P =

综上可知，ξ的分布函数()F x 为阶梯函数。 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法

我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。

结论2 设随机变量ξ的分布函数为()F x .若()F x 是阶梯型函数，则ξ为离散型随机变量。

证明

()F x 是ξ的分布函数 ()F x ∴一定是右连续

()F x 是阶梯函数

()F x ∴是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小到大的顺序排列起来的顺序为121i i x x x x +<<

<<<

则()11122

231

0,,,

,i i i x x c x x x c x x x F x x x x c +

其中，i c ，1,2,3,i =为常数，01i c <<

下证()()()0i i i x F x F x ξP ==+-， 1,2,3,i =为ξ的分布列。

（1）()F x 是单调不减的函数

()()()100i i i i i x F x F x c c ξ-∴P ==+-=-≥ （2）()()10i i F x F x ++=

()()()()()()1

1

11

0lim 0lim 1

i i i i i n

i n n n i x F x F x F x F x F x ξ∞

∞

==+→∞

→∞

=∴P ==+-????

=+-==????∑∑∑

综合（1）、（2）可知： ()()()0

i i i x F x F x

ξP ==+-， 1,2,3,i =是ξ的分布列。

（三）非离散型随机变量

由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，但它总的情况可以分为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。 1．连续型随机变量及密度函数的定义[1]

假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间(,)a b ，则称其为连续随机变量。

定义 设随机变量X 的分布函数为 ()F x ，如果存在实轴上的一个非负可积函数()p x ，使得对任意实数x 有

()()x

F x p t dt -∞

=?

则称()p x 为X 的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。 2．密度函数的性质

（1）非负性 ()0p x ≥ （2）正则性

()1

p x d x +∞

-∞

=?

（含有()p x 的可积性）。 以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成为密度函数的充要条件。

例：向区间(0,)a 上任意投点，用X 表示点的坐标。设这个点落在(0,)a 中任意一个小区间的概率与这个小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关。求X 得分布函数和密度函数。

解：记X 的分布函数为()F x ，则

当0x <时，因为{}X x ≤是不可能事件，所以()()0F x P X x =≤=； 当x a ≥时，因为{}X x ≤是必然事件，所以()()1F x P X x =≤=；

当0x a ≤<时，有()()(0)F x P X x P X x kx =≤=≤≤=，其中k 为比例系数。因为

1()F a ka ==，所以得1k a

=

. 于是X 的分布函数为

0,

0,(),0,1,

.x x F x x a a

x a

=≤

下面求X 的密度函数()p x .

当0x <或x a >时，()'()0p x F x ==; 当0x a <<时，1

()'()p x F x a

==

， 而在0x =和x a =处，()p x 可取任意值，一般就近取值为宜，这不会影响概率的计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是X 的密度函数为

1

,0,

()0,

x a p x a

?<

()a ()p x 的图形 ()b ()F x 的图形

(0,)a 上的均匀分布

3．连续型随机变量分布函数的特征

结论3 设ξ为连续型随机变量，()F x 是其分布函数，则()F x 是连续函数。 证明 ∵ ()F x 是连续型随机变量的分布函数

∴由定义，存在非负可积函数()p x ，对(),x ?∈-∞+∞有

()()x

F x t dt -∞=P ?

又由变动积分上限函数的性质可知， ()F x 连续 故 ()F x 是R 上的连续函数。 4.非离散非连续的随机变量

除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。 例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。

既非离散又非连续的分布函数示例

0,

0,1(),01,

21, 1.x x F x x x

≥??

从图上看出，它既不是阶梯函数，又不是连续函数，所以它既是非离散的又是非连续的分布。这类分布函数 ()F x 常可分解为两个分布函数的凸组合，如上例中的分布函数可分解为

1211

()()()22

F x F x F x =

+ 其中

10,0,()1,0.x F x x

≥? 20,

0,(),01,1,

1.

