苍白谢斯菲利亚
基本信息
苍白谢斯菲利亚（苍白シスフェリア）是同人音乐制作团体“少女病”在C77(第77届Comiket)上创作的「物语音乐（故事音乐）」系列专辑。
收录曲目：
01 瓦砾の终音（瓦砾的终音）
02 lunatic...
03 Celestial Blue
故事介绍
故事通过セクサリス（赛库萨利斯）的视点来讲述魔女与少年凄惨的爱情。
这个世界上，有五个不死的魔女。分别被不同的神挑选出，以人的姿态存在着。信仰神的人们既畏惧着也崇拜着这种力量。于苍白尽头被编织而成的，心地善良的少年与一位魔女的故事。
谢斯菲利亚成为魔女后，一时兴起收纳了一名偏执的少女信徒（西鲁埃拉）作为仆人。少女与寻找魔女的少年展开了死斗，苍白的悲剧正在上演。魔女用魔法救下本要被少女杀死的少年，然后消除了少年记忆，与仆人的少女静静地离开，只留下少年一人……瓦砾の终音（瓦砾的终音）
歌：「どうして选ばれたのか？」「为什么会被选中呢？」
そんな问いに意味などないと识っても（诸如此类问题即使认识到了也毫无意义）
心痛は消えることなく时计の针は廻る（心中的痛楚消散不去、钟表的指针无止境地转动）
セクサリス（赛库萨利斯）：
「この世界には、不死なる5人の魔女がいる。」「这个世界上、有五个不死的魔女。」
「それぞれが异なる神に见出され、人から成りし存在。」「分别被不同的神挑选出、以人的姿态存在著。」
「神を信仰する人々はその力に畏怖し、崇めた」「信仰神的人们既畏惧著也崇拜著这种力量」
「苍白の果てで纺がれる、」「于苍白尽头被编织而成的、」
「心优しい少年と一人の魔女の物语」「心地善良的少年与一位魔女的故事」
歌：褪めた日々は淀み怠惰に溺れる（褪色的日子停滞不前沉溺于怠惰中）
血涂られた月夜は秽れ无垢な冲动翳して（被血染红的月夜是污秽罩住纯洁的冲动）
変わらぬ忠诚誓いし下仆たる少女(Servant) シルエラ（不变的忠诚发誓成为仆人的少女シルエラ）
すべてを委ねた偏爱は永远に虚构を壊す（于永久中委以全部的偏爱把虚构破坏）
「どうして选ばれたのか？」「为什么会被选中呢？」
そんな问いに意味などないと识っても（诸如此类问题即使认识到了也毫无意义）
心痛は消えることなく残されたのはただ魔力だけ（心中的痛楚消散不去、残留下来的只有魔力而已）
远い过去の约束まだ人间だったあの日（遥远过去的约定还是作为人类存活的那一天）
未来を誓った夕暮れ(Abend)（对未来起誓的那个黄昏）
ah...幼い恋叶うことなくて―――― （ah...年幼时的恋情实现不了了）
シスフェリア（谢斯菲利亚）：
「あたしがまだ人だった顷、小さな恋をしていた。」「我还是人类的时候、曾拥有过小小的恋爱。
「でも、あたしはもう――――！」「但是、我已经――――！」
「手荒になってもいい。あいつをここから远ざけて」「即使用粗暴的方式也好。让那家伙远离这个地方」
シルエラ（西鲁埃拉）：
「お望みのままに」「如你所愿」
歌：昏い悦楽にも精神を倾け（即便是昏暗的喜悦也要倾注精神）狂おしいほど愚かで无慈悲な魔女、演じた（像发了疯似地愚蠢扮演著冷酷无情的魔女）
不老に近い存在を(Sein) 爱し焦がれたシルエラ（近似永生的存在(Sein) 殷切爱恋著的シルエラ）
近づく信奉者すべてを排し独占し続ける（把靠近的信奉者全部排除继续独占著）
いつか选ばれたのが（不知不觉被选中）
必然であるような错觉に酔う（正如必然一样沉醉于错觉）
消えゆく感情确かに（感情确实在渐渐消逝）
あんなに傍にあったはずなのに...... （明明就应该待在你身旁的……）
姿だけは変わらずとも変わり果て血に濡れた（即使只有身影不变改变的结局被鲜血染红）
「もう、あの顷のあたしなんかじゃない......！」「已经不是那时候的我了......！」
シルエラ（西鲁埃拉）：
「お前が主を惑わせる。消えてなくなれ！」「是你把主给迷惑了。给我消失吧！」
歌：「どうしてここまで来たの......？」「为什么到这里来......？」変わらぬその瞳がただ眩しくて（毫无变化的眼眸很耀眼）
哀れな自らを晒すのは决して赦されない（暴露出如此悲哀的自己绝对不可饶恕）
ここにいるのは“魔女”だけだから（因为这里只有“魔女”的存在）
セクサリス（赛库萨利斯）：
「魔女に偏爱を抱く少女は命令を自らに都合よく捻じ曲げ」「对魔女抱有怜悯之情的少女违背了命令」
「少年の命をも狙う」「瞄准了少年的命」
シルエラ（西鲁埃拉）：
「嫉妬... 狂気... 杀意...」「嫉妒... 疯狂... 杀意...」
セクサリス（赛库萨利斯）：
「负の感情の罗列は、死という结果のみを追い求めていた。」「罗列出负面的感情、追求着“死”这种结果。」
「声の... 音の... 歌の连なりは、彼らを翻弄するように空へと溶けて」「连接着的声音和歌声、愚弄他般地消散在空中」
「音が闻こえる。これは、世界が轧む音―」「听到声音了。这是、世界破裂的声音―」
lunatic...
歌：交错する想い达重なる死の刃【交错的思绪重叠的死亡之刃】欺いては切り裂いた过去への寂寥感【让自己感到寂寥是为了欺瞒刺痛的过去】
闇に沈んだ魔女に光はいらない【沉没于黑暗的魔女不需要光芒】lunatic... 歪んだ螺旋にいつしか囚われてる【lunatic... 不知不觉已被歪曲的螺旋俘虏】
シルエラは无力な自らを呪う【シルエラ诅咒著软弱的自己】
罪深く染まる日々にすべてを委ね想いを贯く【把一切寄托给罪孽深染的过去将思绪贯穿】
少年：
戦う理由なんてどこにもないはずなのに。【明明没有要战斗的理由。】
命令されたって、何かの间违いじゃ……？【却接受了这样的命令，是否哪里弄错了……？】
シルエラ（西鲁埃拉）：
黙れ。间违いがあるとしたら、【闭嘴。如果真的有什么弄错的话，】それはお前がここにきたことだけ。【那就是你来到这里的这个错误。】愚かで……汚らわしい男。追い払うだけなんて生温い。【愚蠢的……卑劣的男人。仅是驱逐你的话做得太不彻底了。】
私が――――杀してあげる【让我来――――杀了你吧】
歌：ぶつかり合い狂い咲く不可避の対话(deialogos)【不合时机的冲突不可逃避的对话】
伤つけずに身を守る少年【不想去伤害只顾抵挡来袭的少年】
体躯を伝う杀意虚ろな冲撃【传透躯体的杀意一阵阵空洞的冲击】lunatic... 瞳の向こうに求めた存在は【lunatic... 眼眸的彼岸所寻求的】
等しいはずでもah...键は合わず……【本应是相同的门可...持有的是两把不相称的钥匙】
(繋ぎとめるため) そして (取り戻すため) 二人は揺れる【为了维系为了挽回两人动摇了】
果ての无い回廊駈けるように【在无止境的回廊上不停奔跑著】
绽びかけた现在を过去を未来を求め続けてah...【就让刀刃撕裂伤口让思绪去追逐现在、过去、未来 ah...】
lunatic... 渇いた魂は不逊に宠爱求める【lunatic... 饥渴的灵魂傲慢地索求著宠爱】
シルエラは幼稚な自らを嘲笑う【シルエラ嘲笑著幼稚的自己】
红莲に饰った日々にすべてを委ね想いを贯く【把一切寄托给沾满红莲之血的过去将思绪贯穿】
セクサリス（赛库萨利斯）：
少女の持つナイフが少年の首筋に突き立てられる刹那、【少女握著的刀向少年脖子猛然刺去的一刹那、】
