函数方程曲线的数控加工
弯曲木加工机器人柔性臂的控制策略研究
丛宪冬
（东北林业大学哈尔滨 150040）
摘要：本文综述了国内外机器人柔性臂控制策略研究的最新成果，结合弯曲木加工机器人柔性臂的特点，选用了非线性模糊控制的控制方法。提出了一种简化模糊控制的方案，大大减少了模糊控制规则的数目，简化了控制策率、控制器的设计及调整过程。
关键词：弯曲木，柔性臂，非线性，模糊控制
压缩弯曲木是丹麦木制品研究所发明的一种木材弯曲的新方法，这种工艺是在高温高压处理完木材后，将木材沿轴向加压，使木材产生轴向预变形，这样压缩后的弯曲木在进行常温常压变形处理时，可以进行任意形状的弯曲。因为早期的弯曲木加工系统不具备弯曲任意弯曲木中心曲线的功能，只能采用模具解决曲线弯曲成型的问题。由于家具生产批量的日趋单件化，直接用模具加工的代价越来越大。利用机器人通过计算机控制，可以弯曲出设计的曲线。但在弯曲的过程中由于木材的特性，必须采用合理的控制方法才可以将木材进行大变形弯曲，弯曲成我们设计的形状，而不出现劈裂。
1机器人柔性臂的非线性控制方法的研究
最简单的一种控制器是目前大多数工业机器人应用PID控制器，柔性臂的非线性控制研究就是在它的基础上进行的。这种 PID控制器的缺点就是缺乏全局渐进稳定性，因而有的学者提出了PD控制加力补偿或加期望力补偿的非线性控制器，理论上可以克服这一缺点。实际上，由于与力有关的负载等参数是多变的，因而它的应用受到了限制。针对上述问题，受 ES （Energy-shaping）方法和被动性原理的启发，又出现了由饱和、比例微分（SP－D）线性反馈环节加比例积分（PI）非线性反馈环节构成的控制器。该控制器在一定的多数范围内可使闭环系统保持全局渐近稳定。后来，Rafael Kelly在此基础上又提出了另一种PD加非线性积分环节的控制器，并根据 Lyapunov直接法和 Lasalk不变原理证明了系统的稳定性。
最近十多年来，“谐波驱动”的应用提高了电力传动的效率，但同时关节柔性也使机器人的跟踪性能降低，甚至影响系统的闭环稳定性，于是许多学者又先后使用SP（Singdar Pertur －bation）法、 ES法及 BackstePPing法对其它的非线性控制器进行了研究。
SP法首先被Spong应用于柔性臂，他给出了与刚性臂同维的降阶模型，同时考虑了关节柔性的影响。根据此模型，他提出了一个校正器来补偿关节的柔性，因此，Spong的柔性臂控制器由刚性控制器和柔性补偿器组成。
ES法是由Takegaki和Arimoto提出的，Lozano与Brogliato将其改进后应用于柔性关节机器人（FJR），后来 Ortega和 EsPinosa总结其公式。随着控制理论的发展，一些学者在假定机械手参数确定的情况下应用Lyapunov直接法，相继又提出了一些具有全局渐进稳定性的非线性控制器。如，Seibert和Suarez通过分析级连系统稳定性问题提出了一种非线性控制器。
此外，刘才山等人基于一种考虑“动力刚化项”的有限维一致线性化动力学方程，根据输入输出部分线性化和LQR方法设计了一种非线性控制器，对上述非线性动力学模型进行了解耦，近似地给出了产生理想关节运动轨迹所需要的控制输入。
以上是假定机械手模型确定的情况下各种控制器的总结。通过对这些非线性控制器的比
较，有以下结论：（l ）不同的非线性控制器针对相同的控制对象控制效果不同；（2）非线性补偿和关节柔性可以在一定程度上提高轨迹的跟踪效果；（3）当关节刚性足够大时，忽略关节柔性的控制器可以与考虑关节柔性时有相同的控制效果。然而，有些柔性关节机器人非线性控制器的复杂结构仍然是系统闭环行为增强的一个障碍，并且对系统的非确定参数缺乏鲁棒性。
2 弯曲木加工机器人模糊控制器的设计
在压缩弯曲木的弯曲过程中，由于被弯曲木材的形状，材质的不同，在机器人对木材进行弯曲的过程中弯曲力的变化很大，该力为一未知多变的参数，无论采用经典的或是现代的控制方式，所建立的控制模型都难于整定，不能取得预期的效果。模糊控制作为智能控制的一个分支，它能够类似于人类主观经验的规则来处理系统的客观信息，从而解决未建模复杂系统的控制问题。近年来对于难于实现自动控制的生产过程，应用微机和模糊控制理论来解决问题，收到了很好的效果。同样我们对弯曲木加工机器人弯曲力的控制，采用了模糊控制技术，用模糊理论的语言变量去替代数学变量，同模糊条件语句来刻划变量间的简单关系，有不太精确的推理产生确定的结论。
该模糊控制器为二维模糊控制器，即用系统中木材变形的变化率和弯曲力变化率为系统输入信号，形式为两端输入单输出，其控制模型如图一所示：
图一 模糊控制器模型图
图中A ~为木材变形的变化率，B ~为力变化率模糊集合，G ~
为控制量模糊集合。
其中
dt
df A = dt dp B = 式中:f - 木材变形量值
p - 弯曲力值
控制系统中，A 、B 都是精确的量，当采用模糊控制器进行模糊控制时，由于控制器自身不会思维，先将精确量转化为模糊量，经处理后再将模糊量转化为精确量。也就是要将系统中A 、B 转换成模糊量，构成模糊集，把模糊化的量输给模糊算法器进行处理。算法器输出的控制量又是一个模糊集合，经过模糊判断给出控制量的确切值去控制被控对象。
精确量的模糊化涉及模糊集合中隶属度出数的求取。如果将A 的变化范围定为［－X A , X A ］，B 的变化范围定为［－X B , X B ］，G 的变化范围定为［－X G , X G ］，将这一连续的精确量离散化，将其分为m 挡，每一档对应一个模糊集, 然后进行模糊处理。m 由控制对象应用场合来定，要求高时取大些，反之则取小些，这样既经济又满足要求。
m 档对应m 个模糊子集，集合元素的隶属度可以根据人们的思维习惯或者统计概率的角度出发采用正态形式或者其它分布形式，这样可以得到元素隶属度，当然这只能得到一个粗略的隶属度表，实际中应根据具体情况加以修正。
二维输入一维输出的模糊控制语言表达式为：
IF A
~ and B
~
then G
~
但对于一个工业控制过程来说，控制经验总结起来会有很多条，因而对应的推理语言就有很多条：
IF A
~1 and B
~
1 then G
~
1
IF A
~2 and B
~
2 then G
~
2
……
IF A
~n and B
~
n then G
~
n
每条推理语言均可得相应模糊关系R i(i=1,2,… ,n) 总控规则R通常取R i(i=1,2,… ,n)的并集来得到，既
R ~=
n
i
Ri
1=
那么，若已知输入A1且B1，可按下法求输出G1。
G ~1＝（A
~
1?B
~
1）
T R
~
由于R
~
是一个较大的矩阵，所需运算时间较长，我们可以用仿真的方法根据模规则运算出控制表，将表存储于微机中，通过查表来求得输出量，这样易于提高响应速度。
系统的模糊控制器示意图见图二：
图二模糊控制器示意图
3．模糊控制器的调整
