第1章 信号与系统
第一章信号与系统
本章学习要求
（1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点；
（2）熟悉离散时间信号的基本表示方法；
（3）掌握正弦序列周期性的定义和判断；
（4）深刻理解能量信号、功率信号的定义和判断；
（5）掌握信号的基本运算（变换）方法；
（6）深刻理解冲激信号、阶跃信号的定义、特点及相互关系；理解冲激函数的广义函数定义；掌握冲激函数的基本性质；冲激函数的微积分；
（7）熟悉系统的数学模型和描述方法
（8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断
本章重点
（1）离散时间信号的表示；
（2）离散周期序列的判断、周期的计算；
（3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断；
（4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换；
（5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系；
（6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质；
（7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法；
（8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。
1.1 绪言
什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？
一、信号的概念
1. 消息(message):
人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。
2. 信息(information):
通常把消息中有意义的内容称为信息。
本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。
3. 信号(signal):
信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。
信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。
二、系统的概念
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。
图1
从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。
通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。
三、信号与系统概念无处不在
信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下：
?工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报
?人工智能、高效农业、交通监控
?宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统
?经济预测、财务统计、市场信息、股市分析
?电子出版、新闻传媒、影视制作
?远程教育、远程医疗、远程会议
?虚拟仪器、虚拟手术
如对于通讯：
?古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯
?近代通讯方式：电报、电话、无线通讯
?现代通讯方式：网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯
1.2 信 号
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号可以是时间的一元函数，也可以是空间和时间的二元函数，还可以是变换域中变量的函数。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号----简称“信号”。 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。
描述信号常用方法（1）表示为时间的函数，如 )(?ω+=t Cos V （2）信号的图形表示----波形表示，如图所示 “信号”与“函数”两词常可以相互通用。
二、信号的分类
1. 确定性信号和随机信号
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定性信号或规则信号，如正弦信号。
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定性信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。
研究确定性信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定性信号。 2. 连续信号和离散信号
根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。 （1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞ 这里的“连续”指函数的定义域----时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。 对于函数的定义域为连续，而值域为离散的信号，也称此信号为“量化取值信号”，可见这种信号不过是连续时间信号的一种特例。 （2）离散时间信号： 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域----时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如下图2所示的f (t )仅在一些离散时刻k t (k = 0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。 图2 相邻离散点的间隔k k k t t T -=+1可以相等也可不等。通常取等间隔T ，离散信号可表示为f (kT )，简写 为f (k )，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k 称为序号。