x F x x x x

=≤

而1 ()F x 是（离散）单点分布函数， 2 ()F x 是

（连续）均匀分布(0,1)U 的分布函数。 三、既不离散也不连续的随机变量及其判别

（一）随机变量的判别

由结论1的逆否命题可得，

结论4 若随机变量ξ的分布函数 ()F x 不是阶梯函数，则ξ一定是非离散型随机变量。

由结论3的逆否命题可得，

结论5 若随机变量ξ的分布函数 ()F x 不是连续函数，则ξ一定是非连续型随机变量。

（二）既不离散也不连续的随机变量的判别

既非离散又非连续的随机变量的分布函数具有不同于离散型、连续型随机变量分布函数的特点[3]。

（1）分布函数是右连续，但却不是在每一个分段区间内是常函数，这一点区别于离散型随机变量的分布函数。

（2）分布函数不是连续函数，在某些点处有跳跃性，这一点区别于连续型随机变量的分布函数。

综上，我们可以得到一个既不离散也不连续随机变量的判别条件。

结论6 若随机变量ξ的分布函数 (

)F x 既不是阶梯函数又不是连续函数，则ξ一定是既不离散也不连续的随机变量。

例4 已知函数

()0,

00.5(1),011,1x F x x x x ≤??

=+<≤??>?

证明： ()F x 是既不离散也不连续的某个随机变量ξ的分布函数。 证: 先证 ()F x 是ξ的分布函数。

(1)单调性：设12x x <，

若120x x ≤、，则()()120F x F x == ; 若10x ≤，20x >，则0=()()12F x F x <;

若1201x x <≤、，则()()()()()2121210.510.510.50F x F x x x x x -=+-+=->，

故()()12F x F x <;

若101x <≤，21x ≥，则()()121F x F x ≤=，故()()12F x F x <; 若121x x >、，则()()121F x F x ==; 综上，()()12F x F x ≤.

(2)有界性：()()lim 0,x F F x →-∞

-∞== ()()lim 1;x F F x →+∞

+∞==

(3)右连续性：只需考虑间断点01、

处的连续性。 (00)(0)0,(10)(1

F F F F +==+== (0)()F x F x ∴+= ，故()F x 右连续。 ()F x ∴可作为某随机变量ξ的分布函数。 再证 ()F x 是非离散非连续随机变量的分布函数。

易见 ()F x 是以0x =为间断点的非连续函数，同时也非阶梯函数。故由结论6， ξ是既不离散也不连续的随机变量。

例5设随机变量的分布函数为

问随机变量ξ是离散型，还是连续型？

证：利用分布函数的性质来判断此函数在2x =处不连续， ∴ξ不是连续型随机变量。

∵此分布函数在区间(0,2]上不是常函数， ∴ξ不是离散型随机变量，

故ξ为既非离散又非连续的随机变量。

（三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例

在研究生入学考试中，对单纯的连续性和离散型随机变量的考查越来越少，反而对这种既不离散也不连续的随机变量考察加重，更注重考生们对知识点综合应用的能力，下面给出几个近几年考研中出现的此种类型的例子。

1.（1997，11）：假设随机变量X 的绝对值不大于1，()()11

1,1,

84

P X P X =-===在事件{}11X -<< 出现的条件下， X 在)(1,1-内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求

（1）X 的分布函数{}()F x P X x =≤; (2) X 取负值的概率p .

由于{}()11

1,1,84

P X P X =-===在1X =-和1X =这两点可以作为离散型的情况

来处理。在其它情况下可作为连续型的情况来处理，且在)(1,1-内服从均匀分布， X

在此区间内取值的概率为{}115

111848

P X -<<=--=.

因此，X 的分布函数为

()0,

151(1),111681

1,x F x x x x ?≤-??

=++-<≤??>??

易见，()F x 既非阶梯函数又不是连续函数，所以由结论6可知，X 是既不离散也不连续的随机变量。

2.（2002）假设以设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .

解：设X 的分布参数为λ，由于1

EX 5λ

=

=，可知1

5

λ=

.易见{}min ,2Y X =. 当0y <时，()0F y =；当2y ≥时，()1F y =;

当0y 2≤<时，{}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤=5

1y e -

-.

Y 的分布函数500,(=1,02,1, 2.y

y F y e y y -

-≤

，

）

3.（99，4，3分）假设随机变量X 服从指数分布，则随机变量{}min ,2Y X =的分布函数（ ）

（A ）是连续函数 （B ）至少有两个间断点 （C ）是阶梯函数 （D ）恰好有一个间断点 【分析】首先求出Y 的分布函数为（参见上题）

0,

0,()1,02,1, 2.y y y F y e y y λ-

=-≤

由于Y 的分布函数恰好在2y =处有一个间断点，因此

应选（D ）.

4.设随机变量的绝对值不大于1，且{}1

04

P X ==，已知当0X ≠时， X 在其他取值范围内服从均匀分布，求X 分布函数()F x .

