贵州省遵义市航天高级中学2016届高三数学上学期第三次模拟考试试题 理

2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试

理科数学试题

一.选择题：（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，集合{|2,}B x x n n A ==∈，则A B = ( ) A ．{0} B ．{0,2,4} C ．{2,4} D ．{0,2}

2. 若复数2

21z i i

=+

+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )

A ．

2

B ．

C

D ．2

3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，

此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) A ．117 B ．118 C ．118．5 D ．119．5

4. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，则5a =（ ） A ．-16 B ．．32 D ．-64

5. 已知x ＝log 23－0.5π，z ＝0.9

－1.1

，则( )

A ．x ＜y ＜z

B ．z ＜y ＜x

C ．y ＜z ＜x

D ．y ＜x ＜z

6. 在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =

，则()PA PB PC ?+

的值为（ ）

A ．4-

B ．2-

C ．2

D ．4

7. 下列结论错误的是（ ）

A ．命题：“若0>>b a ，则2

2b a >”的逆命题是假命题；

B ．若函数)(x f 可导，则0)(0='x f 是0x 为函数极值点的必要不充分条件；

C ．向量,的夹角为钝角的充要条件是0

D ．命题:p “1,+≥∈?x e R x x ”的否定是“1,+<∈?x e R x x

”

8.执行右面的程序框图，输出的S 的值为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

483πD

数(f (+x 且在,

(f ,(x g ()x 与)．P 0,>2是双曲线的左右两个焦

12PF ?

的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为

212BC=1上一动点，现将?AED 沿AE 折起，ABC 当D 所形成轨迹的长度为( )

A . 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

x ，y 50≤≤3y ＋1的最大值为

)1)

(f , 1

)(x f x

)1-

，若240M N -=，则展16. 数列{a n }满足a 1=1意整有a m+n =a m +a n +mn ，则

= 第12题

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）

己知函数2

1

()cos sin ()2

f x x x x x R =++∈, (1) 当5[,

]1212x ππ

∈-

时，求函数()f x 的最小值和最大值；

(2) 设?ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a 、b 、c ，

且c =f(C) =2，若向量(1,)

m a =

与向量(2,)n b =

共线，求a ，b 的值．

18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为

35

． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； 并求出：有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；

（Ⅱ）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X ，求X 分布列与期望．下面的临界值表供参考：

(参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)

19. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ?沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .

（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；

（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为

A

． 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端

点与双曲线2

21

2y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于

,A B 两点。（1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ?

的取值范围。

21. （本小题满分12分）已知函数

)0(1)(2

>++=

a x b

ax x f

（Ⅰ）求证：)(x f 必有两个极值点α和β，一个是极大值点，—个是极小值点；

（Ⅱ）设)(x f 的极小值点为α，极大值点为β，1)(1

)(=-=βαf f ，，求a 、b 的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设

)()(x

e f x g =，若对于任意实数x ，222

)(mx x g +≤

恒成立，

求实数m 的取值范围。

四、选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑） 22、（满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，

60B ∠=?，F 在AC 上，且AE AF =.

(1) 证明：B ,D ,H ,E 四点共圆； (2) 证明：CE 平分DEF ∠. 23．选修4-4：坐标系与参数方程

设圆C 的极坐标方程为2ρ=，以极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆C 上的一点(m,s)M 作垂直于x 轴的直线

:l x m =，设l 与x 轴交于点N ，向量OQ OM ON =+

．

（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点(1,0)R ，求RQ

的最小值．

24．选修4-5：不等式选讲

已知()|2|f x x =-． （Ⅰ）解不等式()30xf x +>；

（Ⅱ）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围

三模理科数学答案

一．选择题

13. 10 14. 421π

+ 15.150 16.

三．解答题 17. 解：1cos21

()222x f x x -=

++

12cos 212x x =-+sin(2)16x π=-+ ∵512

12x π

π-

≤≤

，∴22363

x πππ

-≤-≤， ∴sin(2)126

x π

-

≤-≤，从而1sin(2)126x π≤-+≤ 则)(x f 的最小值是12

-，最大值是2 （2）()sin(2)126

f C C π

=-

+=，则π

sin(2C -)=16，

∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<， …8分 ∴262C ππ-=，解得3

C π

=

∵向量(1,)a =m 与向量(2,)b =n 共线，∴20b a -=，即2b a = ① 由余弦定理得，2

2

2

π

c =a +b -2abcos

3

，即22a +b -ab =3 ② 由①②解得a =1,b =2.