自らの身を呈して遮ったのは、苍白の魔女【挡在自己面前的是，苍白的魔女】
シスフェリア（谢斯菲利亚）：
それは、初めて感じる痛みを伴って。【这是，伴随著最初的伤痛。】二度目にして最後の决别は、一瞬のことのはずなのに、【再次作出永远的告别，明明只是一瞬间的事情，】
永い梦の中にいるようで……。【却好像陷入了恒久的梦中……。】口元から鲜血が流れるままに口づけをし、【她就这样用鲜血流淌的嘴唇吻住了少年，】
少年に小さな魔法をかける【对他施了小小的魔法】
少年：
シス……
Celestial Blue
少年：
「目覚めたのは、白雨の降りしきる小高い丘。【我醒来的时候，身处那阵阵骤雨的小小山岗上】
辺りに人影はなく、ただ唇に暖かな温もりだけが残されていて。【四周空无一人，仅有那唇边残存的温暖】
仆はどうしてここにいるのだろう。【为何我会在这里呢？】
やっと会えたのに、一绪に帰ろうって伝えることもできず。【甚至不能想起与难得相逢的你踏上回去的路】
ここで何があったのだろう。【这里一定有什么吧】
シスは、别れ际に耳元で何事か嗫いていた。【SISU在离别时在我耳边诉说的话语】
けれどそれがどうしても、思いだせなくて————」【但是我无论如何，也想不起来了——”】
歌：初めて出会ったその瞬间（とき）から【从刚认识的那一刻起】想いは决まっていたのかな？【就已经决定了吧】
幸せって言叶の象徴は【代表幸福的辞藻】
疑う余地なく、キミの存在だった【毫无疑问是你的存在】
色んなことが変わってしまって【就算一切都已物换星移】
二人离れてしまったけれど【我们分离两地】
まだ変わらないモノも确かにあるはずだから【但确实留下了一些不会改变的东西】
出会わなければなんて后悔した夜もあった【若无法相见为何会有后悔的夜晚】
苍の空は远すぎていつまでも届かない気がして【苍穹遥不可及无论何时也难以企及】
忘れられたらなんて思い悩む时もあった【若是早已忘却又为何会有焦躁的时刻】
けれど奥底に包まれた想いに嘘はつけない…【但那沉淀在内心深处的思念却不容许谎言】
濡れているのは瞳だけじゃなくて【湿润的不仅是双眼】
小粒の白雨は全て洗い落とすようにいつからだろう【何时开始下起那能洗净一切的细细雨点】
降りつづけてた【尚未停息】
「二人の思い出を消し去ろう。【“把彼此的回忆都消除吧】
あたしという存在に囚われることなどなく、【脑海里不需要再禁锢我的存在】
全て忘れて幸せに生きられるように。【把一切全部忘记，幸福地生活下去吧】
二人はここで别れ、もう二度と出会うことはない」【两人就此别离，不再相遇】
セクサリス（赛库萨利斯）：
「嗫かれたのは、そんな悲しい魔法。【“轻声颂唱的是那悲伤的魔法】
魔女と下仆は倒れ伏す少年を置き、静かにその场を後にした」【魔女与仆人将倒下的少年放好，静静地离开了】
歌：ぼやけた思考は痛み残し【模糊的思考残留着痛觉】
鲜明に切り开かれた【被清晰地劈开】
苍ざめた魔女の优しい魔法は【面色苍白的魔女所使出温柔的魔法】かかることはなく、言叶だけが残された【并没有起效只留下了言语】たとえば、谁もが幸せになれる结末なんて望めなくても【就算每个人都希望能得到幸福的结局】
キミの心だけがねぇ、泣いて终わるなんて…【但只有你的心啊，结局为何带着眼泪……】
昔みたいになんて简単には言えないけれど【为什么不能如从前般轻易说出】
苍白のキミに伝えたいいつまでも忘れたりしないって【想要告诉苍白的你无论到何时也请不要忘记】
白雨に霞む空がただ切なく思えるのは【骤雨转为朦胧的苍穹，那无法斩断的思念】
寂しい风景その下のどこかにキミがいるから…【在寂寞的风景之下的何处会有你的存在呢……】
シスフェリア（谢斯菲利亚）：
「ありがとうなんて感情が、まだあたしにもあったんだ。【我到现在依然还有着如感激般的感情】
でも、これで本当のさよならにしよう……？ね」【但如今这是真正的道别了……吧？】
歌：伤つき伤つけ远ざけて【远离伤害与被伤害】
なぜ…？シスフェリア【为什么呢…… Sisferia】
誓った未来は今でも褪せることはなくこの胸にあるよ…】【曾经起誓的未来现在也丝毫未褪色地存在于心中】
「少年にかけられた小さな魔法。【施在少年身上那小小魔法】
シスフェリアとの思い出が消えてしまうこと。【消除了他对shisufeiria的所有记忆】
幸せに生きられるように、ということ。【为了让他幸福地生活下去】その二つの魔法は相反し、【但因为这两种魔法作用相反】
少年の中で両立することは不可能だった。【所以在少年记忆之中是不可能共存的】
彼女との记忆を忘れてしまうことは、【忘记跟她有关的事情】
少年にとって何一つ幸せなんてじゃなくた。【这对少年来说并不是一种幸福】
魔法はその想いの强さに搔き消され、无効化されていた。【魔法被这种强烈的思念干扰逐渐失效】
少年は、再び旅路をゆく。【少年再次踏上了旅途】
次会えたときは、今度は自分から再会の口づけをするのだと、心に誓って……」【他在心里发誓，再次见面的时候，一定会主动亲吻对方】少年：
「苍白の果て。それがどんなに远くても、いつかきっと————」【苍白的尽头，无论多远，总有一天一定能……】
波利亚_数学解题表(精) 2
乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法 Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原著）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么？未知是什么？ ２，条件是什么？结论是什么？ ３，画个草图，引入适当的符号． 二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗？ ２，能联想起有关的定理或公式吗？ ３，再看看未知条件！ ４，换一个方式来叙述这道题． ５，回到定义看看！！ ６，先解决一个特例试试． ７，这个问题的一般形式是什么？ ８，你能解决问题的一部分吗？ ９，你用了全部条件吗？ 三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步． ２，证明你的每一步都是正确的． 四，回顾反思．１，检查结果并检验其正确性． ２，换一个方法做做这道题． ３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去． 这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。 你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？ 如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4.5.6.8.9.”； 如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。 悉心体会并把握表中各层的要领，相信对你的数学学习会起到很大的帮助作用。 在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾反思这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无限的问题．