（注意：k 也经常用符号n 来表示） 离散信号也可按如下方式表示 1,12,01.5,1()2,20,31,40,k k k f k k k k =-??=? ?-=? ==??=? =??? 其他值或写为 (){,0,1,2, 1.5,2,0,1,} f k ↑ =???-??? 通常将对应某序号m 的序列值称为第m 个样点的“样值”。 3. 周期信号和非周期信号 周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N)，按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f (t )满足：f (t ) = f (t + m T )，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k )满足：f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。 例题：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sin πt 判断准则：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 有理数：也即分数，包括：正、负整数；正、负分数；零。 解：（1）sin2t 是周期信号，其角频率和周期分别为ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ω1=2π/2 =π cos3t 也是周期信号，其角频率和周期分别为ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ω2= (2π /3) 由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2）cos2t 和sin πt 的周期分别为T1=π，T2=2，由于T1/T2=2π为无理数，故f2(t)为非周期信号。 4．能量信号与功率信号 将电流信号f (t )施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为2/)(/t f ，在区间(–∞,+∞)的能量和平均功率定义为： （1）信号的能量E 2E=()f t dt +∞?-∞ （2）信号的功率P （平均功率） 1 2/2P=()/2 lim T T T f t dt T →∞ ?- 若信号f (t )的能量有界，即E <∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P = 0 若信号f (t )的功率有界，即P <∞ ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E = ∞，即一般能量无限信号的平均功率是有限的。 相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。 若满足2E=f(k) ∑∞∞的离散信号，称为能量信号。 若满足∞<=-=∞ →22 2 )(1N N k N k f N P Lim 的离散信号，称为功率信号。 时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如t e t f =)(。 5．一维信号与多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。还有更多维变量的函数的信号。 6．因果信号与反因果信号 常将t = 0时接入系统的信号f (t ) [即在t < 0，f (t ) =0]称为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将t ≥ 0，f (t ) =0的信号称为反因果信号。 还有其他分类，如实信号与复信号；左边信号与右边信号等等。 1.3 信号的基本运算 一、信号的＋、－、×运算 两信号f 1(·)和f 2(·)的相+、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。如 12,13,0()6,10,k k f k k =-??=?=?=???其他值， 23,02,1()4,20,k k f k k =??=?=?=???其他值 则有122,1 6,0 ()()8,14,2 0,k k f k f k k k =-??=?? +==??=? ??其他值， 129,0()()12,10,k f k f k k =???==???其他值 二、信号的时间变换 1. 反转 将f (t )→f (–t )，f (k )→f (–k )称为对信号f (·)的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180度。如图3所示。 图3 2. 平移 将f (t )→f (t –t 0)，f (k )→f (k –k 0)称为对信号f (·)的平移或移位。若t 0 (或k 0) >0，则将f (·)右移；否则左移。如图4所示。 图4 平移与反转相结合，画出f(2-t)。 方法一：先平移，由f(t)得到f(t+2),再反转f(t+2)得到f(-t+2)。如图5所示。 图5 方法二：先反转f(t)得到f(-t)，再平移f(-t)得到f(-t+2)，如图6所示。 图6 3. 尺度变换（横坐标展缩） 由f(t)得到f(at),称为对信号f(t)的尺度变换，如果a>1，则波形沿横坐标压缩；如果0 对于离散信号，由于f(ak)仅在为ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般离散信号不作波形的尺度变换。 平移、反转、尺度变换相结合：已知f(t),画出f(-4-2t)。如图7所示。 三种运算的次序可任意，但一定要注意始终对时间t进行变换。 图7 也可以先压缩、再平移，然后再反转，如图8所示。 图8 总结：正时间变换的顺序最好为：平移→压缩/展开→反转 若已知f(-4-2t)，画出f(t),如图9所示。 图9 总结：逆时间变换的顺序最好为：反转→压缩/展开→平移 三、某些典型信号 1. 正弦连续信号()sin()f t A wt θ=+ 式中：A 为幅值；θ为初相位。其周期T 、频率f 、角频率 ω之间的 关系为：π21==f T 连续正弦信号图形如图10所示。 图10 2. 