不定方程选讲

不定方程选讲

一、一次不定方程（组）

1．求不定方程x +y +z =2007正整数解的个数。 2．求不定方程2x +3y +5z =15的正整数解。 3．解不定方程11x +15y =7。 4．解不定方程50x +45y +36z =10。

5．解不定方程组???5x +7y+2z ＝24，

3x －y －4z ＝4．

6．解不定方程6x +15y +21z +9w =30。

7．求有多少个正整数对(m ,n )，使得7m +3n =102004，且m ︱n 。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8．求满足方程2x 2+5y 2=11(xy －11)的正整数数组(x ，y )。 9．解不定方程14x 2－24xy +21y 2+4x －12y －18=0。 10．解不定方程3x 2+5y 2=345。

11．解不定方程x 2－5xy +6y 2－3x +5y －11=0。 12．求方程xy －2x +y =4的整数解。

13求能使等式3m + 5

n =1成立的所有正整数m ，n 。

14．求方程2xy －2x 2+3x －5y +11=0的整数解。 15．求方程3xy +y 2－6x －2y =2的整数解。 16．求方程x 2+y = x 2y －1000的正整数解。 17．求所有的整数对(x ，y )，使得x 3 = y 3+2y 2 +1。 18．求方程x 2+y 2= z 2中0＜z ＜10的所有互质的解。 三、证明不定方程无解

19．求证方程x 2+y 2= 2007没有整数解。

20．试证：不定方程x 2－3y n =－1 (n 是正整数)没有正整数解。 21．求证方程x 2－3y 2=17没有整数解。

22．求证方程x 2－2xy 2+5z +3=0没有整数解。 23．证明方程x 14+x 24+x 34+……+x 144=2015无整数解。 24．求证方程x 2+y 2=1992没有整数解。 25．证明方程x 2+y 2－19xy －19=0无正整数解。 四、其他不定方程的解

26．求下面方程组的正整数解：???6x －y －z ＝18，

x 2+y 2+z 2＝1987．

27求使(a 3+b )(a+b 3)= (a+b )4成立的所有整数对(a,b )。(04年澳大利亚数学奥林匹克) 28．解不定方程xyz +xy +yz +zx +x +y +z =2008。 29．解不定方程5x 2+2y 2=98。

30．求不定方程4xyz =5(xy +yz +zx )的正整数解。 31．解不定方程y 2+y =x 4+x 3+x 2+x 。

32．求方程 2x ·3y －5z ·7w = 1 的所有非负整数解(x ，y ，z ，w )。(05年中国数学奥林匹克) 练习：

1．不定方程7x －15y =31的解为 。

2．不定方程组??

?=+-=++.

452,1032z y x z y x 的解为 。 3．不定方程5x －14y =11的正整数解为 。 4．不定方程4x 2－4xy －3y 2=21的正整数解为 。 5．方程x 2－dy 2=1，d =－1时的非负整数解为 。 6．不定方程x 2－18xy +35=0的正整数解为 。

7．取1分、2分、5分的纸币共10张，付给1角8分钱，问有几种不同的取法？ 8．求x 2+y 2= z 2中0

9．求不定方程组???x +y +z ＝0，x 3+y 3+z 3＝－18

的整数解。

10．求不定方程5x －3y =2的正整数解。

11．证明：不定方程x 2+y 2+z 2+3(x +y +z )+5=0没有有理数解。 12．求不定方程1

2

(x +y )(y +z ) (z +x )+(x +y +z )3=1－xyz 的所有整数解。

练习答案

1．???+-=+=.731,1563t y t x 2．??

???+=+=--=.

23,3,

85t z t y t x (t 为整数)。3．)0(.51,145≥???+=+=t t t y t x 为整数，且。 4．由4x 2

－4xy －3y 2

=21得：(2x +y )(2x －3y )=21，故解为：???==,5,8y x ?

?

?==.1,

3y x 5．x =0，y =1和x =1，y =0。

6．由x 2－18xy +35=0得：18y =35

x +x ，x 是35的约数，得?

??==?

??==.