对于波利亚的解题表的认识和看法
对于波利亚的解题表的认识和看法 我想学习过数学的人都有过这种感觉：一道题，自己百思不得其解，而老师 却能给出绝妙的解法！为此无不赞叹叫好！ “一个好的解法是如何想出来的？”“为什么我想不出来？”。相信每个人都 有过类似的经历：对某件事或某道题我们若是按照一定的规律对它进行处理或求 解，我们的思路会相对清晰很多。天地间的一切事物都在数中，万事万物的发生、 发展、旺盛、衰亡都有定数，事物总是按照其生长基因及时空规律有序地进行演 绎的。也即是“因”与“果”相应。若是违背了这些规律就必然要受到惩罚。因 此，解决数学问题时也需要遵行一定的规律，否则，我们就算把数学问题解决了 也是走了很多的弯路，耗费了很多的时间。 下面我们就一起来应用波利亚的“怎样解题”表来看看当我们遵行一定规律去解 决数学问题时我们会有哪些收获？ 如图，在△ABC中，∠B=∠C，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED A B D E C 根据波利亚的“怎样解题”表可以知拿到一个题目我们要做的 第一步就是：了解问题。先明白要求的是∠ADE=∠AED，然后找出我们已有哪些 已知条件：∠B=∠C，BD=CE。 第二步：拟定计划。回忆所学知识：要证∠ADE=∠AED那么先要证明△ADE是等 腰三角形（AD=AE），又由图可以知AD与AE分别在△ABD和△ACE中，要证两 个三角形中的对应边相等则转化为证△ABD=S△ACE。怎样证两角形全等呢？因 为∠B=∠C，那么在△ABC中，AB=AC（等角对等边），由此想到用SAS来证明两 三角形全等。 第三步：实现计划。 AB=AC 由∠B=∠C 得△ABD=S△ACE BD=CE 故 AD=AE 即∠ADE=∠AED（等边对等角） 第四步：回顾。正面检验每一步，看推理是否正确有效；总结解决该问题时我们 是从结论出发由后往前从而找到成立的充分条件，由此得到启发:我们在解决问 题时,是可以由果到因的。 通过上述的例子我们可以发现波利亚的“怎样解题”表描绘出解题理论的一
波利亚解题四步骤
波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第一，弄清问题? 未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的 画张图。引入适当的符号。 把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？ 第二，拟定计划? 找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不 得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。 你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素 你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近 你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念 第三，实现计划? 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的 第四，回顾反思? 你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来 你能不能把这结果或方法用于其它的问题？ 下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。 【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2 (x＋π12)，g(x)＝1＋12 sin2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 第一步：弄清问题。已知条件是什么如本题中， 已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝ Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π 6 )]，h(x) ＝12sin(2x＋π3)＋32
波利亚怎样解题表
波利亚怎样解题表 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
波利亚的怎样解题表１乔治·波利亚 乔治·波利亚(GeorgePolya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合着的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名着上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的着作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的着作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实
践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．着名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)．２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”． ２．１“怎样解题”表的呈现 弄清问题 第一，你必须弄清问题 未知是什么已知是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来 拟定计划 第二，找出已知数与未知数 你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同 你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理
波利亚解题实例