连续指数信号 ()t f t Ae α= 式中：A 为常数，α可为常数也可为复常数。 （1） α若为实常数，f(t)为实指数信号 此时特性：0,()0, ()0()f t f t f t A ααα>?? 单调递增 单调衰减 ，为直流信号 实际中使用较多的是单边指数信号,0(),0 t o t f t Ae t α ≥? 常令1/τα=，称为时间常数 （2）α若为复常数，f(t)为复指数信号 t j t Ae Ae t f )()(ωσα+==，其中ωσαj += 尽管实际的装置不可能产生复指数信号，但它在信号分析理论中占有重要的位置。 sin cos sin cos Re[] 2cos sin sin Im[]cos 2 j t j t j t j t j t j t j t j t e e t e t j t t e j e t j t t e e e t ωωωωωωωωωωωωωωωω---?-=???=+=???????=-=??-???=??或 因 此 ， 当 σ≠， ()(cos sin )t j t t j t t e e e e e t j t ασωσωσωω+===+， 可见0,()0,()f t f t σσ >?的实部和虚部分别为衰减的余弦和正弦信号的实部和虚部分别为增长的余弦和正弦信号 3.抽样信号Sa(t) Sa(t)=t t sin ，为偶函数，图形如图11示 特性：0 ()/2()Sa t dt Sa t dt ππ∞∞-∞ ?=???=??? 定义函数0 ()(),()~y Si y Sa t dt Si y y = ? 特性：,()2,3,...()y Si y y Si y πππ=??=?有最大值 有局部极值 抽样信号不是实际物理装置能产生的信号，但在信号分析中有 重要地位。 图11 4. 符号函数)sgn(t 定义为：???<->+=0 t 1,0 t t ,1)sgn( 符号函数与单位阶跃函数关系：1)(2)sgn(-=t t ε 5. 离散正弦序列 0()sin()x n n ω?=+ 式中： 0ω为常数，称为正弦序列的频率。一般通过对周 期为T 的正弦序列进行抽样（抽样周期为Ts ），就可得到正弦序列。 图12 离散正弦序列图形如图12所示。 6. 复指数序列 0,)(jw s e n x sn +==σ 当0=σ 时，则n w j n w e e n x jw n jw 00)(sin cos )(00+===+σ 注意：对于连续的正弦/余弦信号，抽样得到的离散序列信号未必是周期序列，对于形如 )sin()(0?+=n w A n x 、)cos()(0?+=n w A n x 和) (0)(?+=n w j e n x 的离散序列而言，其周期性 判断准则如下： （1）当N w =0 2π为整数时，)(n x 为周期性且周期为N 。 （2）当02/w P Q π=为有理数时（P,Q 为互素的整数），)(n x 为周期性且周期P 。 （3）当02w π 为无理数时，)(n x 为非周期性序列。 例题：判断下列每个序列是否具有周期性；若是周期性的，试确定其周期。 （1） ) 8 73cos()(ππ-=n A n x （2）)6()(π-= n j e n x 解：（1）因为 314 73220= =π π πw ，所以)(n x 为周期性，周期为14。 （2）因为π π π126 1220==w 为无理数，所以)(n x 是非周期性的。 1.4 阶跃函数与冲击函数 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数或奇异信号。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 一、单位阶跃函数 单位阶跃函数)(t ε（也常用)(t u 表示）定义式为：图形如下图右图13所示。 ?????>=<=0 t 1,0 t ,2 10 t ,0)(t ε 阶跃函数的性质： （1）可以方便地表示某些分段常量信号，如()2()3(1)(2)f t t t t εεε=--+-，如图14所示。 图14 （2）用阶跃函数表示信号的作用区间 可见，阶跃信号的积分为斜变信号)()(t t t R ε= 斜变信号定义式为：?? ?<≥=0 t 0,0t t t R ,)( 二、单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出） ()0,0()1t t t dt δδ+∞ -∞ =≠?? ?=??? 直观理解，可以认为“单位冲激函数”就是一种高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。 冲激函数与阶跃函数关系：?? ?? ?==?∞-t d t dt t d t ττδεεδ)()() ()( 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在，如图16所示。 图16 单位冲激函数的导数()()d t t dt δδ'=定义为“单位冲激偶”函数，它在t=0处有一对正负冲激函数，其强度都是 无穷大。 由此，可得到下面的重要关系： “阶跃函数”导数为“冲激函数”；“阶跃函数”积分为“斜变函数”； “冲激函数”导数为“冲激偶函数”；“冲激函数”积分为“阶跃函数” 例题：画出函数)]}3()2([)]1()()[(2{)(---+--= t t t t t R dt d t f εεεε的波形图。 解：由上面的性质，可得 ) 3()2()]1()()[(2)1(2)3()2()]1()()[(2)1()1(2)0()0(2) 3()2()]1()()[(2)]1()()[(2)(---+--+--=---+--+--=---+--+--=t t t t t t t t t t t t R R t t t t t t t t R t f δδεεεδδδεεεδδδδεεεδδ 波形图如图17所示 图17 三、冲激函数的重要性质 1. 取样特性 如果)(t f 在0=t 、0t t =处存在，则有： ?? ? -=-=) ()()()()()0()()(000t t t f t t t f t f t t f δδδδ 2. 筛选特性 如果)(t f 在0=t 、0t t =处存在，则有： ?????=-=??∞∞-∞∞-) ()()()0()()(00t f dt t t t f f dt t t f δδ 3. 