由于模糊控制器的可调整参数比相应的非模糊控制多，因此模糊控制器的调整过程要复杂一些，在模糊控制器中，主要调整过程包括：
（l）控制规则调整，控制规则的改变将影响系统性能，但调整控制规则相对比较困难；
（2）隶属函数的调整，隶属函数的调整对性能的影响并不大，而且调整隶属函数也不方便；
（3）系数的调整，系数的变化对性能的影响很大，并且系数的调整相对其他方法要简单的多，因此系数的调整是模糊控制是常用的方法。
基于上述原因，本控制器主要是采用调整模糊控制器中的可调系数的方法。简化的弯曲木加工机器人模糊控制器是二维模糊控制，因此实际上是调整二维模糊控制器的系数，模糊控制器的系数包括模糊控制器内部的比例因子以及由比例因子组成的比例系数，积分系数。
调整过程分为两步：首先根据非模糊控制器的调节方法对比例／积分和微分系数进行粗
调，然后精调比例因子以进一步提高性能。本文就不详细讨论了。
4 结论
本文所介绍的模糊控制系统，其控制算法是建立在合理的模糊控制理论和方法的基础上的。控制方案实用、简洁，系统响应时间快、精度高，易于调整，能够满足弯曲木加工机器人控制的需要且易于实现，具有很强的实用性。
参考文献
1 马岩压缩弯曲木平面机器人弯曲曲线形成理论研究东北林业大学学报2002（4）
2 张文修模糊控制与系统西安交通大学出版社 , 1998（1）
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4 Salibury JK. Robot Hands and the Mechanics of Manipulation. The MTT Press, 198
5 5Morris A S,Madani A,Robotica,1998,16:97
The study of the control of space flexible manipulators of the robot of winding wood
Cong xiandong
(Northeast Forestry University, Haerbin,150040)
Abstract: In this paper, we introduce recent developments in the control of space flexible manipulators of the robot in the world .We select the nonlinear fuzzy control method According to the traits of space flexible manipulator of the robot used in the machining of winding wood. And we bring forward a sample fuzzy control method that can lessen the number of the rules of the fuzzy control, make sample the design and adjustment of the control policy and control implement. Key words: winding wood; flexible manipulators; nonlinear; fuzzy control
1）国家“863”高技术研究发展计划资助项目（2001AA422400）。
2）作者简介：丛宪冬，男，东北林业大学机电学院助理研究员、博士生。
函数与方程思想在高中的应用
函数与方程思想在高考中的应用 组长：潘云鹏 12033034 组员：夏炎 12304177 杨岑 12304154 张瑶 12304184 孙雪 12304013 高清华 12304196 谭博闻 12304159 郭志岩 12304143 刘春旭 12304009 函数与方程思想在高考中的应用
摘要本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题.用典型的例题阐明用函数与方程思想方法能够轻易解决数学学科中不等式、数列、二项式定理、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率与统计、导数、实际问题等难以突破的部分，并且它也应用在其他学科领域中.并结合中学数学教学，提出教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想，并且给出了具体可行性的建议. 一.函数与方程思想的概念 1.函数思想 函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解．应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题．． 2.方程思想 方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解．许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、
深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理．两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径． 3.函数与方程思想的相互转化 很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的． 方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点．例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等．方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义．在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究．对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题．函数知识涉及到的知识点多，面广，在概念性、应用性、理解性上能达到一定的要求，有利于检测学生的深刻性、独创性思维． 二.函数思想在解题中的应用分析 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的
专题7：函数与方程思想(理)
