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平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算

考点一平面向量的有关概念

1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立点 D ．一个圆

2. 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．②④

C ．③④

D ．②③④

3.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 ( )

A ．a 与λa 的方向相反

B ．a 与λ2a 的方向相同

C ．|－λa |≥|a |

D ．|－λa |≥|λ|·a 考点二平面向量的线性运算

1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )

A ．矩形

B ．菱形

C ．正方形

D ．平行四边形

2．已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，

BC →

＝________(用a ，b 表示)． 3．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是

( )A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝3a 2－b 2 D ．c ＝3b 2－a 2

4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13

CA →＋λCB →，则λ＝________.

5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD

的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13 D.23

6.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，

则( )

A.AD →＋BE →＋CF →＝0

B.BD →－CF →＋DF →＝0

C.AD →＋CE →－CF →＝0

D.BD →－BE →－FC →

＝0

7.如图，正方形ABCD 中，点E 是

DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于 ( )

A. 12AB →－13AD →

B. 14AB →＋12AD →

C. 13AB →＋12DA →

D. 12AB →－23AD → 8. 如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个

三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →

＝( )

A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b

9.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD

交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 ( )

A.14a ＋12b

B.23a ＋13b

C.12a ＋14b

D.13a ＋23b

10. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，

AB →＋AD →＝λAO →

，则λ＝________．

11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )

A.P A →＋PB →＝0

B.PC →＋P A →＝0

C.PB →＋PC →＝0

D.P A →＋PB →＋PC →＝0

12.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )

A ．2OA →－O

B → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23

OB → 13.．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )

A.AO →＝OD →

B.AO →＝2OD →

C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →

14．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，

AP →＝λPD →，则实数λ的值为________． 15．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，

则MN →

＝________(用a ，b 表示)．

16．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，

则m 等于 ( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

17.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与

CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.

18．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC

→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

19．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

20.. 在△ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →

＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b

21．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，

则△ABC 的形状为________．

22．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝

OA →

＋λ? ?????AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

考点三共线向量定理的应用

1．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋

BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上

C ．点P 在线段AB 的延长线上

D ．点P 不在直线AB 上

2．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →

＝a －2b ，若A ，B ，

D 三点共线，则实数p 的值为________．

3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是

( ) A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 4．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________．

5. 已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →

＝n i ＋j .若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 应该满足的条件是( )

A ．m ＋n ＝1

B ．m ＋n ＝－1

C ．mn ＝1

D ．mn ＝－1

6．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．

7. 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

8．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？

9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？

10. 已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，

那么a ＋b ＋c 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．0 考点四共线向量定理中三点共线的一条重要结论的应用

1．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．

(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；

(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.

2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则

λ＋μ的值为 ( ) A.12 B.13 C.14 D ．1

3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同

的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．

4. 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于

点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的

值为________．

5.如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，

设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.

平面向量的概念与线性运算知识点

平面向量的概念与线性运算知识点一.平面向量的有关概念１．向量：既有大小，又有方向的量．２．数量：只有大小，没有方向的量．３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．４．零向量：长度为0的向量．５．单位向量：长度等于1个单位的向量．６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上７．相等向量：长度相等且方向相同的向量．８．相反向量：长度相等且方向相反的向量二．向量的表示法１．字母表示法：如：a ，AB 等２．几何表示法：用一条有向线段表示向量３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ）三．向量的运算１．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．４．向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线．四．跟踪训练１．=++++（） A ． B ．0 C ． D ．２．给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是

向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算编制人：马兰主审人: 朱礼强一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算

3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．三、例题选讲【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立；对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的；

对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ，所以①正确；对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线，所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1）不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2）求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点（1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中：

41平面向量的概念及线性运算

6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算：加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理：向量b 与a(a ^ o )共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到］三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二平面向量共线定理的应用［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示（1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。二、向量的线性运算 1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算