2,35,2,1y x y x 。 7．解：设1分、2分、5分的纸币分别有x 张，y 张，z 张，得：??

?=++=++.

1852,

10z y x z y x

消去z 得：4x +3y =32。因为x ，y ，z 是非负整数，所以不同的取法有：??

???===?????===?????===.0,8,2;1,4,5;2,0,8z y x z y x z y x 8．解： a 2+b 2＜60，a ＞b ＞0，得a ≤7。又因为a ，b 一奇一偶，求出a ，b 的值即得所有解。所有互质的解列表如下：

9．解：由原方程组中x +y +z =0得z =－(x +y )，代入x 3+y 3+z 3=－18得:xy (x +y )=6，故xyz =

－6，x 、y 、z 都是6的约数，并且只有一个是负数，从而得其整数解为：x =－3，y =2，z =1。

10．解：显然x =1，y =1是原方程的解，若x ≠1，则y ≠1。

因≡x

51(m od4)，)4(mod )1(3y y -≡，1－)4(mod 2)1(≡-y

，故y =2y 1+1是奇数(y 1∈N )

因)9(mod 03≡y

，故)9(mod 25≡x

。因)9(mod 25),9(mod 15),9(mod 155

6

3

≡≡-≡，

故)9(mod 255556≡≡+q ，正整数x 为6q+5形式的整数。 因为)7(mod 1)2(566≡-≡，所以)7(mod 3)2(5555≡-≡≡x ， 而)7(mod 356323

3111

2??≡?≡≡+y y y ，故对任意不为1的正整数x ，y ，

y

x 35-2(m od7)。此时原方程无解。综上，原方程只有一组正整数解：（1，1）。

11．解：将方程两边乘以4配方知：原方程等价于7)32()32()32(222=+++++z y x 。 上述方程有有理数解等价于不定方程:2

2

2

2

7m c b a =++有整数解(a ，b ，c ，m )，其中m >0. 若方程有整数解(a ，b ，c ，m )，m >0，设m 是所有这样的解中最小的正整数。

如果m 是偶数，则)4(mod 0222≡++c b a ，注意到，完全平方数≡0或1(m od4)，所以，

a ，

b ，

c 都为偶数，设n m c c b b a a 2,2,2,2111====，则221212

17n c b a =++，这表明

),,,(111n c b a 也是方程的整数解，与m 的最小性矛盾。

如果m 是奇数，则由于奇数的平方≡1(m od8)，故)8(mod 72

2

2

≡++c b a ，这时，当然有

)4(mod 3222≡++c b a ，由于前面的讨论，可知a ，b ，c 都为奇数，这导致)8(mod 3222≡++c b a ，与)8(mod 7222≡++c b a 矛盾。

所以方程没有整数解（使m >0的），故原命题成立。

12．解：作代换，设x +y =u ，y +z =v ，z +x =w ，则方程变形为：

4uvw +(u +v +w )3=8－(u －v +w )(u +v －w )(－u +v +w )，即4(u 2v +v 2w +w 2u +uv 2+vw 2+wu 2)+8uvw =8，

即u 2v +v 2w +w 2u +uv 2+vw 2+wu 2+2uvw =2。故(u +v )(v +w )(w +u )=2.于是：（u +v ，v +w ，w +u ）=（1，1，2），（－1，－1，2），（－2，－1，1）及对称的情形，分别求解得：（u ，v ，w ）=（1，0，1），（1，－2，1），（－1，0，2），故（x ，y ，z ）=(1，0，0)，(2，－1，－1)。 故整数解为(x ，y ，z )=(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(2,-1,-1)，(-1,2,-1)，(-1,-1,2)共6组解。

小学六年级数学拔高之巧解简单的不定方程

第28讲巧解简单的不定方程 巧点睛——方法和技巧 所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。解不定方程的方法是： （1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。 （2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。 （3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。 （4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。 巧指导——例题精讲 A级冲刺名校·基础点睛 【例1】马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。 解设马小富在甲公司打工χ个月，在乙公司兼职y个月。这里χ＞，且χ和y都是不大于12的自然数。根据题意列方程： 470χ＋350y=7 620 化简得47χ＋35 y=762 由于35y的末位数字一定是5或0，因此47χ的末拉数字是7或