证：写出已知条件的数量关系。依题意

{1}{11}1P X P X ≤=-≤≤=，{}0P X = =14，{}3

04

P X ≠=，

又除0点外， X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含0点的子区间内

的概率与该子区间的长度成正比，比例常数3

8

λ=，故有

当1x <-时()0F x =；当1x ≥时，()1F x =；

当10x -≤<时()()33(){}{1}{1}1188

F x P X x P X P X x x x =≤=≤-+-<≤=--=+????； 当01x ≤<时，

{}{}(){}00{0}F x P X x P X P X P X x =≤=<+=+<≤=31335

(0)8488

x x +++-=

综上得0,

1,33,10,8

()35,01,81, 1.x x x F x x x x <-??+?-≤

5.设随机变量X 的分布函数0,

0,1(),01,21,1,x x F x x e x -

=≤

则{}1P X ==（ ）

（A ） 0. （B ）1.2 (C) 1

.2

x e -- (D)11.e --

【分析】 {}{}{}111P X P X P X ==≤-<(1)(10)F F =--1112e -=--11

.2

e -=- 故应选（C ）.()F x 的分布函数在01x x ==和处有分别有一个间断点，并且1x ≥不是常函数，所以X 是既不离散也不连续的随机变量。

考研中常遇到已知一个随机变量X的分布，又知另一个随机变量Y与X的函数关系()

，求随机变量Y的分布。这属于求随机变量函数的分布问题。如果Y是既Y g X

不离散也不连续的随机变量混合型随机变量，则一般是求其分布函数。

既不离散也不连续的随机变量是一类特殊的随机变量，一般形式比较复杂，但只要对其正确理解，求出其分布也就不难了。

四、结束语

本文总结了分布函数和离散型及连续型随机变量的相关知识，给出离散型和连续型随机变量的判别方法并证明，在此基础上讨论既不离散也不连续的随机变量，并通过对离散型和连续型随机变量判别方法逆命题的证明给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，运用实例加以说明，使初学概率统计者加深对随机变量的理解。本文举出了近几年考研中常见的既不离散也不连续的随机变量的题型，可以在此基础上进一步洞悉考研中随机变量的发展方向，总结此种类型问题的一般解题方法，使初学者对以后随机变量的学习有更深一层的了解。

参考文献

[1] 茆诗松.概率论与数理统计教程第二版. 北京:高等教育出版社，2011.

[2]杨桂元.既不离散也不连续的随机变量[C].大学数学，2003.

[3]宁丽娟.既非离散也非连续的随机变量[A].高等数学研究.2014.

几个重要的离散型随机变量的分布列

几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布

离散型随机变量及其分布律

5.离散型随机变量及其分布律 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律 【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能： 了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布， 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。 3、情感态度与价值观 通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。 【教学重点、难点】： 重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。 难点：伯努利试验，两点分布。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：

一、问题引入（离散型随机变量的概念） 例1：观察掷一个骰子出现的点数。 随机变量 X 的可能值是 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6。 例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,. 例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随 机变量 X 记为“击中目标的次数”， 则 X 的所有可能取值为： 0,1,2,3,,30. 定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、离散型随机变量的分布律 定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为 ,2,1,}{===k p x X P k k 由概率的定义，k p 满足如下两个条件： 1）)21(0 ，，=≥k p k ； 2） ∑∞ ==1 1k k p （分布列的性质） 称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。 常用表格形式来表示X 的概率分布： n i n p p p p x x x X 2121 【设计意图】：给出分布律的概念和性质，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。 例1：()()1,2,,C k P X k k N X N ?=== 若为随机变量的分布律，是确 定常数C 。 解：由分布律特征性质 1 知 C ≥ 0 ， 由其特征性质 2 知 1 ()1N k P X k == =∑ 1 N k C k N =?=∑ )(12C N N ++=+ ()12 C N += 21C N ∴= + 【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。

离散型随机变量及其分布列教案

离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：

高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布

专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量P ( X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11 =∑=n i i p 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．

题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C ．某超市一天中来购物的顾客数X D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝? ???? 1，小胡在线 0，小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ； (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6 D ．ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 【过关练习】 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度． 2.某人射击的命中率为p (0

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：

随机变量及其分布-离散型随机变量及其分布

离散型随机变量及其分布列 知识点 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n) 的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质： n ① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；① P i 1 i 1 3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率. (2)超几何分布 其中 m = min{ M , n}，且 n 汆， M 哥，n , M , N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 题型一离散型随机变量的理解 【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X C .某超市一天中来购物的顾客数 X 在含有M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则 P(X = k)= c M c N —M c N ,k = 0,1,2, m ,