专题七：函数与方程思想 【思想方法诠释】 函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点． 1．函数的思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等． 2．方程的思想 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系． 3．函数思想与方程思想的联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x)=0，就是求函数y= f (x)的零点，解不等式f (x)>0(或f (x)<0)，就是求函数y= f (x)的正负区间，再如方程f (x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y= f (x)-g(x)与x轴交点问题，方程f (x)= a有解，当且仅当a属于函数f (x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 4．函数与方程思想解决的相关问题 （1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： ①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的． （2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式； ②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用； ③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题．
初中数学方程函数思想例题
方程函数思想例题 例1： 已知函数y=x3的图像，求解方程x3-x2+1=0. 分析：由于题目中的方程式出现x三次方和平方并存的局面，同时没有x，单纯运用方程式理论对于初中生来说不易解决，而如果可以将已知条件中的函数图像与方程结合出来，却完全可以做到事半功倍的效果。 错误解法：完全运用方程的思想 x3-x2+1=0 →x2(x-1)+1=0 →x2(x-1)=-1 进行初步分析，当x=0时，-1不等于0，此式不成立，而等式的右边是-1，左边出现了x2这个目前完全大于0的数，所 以可以得出： X=0不成立，x2>0 →x-1=-1 →x=0 ? 这里你没有看错，先前我们假定x 不等于0的条件现在却被我们证明了其等于0，这必然证明了我们的结论是错 误的。但是问题出在哪里了呢？此刻我们应当收拾心情，仔细观察一下，将函 数的思想带入其中。 正确解法： 同样，将方程式布局整理一番。 x3-x2+1=0 →x3= x2-1，这时我们运用函数的思想。将等式两边的x3，x2-1 同时设为函数式y= x3,y= x2-1。我们便得到两个函数式，根据已知中我们得知的 y= x3的图像，在坐标图上作出y= x2-1的图像，取两个图像的交点，即为问题的 答案。不仅方便，而且直观形象，也大大降低了解题的风险。这里，我们可以清楚的看出方程函数思想结合的优势。 例2： 2010年杭州市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中 居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和家 庭用水各多少立方米？ 分析：这是一道简便通俗的题目。本题中所涉及的是等量关系，可以运用 方程，也可以运用基本函数知识来解答。本题的设置是旨在培养大家的思维定 性，培养方程函数相结合的思想。 解法一：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米， 依题意，可得 5.8-x=3x-0.6 解得x=1.3 5.8-x=4.5 答：生产经营用水为1.3亿立方米，而居民家庭用水为4.5亿立方米。 解法二：设生产经营用水x亿立方米，居民家庭用水y立方米，依题意，可得 x+y=5.8 →y=5.8 - x y=3x+0.6 →y=3x+ 0.6 通过作出两个一次函数的图像，然后取其图像的交点，得出结论。
函数与方程思想总结(很好很全面)
函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有 关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通 过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1 ?函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数 关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2 ?方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者 构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3 ?函数方程思想的几种重要形式 (1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y = f(x),当y= O时，就转化为方程f(x) = 0, 也可以把函数式y= f(x)看做二元方程y —f(x) = O。 (2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y = f(x),当y > O时，就转化为不等式f(x) > 0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分 重要； (4) 函数f(x) = (1+x)^n (n ∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数