2，χ只能是1，11或6。 当χ=1或6时，y不是自然数，不符合题意；当χ=11时，y=7。所以，马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。 做一做1 有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？ 【例2】要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？ 解设38毫米、90毫米的铜管分别锯χ段、y段，共锯（χ＋y －1）次，损耗铜管（χ＋y－1）毫米。根据题意列方程：38χ＋90χ＋（χ＋y－1）=1 000 化简得39χ＋91y=1 001 方程两边除以13，得3χ＋7y= 77 Y= 7x3 77 。即y=11－ 7 3χ。 这里有一个隐蔽条件，就要使损耗最少，尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说χ尽可能小。由于χ、y都必须是自然数，可得χ=7，y=8。即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗量最小。

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩 变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注： 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。 如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

稍复杂的方程

“稍复杂的方程（二）”教学设计 教学内容：教科书第69页例2 教学目标：1、结合具体的情境使学生掌握根据两积之和的数量关系列方程，会把小括号内的式子看做一个整体求解的思路和方法。 2、使学生通过学习两积之和的数量关系，来理解两积之差、两商之差的数量关系，培养举一反三的能力。 3、让学生经历多样化的过程，利用迁移类推的方法解决问题的过程中体会数学和现实生活的密切联系。 教学重点；分析数量关系 教学难点：列方程和解方程 教具准备：课件 教学过程： 一、谈话导入 师：上星期许老师的学校举行了运动会，你觉得作为班主任我要为运动员和拉拉队同学准备些什么？（生自由发言） 二、探究新知 1、复习两积之和的应用题 师：为了给运动员加油助威，我们班级买了鼓掌板和拉拉球，出示题目： 为了给运动员加油助威，我们班级买了10个鼓掌板和20个拉拉球，已知每个鼓掌板4.2元，每个拉拉球2.5元，一共花了多少元？ 师：你能独立解决这个题目吗？（学生完成在练习本上） 反馈（实物投影） 师：说说你是怎么想的？（要求学生说书数量关系） 2、教学例2 师：运动员比赛很辛苦，所以许老师给他们买了些水果（出示图片） 师：从图片中你得到了什么信息？（苹果和梨各买了2千克，共花了10.4元，已知梨每千克

2.8元） 师：你能提出什么数学问题？（香蕉每千克多少元） 师：能独立解决这个问题吗？ 反馈：方法一：2.8×2=5.6元 10.4－5.6=4.8元 4.8÷2=2.4元 师：请学生说一说每一步所表示的意思。 师：这边两位同学都是用方程来解决的，今天这节课我们就重点研究“用方程解决问题”（板书）。 方法二：解：设苹果每千克x元。 2x＋2.8×2=10.4 2x＋5.6=4.8 2x＋5.6－5.6=13.2－5.6 2x=4.8 2x÷2=4.8÷2 x=2.4 师：你能说说2x表示什么意思吗？ 2.8×2又表示什么意思？相加呢？ 师：你用的是怎样的数量的关系？（梨的总价＋香蕉的总价=总钱数） 师：那这个方程该怎么解呢？（把2.8×2先算出来，把2x看作一个整体，转化成我们学过的类型来解） 方法三：解：设苹果每千克x元。 （2．8+ x）×2=10.4 师：你为什么要这么列方程？用的又是哪个数量关系呢？（两个水果的单价总和×数量=总价） 师：谁听明白他的想法？ 师：那这个方程和前面的方程有什么不同呢？（有小括号）