离散型随机变量及其分布范文

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++ = 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+ 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布 知识点一：离散型随机变量的相关概念； 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机 变量随机变量常用希腊字母、等表示 离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随 机变量叫做离散型随机变量。若 是随机变量， a b ，其中a 、b 是常数，则 也 是随机变量 连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的 变量就叫做连续型随机变量 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列 出，而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一 个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ，贝U 称表 为随机变量的概率分布，简称的分布列 知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质； 任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0，必然事 件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 概率的和即P( 知识点二：两点分布： 若随机变量X 的分布列: 特别提醒：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1为成 功 率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是 否为正 品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列 来研究? 知识点三：超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列

图解常用离散型随机变量

第 22卷第1期2019年1月 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS Vol.22,No. 1Jan. , 2019 doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 01. 033 图解常用离散型随机变量 杨夜茜 (同济大学数学科学学院，上海200092) 摘要在 概 率论的学习中，一个重要章节就是常用的离散型随机变量的学习.离 散 型随机变量包括伯努利分布， 二项分布，泊松分布，几何分布，超几何分布和负二项 分布等等.在本文中，首先借 助时间流的图形表达，从伯努利 试验次数和成功次数角度 区分其中的一些常用变量；其次通过一个流程图的方式柢理这些常用的离散型随 机 变量 的定义.本文的目的在于，基于常规的离散型随机变量的分布律等介绍之余，首次尝试从不同的比较汇总角度，借 助图表方法对常用的离散型 随 机 变量进行梳理和总结 ，起 到 区 分 变 量 的 差 异 ，加 强对常用离散型随机变量概念 的 理 解 . 关键词 常 用 离 散 型 随 机 变 量 ；伯 努 利 试 验 次 数 ；成 功 次 数 ；时 间 流 ；流 程 图 中图分类号 0211 文献标识码 A 文章编号 1008-1399(2019)01 -0118-03 Explanation of Discrete Random Variable by Diagrams Y A N G Xiaohan (School of Mathematics Science, Tongji University, Shanghai 200092, China) Abstract This paper uses time flows and flow charts to describe discrete random variables , such as Ber - n o u lli , Binom ial , Poisson , Geometric , and Negative Binomial variables , based on two key points ： number of tria ls , and number of successes . Keywords discrete random variable,num ber of tria ls , number of successes,time flo w , flo w chart i 引言 关于常用的离散型随机变量，它们的定义、分 布律、概率、期望和方差等，在教科书或者是文献 中，已经有非常明确的定义[1_3].在笔者多年的教学 中发现，学生在学习这些随机变量的时候，通常会 出现计算题准确率很高，但涉及定义的问题回答模 糊.因此在本文中，不重复介绍离散型随机变量的 分布律等，尝试从不同的比较和汇总的角度借助图 表方法对这些常用的离散型随机变量进行梳理.在 文献[4]中，George C asella 给出了随机变量间的关 系图，描述了大部分的离散型和连续型随机变量两 两变量之间的联系.与他的关系图侧重点不同，在 本文中，首次设计了两种图形表述方式：时间流和 收稿日期： 2017-12-19 修改日期=2018 -03 -13 作者简介：杨筱菡（1977 —），女，江苏，博士，副教授，概率统计， Email ：xiaohyang @tongji . edu . cn 流程图.时间流的图形很具象，简单明了切中随机 变量定义的关键点.而在自上而下的流程图中，通 过回答每一个是与否的简单问题而找到变量的归 属.这两种图形方式，能快速理清每个常用的离散 型随机变量的定义，区分不同变量概念上的差异， 加强对概念的理解. 注这里要特别说明的是，本文中提及的常用的 随机变量仅是在本科公共基础课程“概率论与数理 统计”中提及的常用离散型随机变量，它们只是常 用离散型随机变量中的一部分，并非全部，例如二 项分布的推广一多项分布等就不在此文讨论的范 围内. 2时间流区分法 通常常用的离散型随机变量总是从讲述伯努 利试验开始，伯努利试验是一类可重复、独立的试 验，且一次试验的样本空间只有两个样本点，6卩{成 功，失败}，有时把样本点“成功”描述为“事件A 发

