排序不等式 导学案 高中数学选修4-5 北师大版

§2 排序不等式

1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．

2．体会运用经典不等式的一般思想方法．

1．定理1

设a ，b 和c ，d 都是实数，如果a ≥b ，c ≥d ，那么______≥ad ＋bc ，此式当且仅当______(或c ＝d )时取“＝”号．

【做一做1】若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中最大的是

( )．

A ．a 1b 1＋a 2b 2

B ．a 1a 2＋b 1b 2

C ．a 1b 2＋a 2b 1

D ．12

2．(1)顺序和、乱序和、逆序和：

设实数a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3满足a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3≥a 1bj 1＋a 2bj 2＋a 3bj 3≥______________，其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝a 3(或b 1＝b 2＝b 3)时取“＝”号．

通常称a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3为__________，a 1bj 1＋a 2bj 2＋a 3bj 3为________，a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1为________(倒序和)．

(2)定理2(排序不等式)：

设有两个有序实数组a 1≥a 2≥…≥a n 及b 1≥b 2≥…≥b n ，则(顺序和)__________≥(乱序和)__________________≥(逆序和)________________．

其中j 1，j 2，…，j n 是1,2,3，…，n 的任一排列方式．上式当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n (或b 1＝b 2＝…＝b n )时取“＝”号．

【做一做2】设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证：12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2． 答案：

1．ac ＋bd a ＝b

【做一做1】A ∵a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝1，a 1b 1＋a 2b 2－a 1b 2－a 2b 1＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)＞0，

∴a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1，且a 1b 1＋a 2b 2＞12

＞a 1b 2＋a 2b 1．

又∵1＝a 1＋a 2≥2a 1a 2，∴a 1a 2≤14

． ∵0＜a 1＜a 2，∴a 1a 2＜14

． 同理b 1b 2＜14

， ∴a 1a 2＋b 1b 2＜14＋14＝12

， ∴a 1b 1＋a 2b 2＞12

＞a 1a 2＋b 1b 2， ∴a 1b 1＋a 2b 2最大．

2．(1)a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1 顺序和 乱序和 逆序和

(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1bj 1＋a 2bj 2＋…＋a n bj n a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1

【做一做2】分析：利用排序不等式来证明．

证明：设b 1，b 2，…，b n 为a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且b 1＜b 2＜…＜b n ，因为b 1，b 2，…，b n 是n 个互不相等的正整数，

故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n ．

又∵1＞122＞132＞…＞1n 2， 由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋…＋b n n 2≥1×1＋2×122＋…＋n ×1n 2＝1＋12

＋ (1)

， ∴12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2．

1．对排序不等式的证明的理解

剖析：对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．

对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的．

2．排序原理的思想

剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思

想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．

题型一 所含字母大小顺序已确定的不等式的证明

【例1】已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：

(1)1bc ≥1ca ≥1ab

； (2)a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c

． 分析：由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．

反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关键和基础．

题型二 对所证不等式中的字母的大小先作出假设再证明

【例2】设a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32

． 分析：题目中没有给出a ，b ，c 的大小关系，且a ，b ，c 在不等式中的地位是对等的，要先设出a ，b ，c 的大小顺序，再利用排序不等式加以证明．

反思：当假设了a ≥b ≥c 后，所用的两个数组可以完全确定了，但必须注意成立的前提是a ，b ，c 三者的地位是对等的．

题型三 不等式中的字母的大小需讨论

【例3】设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n ．

分析：题中只给出了x ＞0，但是对于x ≥1，x ＜1并不确定，因此，我们需要分类讨论． 反思：分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序关系．