高中数学必修一 函数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法 函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。 方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个 领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数 ) (x f y=，当0 = y时，就转化为方程0 ) (= x f， 也可以把函数式 ) (x f y=看做二元方程0 ) (= -x f y，函数与方程这种相互转化的关系十 分重要。 函数与表达式也可以相互转化，对于函数 ) (x f y=，当0 > y时，就转化为不等式 ) (> x f，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。 数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。 函数 ) ( ) ( ) (* N n bx a x f n∈ + =与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比 较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。 高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。 第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等； 第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题； 第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等； 第四层次：构造方程或不等式求解问题。 其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。 纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”
函数方程思想
难点36 函数方程思想 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，数学中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●难点磁场 1.（★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 . 2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0) （1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点； （2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx + 1 212 +a 对称，求b 的最小值. ●案例探究 ［例1］已知函数f (x )=log m 3 3 +-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1） ?>+-03 3 x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有 0) 3)(3() (6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴??? ???? -=+-=-=+-=) 1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m
函数和方程的思想方法
函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f 1(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
方程和函数思想
方程和函数思想 1．方程和函数思想的概念。 方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都能够用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，所以，本文将二者放在一起实行讨论。 (1)方程思想。 含有未知数的等式叫方程。判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，能够分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。 (2)函数思想。 设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝?(χ)。其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相对应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相对应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存有的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr 2h。半径和高有一对取值，体积就会相对应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。 2. 方程和函数的关系。 (1)方程和函数的区别。 从小学数学到中学数学，数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过
(完整版)第四节空间曲线及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：
课题： 第四节 空间曲线及其方程 教学目的及要求： 介绍空间曲线的各种表示形式。为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点： 1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点： 空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ： 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形 式来表示曲线。 ? ? ?==0),,(0 ),,(z y x G z y x F 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的 点不能同时满足两个方程。 二、空间曲线的参数方程 将曲线C 上的动点的坐标表示为参数t 的函数： ?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x 当给定1t t =时，就得到曲线上的一个点),,(111z y x ，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。 旁批栏：