常见离散型随机变量的分布列

4．常见离散型随机变量的分布列 (1>两点分布像 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从分布，而称p＝P(X＝1> 为成功概率． (2>超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k>＝错误!，k＝0,1,2，…，m， 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 1设离散型随机变量X 求：(1>2X＋1的分布列； (2>|X－1|的分布列． 【思路启迪】利用p i≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X＋1的值及其分布列；求|X－1|的值及其分布列． 【解】由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为： 4 9 3 则常数c＝________，P(X＝1>＝________.X的所有可能取值x i(i＝1,2，…，>； (2>求出取各值x i的概率P(X＝x i>；(3>列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．常用类型有：(1>由统计数据求离散型随机变量的分布列，关键是由统计数据利用事件发生的频率近似表示该事件的概率，由统计数据得到的分布列可以帮助我们更好地理解分布列的作用和意义．(2>由古典概型来求随机变量的分布列，这时需利用排列、组合求概率．(3>由相互独立事件同时发生的概率求分布列无

论是何种类型，都需要深刻理解随机变量的含义及概率分布．3.(2018年福建>受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： (1>从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2>若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3>该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，因为资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解】(1>设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A >＝错误!＝错误!.(2>依题意得，X 1的分布列为 X 2的分布列为 (3>由(2>得，E (X 1>＝1×错误!＋2× 错误!＋3×错误!＝2.86(万元>， E (X 2>＝1.8×错误!＋2.9×错误!＝2.79(万元>．因为E (X 1>>E (X 2>，所以应生产甲品牌轿车． 4.(2018年湖南>某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 试销结束后(2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1>求当天商店不进货的概率； (2>记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望． 解：(1>P (“当天商店不进货”>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为1件”> ＝错误!＋错误!＝错误!. (2>由题意知，X 的可能取值为2,3. P (X ＝2>＝P (“当天商品销售量为1件”>＝错误!＝错误!；P (X ＝3>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为2件”>＋P (“当天商品销售量为3件”>＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故X 的分布列为

常见离散型随机变量分布列示例

常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列 例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得． 解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为： 说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率 例 如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________． 分 析 ： 发 生 事 件 A 的 次 数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数 一、离散型随机变量： （1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。 其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下： （2）性质：?0i p ≥ ?1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- 二、连续型随机变量： （1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞ = ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。 （2）连续型随机变量的密度函数的性质：?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞ =? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞ <≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= 三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别： (1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=； 而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 (2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. (4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即： {}{}{}{}()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-= ? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= 四、常用的离散型随机变量的分布函数： （1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为：

常见离散型随机变量的分布 (1)

新乡医学院教案首页单位：计算机教研室 课程名称医药数理统计方法 授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业 时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟 课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布 授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 授课形式小班理论课 授课方法启发讲解 参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社 高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社 思考题二项分布和超几何分布有何联系？ 教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日

基 本 内 容 备 注 常见离散型随机变量的分布 一、超几何分布 例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。 解 X 1 2 3 4 5 P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010 5 30 C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为 {} 0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k l C --?=== 其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为()k n k M N M n k x N C C F x C --≤?=∑ 二、二项分布 1. Bernoulli 试验 只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。 例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。 解：X 可取0，1，2，3。 用A i 表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p == P{X=0}=33 123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-== P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++ 2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++== P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++ 2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==

高考数学 《离散型随机变量及其分布列》

离散型随机变量及其分布列 主标题：离散型随机变量及其分布列 副标题：为学生详细的分析离散型随机变量及其分布列的高考考点、命题方向以及规律总结。关键词：离散型随机变量，分布列，超几何分布 难度：3 重要程度：4 考点剖析： 1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个离散型随机变量的分布列． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 命题方向： 1.随机变量的概率分布的定义、表示方法及性质，超几何分布，二项分布等特殊分布列是常见考点，难度仍然不会很大，题目类型多为选择题、填空题； 2．离散型随机变量的期望、方差的计算也是常见考点，常在解答题中考查，这是近几年高考命题的热点，难度仍然不会很大； 3．离散型随机变量经常与几何概率、计数原理、事件的互斥、统计等知识相结合考查．规律总结： 2个注意点——掌握离散型随机变量分布列的注意点 (1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为“事件”发生的概率； (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误． 3种方法——求分布列的三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列； (3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列． 知识梳理 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质