用波利亚的解题方法解题 在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43 cos cos ,10===a b B A c p 为 ABC V 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。 【分析】： 第一步：理解题意。 本题的条件是(i)c=10,(ii),43 cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC V 内切圆上的动点，所 求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。 由此可得，这是一道关于图形的最值问题。 第二步：拟订计划． 设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与此密切相关的两类问题： 第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。 第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和平方和的最小值。 于是原问题可分列为两个较为简单的问题： ① a ，b ，c 为ABC V 的三边，且c=10，,43 cos cos ==a b B A ，试确定△ABC 的形 状及其大小。 ② 确定的ABC V 的内切圆上有一动点P ，试求PA 2+PB 2+PC 2的最小值与最大 值。 对①小题，ABC V 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来．对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。 第三步：实现计划： 由,cos cos a b B A =用正弦定理做代换，得,sin sin cos cos A B B A = 即B B A A cos sin cos sin ?=?或A B 2sin 2sin =， 因为,34 cos cos =B A 知B A ≠，且B A ,是三角形内角， 所以,22B A -=π即,2π =+A B 所以ABC V 是直角三角形. 再由c=10，43 =a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点 为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC V 中，有,2,2=+=+r r c b a
数学思维新方法表(波利亚)
波利亚的怎样解题表 陕西师范大学罗增儒罗新兵１乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席．作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． ２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”．
波利亚怎样解题实例分析
怎样解题 一、熟悉问题 1、未知是什么？ 2、已知是什么？ 3、你能复述它吗？ 二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？ 2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？ 3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？ 2、能不能得到一个比较特殊的情况？ 三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？ 四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？ 例1、 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
分析： 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：∠B=∠C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？
波利亚的怎样解题表
波利亚的怎样解题表 １乔治·波利亚 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日)． ２怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”． ２．１怎样解题”表的呈现 弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?
波利亚的怎样解题表
波利亚的怎样解题表 怎样解题第一步：弄清条件 第一：你必需弄清问题 未知是什么？ 已知是什么？ 条件是什么？ 满足条件是否可能？ 要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图，引入适当的符号。 把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来。 怎样解题第二步：拟定计划 第二：找出书籍数与未知数之间的联系，如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。表中列出了了若干辅助问题，在遇到困境时你可以逐一把这些问题搜索一遍，每个问题的解决都可能是朝向胜利的关键一步！你应该最终得出一个求解的计划。 你以前见过它吗？ 你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与些有关的问题？ 你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题？ 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？ 你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？ 为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的问题？ 一个更普遍的问题？ 一个更特殊的问题？ 一个类比的问题？ 你能否解决这个问题的一部分？ 仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？ 你能不能从已知数据导出某些有用的东西？
你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？ 如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使尊长未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？ 你是否利用了整个条件？ 你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？ 怎样解题第三步：实现计划 第三：实行你的计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？ 你能否证明这一步骤是正确的？ 怎样解题第四步：回顾 第四：验算所得到的解 验算所得到的解。 你能否检验这个论证？ 你能否用别的方法导出这个结果？ 现在你能不能一下了看出它来？ 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？ 若条件或结论做些改变，又将如何解决？
