高二数学竞赛综合练习(4)

高二数学竞赛综合练习题(4)

班级 学号 姓名

1. 设A ,B 为两个互不相同的集合,命题P :x A B ∈?, 命题q :x A ∈或x B ∈,则p 是q 的 条件

2. 函数()2sin 2

x

f x x =的最小正周期为__________。

高二数学竞赛综合练习(4)

3. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30,则1815a a a ++=________.

4. 直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC ?是正三角形,P ,E 分别为1BB ,1CC 上的动点(含端点),D 为BC 边上的中点,且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为__。

5.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点,AB =3,则C 的实轴长为 .

6.二维空间中,圆的一维测度(周长)l =2πr ,二维测度(面积)S =πr 2;三维空间中,球

的二维测度(表面积)S =4πr 2,三维测度(体积)V =4

3

πr 3.应用合情推理,若四维空间

中,“超球”的三维测度V =8πr 3,则其四维测度W = .

7.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆(x -1)2+(y -1)2=4,C 为圆心,点P 为圆上任意一点,则OP CP ?

的最大值为 .

8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤,则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为

9.设y x ,为实数,则

=+=+)(m ax 2

210452

2y x x

y x ____________。

10. 马路上有编号为1,2,3,…,2011的2011只路灯,为节约用电要求关闭

其中的300只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有__________种。(用组合数符号表示)

11.已知椭圆C :22

221x y a b

+=(a >b >0)的上顶点为A ,左,右焦点分别为F 1,F 2,且椭圆C 过点

P (43,b

3

),以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2. (1)求椭圆C 的方程;

高二数学竞赛综合练习(4)

(2)若动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,试问:在x 轴上是否存在两定点,使其到直线l 的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

12.已知数列{a n }中,a 2=a (a 为非零常数),其前n 项和S n 满足:S n =n (a n -a 1)

2

(n ∈N*).

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若a =2,且2

1114

m n a S -=,求m 、n 的值;

(3)是否存在实数a 、b ,使得对任意正整数p ,数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为

第3p -2项?若存在,分别求出a 与b 的取值范围;若不存在,请说明理由.

13.在锐角三角形ABC 中,3

π

=

∠A ,设在其内部同时满足PB PA ≤和PC PA ≤的

点P 的全体形成的区域G 的面积为三角形ABC 面积的3

1

。证明三角形ABC 为

等边三角形。

练习4参考答案

1. 充分非必要

2. 4π

3. 6

4. 90

5. 1

6.42r π

7.224+

8. 4

9. 4 10. 300

1710C

11.解:(1)因为椭圆过点P (43,b 3),所以169a 2+1

9

=1,解得a 2=2,

又以AP 为直径的圆恰好过右焦点F 2.所以AF 2⊥F 2P ,即-b c ?b

3

43-c =-1, b 2=c (4-3c ).

而b 2=a 2-c 2=2-c 2,所以c 2-2c +1=0,解得c 2=1, 故椭圆C 的方程是x 22

+y 2

=1.

(2)①当直线l 斜率存在时,设直线l 方程为y =kx +p ,代入椭圆方程得

(1+2k 2)x 2+4kpx +2p 2-2=0.

因为直线l 与椭圆C 有只有一个公共点,所以

△=16k 2p 2-4(1+2k 2)(2p 2-2)=8(1+2k 2―p 2)=0, 即 1+2k 2=p 2.

设在x 轴上存在两点(s ,0),(t ,0),使其到直线l 的距离之积为1,则

|ks +p |k 2+1 ? |kt +p |k 2+1

=|k 2st +kp (s +t )+p 2|

k 2+1=1,

即(st +1)k +p (s +t )=0(*),或(st +3)k 2+(s +t )kp +2=0 (**).

由(*)恒成立,得???st +1=0,s+t =0.

解得???s =1t =-1,或???s =-1

t =1,

而(**)不恒成立.

②当直线l 斜率不存在时,直线方程为x =±2时,

定点(-1,0)、F 2(1,0)到直线l 的距离之积d 1? d 2=(2-1)(2+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1.

12. (1)证明:由已知,得a 1=S 1=1?(a 1-a 1)2=0,∴S n =na n

2

则有S n +1=(n +1)a n +1

2

∴2(S n +1-S n )=(n +1)a n +1-na n ,即(n -1)a n +1=na n n ∈N*, ∴na n +2=(n +1)a n +1,

两式相减得,2a n +1=a n +2+a n n ∈N*, 即a n +1-a n +1=a n +1-a n n ∈N*,

A 故数列{a n }是等差数列.

又a 1=0,a 2=a ,∴a n =(n -1)a . (2)若a =2,则a n =2(n -1),∴S n =n (n -1).

由21114

m n a S -=,得n 2-n +11=(m -1)2,即4(m -1)2-(2n -1)2=43, ∴(2m +2n -3)(2m -2n -1)=43.

∵43是质数, 2m +2n -3>2m -2n -1, 2m +2n -3>0,

∴???2m -2n -1=12m +2n -3=43

,解得m =12,n =11. (III)由a n +b ≤p ,得a (n -1)+b ≤p .

若a <0,则n ≥p -b

a +1,不合题意,舍去;

若a >0,则n ≤p -b

a

+1.

∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p -2, ∴3p -2≤p -b

a

+1<3p -1,

即2a -b <(3a -1)p ≤3a -b ,对任意正整数p 都成立. ∴3a -1=0,解得a =1

3,

此时,23-b <0≤1-b ,解得2

3

故存在实数a 、b 满足条件, a 与b 的取值范围是a =13,2

3

13.做ABC ?的外接圆O ,做,O E A B E

⊥于,O F A C F ⊥于,O M B C ⊥于M 则G 为四边形AEOF 。又

1

,2223ABC AEO AOF AOB AOC AEOF AEOF S S S S S S S ?????==+=+四边形四边形

所以1

3

OBC ABC S S ??=。

1

120,302BOC OBC ∠=∠=? 由已知则,则OM=R(R 为ABC 外接圆半径)

3

,2

AD BC D AD AO OM R ⊥≥+=作于则

13322

ABC OBC R

S BC S ??≥?=,等号成立当且仅当A 、O 、M 共线,即ABC ?为等边三角

形。

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