(完整版)离散型随机变量

“离散型随机变量”的含义理解与教学思考 浙江省金华第一中学孔小明 “2.2.1离散型随机变量”是人教版数学2-3第二章“随机变量及其分布”的第一节第一课时内容，是学生在必修课程学习概率的基础上，进一步学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容的基础概念课.教材通过取有限值的随机变量为载体，介绍有关随机变量的概念，重点在概念含义的理解及应用.随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究，它建立了连接随机现象和实数空间的一座桥梁，使我们能用变量来刻划随机试验的结果以及随机事件，以便借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质，从而可以建立起应用到不同领域的概率模型，如二项分布模型、超几何分布模型、正态分布模型等. 由于随机变量与离散型随机变量不同于函数中的变量，它是按照一定概率取值的变量，牵涉许多学生所不具备的基础知识，按学生的现有知识和认知水平难以透彻理解，所以建立并正确理解随机变量与离散型随机变量的概念就成为教学的难点，关键是多考察实际例子，通过实例加深对随机变量及离散型随机变量含义的认识，会用随机变量表达简单的随机事件. 一、正确理解（离散型）随机变量的含义 随机变量的定义：如果对于试验的样本空间Ω中的每一个样本点ω，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点ω的实函数，记作X=X(ω) .我们称这样的变量X 为随机变量．由于中学生相关知识的欠缺，教材对随机变量及离散型随机变量概念的引进都避开严格的数学定义.教科书借助实例给出随机变量的描述性定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.在此基础上给出离散型随机变量的定义：所有取值可以一一列出的 随机变量.随机变量常用字母 X , Y，，，…表示. 随机变量的含义可以从下述几个方面理解： （1）随机变量是将随机试验的结果数量化.许多随机事件表现为数量形式，但有些随机事件并不具有数量形式，这时，我们也可把这样的随机事件与实数之间，人为地而又合理地建立起一种对应关系，使每个随机事件都对应着一个实数，那么，随机事件就可以用这些实数为变量来表示，即可把试验的结果数量化.任何一个随机试验的结果都可以进行量化，不同的试验结果用不同的数表示，理论上同一个试验结果可以选择任意一个确定的数来表示，通常根据所关心的问题恰当地定义随机变量. （2）随机变量的每一个取值都对应于随机试验的某一随机事件. （3）随机变量的取值具有随机性.一方面指随着试验和观察次数的不同，随机变量可能取得不同的数值，即随机变量在不同的观察次数中数值在不断地变化，当然只有变化才称得上是变量；另一方面，由于随机变量的取值依赖试验的结果，虽然试验之前可以判断随机试验可能出现的所有结果，但在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定随机变量会取什么值，即它的取值具有随机性.

离散型随机变量及其概率分布列(学生版)

离散型随机变量及其概率分布列 第一课时 随机变量 学习目标： 1.离散型随机变量、事件空间的概念。区分离散型随机变量和非离散型随机变量。 2.理解随机变量所表示实验结果的含义，会用合适的数表示试验的结果。 3.会求离散型随机变量：()P X a =、()P X a <、()()P X a P b X a ≤<≤、。 预习：离散型随机变量、离散型随机变量概率分布列的概念。 新课 一、随机试验、随机变量、样本空间 引例：下列2个随机试验，结果能否用数字表达？ 1.抛掷一枚质地均匀的骰子一次。 2.抛掷一枚质地均匀的硬币一次。 3.一枚电灯泡的使用寿命是否超过1000小时。 例题1 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出随机变量的样本空间和各个随机变量所对应的试验结果。 1.已知5件产品中有2件次品，任意一次抽取2件中含有的次品数。 2.抛掷质地均匀的2枚骰子一次，所得点数之和。 3.某球队在5次点球中，射进的球数。 4.任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差。 5.一枚电灯泡的使用寿命。 6.东圳水库2020年3月1日至7日，每天中午12点的水位。 练习：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？

二、随机变量的概率 例题2 抛掷一枚质地均匀的骰子，数值X 表示抛掷出的点数。 （1）求X 的样本空间； （2）(5)P X =； （3）(5)P X <； （4）(5)P X ≤； （5）(35)P X <≤； （6）抛掷出偶数； 练习：投掷2枚质地均匀的硬币一次，用X 表示投掷出的正面数。求下列事件的概率。 （1）(0)P X = （2）(1)P X = 三、作业 《离散型随机变量及其分布列A 卷》1，2，3，5，8,10 《离散型随机变量及其分布列B 卷》3，5，7，11，13，15，16. 第二课时 随机变量的概率分布列 学习目标： 1. 随便变量概率分布列的概念。 2. 会求简单的离散型随机变量的概率分布列。认识概率分布列对刻画随机现象的重要性。 3. 掌握超几何分布概率分布列。 预习：随机变量概率分布列的概念 一、复习导入 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量