2018年国考数量-巧解不定方程问题

巧解不定方程问题 哈尔滨华图房曼 不定方程，顾名思义，一个方程中有多个未知数，无法通过正常的解方程来得出答案，也是省考国考考察的热点、重点。2017年的国家公务员考试副省级的64题，2017年山东省考的51题，都考察了不定方程的应用。 对于不定方程，我们有很多种方法来解决，包括用数字特性法、代入排除法等方法，其中代入排除法可以解决绝大多数不定方程问题，但是四个选项挨个代入比较耗费时间，相当于战争中的核武器，可以解决问题，但是代价比较大；对于一些不定方程题目，我们也可以首先考虑用数字特性来排除几个不靠谱的选项，再用代入法来做，可以大大缩短做题时间，相当于战争中的冲锋枪，可以轻快的解决问题，使用方便。下面列举两道真题来应用一下。 2017年的国家公务员考试副省级64题： 例1、某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？ A．3B．8C．10D．15 解析：设200毫升的最少有a箱，400毫升的有b箱，可以得到一个等式：20*14a=12*25b，为不定方程，求得是a，可以将四个选项从最小的选项挨个代入，求出b，根据题意，b为正整数，符合这个条件的选项即为答案，这是用代入排除法直接做，比较耗费时间。如果先把等式化简一下的话可以得到：14a=15b。可知a需要为15的倍数，直接选出D选项。 2017年山东省考51题： 例2、小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24.所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度？ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 解析：设出生的月份为a，出生的日期为b，得到等式：29a+24b=900，为不定方程。观察等式，900为3的倍数，24b同样为3的倍数，所以要求29a为3的倍数，即要求a为3的倍数，可以为3,6,9,12，分别代入，可以解出b，b需要为小于32的正整数，只有当a为12时，解出b=23，符合条件，12月属于第四季度，故选D选项。 对于不定方程，是公务员考试中的一座小高地近来来考察越来越多我们攻克它有数字特性法和代入排除法等武器在平时的练习和考试中要熟练运用各种方法，才能迅速的解得答案。

极坐标与参数方程知识点总结归纳

欢迎阅读第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 () () ? ? ? > ? =' > ? =' , , : μ μ λ λ ? y y x x 的作 用下,点()y x P,对应到点()y x P' ',,称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 2. (1) 如图(1) 单位,. 注:; (2) 设M OM , ()(∈ θ θ,0 ρ0,0≤ > 标()θ ρ, 3. (1) (2) 在一般情况下,由

, ??????? ?θρ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标()y x ,都是某个变数t 的函数()()???==t g y t f x ①, 并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条

曲线的参数方程,联系变数()y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数()y x ,中的一个与参数t 的关系,例如()t f x =,把它代入普通方程,求出另一个变数与 参数的关系()t g y =,那么()() ???==t g y t f x 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使() y x ,注：3设M (y x ,θ的 2， 4? ? ?==b y a x 2 2 22+b x a y ?的范围为[)π?2,0∈。 注：椭圆的参数方程中，参数?的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角α区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到π2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当2 0π α≤≤时，相应地也有2 0π ?≤ ≤，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

4.6稍复杂的方程(1)·2012数学青岛六三版五上-步步为营

第6课时稍复杂的方程(1) 不夯实基础，难建成高楼。 1. 解方程。 (1)5x＋2x＝56 (2)16＋2x＝48 (3)8×(5－x)＝28.8 (4)3x＋2x＋8＝38 看图列方程并解答。 （1） （2）

3. 列出方程，并求方程的解。 (1)一个数的3倍与5.4的和等于6.6，求这个数。 (2)一个数的5倍比9.8大4.7，这个数是多少？ 4. 一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？(用方程解。) 重点难点，一网打尽。 5. 解方程。 (1)6x－0.9＝4.5 (2)3.6x－x＝3.25 (3)2(x－3)＝5.8 (4)13.2x－9x＝26.46(写出检验过程。)

6. 李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用布2.4米，每件儿童衣服用布多少米？(用方程解。) 7. 为庆祝教师节，学校今年购回鲜花240盆，比去年的5倍少10盆，去年教师节购回鲜花多少盆？(用方程解。) 8. 有一根绳子长120米，用来做一些跳绳，每根跳绳长2.2米，做完跳绳后还剩32米，做了多少根跳绳？(用算术和方程两种方法解。) 算术解法： 方程解法： 举一反三，应用创新，方能一显身手！ 9. 同学们去春游，上午8点出发，每小时走5千米，到目的地后休息了2小时，按原路返回，每小时走3千米，到学校时已是下午2点，学校到目的地有多远？（列方程解。）