波利亚怎样解题表
波利亚的怎样解题表 1 乔治波利亚 乔治 波利亚（George Polya , 1887?1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方 面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法 ）现代研究的先驱?由于 他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他 93岁高龄时，还被I CME （国际数学教育大会）聘为名誉主席. 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学 等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以 波利亚”命名的定理或术语； 他与其他数学 家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变 量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集， 在未来的许多年里，将是研究生 攻读的内容. 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》 （1945年卜《数学与 似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及 解题理论”、解题 教学”教师培训”三个领域?波利亚对数学解题理论的建设主要是通过 怎样解题”表来实 现的，而在尔后的著作中有所发展，也在解题讲习班”中对教师现身说法?他的著作把传统 的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程， 他的目标不是找出可以机械地 用于解决一切问题的 万能方法”而是希望通过对于解题过程的深入分析， 特别是由已有的 成功实践，总结出一般的方法或模式， 使得在以后的解题中可以起到启发的作用. 他所总结 的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化 方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都 在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中， 并通过 一系列的问句或建议表达出来， 使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的 会议致词中说过： 每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的 书”（195年 2 月 2 日）. 2 怎样解题表 波利亚是围绕 怎样解题”、怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对 问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对 问题解决”研究兴趣集中在启发法上?波利 亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的怎样解题表”正是一部启 发法小词典” 2.1 怎样解题”表的呈现 弄清问题 拟定计划 第一，你必 须弄清问题
波利亚解题方法
题目： 1 ,,,,,, 2 , 6 ABC A B C a b c a B C b π == = 设的内角的对边分别为若则 求. 第一，弄清问题 问题1：你要求解的是什么？ 要求解的是ABC 的一条边b的长度。 问题2：你有些什么？ 一方面是题目条件中给出的3个已知量,sin,. a B C 另一方面是已学过的正弦定理 和余弦定理, 将边和角联系起来。 第二，拟定计划 问题3：怎样求得b? 由正弦定理可得 sin sin a B b A =，题目已知,sin a B，只需求出A ∠的度数即可求得b，于是将求边b的长度转化为求A ∠的度数。 问题4：怎样求得A ∠的度数? 根据三角形内角和等于180°，可得180 A B C ∠+∠+∠=?，所以180 A B C ∠=?-∠-∠，题目已知C ∠的度数，因此只要求得B ∠的度数即可。 问题5：怎样求得B ∠的度数。 题目已知 15 sin,0. 266 B B B ππ =<<∠= ，求得 第三，实现计划
15sin ,0,.266 2.63 1sin sin , 1.2sin B B B C A B C a B A b A πππππ=<<∠==∠=-∠-∠=====因为所以又因为所以所以所以 第四，回顾 （1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。再作检验，将过程中求得的未知量以及题目的已知量代到正弦定理或者余弦定理中，检验未知量的正确性。 （2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信息（13,sin ,26a B C π===） ，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想：正弦定理，余弦定理 ，正弦定理变形公式，余弦定理变形公式，三角形内角和 等于180°，将求边问题转化为求角问题的经验积累等不下6条信息)，并相应地将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合。这当中，起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略)。 （3）在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往前找成立的充分条件。 为了求b ，只需求A ∠的度数。（求边转化为求角） 为了求A ∠的度数，只需求B ∠的度数。 为了求B ∠的度数，只需根据15sin ,026 B B π=<<这两个已知条件即可求得。（利用三角函数关系） 这个过程显示了分析与综合的关系：“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划。” （4）在心理机制上，这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程． 首先在已知三角形一边长，一角度数以及一角的正弦值的启引下，激活了记忆网络中正
波利亚的解题过程
