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线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

相信自己加油

（1）

3811411

---；（2）b a c a c b c

b a

（3）

111

c b a c b a ；（4）

y x x y x y y x y x +++.

解注意看过程解答（1）=---3

81141

2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?

)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4-

（2）

a c

b c

b a cc

c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---=

（3）

11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=

（4）

x x y x y y x y x

+++

yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n

2 4 … )2(n ；

（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2

)

1(-n n ：

3 2 1个 5 2，5

4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

（6）逆序数为)1(-n n

3 2 1个 5 2，5

4 2个 ……………… …

)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n

)1(-n 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个

3.写出四阶行列式中含有因子

2311a a 的项.

解由定义知，四阶行列式的一般项为

43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p

已固定，

4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为

10100=+++或22000=+++

∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.

4.计算下列各行列式：

多练习方能成大财

（1）??

???????

???711

00251020214214；（2）?????

???

???-26

0523********

12；（3）????

??????---ef cf bf

de cd bd ae ac ab ；（4）??

???

????

???---d c b

100

0011001 解

(1)

7110025102021421434327c c c c --0

1001423102

02110214---

=34)1(14

3102211014+-?---

2211014

--3

1132c c c c ++14

1720

1099-=0

(2)

5232112131412-24c c -2

6050321221

304

12-

24r r -0412

03212213

0412

- 14r r -0

000

032122130412-=0

(3)

de cd bd ae ac ab

---=e

e c b e c b

adf ---

111111

---adfbce

=abcdef 4

(4)

c b a 100110011001---21ar r +

d c

b a ab 1001

10011

010

---+

1)(1(+--d

a a

b 10

101--+

3dc c +0

10111-+-+cd c ad a ab

1)(1(+--cd

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

5.证明:

(1)111

2222b b a a b ab a +=3)(b a -;

(2)

ay by ax bx

az by ax bx

az bz ay bx

az bz ay by ax +++++++++=y

z x z y

z y x

b a )(33+;

(3)

0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

22222222

=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;

(4)4

44422221111d c b a d c b a d c b a

))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1

100000100

001a x a a a a x x x n n n

+----- n n n n a x a x a x ++++=--111 .

证明

(1)

22222221

312a b a b a a b a ab a c c c c ------=

左边

b a b a

b a ab 22)1(2

221

3-----=+ 2

)((a

b a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz

ay by ax z by ax bx az y bx

az bz ay x a ++++++分开

按第一列

左边

bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++

++++++002

y by ax z

x bx

az y z bz ay x a 分别再分bz

ay y

x by

ax x z

az z y b +++

x y x z

x z y b y x z

x z y z y x a 33+分别再分

右边=-+=233)1(y

z x z y

y x b y

x z y

z y x a

(3) 2

2222

222222

)3()2()12()3()2()12()3()2()

12()3()2()12(++++++++++++++++=

d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边

9644129644129

4129644122

222

141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c

64496449

4964422

++++++++d d d

d c c c c

b b b b a a a a 分成二项按第二列9

6441964419

41964412

22+++++++++

d d d c c c b b b a a a

4949

49494642

24232423d

d c c

b b a a

c c c c c c c c ----第二项

第一项

06416416416412

22=+

d d

d c c c

b b b a a a

(4) 444444422222220001a d a c a b a a d a c a b a a

d a c a b a ---------=左边

)

()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)

()()(111

))()((222a d d a c c a b b a

d a

c a

b a d a

c a b

++++++---

=?---))()((a d a c a b

)()()()()(0

0122222a b b a d d a b b a c c a b b b

d b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b

)

()()()(1

222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++

=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-

(5) 用数学归纳法证明

.,1

,22121

22命题成立时当a x a x a x a x

D n ++=+-=

假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即

,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D :1列展开按第则n D

110010

001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1

所以，对于n 阶行列式命题成立.

6.设

n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依

副对角线翻转，依次得

n a a a a D 11111

=， 1

1112

n nn

n a a a a D = ，11

113

a a a a D n n

=，

证明D D D D D n n =-==-32

)1(21

,)1(.

证明 )det(ij a D =

nn n n

n n

n a a a a a a a a a a D 2211

1111111

--==∴

=--=--n

nn n n

n n n a a a a a a a a 3311

22111121)1()1( nn n n

n n a a a a

111121)1()1()1(---=--

D D n n n n 2

)1()

1()2(21)1()

1(--+-+++-=-=

同理可证nn

n n n a a a a D 11

112

)1(2

)

1(--=D D n n T n n 2

)1(2

)1()

1()1(---=-=

D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22)

1(3

)1()

1()1()1(

7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：

(1)a

D n

=,其中对角线上元素都是

a ，未写出的元素都是0；

(2)x

a x a a a x

D n

;

(3) 1

11)()1()()1(1111

n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n

n ------=---+;

提示：利用范德蒙德行列式的结果．

(4)

n d c d c b a b a D

112=;

(5)

i a a D ij ij n -==其中),det(;

(6)n

n a a a D +++=

111

1 ,021≠n a a a 其中.