尺度特性 )(1 ) (t t δα αδ= ； )(1)(00α δααδt t t t -= - 4. )(t δ为偶函数，即)()(t t -=δδ 5. 记住)(t δ的定义：?????=≠=?∞∞ -1)(0 ,0)(dt t t t δδ 四、冲激偶函数的重要性质 1. 筛选特性 如果)(t f 在0=t 、0t t =处存在，则有： ?????'-=-''-='??∞ ∞-∞∞-) ()()() 0()()(00t f dt t t t f f dt t t f δδ 2. 冲激偶函数)(t δ'为奇函数，既)()(t t -'-='δδ 因为)(t δ'为奇函数，故有： 0)(='?∞ ∞-dt t δ 1.5 系统的分类与描述 一、系统的分类 下面是几种常用的系统分类法。 1. 连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。 2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 电学上的纯电阻网络就是即时系统，本课程主要侧重“动态系统”。 3. 线性系统与非线性系统 满足线性性质的系统称为线性系统。 二、系统的描述 1. 连续时间单输入单输出系统的描述 连续时间系统的输入输出都是时间的函数，通常它的模型采用微分方程进行描述。通常，描述一个n 阶单输入单输出连续时间系统的微分方程形式如下： 1111011 01 1 ()()()()() () ()()n n m m n n m m n n m m d r t d r t dr t d e t d e t de t a a a a r t b b b b e t dt dt dt dt d dt ------++++=++ ++ 其中，)(t e 为系统输入，)(t r 为系统输出；),2,1,0;,2,1,0(,m j n i b a j i ==为微分方程的系数。 2. 离散时间单输入单输出系统的描述 离散时间系统的输入输出都是离散的时间序列，通常它的模型采用差分方程进行描述。通常，描述一个N 阶单输入单输出离散时间系统的差分方程形式如下： 012012()(1)(2)()()(1)(2)()N M a r n a r n a r n a r n N b e n b e n b e n b e n M +-+-+ +-=+-+-+ +- 其中，)(n e 为系统输入，)(n r 为系统输出；),2,1,0;,2,1,0(,M j N i b a j i ==为差分方程的系数。 二、系统的数学模型 连续系统：微分方程；导数（积分）、乘系数、相加；R/L/C 电路构成网络； 离散系统：差分方程；延时（移位）、乘系数、相加；延时（移位）元件（单位延迟用T D 或表示）、乘法器、加法器； 下面以实例说明差分方程的建立。 1、差分 设有序列()f k ，则…，(2)f k +，(1)f k +，…，(1)f k -，(2)f k -…等称为()f k 的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，如下式所示： () ()()() ()() lim lim lim df t f t f t t f t f t f t t dt t t t t t t ?+?---?????→?→?→=== 定义离散信号的差分运算表达式如下： () ()() ()() f k f k k f k f k f k k k k k ?+?---????= = 即一阶后向差分定义：)1()()(--=?k f k f k f ,一阶前向差分定义：()(1)()f k f k f k ?=+-, 式中，▽称为差 分算子。本课程主要用后向差分，简称为差分。 [例3-1] 一个离散时间系统由延时、相加、乘系数等基本部件组合而成，如图18，激励信号为)(n x ，响应序列为)(n y ，写出描述系统工作的差分方程。 图18 解：)()1()(n x n ay n y +-= 整理后得到：)()1()(n x n ay n y =-- 上式就是一个常系数线性差分方程（different equation ），或称为递归关系式（recurrence relation ）。由于此方程中的未知序列仅相差一个位移序数，因此是一阶差分方程。如果给定激励)(n x ，而且知道响应 )(n y 的边界条件，解此差分方程即可求得响应序列。 差分方程的阶数等于未知序列变量序号的最高与最低值之差。 上式举出的差分方程未知序列序号以递减方式给出，称为后向形式的（或向右移序）差分方程。也可以以递增的形式给出，称为前向形式（或向左移序）差分方程。 [例3-2] 一个离散时间系统如图19所示，写出描述系统工作的差分方程。 ) 图 19 解：)()()1(n x n ay n y +=+或)]()1([1 )(n x n y a n y -+= 上式是一个一阶前向差分方程式。 比较两个图形，这两个系统并无本质区别，仅输出信号的取出端有所不同，如果激励信号相同，则响应后者较前者延时一位。通常，对于因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般的数字滤波器描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，习惯上用前向形式的差分方程。 迭代法求解例3-2差分方程： 若已知)()(n n x δ=，0)1(=-y ，容易求得： n a n x n ay n y a x ay y a x ay y x ay y =+-==+==+==+-=)()1()()2()1()2()1()0()1(1)0()1()0(2 此范围限于0≥n ，因此，应写作：)()(n u a n y n = 用迭代法求解差分方程是一种原始的方法，不宜直接给出一个闭式解答，关于差分方程的一般求解方法将在下一节（用时域法）以及下一章（用变换域法）详细讨论。 以上分析可以看出，差分方程与微分方程在形式上有相似之处。实际上，利用数字计算机来求解微分方程时，就是利用差分方法来求解得。它将微分方程的时间函数抽样为离散时间信号，抽样间隔越小，近似程度越好。 以上讨论的差分方程都是以时间为离散变量的。然而，差分方程是处理离散变量函数关系的一种数学工具，变量的选取因具体函数而异，并不限于时间。差分方程的应用遍及许多科学领域，不仅限于电子工程问题之中。如某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为β元/月。