第6课时 1. (1)x＝8 (2)x＝16 (3)＝1.4 (4)x＝6 2.（1）3x+30=180 x=50 (2)3x+15=75 x=20 3. (1)3x＋5.4＝6.6 x＝0.4 (2)5x－9.8＝ 4.7 x＝2.9 4. 12米 5. (1)x＝0.9 (2)x＝1.25 (3)x＝5.9 (4)x＝ 6.3 6. 1.5米 7. 50盆 8. 40根 9. 7.5千米

六年级奥数考点：不定方程问题

考点：不定方程问题 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有： x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6 y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 二、精讲精练 【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。 先将原方程变形，y＝23－3x 4 。可列表试验求解： 所以方程3x+4y＝23的自然数解为 X=1 x=5

Y=5 y=2 练习1 1、（课后）求3x+2y＝25的自然数解。 2、求4x+5y＝37的自然数解。 3、求5x－3y＝16的最小自然数解。 【例题2】求下列方程组的正整数解。 5x+7y+3z＝25 3x－y－6z＝2 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。 5x+7y+3z＝25 ① 3x－y－6z＝2 ② 由①×2+②，得13x+13y＝52 X+y＝4 ③ 把③式变形，得y＝4－x。 因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x＝1时，y＝3 当x＝2时，y＝2 当x＝3时，y＝1 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。 x＝2，y＝2时，z也无正整数解。 x＝3时，y＝1时，z＝1.

数学参数方程知识点总结

数学参数方程知识点总结 参数方程和函数很相似，它们都是由一些在指定的集的数，称为参数或自变量，以决定因变量的结果。下面数学参数方程知识点总结是为大家整理的，在这里跟大家分享一下。 数学参数方程知识点总结 参数方程定义 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t) 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。 参数方程 圆的参数方程 x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数 椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为

长半轴长b为短半轴长θ为参数 双曲线的参数方程x=asecθ(正 割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为 参数 抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数 直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表 示直线经过(x,y)，且倾斜角为a,t为参数 参数方程的应用 一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数，简称参数。 圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ a 为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数 双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准 线的距离 t为参数

解稍复杂的复杂的方程

解稍复杂方程的教案 执教老师：胡秀荣 一、教学内容： 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级上册69页的内容 【本节课设计简析：解方程的内容先学习完了，本节课只是落实列方程解应用题，让学生进一步熟悉列方程解应用题的结构，掌握列方程解含两积之和数量关系的实际问题。】 二、教学目标： （一）知识目标： 1、通过联系熟悉的购买水果的生活情境，引导学生对生活中的问题进行探讨和研究，学会用方程的思维解决问题。 2、借助找关键句或关键词、画线段图或示意图等方法，引导学生正确找出题中的等量关系，列出方程。 3、感受列方程解题与日常生活的密切联系。 （二）能力目标： 1、通过小组合作学习活动，培养学生的合作意识和语言表达能力。 2、培养学生的观察、分析能力以及用方程思维解决问题的能力。 （三）情感目标： 1、使学生在讨论、交流的学习过程中获得积极的情感体验，探索意识、创新意识得到有效发展。 2、在分析应用题的过程中，培养学生勇于探索、自主学习的精神。感知数学与生活问题的密切联系，获得运用知识解决问题的成功体验。 三、教学重难点： 能正确找出题中的等量关系，列出方程解决问题。 四、教具准备：小研究（自学卷）、画图用的尺子 五、教学过程：