解

(1)

a a a a D n 0

000000000

000

1000

按最后一行展开

)

1()1(10

0000

000010000)1(-?-+-n n n a

a a

)

1)(1(2)1(--?-+n n n a a

(再按第一行展开)

n n n n

n a a a

+-?-=--+)

2)(2(1)1()1(

2--=n n a a )1(22-=-a a n

(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得

a x x a a x x

a a x x a a a a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得

x a x a x a a a a

n x D n ----+=00

0000

000

)1( )

(])1([1

a x a n x n --+=-

(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n

行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2

)

1(1)1(+=++-+n n n n 次行

交换，得

n n

n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )()1()()1(11

)

1(1112

)1(1-------=---++

此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++--+--=1

)1(1)]1()1[()

1(j i n n n n j a i a D

∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?

-?-=---=1

)1(2

)1(1

)1()][()

1()

1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i

∏≥>≥+-=

1)(j i n j i

(4)

n d c d c b a b a D 0

112

n n n n n n

d d c d c b a b a a 000000

111

----

展开

按第一行

1(11

1111

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+-+

2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开

由此得递推公式：

222)(--=n n n n n n D c b d a D

即 ∏=-=n

i i i i i n

D c b d a D 222)(

而 11111

12c b d a d c b a D -==

得 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)(

(5)

i a ij -=

4321401233101222101

13210)det( --------=

=n n n n n n n n a D ij n

,322

1r r r r --0

432111111

111111

1111

11111

--------------n n n n ,,141

312c c c c c c +++

524232102221002210002100001---------------n n n n n

212)1()1(----n n n

(6)n

n a a a D +++=

11111112

,,433

221c c c c c c ---

n n n a a a a a a a a a a +-------100001000100001

00010001000011433221

展开（由下往上）

按最后一列

))(1(121-+n n a a a a n

n n a a a a a a a a a --------0

0000000000

0000

000000

000

22433221

n n n a a a a a a a a ----+--00000000

0000000001133221 ++ n

n n a a a a a a a a -------00000000

0000

0001143

n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---

1)((121∑+==n i i

n a a a a

8.用克莱姆法则解下列方程组：

?????

??=+++-=----=+-+=+++;

01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

????

???

??=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323

2121x x x x x x x x x x x x x

解 (1)112

513241211111

----=

20735032

1111------=

145008130032101111---=142142

000541003

2101111-=---=

21051324

12211151------=

D 112105

13290501

115----= 1121023313090509151------=2331309

112109151------=

120230046

100011210915

1-----=

14200038100112109151----=142-=

5122412111

12-----=

D 8

1507312032

1151-------=

31390011230023101151-=284284

0001910023101

151-=----=

426110135232422115113-=----=D

1420

21321322

12151114=-----=

D 1

211-========∴

D x D D x D D x D D x

(2)5

1000651000

6510

0651

00065=D 展开按最后一行

10005100

65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019

D D ''''-'''=1146566551141965=?-?=

(

,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)

1001651000

6510

06500006

11=D 展开按第一列

510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=

010

51000

6500

06010

00152=D 展开

按第二列510

06510065

0006

1-6

510065*********-

3655

106510

65?-=1145108065-=--=

511006

50000

6010

00510

01653=D 展开

按第三列510

065000610005

500061*********+

100510

6565106500

61+=703114619=?+=

10006

01000

0510

06510

10654=D 展开

按第四列6

100051006510065500

06100051

0065

- 5

106510

6565--=395-=

1000

51000

6510

06511

00655=D 展开按最后一列D '+1

051006

510065

12122111=+= 665

212

;665

395

;665

703

;665

1145

;6651507

44321=

∴

x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ???

??=++=++=++0

200321

321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？

解 μλμμμλ

-==1

2111

D ，

齐次线性方程组有非零解，则03=D

即 0=-μλμ

得 10==λμ或

不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.

10.齐次线性方程组取何值时问,λ???

??=-++=+-+=+--0

)1(0)3(2042)1(321

321321x x x x x x x x x λλλ

有非零解？解

λλ----=

1132421D λ

λλλ--+--=

112431

)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ

齐次线性方程组有非零解，则0=D

得 32,0===λλλ或

不难验证，当

32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.