答案：

【例1】证明：(1)∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b

， 又∵c ＞0，∴1c

＞0． 从而1bc ≥1ca

． 同理，∵b ≥c ＞0，于是1b ≤1c

， 又∵a ＞0，∴1a

＞0． 于是得1ca ≥1ab

． 从而1bc ≥1ca ≥1ab

．

(2)由(1)1bc ≥1ca ≥1ab

，和顺序和≥乱序和，得 a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2

b 3

． 又∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3， ∴b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2

b 3 ＝1

c ＋1a ＋1b

． 综上，原不等式成立．

【例2】证明：设a ≥b ≥c ＞0?a ＋b ≥c ＋a ≥c ＋b ．

∵a ≥b ≥c ＞0，∴1b ＋c ≥1a ＋c ≥1a ＋b

． 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得

a b ＋c ＋b a ＋c ＋c b ＋a ≥b b ＋c ＋c a ＋c ＋a b ＋a

， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a a ＋c ＋b b ＋a

． 将上面两个不等式相加再除以2，得

a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32

． 当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．

【例3】证明：(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，

由排序不等式：顺序和≥逆序和，得

1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －

1·x ＋x n ·1， 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n ．①

又因为x ，x 2，…，x n,1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序不等式：乱序和≥逆序和，得

1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －

1·x ＋x n ·1， 得x ＋x 3＋…＋x 2n －

1＋x n ≥(n ＋1)x n ．② 将①和②相加，得

1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n ．③

(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ．

①②仍然成立，于是③也成立．

综合(1)(2)，原不等式成立．

1已知a ，b ，c ∈R ，则a 3＋b 3＋c 3与a 2b ＋b 2c ＋c 2a 的大小关系是( )．

A ．a 3＋b 3＋c 3＞a 2b ＋b 2c ＋c 2a

B ．a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a

C ．a 3＋b 3＋c 3＜a 2b ＋b 2c ＋c 2a

D ．a 3＋b 3＋c 3≤a 2b ＋b 2c ＋c 2a

2设a ，b ，c 都是正数，M ＝bc a ＋ca b ＋ab c

，N ＝a ＋b ＋c ，则M ，N 的大小关系是( )． A ．M ≥N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M ≤N

3已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a _______y y ＋b

(填“＞”或“＜”)． 4已知a ，b ，c 为正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2

a ＋

b ＋c

≥abc ． 答案：

1．B 根据排序不等式，取两组数a ，b ，c 和a 2，b 2，c 2．不妨设a ≥b ≥c ，所以a 2≥b 2≥c 2．所以a 2×a ＋b 2×b ＋c 2×c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ．当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号．

2．A 由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，

则ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a

． 由排序不等式，知

ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a ≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c

，即M ≥N ．当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 3．＞ ∵1a ＞1b

，∴b ＞a ＞0， 又x ＞y ＞0，由排序不等式，知bx ＞ay ．

∴

x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay x ＋a y ＋b ＞0， ∴x x ＋a ＞y y ＋b

． 4．证明：根据所证明的不等式中a ，b ，c 的“位置”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则1a ≤1b ≤1c

，bc ≤ca ≤ab ． 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得

bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b

， 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc

≥a ＋b ＋c ． ∵a ，b ，c 为正数，

∴abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0．

于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2

a ＋

b ＋c

≥abc ．

人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组导学案

第九章不等式及不等式组 第一课时不等式及其解集 课型：新授 课时：1课时 主备人：初二数学组 学习目标： 1、了解不等式的概念，能用不等式表示简单的不等关系。 2、知道什么是不等式的解，什么是解不等式，并能判断一个数是否是一个不等式的解。 3、理解不等式的解集，能用数轴正确表示不等式的解集，对于一个较简单的不 等式能直接说出它的解集。 学习重点：不等式的解集的表示。 学习难点：不等式解集的确定。 学习过程： 一、自主学习 数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，请你用恰当的式子表示出下列数量关系： (1)a及1的和是正数； (2)y的2倍及1的和大于3；(3)x的一半及x的2倍的和是非正数； (4)c及4的和的30%不大于-2；(5)x除以2的商加上2至多为5； (6)a及b两数的和的平方不可能大于3。

