函数中的应用问题
函数中的应用问题
一.概述
很多实际问题与函数部分的知识联系紧密在解决这类问题中，要力求将实际问题中的
数量关系抽象出来，建立相应的函数关系式，利用函数的有关知识，方法去解决，得到数
学结论后再回归到实际中去。
二.例题分析
例1.某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了
估测以后每个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x的关系。
模拟函数可以选用二次函数或函数y=a*b x+c(其中a、b、c是常数)。已知4月份该产品的
产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由。
解：设f(x)=px2+qx+r(p≠0)。由已知可得
解之得 p=-0.05， q=0.35， r=0.7。
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7。
∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3(万件)。
再设g(x)=a*b x+c，由已知可得
解之得 a=-0.8， b=0.5，c=1.4。
∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件)。
由于4月份产量为1.37万件，所以用函数y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好。
例2 某种商品在最近100天内的价格f(t)(单位：元)与时间t(天数)的函数关系为
f(t)=，(1≤t≤40，t∈N)销售量g(t) (单位：件)，(41≤t≤100，t∈N)
与时间t(天数)的函数关系为g(t)=-+36(1≤t≤100，t∈N)求这种商品的销售额的最
大值。
解：当1≤t≤40，t∈N时，日销售额
y1=(+21)(-+36)=-t2+2t+756
∵-=12[1，40]，
∴当t=12时，y1取得最大值-×122+2×12+756=768。
当41≤t≤100时，日销售额
y2=(-+51)(-+36)=t2-35t+1836。
∵-=105[41，100]。
∴当t=41时，y2取得最大值=×412-35×41+1836≈681.2＜768。
∴第12天日销售额最大，为768元。
例3 国家收购某种农产品的价格为每吨120元，其中征税标准为每100元征收8元(称
为税率是8个百分点)，计划可收购a万吨，为了减轻农民负担，次是税率降低2个百分点，
预计收购量可增加2x个百分点(Ⅰ)写出降低税率后税收y(万元)与x 的函数关系；(Ⅱ)要使
此项税收在税率调整后不低于原计划的78%，试确定x的范围。
解：由已知可得调整后的税率为(8-x)%。
调整税率后预计可收购农产品a(1+2x%)万吨，总价值为120a(1+2x%)万元。
那么y=120a(1+2x%)*(8-x%) (0＜x≤8)。
因原来税收为120a*8%万元。
所以120*a(1+2x%)*(8-x%)≥120a*8%*78%，
整理得 x2+42x-88≤0
∴(x-2)(x+4)≤0
∴0＜x≤2。
例4 某公司在长春，吉林各有库存的某种机器12台和6台，现销售给A市10台，B市8台，
已知从长春调运一台到A市，B市的运费分别为400元和800元；从吉林调运一台到A市，B市
的运费分别是300元和500元。(Ⅰ)设从吉林调往A市x台，求总运费y关于x的函数关系式；
(Ⅱ)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；(Ⅲ)求出总运费最低的调运方案
及最低的运费。
解(Ⅰ)：吉林调往A市x台，则调往B市6-x台，由长春调整往A 市10-x台，调往B市
12-(10-x)=x+2台。
∴y=300x+500(6-x)+400(10-x)+800(x+2)
=200x+8600(0≤x≤6，x∈z)
(Ⅱ) 由y≤9000，得200x+8600≤9000，
解得x≤2。
∴x=0，1，2，有三种调运方案。
(Ⅲ)当x=0时，总运费最低，值为8600元。
习题：
某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为缓解交通压力特修建了一条专用铁路，用一
列火车作为公共交通车。已知如果该列车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7
节车厢，则一日能来回10次，每日来回数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢
一次能载乘客110人，问这列火车每天来回多少次?每次应拖挂多少节车厢才能使每天运营
人数最多?并求出每天最多运营的人数。
[参考答案]
解：设每日来回y次，每次拖挂x节车厢。
∴设y=kx+b，则有，解得。
因每次因厢数量多时运营人数最多，所以设每日每车厢运营z人。则
z=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x
当x=6时，z max=72，此时y=12。
∴每次应挂6节车厢，最多运营6×12×110=7920人
函数在现实生活中应用