第二章矩阵及其运算

1．已知线性变换：

???

??++=++=++=,

323,53,223213

32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换．

解

由已知：?

???? ??????? ?

?=????? ??221321323513122y y y x x x

故 ????? ??????? ??=????? ??-3211

221323513122x x x y y y ?????

???????

?----=321423736

947y y y ???

??-+=-+=+--=3213

32123211423736947x

x x y x x x y x x x y

2．已知两个线性变换

???

??++=++-=+=,

54,232,

23213

212311y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．

解由已知

????? ???????

?-=????? ??221321514232102y y y x x x ????

??????? ??--?????

??-=321310102

013514232102z z z ????

? ???????

??----=321161109412316

z z z

所以有 ???

??+--=+-=++-=3213

32123

2111610941236z

z z x z z z x z z z x

3．设????? ??--=111111

111A , ,150421321

???

? ??--=B 求.23B A A AB T

及-

解

A A

B 23-???

?--?????

??--=150421

1111111

13????? ??---11111111

?????

??-=0926508503?????

?---11111

11112????? ??----=22942017222132

????? ??--????? ??--=15042132111111111

1B A T

????? ?

?-=092650850

4．计算下列乘积：

(1)????? ??????? ??-127075321

134; (2)()????? ??1233,2,1; (3)()2,1312-???

? ??; (4)?????

??---???? ??-20413121013

143110412; (5)???

? ??????? ??321332313232212

131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)

??????

? ??---??????? ??30003200121013

013000120010100121. 解

(1)????? ??????? ??-127075321

134????? ?

??+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?

?? ??=49635 (2)()???

? ??123321)10()132231(=?+?+?=

(3)()21312-?????

??????? ???-??-??-?=23)1(321)

1(122)1(2???

?? ?

?---=632142 (4)?

????

?? ??---???? ??-20413121013

143110412????

??---=6520876 (5)()???

?? ??????? ??321332313

232212*********

x x x a a a a a a a a a x x x ()3332231133

232221123

13212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=

????

???321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++= (6)

???????

??---??????? ?

?3000

200

013

3000120010100121??

?---=900034004210

2521

5．设???? ??=3121A , ???

??=2101B ，问：

(1)BA AB =吗?

(2)2

222)(B AB A B A ++=+吗?

(3)2

2))((B A B A B A -=-+吗?

解

(1)???? ??=3121A , ???? ??=2101B

则???? ??=6443AB ???

??=8321BA BA AB ≠∴

(2) ???? ?????? ??=+52225222)(2

B A ????

?=2914148 但=++2

22B AB A ???? ??+???? ??+???? ??43011288611483????

?=27151610 故2

222)(B AB A B A ++≠+

(3) =-+))((B A B A =???? ?????? ??10205222????

??9060

而 =-2

2B A =???? ??-???? ??430111483????

?7182

故

22))((B A B A B A -≠-+

6．举反列说明下列命题是错误的:

（１）若

02=A ,则0=A ; （２）若A A =2

,则0=A 或E A =;

（３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.

解 (1) 取???

? ??=0010A 02

=A ,但0≠A

(2) 取???? ??=0011A A A =2

,但0≠A 且E A ≠

(3) 取???? ??=0001A ???? ??-=1111X ???

??=1011Y

AY AX =且0≠A 但Y X ≠

7．设???

? ??=101λA ,求k

A A A ,,,32 . 解 ???

? ??=???? ?????? ??=12011011012

λλλA

???

? ??=???? ?????? ??==130110112012

3λ

λλA A A 利用数学归纳法证明: ???

? ??=101λk A k

当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时

???

??+=???? ?????? ??==1)1(01101101λλλk k A A A k

k 由数学归纳法原理知:???

?=101

k A k

8．设???

??=λλλ0010

01A ,求k A . 解首先观察

????? ??????? ?

?=λλλλλ

λ00

1001

010

A ????

??=22

020

12λλλλ

??=?=323232

300

33λλλλλλA A A

由此推测

??????

?-=---k

k k

k k k k

k k k k A λλλλλλ0

2)1(121

)2(≥k

用数学归纳法证明: 当2=k

时,显然成立.

假设k 时成立，则1+k 时，

????? ????????

??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1

1k k k k k k k k k k k k A A A

??????

? ??+++=+-+--+11

111

100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ

由数学归纳法原理知: ??????

??-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1

9．设

B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵.

证明已知：A A T

则 AB B B A B A B B AB B T T T T T

T T T ===)()(

从而 AB B T

也是对称矩阵.