波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题： 如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． (1)求证：BC与⊙O相切． (2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长． (一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯 审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。 讲解第一步、弄清问题： 1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？ 答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。 2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A． 则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。 （2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 3．条件是什么？ 答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A 4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长
答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？ 答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义 答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？ 答：能。AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠A OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 （1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． 求证：BC与⊙O相切． （2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 求解：AD的长 效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。 (二)通过探求解题方法,培养学生拟定解题计划的习惯
波利亚《怎样解题》读后感
《怎样解题》读书笔记 “学习难，学习数学更难”，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势。大家都有这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“你是怎么想出这个解法的？为什么我没有想到呢？”有这么一个人，为了改变数学在公众心目中的形象，致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，很早就开始探索数学中的发明创造，他利用在大学任教的机会，通过与学生的交流和对学生的细致观察，认真研究了人们解题的过程，通过和一批数学大家的交流，花了整整三十年的时间，终于完成一篇著作，这本书指导了人们不仅仅是在数学中，乃至在任何其他领域中怎样进行正确思维，引导了一代又一代读者在学习中走上正确的道路。这个人就是著名数学家乔治?波利亚，这本著作就是《怎样解题》。 波利亚(1887-1985)是美国著名的数学家和数学教育家。上中学时，他就是一个很有上进心的学生，但每当遇较难的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，他看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论好像还行，他看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”为了解决这个困惑，波利亚经过多年教学经验的累计以及与一批数学大家的交流，最终著出《怎样解题》这本书，一经出版，畅销全球。 在这本书中，波利亚表达了这样的观点：解题的价值不是答案的本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的？”、“是什么促使你这样想，这样做的？”这就是说，解题过程还是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。波利亚认为“对你自己提出问题是解决问题的开始”，“当你有目的地向自己提出问题时，它就变成你自己的问题了”，“怎样解题表”是《怎样解题》一书的精华，这张表是波利亚在分解解题的思维过程得到，表中所述看似很平常的解题步骤或方法，其实已包含几代人的智慧结晶和经验总结。“怎样解题”表将解题过程分成了四个步骤，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”，在这其中，对第二步
波利亚的解题理论
波利亚的解题理论 一、波利亚的生平及主要著作 对于我们数学学习者而言，大多都有过这样的经历：一道题，自己怎么想也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法。这时候，我们最想知道“老师是怎么想出这个解法的”，如果这个解法不是很难，我们也许会问“自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？” 要回答这个问题，实际上牵涉到对揭发数学问题解决规律的深入研究。综观历史来看，美籍匈牙利数学家乔治。波利亚（George Polya，1887-1985）不仅对上述问题特别感兴趣，而且在该领域做出了许多奠基性的工作。波利亚是法国科学院，美国科学院和匈牙利科学院的院士，1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国，1942年起任美国斯坦福大学教授。他一生发表200多篇论文和许多专著。他在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论、几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。 《怎样解题》（1944），《数学的发展》（1945）和《数学与猜想》（1961）这三本书就是他智慧的结晶。这些书被译成很多国家的文字出版，其中《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。著名数学家范。德。瓦尔登 1952年2月2日在瑞士苏黎世大学的会议致辞中说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该都读读这本引人入胜的书”。这些书成了世界范围内的数学教育名著，对数学教育产生了深刻的影响。 二、波利亚对数学教育的基本看法 波利亚对于数学教育的目的、价值、方法非常关注。他认为，“中小学生到底为什么要学习数学？要学什么样的数学？通过什么途径学好数学？”具体一点就是，在中小学阶段，是以“学数学”为主呢，还是以学如何“用数学”为主呢？这一点必须弄清楚。在他看来，中学数学教育的根本目的就是“教会学生思考”，意味着数学教师不只是传授知识，还应努力发展学生运用所学知识的能力，他应