数学教学中的生活教育反思 ――函数在现实生活中的应用 钱学恒 一，不同函数在生活中的运用 1，一次函数在生活中的运用一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。 比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20 元/个，茶杯5 元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到 底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 设某顾客买茶杯x只，付款y元，（x>3且x € N），贝S 用第一种方法付款y1=4X20+（x-4） >5=5x+60; 用第二种方法付款y2=（20 X4+5x）刈0%=4.5x+72. 接着比较y1y2 的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-（4.5x+72）=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0 时，0.5x-12>0, 即x>24; 当d=0 时，x=24; 当d<0 时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24 只时，法（2）省钱；恰好购买24 只时，两种 方法价格相等；购买只数在4—23 之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！2，二次函数在生活中的运用 由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。 比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有 限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据： 已经有了一堵墙，材料总长为120米，粮仓必须是正方形或者长 方形，问如何建面积最大。
经济学常用词汇解释及翻译
1、绝对优势（Absolute advantage） 如果一个国家用一单位资源生产的某种产品比另一个国家多，那么，这个国家在这种产品的生产上与另一国相比就具有绝对优势。 2、逆向选择（Adverse choice） 在此状况下，保险公司发现它们的客户中有太大的一部分来自高风险群体。 3、选择成本（Alternative cost） 如果以最好的另一种方式使用的某种资源，它所能生产的价值就是选择成本，也可以称之为机会成本。4、需求的弧弹性（Arc elasticity of demand） 如果P1和Q1分别是价格和需求量的初始值，P2 和Q2 为第二组值，那么，弧弹性就等于 -（Q1-Q2）（P1＋P2）/（P1-P2）（Q1＋Q2） 5、非对称的信息（Asymmetric information） 在某些市场中，每个参与者拥有的信息并不相同。例如，在旧车市场上，有关旧车质量的信息，卖者通常要比潜在的买者知道得多。 6、平均成本（Average cost） 平均成本是总成本除以产量。也称为平均总成本。 7、平均固定成本( Average fixed cost） 平均固定成本是总固定成本除以产量。 8、平均产品（Average product） 平均产品是总产量除以投入品的数量。 9、平均可变成本（Average variable cost） 平均可变成本是总可变成本除以产量。 10、投资的β(Beta） β度量的是与投资相联的不可分散的风险。对于一种股票而言，它表示所有现行股票的收益发生变化时，一种股票的收益会如何敏感地变化。 11、债券收益(Bond yield） 债券收益是债券所获得的利率。 12、收支平衡图（Break－even chart） 收支平衡图表示一种产品所出售的总数量改变时总收益和总成本是如何变化的。收支平衡点是为避免损失而必须卖出的最小数量。 13、预算线(Budget line） 预算线表示消费者所能购买的商品X和商品Y的数量的全部组合。它的斜率等于商品X的价格除以商品Y 的价格再乘以一1。 14、捆绑销售（Bundling） 捆绑销售指这样一种市场营销手段，出售两种产品的厂商，要求购买其中一种产品的客户，也要购买另一种产品。 15、资本（Capital） 资本是指用于生产、销售及商品和服务分配的设备、厂房、存货、原材料和其他非人力生产资源。 16、资本收益（Capital gain） 资本收益是指人们卖出股票（或其他资产）时所获得的超过原来为它支付的那一部分。 17、资本主义（Capitalism） 资本主义是一种市场体系，它依赖价格体系去解决基本的经济问题：生产什么？如何生产？怎样分配？经济增长率应为多少？ 18、基数效用(Cardinal utility） 基数效用是指像个人的体重或身高那样在基数的意义上可以度量的效用（它意味着效用之间的差别，即边
反函数例题讲解
反函数例题讲解
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反函数例题讲解 例 1.下列函数中,没有反函数的是 （ ) （A) ｙ = ｘ2－1(ｘ<2 1 - ）?(Ｂ) y = ｘ3＋１（ｘ∈R ） ?（C) 1 -= x x y （ｘ∈R ，x ≠１） (Ｄ) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手,可试解以ｙ表示x 的式子;从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D). 因为若ｙ ＝ 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x ＝ －1． ∴ (D ）中函数没有反函数． 如果作出 ?? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像(如图）,依图更易判断它没有反函数． 例2.求函数 211x y --=（－1≤ｘ≤0）的反函数． 解:由 211x y --=,得：y x -=-112 . ∴ 1－x 2 ＝ (１-y )2， x 2 = １－(1－y )2 ＝ 2y －ｙ2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=. 又 当 －1≤x ≤0 时, ０≤1－x 2≤１, ∴ 0≤21x -≤1,0≤1－21x -≤1,