（一）激发兴趣，自然引入 1、课前互动，轻松谈话 师：今天，有那么多老师和我们班的同学一起上课，让我们用最热烈的掌声欢迎他们。（掌声）看到那么多的老师，你们心情怎样？ 生：兴奋、激动、紧张。 师：老师也一样很紧张。要不我提议：让我们用掌声为自己打打气、加加油，告诉自己，我是最棒的！（掌声）好，现在不紧张了。我们可以上课了吧！ 2、创设情境，导入新课 让学生回忆购买水果的生活情境，问：同学们有没有买过水果？在购买水果的过程中，会出现什么数学问题？（生答） 师：这不，家里来客人了，于是“妈妈买了2千克苹果和2千克梨子，已知梨子每千克2.8元，苹果每千克2.4元，妈妈一共要付出多少元？” （请同学们帮忙算一算，说出数量关系并列出算式解答） 生：我的列式是：2.4×2 + 2.8×2 = 10.4 师：能不能说说本题的数量关系？ 生补充：苹果的总价+ 梨子的总价= 总钱数 师：很棒。还有不同的方法吗？ 生：我的列式是：（2.4+2.8）×2 = 10.4 师：能补充说说数量关系吗？ 生：我找的数量关系是：（苹果的单价+ 梨子的单价）×2 = 总钱数，请问我说对了吗？ （其他同学均用掌声表示赞同） 师：，好！今天，我们就在这个基础上，研究用方程的方法来解决购买水果的实际问题。 （二）积极探索，合作交流

不定方程的求解方法汇总

不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

坐标系与参数方程_题型总结学生版 -文

坐标系与参数方程 题型一三类方程之间的互相转化 例1（15年陕西）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． （I ）写出的直角坐标方程； （II ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标． 例2（15年福建）在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为 sin 4q m π? ?-= ?? ? (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 例3(2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 例4(2014新课标II)（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ρθ=，0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标. 练习1（2013年高考新课标1）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为(为参 数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;

稍复杂的方程(1)

稍复杂的方程（1）第31节 学习过程：教学内容：教材P67～68例1、例2、例3及练习十五第1、2、7题。教学目标： 知识与技能：使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 过程与方法：利用等式的性质解简易方程。 情感、态度与价值观：关注由具体到一般的抽象概括过程，培养学生的代数思想。 教学重点：理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。 教学难点：理解形如a±x =b的方程原理，掌握正确的解方程格式及检验方法。教学方法：创设情境;观察、猜想、验证. 教学准备：多媒体。 教学过程 一、出示课题，揭示目标： 今天，我们这节课来一起学习稍复杂的方程。（板书课题）出示学习目标，学生齐读。 二、出示学习指导： 认真看书上的65页的内容。 思考： 1、题中的等量关系是什么呢？ 白皮块数与黑皮块数之间是一个什么样的关系呢？ 2、怎样根据关系式列方程呢？怎样解答？ 3.解复杂方程的基本步骤： 三、学生自学： 学生认真看书自学，独立完成66页1、2题。指名两名学生来黑板上做，发现错误的同学可以上来改正。 四、后教： 黑皮块数×2－4=20 黑皮块数×2－20=4 ①找出题中选题关系；②写出“解、设”； ③列方程、解方程；④检验； 五、课堂练习： ①母鸡有30只,比公鸡的2倍少6只。公鸡有几只？ ②甲数是17，比乙数的2倍多5。乙数是多少？ 六、课堂小结。师：这节课你学会了什么知识？有哪些收获？

引导总结：1．解方程时是根据等式的性质来解。2．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。3．求方程解的过程叫做解方程。 作业：教材第70～71页练习十五第1、2、7题。 板书设计： 解方程（1） 例1：例2：例3： x -3＝9 方程左边=x ＋3 3x ＝18 20 - x ＝9 x +3-3＝9-3 =6＋3 3x ÷3＝18÷3 20- x + x ＝9+x x ＝6 =9 x＝6 20＝9+x =方程右边 9+x ＝20 所以，x =6是方程的解 9+x -9＝20-9 x ＝ll 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程解的过程叫做解方程。

二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）

不定方程常用解题方法

整除法 【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部 分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。 【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考 虑用整除法结合选项选择答案。 奇偶法 【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为 奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。 【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选 项破解题目。 尾数法 【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小 客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。 【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。