（5）_____ _____ （6）_____ _____ 二、合作探究： 1、像上面那样，用符号_______来表示________关系的式子叫做不等式不等号有_____ 2、当x=78时，不等式x﹥50成立，那么78就是不等式x﹥50的解。 及方程类似，我们把使不等式______的__________叫做不等式的解。 完成P115思考中提出的问题。 3、一个含有未知数的不等式中，________不等式的解，组成这个不等式的_________。 求不等式的_______的过程叫做解不等式。 4、你能画出数轴并在数轴上表示出下列不等式的解集吗？ （1）x﹥3 （2）x﹤2 （3）y≥-1 三、巩固运用： 1、对于下列各式中：①3﹥2；②x≠0；③a﹤0；④x+2=5；⑤2x+xy+y；⑥2a+1﹥5； ⑦a+b﹥0。不等式有_____ _____(只填序号) 2、下列哪些数值是不等式x+3﹥6的解？那些不是？ -4， -2.5， 0， 1， 2.5， 3， 3.2， 4.8， 8， 12。 你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 3、用不等式表示。

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

组合学导学案

第一章 计数原理 1.3组合 1.3.1组合 学习目标：1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义; 2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题 学习重点：组合数计算公式以及性质 学习难点：组合数计算公式以及性质的应用 一 自主学习 问题1:(1)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法? (2)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法? 问题2:有5名体操运动员参加2008年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出3名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅1人,有几种不同的选拔结果?(2)从中选出3名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果? 1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．． ．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导： （1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ， 根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ?． （2）组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 4、组合数的性质（1）：m n n m n C C -=．

一元一次不等式组导学案

a b ①当 ?? 时,?则不等式的公共解集为 ; ②当 ?? 9.3 一元一次不等式组导学案 学习目标：1、了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组 的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法； 2、经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性； 3、逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想 学习重点：一元一次不等式组的解集和解法。 学习难点：一元一次不等式组解集的理解。 课前预习： 一、阅读教材 P137－P139 的内容，思考： 现有两根木条 a 和 b ， 长 10 cm ， 长 3 cm.如果再找一根木条。， 用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条的长度有什么要求？ 如果设木条长 x cm ，那么 x 仅有小于两边之和还不够，仅有大 于两边之差也不行，必须同时满足 x<10+3 和 x>10-3.类似于方程组 引出一元一次不等式组的概念和记法． 互动探究： 解下列不等式组 解：解不等式(1)，得_____________ 解不等式(2)，得_____________ 在同一条数轴上表示不等式(1)、(2)的解集如图： 所以，原不等式组的解是_____________ 归纳总结： 不等式解集取值法则“同大取大，同小取小，大小取中，矛盾无解”。 若 a>b: x > a ? x > b x < a ? x > b 时,不等式的公共解集为 ;

? x < b （1） ??3x - 1 > 2 x + 1 ； （2） ?? 2 x - 1 < 3 （3） ? 1 3 ； （4） ?? x - 1 ≤ 7 - x ?3x - 2 > 4 ? ? 2 x > 8 ? ? 3、若不等式组 ?? 6 + 1 ，并将解集在数轴上表示出来。 ? x - 5 1 - x 4、解不等式组 ? - 2 ③当 ? x < a 时,不等式的公共解集为 ; ? x < b ④当 ? x > a 时,不等式组 。 二、独立思考： 2、解不等式组： ? ?2 x - 3 < 3x ?5x - 2 > 3( x + 1) 2 x + 3 < 5 ? 2 2 x - 1 ≥ 0 ?x - m < 0 无解，求 m 的取值范围。 ? < ??3( x - 4) > 4( x - 3) 5、解不等式组：

高中数学柯西不等式与排序不等式

3.13.2柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥ >>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. ||ac bd + ||||ac bd ≥+ ac bd ≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则 （当且仅当12 1 2 n n a a a b b b === L 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++≥++???+L . 定理：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1 ：求函数y = 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式 变式：y = ,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造） 要点： 2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