即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=(0≤x ≤１）. 由此可见,对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数,求出x = φ （ y )． ② 求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯,把自变量以x 表示，因变量为y 表示,改换ｘ = φ （ ｙ ）为y = φ ( x ). 例３.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x <-1）,那么 f -1 （２ )的值为＿_＿_______＿_＿_____. 分析:依据f -1 （2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ）, 再求f -1 (２ ）的值(略). 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( ｍ ） = 2.据此求f -１ (2 ）的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得:x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 ｘ =-2 . 又ｘ<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f -1 （2 ) = -2 ． 例 4.已知函数 241)(x x f +=(x ≤0）,那么 f （ x ）的反函数ｆ －1 ( ｘ ）的图像是 ( ) y （A y x 0 1 （D y x 1 y （B x －（C x －
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用 函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。在此举出一些例子并作适当分析。 当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。如： 1.一次函数的应用： 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。 2.二次函数的应用： 当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。 3.反比例函数的应用: 反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。 4.三角函数的应用： 实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。 在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
幂函数在生活中的应用(教学知识)
幂函数在生活中的应用 例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元） 解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。 已知本金是a元，一期后的本利和为； 二期后的本利和为； 三期后的本利和为； …… x期后的本利和为。 将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得： （计算器算出） 答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。 点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。 例2：设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系是，其中c, k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压强为0.90×105 Pa，求600 m 高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c ＝ 1.01×105，代入②，得： ，利用计算器得；1000k＝－0.115，所以k＝－1.15×10－4， 从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104
答：在600 m高空得大气压强约为9.42×104 Pa。 点评：本题主要考察求函数解析式，再由解析式求函数值，某些计算必须借助计算器才能完成。 例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1） （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？ 解析：（1） 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。 （2）由可得 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。6； 当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。 所以，两次地震的最大振幅之比是 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍。 点评：正确理解题意是本题的关键，对对数运算技巧的掌握是解决本题的基本保证。
1.6经济学中的常用函数.doc
§1.6 经济学中的常用函数 一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要. 消费者对某种商品的需求量除了与该商品的价格有直接关系外，还与消费者的习性和偏好、消费者的收入、其他可取代商品的价格甚至季节的影响有关.现在我们只考虑商品的价格因素，其他因素暂时取定值.这样，对商品的需求量就是该商品价格的函数，称为需求函数.用Q表示对商品的需求量，〃表示商品的价格，则需求函数为: Q = Q(P\ 鉴于实际情况，自变量因变量Q都取非负值. 一般地，需求量随价格上涨而减少，因此通常需求函数是价格的递减函数. 常见的需求函数有: 线性需求函数：Q = a-bp,其中。，〃均为非负常数；二次曲线需求函数：Q = a-bp-cp-,其中d, b , c 均为非负常数；指 数需求函数：Q = ae-bp , 其中a ,b均为非负常数. 幕函数：Q = kP~a，其中。＞0,氐＞0 需求函数Q = Q(P)的反函数，称为价格函数，记作： P = P(Q), 也反映商品的需求与价格的关系.