设第k 月存入f(k)元，月底结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为： )()1()1()(k f k y k y k y +-+-=β 即： )()1()1()(k f k y k y =-+-β 此即为描述这一银行结余系统的差分方程。 1.6 系统的特性与分析方法 一、线性性质 1、线性 设系统的激励()f 所引起的响应()y 可简记为()[()]y T f =，如下图20所示， 图20 线性性质包括两方面：均匀形或齐次性；叠加性或可加性。 若系统的激励()f 增大a 倍时，其响应()y 也增大a 倍，即()[()]ay T af =，则称该系统是均匀的或齐次的。 若系统对于激励1()f 与2()f 之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即 1212[()()][()][()]T f f T f T f +=+，则称该系统是可叠加的或可加的。 若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即1212[()()][()][()]T af bf aT f bT f +=+ 2、动态系统是线性系统的条件 动态系统不仅与激励{()f }有关，而且与系统的初始状态{(0)x }有关。初始状态也称“内部激励”。注意：{(0)x }可理解为初始状态下对系统的“激励”或“输入”。 完全响应可写为：()[{()},{(0)}]y T f x =; 零状态响应为：()[{()},{(0)}]f y T f =; 零输入响应为： ()[{(0)},{(0)}]x y T x =; 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： 可分解性：()()()][{()},{(0)}][{(0)},{(0)}]f x y y y T f T x =+=+ 零状态线性：[{()}][{()},{0}]T af aT f =；1212[{()()},{0}][{()},{0}][{()},{0}]T f f T f T f +=+ 或1212[{()()},{0}][{()},{0}][{()},{0}]T af bf aT f bT f +=+ 零输入线性：[{0},{(0)}][{0},{(0)}]T ax aT x =；1212[{0},{(0)(0)}][{0},{(0)}][{0},{(0)}]T x x T x T x +=+ 或1212[{0},{(0)(0)}][{0},{(0)}][{0},{(0)}]T ax bx aT x bT x +=+ 例：已知系统具有初始响应值)(0t y ，其响应)(t y 与输入)(t x 有如下关系：)(3)()(20t x t t y t y +=，判断该系统是线性系统还是非线性系统。 解：（1）可分性： 因为零输入响应为)()(0t y t y x =，零状态响应为)(3)(2t x t t y f = 所以)()()(t y t y t y f x =+ ，满足可分解性。 （2）零输入线性： 设零输入分别增大a 倍和b 倍，则必有)(01t ay y x =和)(02t by y x = 若零输入现在为在增大 a 倍和 b 倍的共同作用下，则零输入响应必为： 21000)()()()(x x x y y t by t ay t y b a y +=+=+= 所以，满足零输入线性。 （3）零状态线性：设激励分别增大 a 倍和 b 倍，则有)(3121t ax t y f =和)(3222t bx t y f = 若系统激励现为)()(21t bx t ax +，则系统零状态响应为： 212212212)(3)(3)}()({3)(f f f y y t bx t t ax t t bx t ax t t y +=+=+= 所以，满足零状态线性。 因此，系统为线性系统，但是时变系统。 二、时不变性质： 若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若)(}]0{),([t y t f T f =，则有 )(}]0{),([{d f d t t y t t f T -=- 系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。 直观上看，如果描述系统的微分(或差分)方程的系数与时间t (或n )无关， 则该系统为“时不变系统”，如果有关则为“时变系统”。 例如：dt t dx t x t y t y ) () ()()(0+=和)(3)()(20t x t t y t y +=均为时变系统。 本课程主要涉及“线性时不变系统”，该系统简称LTI 系统(Linear Time-Invariant System)。 微分特性： LTI 连续系统还具有微分特性和积分特性。 微分特性：如果输入为f(t)时，输出为y(t),则当输入为f(t)的微分时，输出也为y(t)的微分。即 ()(),()()f t y t f t y t ''→→ 积分特性：如果输入为f(t)时，输出为y(t),则当输入为f(t)的积分时，输出也为y(t)的积分。即 ()(),()()t t f t y t f t dt y t dt -∞ -∞ →→? ? 四、因果性 因果系统：系统响应是由系统激励所产生，其只与激励的过去和现在有关，而与激励的未来值无关，是物 理上可实现的系统。 非因果系统：响应与未来激励有关，在激励之前就已存在，物理上不可实现，如：r(n)=e(n)-e(n+1)。 判断方法：零状态响应不会出现在激励之前的系统，为因果系统，即对因果系统，当0)(,0= 有0)(,0= f 。这里)(t f 为系统的输入，)(t y f 为系统的零状态响应。 因果系统如：()3(1)y t f t =-，()()t f y t f d ττ -∞ =?；非因果系统如：()3(1)y t f t =+，()3(2)y t f t = 因果性判定： 对于连续时间系统： t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。 特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统； 对于离散时间系统： n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。 