≈8.333＞

=

=

=0×+1×+2×=

19. 解：（Ⅰ）证明：连接BM，则，所以AM BM

⊥

又因为面ADM⊥平面ABCM，

面ADM面ABCM=AM

所以，BM ADM BM AD

⊥

?⊥

面

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz

-

由（I）可知，平面ADM的法向量(0,1,0)

m=

设平面ABCM的法向量(,,)

n x y z

=

，

所以，(0,0,0)

A B D M

(((1,(1 DB DE DB E

λλλ==?--

((1,(1

MA MEλλ

==--

(0,1,2)

n MA

n

n ME

λλ

?

?=?

?=--

?

?=??

二面角D AM E --

得，1

2

λ=

，即：E 为DB 的中点。 20. 1）由题意知

2222

22

11,24c c a b e e a a a -==∴===， 224

3a b =

。又双曲线的焦点坐标为(0,b =，22

4,3a b ∴==，

∴椭圆的方程为22

143x y +=。

（2）若直线l 的倾斜角为0

，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -?=-

，

当直线l 的倾斜角不为0

时，直线l 可设为4x my =+，

22

22

4(34)243603412x my m y my x y =+??+++=?+=?，由 2220(24)4(34)3604m m m ?>?-?+?>?> 设

1122(4,),(4,)A my y B my y ++，

1212

222436

,3434m y y y y m m +=-

=++，

21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ?=+++=+++

2116434m =-+，2

134,(4,)4m OA OB >∴?∈- ，综上所述：范围为13[4,)4-

21．

（Ⅰ）

()()

()

()

22'

2

2

2

2122()11a x x ax b ax bx a

f x x x +-++-=

=-

++

令

'2()020f x ax bx a =?+-=224()0b a ?=+> '()0f x ∴=有两实根不妨记为,αβ

所以，()f x 有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点

（Ⅱ）2

20ax bx a +-=，由韦达定理得

2b a αβ+=-

()()()()()2

222

110

200110

f a b a b f a b ααααβαβαβαββββ=-??+++=???-+++=?+-=??=--+=???

00,1,1b αβαβ∴+=?==-=，所以2a =

(Ⅲ)因为22()0

1x

x e g x e =>+，所以0m ≥

又因为当0x =时，不等式恒成立且()2()2

x x h x e e mx -=+--为偶函数

不妨设0x >

()2()2x x h x e e mx -=+--()'()2x x h x e e mx

-=--，

()''()2x x h x e e m

-=+-

当1m ≤时，

()22x

x e

e m

-+≥≥，''()0h x ≥，所以'

()h x 在

()0,+∞上单调递增，''()(0)0

h x h >=

所以

()h x 在()0,+∞上单调递增， ()(0)0h x h >=，所以当1m ≤时成立………10分

当1m >时''

()0h x =得0ln(ln(x m x m ==+令

当

()

x 0∈0，x 时''()0h x ≤所以'()h x 在()00，x 上单调递减，

''

()(0)0h x h <=

所以 ()h x 在()00，x 上单调递减，()(0)0h x h <=，与条件矛盾，同理0x <时亦如此

综上01m ≤≤

22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.

证明:(1)在△ABC 中，因为∠B＝60°,

所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE 是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.

于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD ＝180°,所以B,D,H,E 四点共圆. (2)连结BH,则BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD, 可得∠CEF＝30°.所以CE 平分∠DEF.

23、解：（1）由已知得N 是坐标（m,0）设Q (,)x y

22x x m m OQ OM ON y s s y

?==??

=+????=??=?

点M 在圆P=2上 由P=2得22

4m s +=

∴2

244

x y += Q 是轨迹方程为

22

1164

x y +=………………………………………………5分 （Ⅱ）Q 点的参数方程为4cos 2sin x y θ

θ

=??=?

RQ ===

3

≥=

RQ

的最小值为3………………………………12分 24、解：（I ） 230x x -+>

20(2)30x x x -≤????-+>? 或20

(2)30

x x x ->??-+>?

解得 12x -<≤ 或 2x >

∴不等式解为 （－1，+∞）………………………………5分

（II ）()()f x m x f x x m <-?+<

2x x m -+< (33)x -<< 设()2g x x x =-+则

2230()2

022223

x x g x x x x --<≤??

=<≤??-<

在（－3，0]上()g x 单调递减 2()8g x ≤< 在（2，3）上()g x 单调递增 2()4g x ≤< ∴在（－3，3）上 2()8g x ≤<

故8m ≥时 不等式()f x m x <-在（－3，3）上恒成立………………10分