2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化一、选择题 1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB → ＋PC → ＝0 D.P A → ＋PB → ＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC → ＋BA → ＝2BP → ?P 是AC 的中点，故P A → ＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB →，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析] CD → ＝AD → －AC → ，DB → ＝AB → －AD → . ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2 CD →＝AB →－AC → ，

∴CD →＝23AB →－2 3 AC → . 又CD →＝rAB →＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A. 4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，则|AM → |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] A [解析] 由|AB → ＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC → ＝0，所以AB →⊥AC → ，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM → |＝2. 5．设OA → ＝e 1，OB → ＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP PB |＝4，如图所示，则 OP → ＝( )

高中数学教案向量的概念与运算

向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点 1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。 2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主

要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。 3、线段的定比分点线或平移问题。 4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念 1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量. （3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。 2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。（二）向量的运算 1、向量的加法 2、向量的减法 3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使（ii）设则： 4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii） (3)坐标表示(i)设非零向量，则 (ii)设(4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例1．判断下列命题是否正确：（1）若的方向相同或相反；（2）若

(完整版)平面向量的线性运算测试题

平面向量的线性运算一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜二、填空题

平面向量的概念与线性运算

平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算

3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．选择题：给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|

平面向量的线性运算随堂练习(答案)

§平面向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义．经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点，求证：0EA FB DC ++=．当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则（） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是（） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。

第32讲平面向量的概念及线性运算

金题精讲题一：判断下列命题的真假：[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量，则四点D C B A ,,,共线； (2)若//,//,a b b c 则//a c ； (3)起点不同，但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量； (4)不相等的向量，则一定不平行； (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a ．题二：已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0→，那么（） A ．AO → = OD → B ．AO → = 2OD → C ．AO → = 3O D → D ．2AO →＝OD → 题三：已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →，则（） A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线题四：已知OA →＝a ，OB →＝b ，C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段C B 上距C 较近的一个三等分点，则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________．题五：设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋ d ，则四边形ABCD 为（） A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形

金题精讲题一：(1)假命题；(2) 假命题；(3)真命题；(4) 假命题；(5) 假命题．题二：A ．题三：B ．题四：OD → = 49a ＋13b ．题五：D ．

向量的概念与线性运算

§6.1 向量的概念与线性运算 ● 课前热身 1．下列命题正确的是（） A ．若=，则∥ B ．若a ∥b ∥c ，则∥c C =a =b D ．若b a ≠，则b a b a <>或 2．ABC ?中， AB 边上的高为CD ，若=，=，0=? 1= 2=，则= A ． b a 3131- B ．b a 3 2 32- C ． b a 5353- D ．b a 5 4 54- 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（） A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量 C ．R λ?∈，a b λ= D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，021=+b a λλ 4．在平行四边形 ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=，其中R ∈μλ,，则 =+μλ ． 5．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： ① 2=+； ②22+=； ③?=?；④)()(?=?．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）． ● 知识梳理 1.平面向量的有关概念（1）向量的定义: 既有大小．．又有方向．．的量叫做向量. （2）向量的表示方法几何表示：用有向线段表示. 字母表示：用字母 ,等表示；用有向线段的起点与终点字母，如：. 注意：解题时，向量中的箭头不可省．（3）向量的长度：向量的大小就是向量的长度（或称为模），记作||．向量模的计算方法：||a = 零向量、单位向量概念：零向量： =?= ；单位向量= e 为单位向量1=?e . （4）平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b . ①零向量与零向量相等； ②任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. （6）共线向量与平行向量关系 ①平行向量可以在同一直线上；②共线向量可以相互平行；③平行向量．．．．就是共线向量．．．．．． . 2.平面向量的线性运算（1）向量的加法 ①向量加法的三角形法则 ②向量加法的平行四边形法则 =+（两个．．向量“首尾．．．．．”．相接．．） A B C A B D E C F