二、供给函数 供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者 愿意并且能够售出的商品. 供给量记为S,供应者愿意接受的价格为则供给量与价格之间的关系为： s = s（p）, 称为供给函数，卩称为供给价格，S与P均取非负值.由供给函数所作图形称为供给曲线. 一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替： 线性函数：Q = aP-b,,其中a ,b均为非负常数； 專函数：：Q = kP a中a>0,k>0; 指数函数：Q = ae bP,其中a ?均为非负常数. 需求函数与供给函数密切相关，把需求曲线和供给曲线画在 同一坐标系中，由于需求函数是递减函数，供给函数是递增函数， 它们的图形必相交于一点，这一点叫做均衡点，这一点所对应的 价格几就是供、需平衡的价格，也叫均衡价格；这一点所对应的 需求量或供给量就叫做均衡需求量或均衡供给量.当市场价格〃 高于均衡价格时，产生了“供大于求”的现象，从而使市场价 格下降；当市场价格P低于均衡价格时，这时会产生“供不应求”的现象，从而使市场价格上升；市场价格的调节就是这样实 现的. 应该指出，市场的均衡是暂时的，当条件发生变化时,
三角函数在实际中的应用
专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）
3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°， （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）
浅谈函数模型在生活中的应用
本科生毕业论文（设计） 题目： 浅谈函数模型在生活中的应用 院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学2009级2班 学 生 姓 名 雒 兴 指导教师（职称） 王彦海（副教授） 提 交 时 间 二〇一三 年 五 月 学 号 2009211336 分类号 242
安康学院学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名：日期： 安康学院学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院.本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院.学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版. 作者签名：日期：
浅谈函数模型在生活中的应用 雒兴 （安康学院数学与统计系，陕西安康，725000） 摘要函数模型是数学模型重要的组成部分之一。（Mathematical Model）这个名词早就为科学界、工程界，甚至经济学界所熟知，因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的。今天人类社会正处在由工业化向信息化社会的过渡的变革。以数字化为特征的信息社会有两个显著特点：随着计算机技术的飞速发展与广泛应用；数学的应用向一切领域渗透。随着计算机技术的飞速发展，科学计算的作用越来越引起人们的广发重视，它已经与科学理论和科学实验并列成为人们探索和研究自然界、人类社会的三大基本方法。为了适应这种社会的变革建立数学模型就应运而生并且成为了一门学科。数学建模时对现实世界的特定对象，为了特定的目的，根据特有的内在规律对其进行必要的抽象、归纳、假设和简化，运用适当的数学工具建立的一个数学结构。而在这门学科中函数是最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物的细胞分裂文图，测量问题等等。 关键词数学模型函数模型人口模型
第五节 经济学中常用函数
第五节 经济学中常用函数 教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、 收入函数、利润函数的概念. 教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念. 教学难点：经济现象的理解. 教学内容： 一．需求函数与价格函数 一种商品的需求量Q 与该种商品的价格p 密切相关，如果不考虑其它因素的影响，则商品的需求量Q 可看作价格p 的函数。称为需求函数，记作()Q f p =。 评注: （1）一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数()Q f p =是价格p 的减少函数。如图 （2）在企业管理和经济中常见的需求函数有 线性需求函数： Q a bp =-，其中0,0b a ≥≥均为常数； 二次需求函数： 2Q a bp cp =--，其中0,0,0a b c ≥≥≥均为常数； 指数需求函数： bp Q Ae -=，其中0,0A b ≥≥均为常数； 幂函数需求函数：Q AP α-=，其中0,0A α≥>均为常数。 二、供给函数 “供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量S 是价格p 的函数，记作()S S p =。 