七年级下数学(华师大版)导学案-8.3 一元一次不等式组第1课时

8.3 一元一次不等式组第1课时 学前温故 1．解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1. 2．不等式1＋x 2＋x 4＋x 8＋x 16 ＞x 的解集是( )． A ．x ＜16 B ．x ＞16 C ．x ＜1 D ．x ＞－1116 答案：A 新课早知 1．一元一次不等式组 一般地，含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 1．解一元一次不等式组 【例1】 解不等式组????? x －3≤0， ①x －12 －2x －13>1. ② 分析：不等式组的解集就是各不等式的解集的公共部分，可以借助数轴找出． 解：解不等式①得x ≤3. 由②得3(x －1)－2(2x －1)＞6， 化简得－x ＞7，解得x ＜－7. 把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组的解集为x ＜－7. 2．一元一次不等式组的简单应用 【例2】 已知不等式组? ???? x ＋2>m ＋n ，x －1

1．某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是( )． A.????? x ≥－2，x ≤3 B.????? x ≥－2，x <3 C.????? x >－2，x <3 D.????? x >－2，x ≤3 答案：B 2．不等式组??? x 2＋1≥x －3，x 3－1>0的解集是( )． 解析：先解第一个不等式得x ≤8，解第二个不等式得x ＞3，结合数轴求得不等式组的解集是3＜x ≤8.故选B. 3．不等式组? ???? 2x －6<4，x >2的解集为__________． 答案：2＜x ＜5 4．不等式组? ???? 6x －7≤0，3x <5x ＋2的解集是__________． 5．不等式组????? 2x ＋1>0，2x ≤4的整数解是__________． 答案：0,1,2 6．解不等式组：????? 2x ＋1>－3，①8－2x ≤x －1，②并把解集在数轴上表示出来． 解：由①，得x ＞－2. 由②，得x ≥3， 所以不等式组的解集为x ≥3，在数轴上表示如图： 7．解不等式组： ????? x －2<0，5x ＋1＞2(x －1). ①② 解：解不等式①得x ＜2， 解不等式②得x ＞－1， 所以不等式组的解集为－1＜x ＜2.

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .

【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .

201X-201x高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式学案 新人教A版选修4

3.3排序不等式 预习案 一、预习目标及范围 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 二、预习要点 教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则称a i 与b i (i ＝1,2，…，n )的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和． 教材整理2 排序不等式 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和． 三、预习检测 1.若m ≥n ≥p ≥q ，a ≥b ≥c ≥d ，则 (1)am ＋bn ＋cp ＋dq 是________和， (2)an ＋bq ＋ca ＋dp 是________和， (3)aq ＋bp ＋cn ＋d m 是________和， (4)aq ＋bm ＋cq ＋dn 是________和． 2.若a 1≥a 2≥a 3，b 1≥b 2≥b 3，则a 1b j 1＋a 2b j 2＋a 3b j 3中最大值是a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3(其中j 1，j 2，j 3是1,2,3的任一排列)．( ) 3.若a ≥b ，c ≥d ，则ac ＋bd ≥ad ＋bc .( ) 探究案 一、合作探究 题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2.

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和； 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ .

不等式与不等式组导学案

不等式与不等式组导学案 学习目标： 1、了解部分体育比赛项目判定胜负的规则，复习并巩固不等式的相关知识； 2、以体育比赛问题为载体，探究实际问题中的不等关系，进一步体会利用不等式解决问题的基本过程； 3、在利用不等关系分析比赛结果的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，发展逻辑思维能力和有条理表达思维过程的能力； 4、感受数学的应用价值，培养用数学眼光看世界的意识，引导学生关注生活、关注社会。 学习重点：利用不等关系分析预测比赛结果 学习难点：在开放的问题情境中促使学生的思维从无序走向有序；在分析、解决问题的过程中发展学生用数学眼光看世界的主动性 学习过程 一．自主学习 1、什么叫一元一次不等式（组）？ 2、怎样求解一元一次不等式（组）？列一元一次不等式（组）解应用题的步骤是什么？ 二、合作探究： 某射击运动员在一次比赛中前6次射击共中52环，如果他要打破89环（10次射击）的纪录，第7次射击不能少于多少环？ （1）如果第7次射击成绩为8环，最后三次射击中要有几次命中10环才能破纪录？ （2）如果第7次射击成绩为10坏，最后三次射击中是否必须至少有一次命中10环才能破纪录？ 三、巩固运用： 有A，B，C，D，E五个队分同一小组进行单循环赛足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队的积分为9分．你认为A队能出线吗？请说明理由。 （学生充分发表意见，在辩论中发现此问题不能一概而论，需要考虑其他队的情况，于是形成问题假设： (1)如果小组中有一个队的战绩为全胜，A队能否出线？ (2)如果小组中有一个队的积分为10分，A队能否出线？ (3)如果小组中积分最高的队积9分，A队能否出线？） -