参数方程题型归纳

高考数学解答题分类-----参数方程 1.（2014全国新课标1）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与 最小值. 2.（十模）已知在平面直角坐标系x0y 内，点P （x,y ）在曲线C:? ??=+=θθsin cos 1y x (θ为参数)上运动，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线L 的极坐标方程为 0)4 cos(=+πθρ. (1) 写出曲线C 和直线L 的普通方程； （2）若直线L 与曲线C 相交于A,B 两点，点M 在曲线C 上运动，求ABM ?面积的最大值。 3.（冲刺卷二）已知曲线C:???==θ θsin 2cos 3y x (θ为参数),在同一直角坐标系中,将曲线C 上的点按坐标变换??? ????='='y y x x 2131得到曲线C ' (1) 求曲线C '的普通方程。

（2）若点A 在曲线C '上，点B(3,0),当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程。 4.（2014全国新课标二）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈???? . （Ⅰ）求C 的参数方程； （Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到 的参数方程，确定D 的坐标. 5.(白卷)已知曲线C 1的极坐标方程为：θθρsin 4cos 2+=，曲线C 2的参数方程为：

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题

2015安徽公务员考试行测考点大全：数量关系-不定方程问题知识框架 数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。 公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。 核心点拨 1、题型简介 未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。 2、核心知识 形如，，的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究： a.不定方程是否有解？ b.不定方程有多少个解？ c.求不定方程的整数解或正整数解。 （1）二元一次不定方程 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1： 二元一次不定方程， A.若其中，则原方程无整数解； B.若，则原方程有整数解； C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。 如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。 定理2： 若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

方程的所有解（即通解）为（k为整数）。 （2）多元一次不定方程（组） 多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。 例： ②－①消去x得y+2z=11 ③ ③的通解为，k为整数。 所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。 （3）其他不定方程 3、核心知识使用详解 解不定方程问题常用的解法： （1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； （2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； （3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； （4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； （5）无穷递推法。 （6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。 夯实基础

二元一次不定方程及其解

２０１３年第·１期 太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期 总第１３８期 Ｊａｎ２０１３ ［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不 定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解； 特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解 韩孝明 （吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００） 不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。 一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。 中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。 求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。 由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情 况。例如， ３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。 当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为 （其中ｔ为任意整数） 当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因 为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。 现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过 观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。 对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理： 定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。 证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。 二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０， 使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。 因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论： 定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为 （ｔ是整数） 证明：先证明 是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。 因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０ ＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161··

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.

稍复杂的方程

稍复杂的方程 简单的实际问题。 2.培养学生抽象概括的水平，发展学生思维灵活性，进一步提升学生的分析水平。 3.学生感受数学与现实生活的联系，培养学生的数学使用意识与规范书写和自觉检验的习惯。 教学重点：掌握解形如ax±b=c方程的解法。 教学难点：准确找出数量间的相等关系，列出方程。 教学过程： 一、复习铺垫： 1、解方程。 X－2.5=10 0. 4X=12 3.2+X=40 2、根据下列句子说出其数量间相等的关系。 1）女生比男生人数的3倍少10人。 2）这个月比上个月水电费的2倍多200元。 二、情景导入： 1、同学们见过足球吧?(出示1个足球)那你们观察过足球上的花纹有什么特点呢? (出示例1)一起观察挂图，问：同学们能从图中获得什么信息？要求什么问题? 2、师：几位同学的观察水平都很强。老师还知道：那款黑白相间的足球是1970年墨西哥世界杯的比赛用球，此后的一系列世界杯用球都是在此基础上加以改进的。 三、探究新知： 1、小组合作探究解决问题的方法： 师：刚才有一位同学想知道黑色皮有多少块，用我们学过的知识怎样解决黑色皮有多少块呢？ 小组讨论，合作交流： （一部分学生用算术的方法解答，在学生讲解题思路时，老师能够用线路图表示；另一部分学生找到题中的等量关系，并依据等量关系式列出方程；还有另外的学生找到另外的等量关系式，列方程。） 师：第一小组的同学用我们前面学过的知识成功的解决了这个问题，在解决问题的过程中，能使用画线段图的方法，协助分析，很善于动脑。其他同学依据不同的数据关系列出较复杂的方程，怎样解答呢？今天我们就来学习“稍复杂的方程”。（板书课题） 2、小组合作探究稍复杂方程的解法：