波利亚的解题过程
波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题 例题： 如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A． (1)求证：BC与⊙O相切． (2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长． (一)通过审题, 弄清问题, 培养学生分析已知条件的习惯 审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。 讲解第一步、弄清问题： 1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么?你能复述它吗？ 答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。 2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗? 可以画张图吗? 答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A． 则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。 （2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 3．条件是什么？ 答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A 4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长? 答：满足上述条件（1）能成立。但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可： OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4 5．要确定未知数，条件是否充分？ 答：要确定未知数，如上所述是充分的。 6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义? 答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。 7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？
波利亚解题心得体会
波利亚解题心得体会 一道题，自己总也想不出解法，而老师却能给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的?”如果这个解法不是很难时，“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢?” 有人听到“数学”就会头痛，为什么又会有人热衷于解题呢？在解答这道或那道不涉及物质利益的题目的愿望背后，也许有着一个更深切的好奇心，一个要求理解解答的各种途径和方法、动机和步骤的愿望，当我们绞尽脑汁想的题突然被我们解答出来，那种心情只有真正经历过的人才懂。不管是我们自己或者我们去帮助别人，我们不仅要尽力去理解这道或那道题目的解答，而且要理解这个解答的动机和步骤，并尽力向别人解释这些动机和步骤。 在老师上课的时候，为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案，总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢？这是因为学生不懂得思考的方法，大多数老师讲题总是“头痛医头，脚痛医脚”，只有实战经验，没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目，而是面对任何一道题目时的思维方法。这也就是波利亚要告诉我们的。 波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。在这张包括“弄清问题”，即未知
量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？“拟定计划”，找出已知数据与未知量之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。“实现计划”和“回顾”，我自己认为回顾在解题中是很重要的一个步骤，很多同学却不以为然，你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？回顾能让我们更加理解这一类题目的解题方法。 解答其实也是一种创造，当找到一个方法解决了一道题目，我们同时也应该思考“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”有时我们要举一反三，改造一道题目。基本的方法有：普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。大二的时候修了初等数论这一门课程，它主要研究整数最基本的性质，是一门基础课程，蕴含了丰富的数学思想方法（整体化、转化、构造、反证），上这门课时，老师讲的都能听懂，课后解题却不知所措。还有一些需要证明的习题也是今后能够用到的结论，却不懂得如何运用和解答。自己不去反思、去领悟、去归纳，纵使心中方法无数，下笔也只能低头苦思。“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长。找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的。”
波利亚, 怎样解题表
波利亚对数学解题的过程进行了深入的研究，认为整个解题过程分为四个阶段，即：弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾，并给出了具有启发性的“怎样解题”表 弄清问题 拟定计划 实现计划 回 顾