五、稳定性 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output-- BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励 |f(·)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(·)|≤My(M 为有限常数），则称该系统稳定。 在控制和通信系统的分析和设计过程中, 研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系统是不能有效工作的, 而只有在系统稳定的前提下, 讨论系统的准确性与快速性才有意义。对于一个线性时不变系统, 若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的, 则称此系统为稳定的, 亦称为BIBO 稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s 平面左半平面; 离散时间系统稳定的充分必要条件是单位脉冲响应h(n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z 平面单位圆内。 1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 图1-1 图1-2 解 信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号； （e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ； （4）为任意值）（00)sin(ωωn ； （5）2 21??? ??。 解 由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号； （3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ； （3）2)]8t (5sin [； （4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。 解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各 分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。 （1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π=。由于 5π 第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： )()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()() (2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=? 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则 ???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+??? 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 第一章信号与系统 本章学习要求 （1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点； （2）熟悉离散时间信号的基本表示方法； （3）掌握正弦序列周期性的定义和判断； （4）深刻理解能量信号、功率信号的定义和判断； （5）掌握信号的基本运算（变换）方法； （6）深刻理解冲激信号、阶跃信号的定义、特点及相互关系；理解冲激函数的广义函数定义；掌握冲激函数的基本性质；冲激函数的微积分； （7）熟悉系统的数学模型和描述方法 （8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断 本章重点 （1）离散时间信号的表示； （2）离散周期序列的判断、周期的计算； （3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断； （4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换； （5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系； （6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质； （7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法； （8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。 1.1 绪言 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？ 一、信号的概念 1. 消息(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 3. 信号(signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。 为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。 信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。 二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。 图1 从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。 通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。 三、信号与系统概念无处不在 信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下： ?工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报 ?人工智能、高效农业、交通监控 ?宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统 ?经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 ?电子出版、新闻传媒、影视制作 ?远程教育、远程医疗、远程会议 ?虚拟仪器、虚拟手术 如对于通讯： ?古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 ?近代通讯方式：电报、电话、无线通讯 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=（5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε=（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）) f= r t ) (sin (t （7）) t = (k f kε ( 2 ) （10）) f kε k = (k + - ( ( ] )1 1[ ) 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ 第一章 信号与系统 一、单项选择题 X1.1（北京航空航天大学2000年考研题）试确定下列信号的周期： （1）?? ? ? ?+ =34cos 3)(πt t x ； （A ）π2 （B ）π （C ）2π （D ）π 2 （2）??? ??+-??? ??+??? ??=62 cos 28sin 4cos 2)(ππ ππk k k k x （A ）8 （B ）16 （C ）2 （D ）4 X1.2（东南大学2000年考研题）下列信号中属于功率信号的是 。 （A ）)(cos t t ε （B ）)(t e t ε- （C ）)(t te t ε- （D ）t e - X1.3（北京航空航天大学2000年考研题）设f (t )=0，t <3，试确定下列信号为0的t 值： （1）f (1-t )+ f (2-t ) ； （A ）t >-2或 t >-1 （B ）t =1和t =2 （C ）t >-1 （D ）t >-2 （2）f (1-t ) f (2-t ) ； （A ）t >-2或 t >-1 （B ）t =1和t =2 （C ）t >-1 （D ）t >-2 （3）?? ? ??3t f ； （A ）t >3 （B ）t =0 （C ）t <9 （D ）t =3 X1.4（浙江大学2002年考研题）下列表达式中正确的是 。 （A ）)()2(t t δδ= （B ）)(21 )2(t t δδ= （C ）)(2)2(t t δδ= （D ）)2(2 1 )(2t t δδ= X1.5（哈尔滨工业大学2002年考研题）某连续时间系统的输入f (t )和输出y (t )满足 )1()()(--=t f t f t y ，则该系统为 。 （A ）因果、时变、非线性 （B ）非因果、时不变、非线性 （C ）非因果、时变、线性 （D ）因果、时不变、非线性 X1.6（东南大学2001年考研题）微分方程)10()(2)(3)(+=+'+''t f t y t y t y 所描述的 《信号与系统》自测题 第1章 信号与系统的概念 一、填空题 1、描述信号的基本方法有 、 。 2、()Sa t 信号又称为 。 3、 ()du t dt = 。 4、()t δ-= （用单位冲激函数表示）。 5、对于一个自变量无穷但能量有限的信号，其平均功率为 。 6、对于下图示波形可用单位阶跃函数表示为 。 7、2 (321)(1)t t t dt δ∞-∞++-=? 。 8、5 25(32)(1)t t t dt δ--+-=? 。 9、00()(2)t t u t t dt δ∞ -∞ --=? （已知00t >）。 10、0()(2)3 t d τ δττ--=? 。 11、0sin( )[(1)(1)]2 t t t dt π δδ- ∞ -++=? 。 12、0 sin( )(1)2 t t dt π δ∞ -=? 。 13、系统的数学描述方法有 和 。 14、满足 和 条件的系统称为线性系统。 15、若某系统是时不变的，则当()()f f t y t ???→系统 ，应有()d f t t -???→系统 。 16、系统对()f t 的响应为()y t ，若系统对0()f t t -的响应为0()y t t -，则该系统为 系统。 17、连续系统模拟中常用的理想运算器有 、 、 、 和 。 18、离散系统模拟中常用的理想运算器有 、 、 和 。 二、单项选择题 1、连续时间信号2()[5sin(8)]f t t =的周期是（ ）。 A 、π B 、4 π C 、 8 π D 、 2 π 2、连续时间信号()cos( )45 f t t π π =+ 的周期是（ ）。 A 、4 B 、 4 π C 、 8 π D 、8 3、已知信号()cos()y t t ω=，该信号的功率为（ ）。 A 、 12 B 、1 C 、+∞ D 、0 4、下列各式中正确的是（ ）。 A 、 (2)()t t δδ= B 、1(2)()2 t t δδ= C 、(2)2()t t δδ= D 、12(2)()2 t t δδ= 5、下列等式成立的是（ ）。 A 、()()at a t δδ= B 、()()t t δδ''-=- C 、2 ()(1)3t t t dt δ∞-∞ +-=? D 、()()t t t t δδ'= 6、积分0(2)()t d τδττ- -?等于（ ）。 A 、2()t δ- B 、2()u t - C 、(2)u t - D 、2(2)t δ- 7、(3)t e t dt δ∞ --∞+=?（ ）。 A 、1 B 、3t e C 、3e D 、3 e - 8、sin() ()t t dt t πδ∞-∞ =? （ ）。 A 、π B 、1 C 、()t δ D 、sin t 9、(sin )()6 t t t dt π δ∞-∞ '+- =?（ ）。 A 、 6 3 π + B 、 12 -- C 、12 + D 10、()()f t t dt δ∞-∞ =? （ ）。 A 、(0)f B 、()f t C 、()()f t t δ D 、(0)()f t δ 11、4 2 4(32)[()2(2)]t t t t dt δδ-+++-=?（ ）。(精品)信号与系统课后习题与解答第一章
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