平面向量定义及线性运算练习题

平面向量定义及线性运算练习题一．选择题 1、下列说法正确的是（） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：（1）向量AB u u u r 的长度与向量BA uu u r 的长度相等；（2）向量a r 与向量b r 平行，则a r 与b r 的方向相同或相反；（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB u u u r 和向量CD uuu r 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 5、若a r 为任一非零向量，b r 为模为1的向量，下列各式：①|a r |＞|b r | ②a r ∥b r ③|a r |＞0 ④|b r |＝±1，其中正确的是（） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③ 6、下列命中，正确的是（） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r

向量的概念、表示和线性运算

向量的概念、表示和线性运算 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 4.中线定理：在中，已知是中边的中线，则 5.重心定理：在中，是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）则

，； 6.三点共线的结论：存在实数,等于已知三点共线； 7..在中，则通过的内心；练习题 1．下列命题中，正确的是（） A. 若|a|=|b|，则a=b B. 若a=b, 则a与b是平行向量 C. 若|a|>|b|, 则a>b D. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量 2. 以下四个命题中不正确的是（） A. 若a为任意非零向量，则a//0 B. | a+b|=|a|+|b| C. a=b，则|a|=|b|，反之不成立 D. 任一非零向量的方向都是惟一的 3．下列四个命题： ①长度相等的向量是相等向量；②相等向量是共线向量； ③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④在△ABC中，AB BC AC ++≠0. 其中真命题的是() A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④ 4．已知m∈R, 下列说法正确的是（） A. 若m a =0，则必有m=0 B. 若m≠0,a≠0，则m a的方向与a同向 C. 若m≠0,则|m a|=m| a| D. 若m≠0,a≠0，则m a与a共线 5.已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 6.设（+）+（+）= a, b≠0,则在下列结论中，正确的有（） ①a∥b; ②a + b = a; ③a + b = b; ④｜a + b｜＜｜a｜+｜b｜ A．①②B．③④C．②④D．①③ 7. 已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC. 则 ①CA CB CA CB -=-; -=+;②AB AC BA BC -=-;③CA BA CB AB ④222 +=-+-. 其中正确命题的个数为（） CA CB AB AC BA CA A．1B．2C．3D．4 8. 已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，若点M是ABC +-为（） ?的重心,则MA MB MC A．0B．4ME C．4MD D．4MF

平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念及其线性运算预习学案主备人：毕永燕审核人：张滨远备课日期：2012-10-3 使用日期：自主学习

加法求两个向量和的运算(1)交换律： = + → → b a．(2)结合律： = + ? ? ? ? ?+→ → → c b a．减法求 → a与 → b的相反向量－ → b的和的运算叫做 → a与 → b的差三角形法则 → a－ → b＝ → a＋(－ → b)

3、向量求和的多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相接，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量. 4、向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数λ与向量→ a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 . 它的长度与方向规定如下： ①=→ a λ ； ②当0>λ时，→ a λ与→ a 的方向；当0<λ时，→ a λ与→ a 的方向；当0=λ时，=→ a λ . (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μ→a )＝；②(λ＋μ) →a ＝；③λ(→a ＋→ b )＝ . 5、平行向量基本定理 . 6、轴上向量的坐标及其运算（1）给定单位向量→ e ，能生成与它平行的所有向量的集合}|{R x e x ∈→ ．这里的单位向量→ e 叫做轴l 的，x 叫做→ a 在l 的坐标（或数量）．x 的绝对值等于→ a 的长，当→ a 与→ e 同方向时，x 是正数，当→ a 与→ e 反方向时，x 是负数．（2）轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．（3）轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标（二）基础自测 1．[2011·四川卷] 如图K25－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝( ) 图K25－1

高中平面向量的概念及其线性运算知识点+例题

辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算

加法求两个向量和的运算（1）交换律： a ＋ b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋ c ＝a ＋(b ＋c ). 减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1）|λa |＝|λ||a |；（2）当λ>0时， λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时， λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb [例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3 1 [巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2 1 21e e + [例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF BE [巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM )(3 1 b c - [巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2 1 =++ BC BD AB AG [例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +- 精典例题透析