弄清问题 未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号，把条件的各个部分分开，你能否把它写下来？ 拟定计划 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或者相似未知数的熟悉的问题。这是有一个与你现在的问题相关，且早已解决的问题。你能不能利用它们？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能够利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能够重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或者数据，或者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要概念？ 实现计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚看出这一步骤的正确性？你能否证明这一步骤的正确性？ 回顾反思 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能将这一结果或方法用于其他问题？ 作者简介：乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ＩＣＭＥ（国际数学教育大会）聘为名誉主席． 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容． 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解
波利亚数学解题表精完整版
波利亚数学解题表精 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
乔治．波利亚的数学＂解题表＂学习法 Ｇ．波利亚，是美籍匈牙利数学家，教育家．他十分重视解题在数学学习中的重要作用，数十年如一日对解题方法进行研究，凝聚成一张＂解题表＂（如有条件，参见乔治．波利亚的原着）．这张表提供了一套解决数学问题的一般方法与模式，为解决问题指明了方向，并揭示了解题中的思维过程和思维方法．悉心体会这张表中层层递进的各个问题，相信会对我们的数学学习有所启迪．一．弄清问题．１，已知是什么未知是什么２，条件是什么结论是什么３，画个草图，引入适当的符号．二，拟定计划．１，见过这道题或与之类似的题吗 ２，能联想起有关的定理或公式吗３，再看看未知条件！ ４，换一个方式来叙述这道题．５，回到定义看看！！ ６，先解决一个特例试试．７，这个问题的一般形式是什么８，你能解决问题的一部分吗９，你用了全部条件吗三，实行计划．１，实现你的解题计划并检验每一步．２，证明你的每一步都是正确的．四，回顾．１，检查结果并检验其正确性．２，换一个方法做做这道题．３，尝试把你的结果和方法用到其他问题上去． 这张解题表看似简单，实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式，同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。 你的解题习惯和这个“解题表”一样吗？ 如果你觉得自己常常不会思考——“不知道怎么想”，请你参考“一.3.”和“二.3.4 如果你常常做错题——“会做，但未做对”，请你参考“三.四.”。 悉心体会并把握表中各层的要领，相信对同学们的数学学习会起到很大的帮助作用。 在这里提醒两点，一是一定要画图，并标上符号和数字，二是一定要重视回顾这一步，只有这一步才能从题海中解放出来，才能做到：虽然只做了有限的题目，但能够解无
波利亚与《怎样解题表》
波利亚与《怎样解题表》 1、乔治·波利亚 乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME （国际数学教育大会）聘为名誉主席。 作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容。 作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域，波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班”中对教师现身说法．他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行之有效．尤其有特色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”（1952年2月2日）． 2、怎样解题表 波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上．波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。 2．1 “怎样解题”表的呈现 第四，验算所得到的解． 实现你的计划 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的? 拟订计划 你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题． 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题． 你能不能利用它? 你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利 用它，你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去． 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能 不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问 题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分 而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不 能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其 他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以 使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了 包含在问题中的必要的概念? 第二，找出已知数与未知数之间的联系．如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题．你应该最终得出一个求解的计划 第三，实行你的计划 回顾 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一 下子看出它来? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 弄清问题 未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?需 要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? 画张图，引入适当的符号． 把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来? 第一，你必须弄清问题