10．设

B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是

BA AB =.

证明由已知：A A T = B B T

充分性：BA AB =?A B AB T

T =?)(AB AB T = 即AB 是对称矩阵.

必要性：AB AB T =)(?AB A B T

T =?AB BA =.

11．求下列矩阵的逆矩阵：

(1)???? ??5221； (2)????

?-θθθθcos sin sin cos ； (3)?

???

??---145243121;

(4)??

??4121031200210001; (5)??????

? ?

?25

00380000120025

; (6)?

????

?n a a a 002

1)0(21≠a a a n

解

(1)???

? ??=5221A 1=A

1),1(2),1(2,522122111=-?=-?==A A A A

???

? ??--=???? ??=*122522122111A A A A A *-=A A A 11

故 ???

??--=-12251

(2)01≠=A 故1

-A 存在

θθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A

从而 ???? ??-=-θθθθcos sin sin cos 1

A (3) 2=A , 故1

-A 存在

024312111==-=A A A 而 1613322212-==-=A A A

21432332313-==-=A A A

故 *-=A A A 11????

??-----=17162132

13012

(4)??????

? ??=4121031200210001A

24=A 0434232413121======A A A A A A

68122444332211====A A A A

12411032001)1(312-=-=A 124

101

202

1)1(413-=-=A

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案号位座注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚；线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。题号一二三四五总分业得分专评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。题封答1．设矩阵A为2 2矩阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是院不内【】学线封密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是【】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有【】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是【】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则【】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个【】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是【】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

北大版线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值：（1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ；解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数习题1参考答案

一．单项选择题 1. A 2. B 3．A 4． A 5. D 6. C 7．C 8．B 9..D 10．A 11．C 12．D 13．D 14．C 15．D 16．D 17．C 18．B 19．B 20．B 21．A 22．B 23．A 24．D 25．B 26． C 27．D 28．A 29．D 30．Ｂ 31．B 32．D 33．A 34．D 35．C 36． D 37．C 38．C 39．A 40．C 41．A 42． D 43．A 44．A 45． B 46．D 47．B 48．Ｂ 49．A 50．C 51．B 52．D 53．C 54．B 55．D 56．C 57．A 58．D 59．D 60．D 61．B 62．B 63．D 64．C 65．B 66．A 67．C 68．A 69．C 70．A 二．填空题 1．653010422-?? ? - ? ?--?? 2．0 3．0 4．125 5．4 6．9 7． ()()()y x z x z y --- 8．17 9．0 10．1 11． 1002011032?? ? ?- ? - ??? 12．()0,1,2T 13．3 14．2 15．0 16．3λ=- 17．-2 18．120220003?? ? ? ?-?? 19． 40 三、简答题

1．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(；所以3 x 系数是：—2。 2．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+.,0022 121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即2121 2αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。 3．按行列式的定义，展开式的每项都是不同行不同列元素的乘积，所以具有3 x 的项只有两项：3 443322115x a a a a -=；和3 2 1 43342211331x x x a a a a =--=)()(；所以3 x 系数是：—2。 4．显然2121 2αααα-+,都是方程组的解。所以只要讨论它们线性无关。任取两数21c c ,，使得02212211=-++)()(ααααc c 即 02221121=-++αα)()(c c c c ，因21αα,线性无关，所以 ?? ?=-=+. , 0022121c c c c ，而 ,031121≠-=-，所以021==c c 即21212αααα-+,线性无关，所以它们仍是这个方程组的基础解系。四．计算题

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数习题参考答案

第一章行列式 §1 行列式的概念 1．填空 (1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。 (2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。 (4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为。 2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。 3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶性如何？解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ，故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ，其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x y y x y x +++. 解（1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） 3811411 02 ---；（2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ；（4） y x y x x y x y y x y x +++. 解注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）?? ??????? ???711 00251020214214；（2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12；（3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

8线性代数练习题(带解题过程)

０线性代数试题一填空题 ◆1．设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β，如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！ ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

线性代数课后习题答案分析

2020线性代数试题(带解题过程)

线性代数试题一填空题 ◆1．设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ；【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到公式，E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3)1(- ◆2．设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==，切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：（1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关？线性相关？（答案：当1≠mk 时，无关；当1=mk 时，相关）（3）教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3．设非齐次线性方程b x A m =?4，2)(=A r ，321,,ηηη是它的三个解，且

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章行列式习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。综上所述，我们有)3(Q 是数域。（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。（反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。所以有0=a 或0=b 。如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数课后作业及参考问题详解

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…

线性代数课后习题答案

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

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