高中数学基本不等式专题复习

第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0<-+=x x x y 正确解法： 两者联系： （1）基本不等式去等号时的值即为双勾函数的拐点，

（2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值

《一元一次不等式组》导学案有答案.docx

初中数学精品试卷 3.4 一元一次不等式组 学习目标 : 1.理解一元一次不等式组的概念； 2.理解不等式组的解的概念； 3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解. 学习重点：一元一次不等式组的解法. 学习难点：例 2 较为复杂，几乎包含了一元一次不等式的全部步骤. 学习过程 自主预学 : x 2 y3, 1.解方程组 3x 8 y13; 2. 同时满足二元一次方程组中的解，叫做的解. 3.阅读教材中的本节内容后回答： （1）一元一次不等式组和二元一次方程组有哪些区别？ （2）所有的一元一次不等式组都会有解吗？ 课堂导学 : 一、知识梳理 1.由几个含有的一元一次不等式所组成的一组不等式组叫做. 2.归纳常见的不等式组解： a

初中数学精品试卷 x a x b 二、例题学习 例 1：解一元一次不等式组 3x 2 x 1 x ≤2 3 思考：结合一元一次方程组的解法，对本例题如何处理呢？ 3 5x x (2 x 1) 例 2：解一元一次不等式组 3x 2 x 4 2.5 2 思考：本例题与例 1 有什么不同的地方？如何处理呢？ 分层助学： 一、基础练习 1.下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示（ ） x 2 B. x 2 x 2 x 2 A. 1 x 1 C. D. x 1 x x 1 2.不等式组 x 2x 4 x 的正整数解有（ ） 2 4x 1 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.解下列不等式组，并把解在数轴上表示出来 . （1） 2x 1 1 （2） x 2 0 x ２≤ 3 x 5 ≤ 3x 7 二、拓展提高

苏教版高中数学选修排列学案(1)(1)

第一章 计数原理 1.2 排列（1） 学习目标 1. 理解排列的意义，并能用树形图正确之写出一些简单排列问题的所有排列； 2. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。 学习过程： 一、预习： 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？并把所有的选法写再来。 问题2:从a,b,c,d 这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？把所有的排列方法写再来。 排列的数得上概念及公式： 1．排列的概念： 从n 个不同元素中， 个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义： 从n 个不同元素中， 个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号 表示 注意区别排列和排列数的不同： 3．排列数公式及其推导： 求m n A ：按依次填m 个空位来考虑，(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L ， 排列数公式： (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L =! ()! n n m -（,,m n N m n * ∈≤）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列 全排列数： （叫做n 的阶乘） 练习： 1、计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ． 2、（1）若17161554m n A =?????L ，则n = ，m = ． （2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----L 用排列数符号表示 ． 二、课堂训练： 例1、（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？ （2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？ （3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 例2: 求证：)! (!m n n A m n -=

高中数学知识点精讲精析 排序不等式

2 排序不等式 先来看一个问题： 设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？ 为了解决这一问题，先来了解排序不等式。 一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加， 则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ； 若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，

高中数学基本不等式练习题

一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为．

第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列学案(无答案)新人教A版选修2_3

1.2.1 排列的概念 【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2.能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】 教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点：排列数公式的推导 【教学过程】 (预习教材P l4~ P l8，找出疑惑之处) 合作探究一排列的定义： 问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动, 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2从1,2,3,4 这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的 三位数？ 概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n个 ________ 元素中取出m(mc n)个元素，按照 _____________ 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 _____________ .