评注:（1）一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数()S S p =是 价格p 的单调增加函数。 （2）常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。 （3）如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状 态，这时的商品价格P 就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。Q 就是均衡数量。 例1 :已知某商品的供给函数是243S p =-，需求函数是4503 Q p =-，试求该商品处于市场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。 解: 令S Q =，解方程组2434503Q p Q p ?=-????=-?? 得均衡价格27P =，均衡数量14Q =。
反函数例题讲解
反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．
由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) （A （（B （C
EXCEL函数在工程量计算中的运用
EXCEL函数在工程量计算中的运用 自从2007年从事工程跟踪审计以来，每个项目都需要接触大量的工程量数据。在现场施工过程中施工方所提供的签证资料往往是手算的各种工程量计算式和结果，在跟踪审计过程中如果我们对某些计算式中的数字有争议需要进行修改的话，同时还要重复计算结果，对于小项目来说可能并不算什么，可是如果是大项目，仅用计算器来计算各式的结果都将是个庞大费时的工程。工程量计算是我们在现场审计及竣工结算审计工作中都要面对的一个问题，由于其工作量大、内容繁杂，也是大家感到十分棘手的工作之一。 目前工程量计算的方法很多，有用专业工程量计算软件计算的，有用套价软件自带的工程量计算程序计算的，有用图形算量软件计算的，也有采用的传统手工书写计算公式再用计算器计算结果的方法计算的。最后一种方法与前面几种方法相比，由于工作量大、容易出错、效率较低而逐渐被许多人弃用，但它也具有许多优点，比如：计算公式一目了然，容易理解；可以根据自己的想法随心所欲的安排计算顺序，条理清楚；全面性好，可以方便地查找到自己想要的计算式所在位置等等。 在科技发展日新月异的今天，电脑已成为人们工作中必不可少的工具之一。电脑中各式各样的软件代替我们完成了许多繁重的工作，极大提高了我们的工作效率。Excel是电脑中最常见的办公软件之一，其强大的功能和极高通用性以及方便易学等特点使之成为许多人最
喜欢使用的软件之一。Excel中包含许多函数，利用这些函数，让它与传统的工程量计算书相结合，则既可以保留传统工程量计算书的一些优点，也可以提高我们的工作效率。 工程量计算最基本的程序就是“输入公式，计算结果”。现在众多的工程量计算方式中，“输入公式”的方法虽各有所长，但并未根本性地改变工作量大、内容繁杂的问题，我在这里也不多谈了。对“计算结果”，利用电脑自动计算，不仅可以大大节约工作时间，准确率也可以达到100%，所以在这方面我们是大有可为的。 Excel最重要的应用就是利用公式进行计算。无论输入是纯粹的数字运算，还是引用其他单元格计算，只要在一个单元格中输入公式，就能得到结果。这个直接显示结果的设计对于绝大多数场合来说都是适用的，但在工程量计算上就不那么让人满意了。如果既要写出工程量的计算式，也要看到它的结果，于是这样相同的公式需要在Excel 表格里面重复填写两次，一次以文本格式在单元格内输入公式，一次是在数据格式的单元格中输入”=”加上公式让Excel计算出结果。但这样的过程很复杂，而且如果有一处需要修改，那边两个单元格内的数据都需要修改，而且不能直接关联。那么在审计过程中我们要如何运用这样一个快捷的程序来帮助我们解决工程量计算这一问题呢？通过查阅Excel书籍对相关函数的介绍及结合现场跟踪审计过程中遇到的一些问题，我自己也制作了一份便于工程量计算的Excel表格，就是利用“EV ALUATE”这个函数来帮助解决这个问题。 下面我通过一个实例，来说明一下Excel函数在工程量计算表方
Excel函数应用之工程函数模板
Excel函数应用之工程函数 ( 周国彬07月04日10:03) 编者语: Excel是办公室自动化中非常重要的一款软件, 很多巨型国际企业都是依靠Excel进行数据管理。它不但仅能够方便的处理表格和进行图形分析, 其更强大的功能体现在对数据的自动处理和 计算, 然而很多缺少理工科背景或是对Excel强大数据处理功能不了解的人却难以进一步深入。编者以为, 对Excel函数应用的不了解正是阻挡普通用户完全掌握Excel的拦路虎, 然而当前这一部份内容的教学文章却又很少见, 因此特别组织了这一个《Excel函数应用》系列, 希望能够对Excel进阶者有所帮助。《Excel函数应用》系列, 将每周更新, 逐步系统的介绍Excel各类函数及其应用, 敬请关注! Excel的工程函数与统计函数类似, 都是属于比较专业范畴的函数。因此, 在文中笔者也仅介绍几种比较常见的工程函数, 更多的请参考Excel帮助和专业的书籍。顾名思义, 工程工作表函数就是用于工程分析的函数。Excel中一共提供了近40个工程函数。工程工作表函数由"分析工具库"提供。如果您找不到此类函数的话, 可能需要安装"分析工具库"。