说明:(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； ⑵m mn说明这里既没有重复元素又没有重复抽取同一元素的情况; (3)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同例1.判断下列问题是否是排列问题： (1)从2, 3, 5, 7, 11中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从上面各数中任取两数相除，可得多少个不同的商？ (3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果? (4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出 入方式共有多少种？ 练习：1.思考判断(正确的打“V” ，错误的打“X” ) (1) a , b , c, d与a , d , b , c是不同的两个排列.() (2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现. () (3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化. () 2.下面问题中，是排列问题的是( ) A.由1, 2, 3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1, 2, 3, 4, 5中选2个数组成集合 合作探究二排列数及排列数公式： 3、排列数：从n个不同元素中，任取m ( m乞n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号A m表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导

(新)高中数学柯西不等式与排序不等式

1 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 2 22|| c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 22c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式： 2222 12121 ( )n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈

七年级数学下册第9章不等式与不等式组9.3.2一元一次不等式组导学案新版新人教版

9.3.2一元一次不等式组 一、学习目标 1、进一步熟练地解一元一次不等式组； 2、灵活运用求不等式组的解集的方法,处理不等式(组)中待空定系数的取值范围； 3、进一步感受数形结合思想的作用，培养学生分析和解决问题的能力. 二、预习内容 1．预习本节课本内容 2. ． 3.不等式(组)中待定系数取值范围确定的四个步骤: (1)求解:求不等式组中每个不等式的解集(结果含有待定系数) (2)比较:根的大小关系 (3)思考:不等式组中每个不等式解集所涉及的两个数相等时是否成立. (4)结论:综合前面的结果下结论. 4.对应练习: 不等式组 ? ????<≥-320 3x x 的所有整数解之和是（ ） A ．9 B ．12 C ．13 D ．15 三、预习检测 1．已知不等式①，②，③的解集在数轴上的表示如图所示，则它们的公共部分的解集是（ ） A ．-1≤x ＜3 B ．1≤x ＜3 C ．-1≤x ＜1 D ．无解

2．不等式组? ????x －1≥0，4－2x<0的最小整数解是________． 3．一元一次不等式组?????2x ＋1>0，x －5≤0的解集中，整数解的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．若不等式组? ????2x ＋a －1>0，2x －a －1<0的解集为0＜x ＜1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 探究案 一、合作探究（10分钟），要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。 探究1: x 取哪些整数值时，不等式5x+2>3(x-1)与21x-1≤7-2 3都成立? 分析：可以把两个两不等式组成一个不等式组，解出其公共部分的整数，就是x 可取的整数值。 探究2:若不等式组? ??->+<121m x m x 无解,则m 的取值范围是什么? 思考:不等式组什么情况下无解? 探究3:关于x 的不等式组???>-≥-1 250x m x 的整数解共有5个,则m 的取值范围是什么? 思考:哪个不等式能求出解集?根据这个解集你能写出这5个整数解吗?为保证不等式组只有5个整数解,m 的取值范围是什么? 二、小组展示（7分钟） 每小组口头或利用投影仪展示,一个小组展示时，其他组要积极思考，勇于挑错，谁挑出错误或提出有价值的疑问，给谁的小组加分（或奖星） 交流内容 展示小组（随机） 点评小组（随机）

高中数学-公式-柯西不等式

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则.22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法一：（比较法）=….=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥证法二：（综合法）222222222222 ()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ . （要点：展开→配方） 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b = (,)n c d = ||m = ||n = ∵ ，且，则. ∴ ….. m n ac bd ?=+ ||||cos ,m n m n m n =<> A A A ||||||m n m n ≤ A A 证法四：（函数法）设，则 22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立. 22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…..22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++③二维形式的柯西不等式的一些变式： 或 . ||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则.,αβ ||||||αβαβ≤A 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） β ,αβ ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 112233,,,,,x y x y x y R ∈3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数?y =+ 要点：利用变式.||ac bd +≤二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y =+ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：→ 推广：y =+,,,,,) y a b c d e f R +=+∈② 练习：已知，求的最小值.321x y +=22x y + 解答要点：（凑配法）.2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y +=++≥+= 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若，，求证： .,x y R +∈2x y +=11 2x y +≥分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）