一、 "分析工具库"的安装 如图所示 图1 ( 1) 在"工具"菜单中, 单击"加载宏"命令。 ( 2) 如果"加载宏"对话框中没有"分析工具库", 请单击"浏览"按钮, 定位到"分析工具库"加载宏文件"Analys32.xll"所在的驱动器和文件夹( 一般位于 "Microsoft Office\Office\Library\Analysis"文件夹中) ; 如果没有找到该文件, 应运行"安装"程序。 ( 3) 选中"分析工具库"复选框。 二、 工程函数的分类 在Excel 帮助系统中将工程函数大致可分为三种类型, 即: ( 1) 对复数进行处理的函数 ( 2) 在不同的数字系统( 如十进制系统、 十六进制系统、 八进制 Excel 函数精彩回顾 ● Excel 函数应用之函 数简介 ● Excel 函数应用之数 学和三角函数 ● Excel 函数应用之逻 辑函数 ● Excel 函数应用之文本/日期/时间函数 ● Excel 函数应用之查 询与引用函数 ● Excel 函数应用之统 计函数
反函数专题复习(2013版)
反函数专题复习 知识点： 1、反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把 x 表示出来，得到x =?（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =?（y ），x 在A 中 都有唯一的值和它对应，那么，x =?（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =?（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1 （y ）. 在函数x =f －1 （y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）. 2、互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1 （x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称. 3、若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与 y =f （x ）一致. 4、若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）无反函数。 5、求反函数的步骤： （1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1 （y ）. （2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1 （x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 双基练习： 1、函数y =－ 11 +x （x ≠－1）的反函数是（ A ） A.y =－x 1－1（x ≠0） B.y =－x 1 +1（x ≠0） C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ） 2、函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（ A ） A.y =2x － 1－1（x ＞1） B.y =2x － 1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 3、函数f （x ）=－12+x （x ≥－ 2 1 ）的反函数（ D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1 ，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 4、函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f － 1（x ）=______________. 答案：－x -（x ≤－4）
三角函数在实际生活中的应用
三角函数在实际生活中的应用 目录 摘要：1 关键词：3 1引言3 1.1三角函数起源3 2三角函数的基础知识4 2.1下列是关于三角函数的诱导公式5 2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式7 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式7 3.三角函数与生活7 3.1火箭飞升问题7 3.2电缆铺设问题8 3.3救生员营救问题9 3.4足球射门问题10 3.5食品包装问题10 3.6营救区域规划问题11 3.7住宅问题12 3.8最值问题13 4 总结14 Abstract
Trigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems. Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要： 三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，
二次函数在实际生活中的应用.
二次函数在实际生活中的应用 【经典母题】 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？ 解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． －b 2a＝－ 2 080 2×（－80） ＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)． 答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元． 【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销
售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P 所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y 与x 之间的函数表达式：__y ＝20x ＋1_000__；自变量x 的取值范围为__30≤x ≤50__； (3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)图中点P 所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件； 第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)． (2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将点(30，400)，(35，300)代入，得?????400＝30k ＋b ，300＝35k ＋b ，解得?????k ＝－20， b ＝1 000， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－20x ＋1 000. 当y ＝0时，x ＝50， ∴自变量x 的取值范围为30≤x ≤50. (3)设第二个月的利润为W 元， 由已知得W ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x ＋1 000)＝－20x 2＋1 400x －20 000 ＝－20(x －35)2＋4 500， ∵－20＜0，∴当x ＝35时，W 取最大值4 500. 答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4 500元． 2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a 元，市场调查发现日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间存在图Z8－1
《西方经济学》中常用的符号汇总
《西方经济学》中常用的符号第一章 PPC－production possibility curve(生产可能性曲线) 第二章 D－demand（需求） S－supply（供给） Q d=f(P , P′, I , T , A , E…)（需求函数） Q s=f(P , P′,C…)（供给函数） P－price（价格） I－income（收入） T－tastes（偏好） P′－prices of related goods（相关产品的价格） A－advertisement（广告） E－expectations（预期） C－cost（成本） Q d－Quantity demanded（需求量） Q s－Quantity Supplied（供给量）
Ed =P P Q Q d d ?? E －elasticity （弹性） E d －price elasticity of demand （需求价格弹性） E m =Y Y Q Q d d ?? E m (其它书上常常用E I )－income elasticity of demand （需求收入弹性） E cx = △Q X Q X △Py Py E cx －cross price elasticity of demand （需求交叉弹性） Es = △Q S Q S △P P Es －price elasticity of supply （供给弹性） TR =P·Q TR －total revenue （总收益）
U －utility （效用） TU －total utility （总效用） MU x －marginal utility （边际效用） P x ·Q x ＋P y ·Q y =M 有的书上写成 P x ·X ＋P y ·Y y =M X Y MRS xy ??= MRS －marginal rate of substitution （边际替代率） PCC －price-consumption curve(价格消费曲线) 第五章 Q = f ( L ,L ,N , E) Q = f ( L·K) Q －代表产量（在第二章中代表需求数量或者供给数量） L －代表劳动 K －代表资本 MUm Py MUy Px MUx ==MUm Py MUy Px MUx ==
反函数基础练习含答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11
C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1) 7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 [ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ， f -1(b))
宏观经济学基本公式word版本
精品文档 字母定义： X:出口M:进口NX=X-M：净出口 C:消费I:投资G:政府购买性支出 To:全部税收收入，Tr：政府转移支付T政府净收入T=To-Tr 国内生产总值GDP：Y=C+I+G+NX 国内生产净值NDP；国民收入NI；个人收入PI；个人可支配收入DPI ，Yd=Y-T 一、国民收入的基本公式： 1、两部门（消费者，企业） Y=C+I （支出） Y=C+S （收入）（总需求=总供给）I=S 投资=储蓄恒等式 2、三部门（消费者，企业，政府） Y=C+I+G (支出) Y=C+S+T （收入）I=S+T-G 3、四部门（消费者，企业，政府，国外部门） Y=C+I+G+(X-M) Y=C+S+T+Kr Kr:本国居民对外国人的转移支付 二、产品市场 消费函数: c=α+βyα:自发消费，β:边际消费倾向(MPC), y是可支配收入，Yd=Y-T 储蓄函数：s=y-c=y-(α+βy)= -α+(1-β)y (1-β):边际储蓄倾向(MPS) 1、两部门的收入函数 y=c+i;c=α+βy; 联解得：y=(α+i)/(1-β) 投资乘数：总投资增加时，收入的增量是投资增量的k倍，k为投资乘数，k=1/(1-β) 2、三部门的收入函数 y=c+i+g; c=α+βYd=α+β(y-t);联解得：y=(α+i+g-βt)/(1-β) Yd=y-t 政府购买支出乘数：kg=1/(1-β) 税收乘数：kt=-β/(1-β) 政府转移支付乘数：ktr=β/(1-β) 3、四部门的收入函数进口函数m=mo+ry ;出口函数x=Xo-ry y=1/(1-β+r)*(α+i+g-βt+βtr+x-mo) 对外贸易乘数：k=1/(1-β+r) 三、货币市场 投资函数：i=e-dr e:自主投资，-dr,投资需求与利率有关，r,利率货币需求 两部门经济中： 1、货币需求 Y=(α+i)/(1-β)= (α+e-dr)/(1-β) r=(α+e)/d-(1-β)y/d IS曲线 2、货币供给 货币需求量L=(ky-hr)P P为价格指数m=ky-hr实际货币量 则有y=hr/k+m/k R=ky/h-m/h LM曲线 精品文档