三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C 的一般方程为 ? ? ?==0),,(0 ),,(z y x G z y x F （1） 消去其中一个变量（例如z ）得到方程 0),(=y x H （2） 曲线的所有点都在方程（2）所表示的曲面（柱面）上。 此柱面（垂直于xoy 平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为 ?? ?==0 ),(z y x H 同理可以求出空间曲线C 在其它坐标面上的投影曲线。 在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这 时要利用投影柱面和投影曲线。 例1：设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z -=所围 成，见下图，求它在xoy 面上 的投影。 解：半球面与锥面交线为 ?????+=--=) (34:2 222y x z y x z C 消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为： ?? ?==+0 1 22z y x 即xoy 平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy 平面上的投影为圆所围成的部分： 122≤+y x 旁批栏：
高中数学竞赛专题一函数与方程思想
高中数学竞赛专题一函数与方程思想 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，它主要包括函数的概念、 图象和性质以及几类典型的函数，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼， 是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。函数思想贯穿 于高中代数的全部内容，它是在学习指数函数、对数函数以及三角函数的过程中逐渐形成，并 为研究这些函数服务的，如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容，一直是高考的热 点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建 立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本 质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路． 和函数有必然联系的是方程，方程是初中代数的主要内容，初中阶段主要学习了几类方程 和方程组的解法，方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、 列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略。 一、考点回顾 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关 求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建 立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易， 化繁为简的目的。比如，对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立， 试求x的取值范围一例，我们习惯上把x当作自变量，构造函数y＝x2＋(p－4)x＋3－p,于是问题转化为：当p∈[0,4]时，y＞0恒成立，求x的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二 次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的． 如果把p看作自变量，x视为参数，构造函数y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)，则y是p的一 次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．函数f(p)的图象是一条线段， 要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x的取值范围 是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归 为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的 目的 在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系， 如数列中的an、Sn都可以看作是n的函数而应用函数思想以获得新的解法。要总结、归纳运用 第1页共14页
函数与方程思想总结
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.
函数与方程的思想
第一编 讲方法 第1讲 函数与方程的思想 「思想方法解读」 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题. 热点题型探究 热点1 函数与方程思想在不等式中的应用 例1 (1)(2019·新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ? ?? ?? π2＋2x 在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－13 B ．1 3 C ．23 D ．1 答案 B 解析 1＋a cos x ≥23sin ? ????π2＋2x ＝2 3(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不 等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，即????? 4＋3a －5≤0，4－3a －5≤0 ?－13≤a ≤1 3.故选B. (2)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D 解析 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4
空间曲线及其方程
§7.6 空间曲线及其方程 一空间曲线的一般方程 空间曲线可看作两曲面的交线，设 F x y z (,,)=0和G x y z (,,)=0 是两曲面的方程，它们的交线为C。曲线上的任何点的坐标x y z ,,应同时满足这两个曲面方程，因此，应满足方程组 F x y z G x y z (,,) (,,) = = ? ? ? (1) 反过来，如果点M不在曲线C上，那么它不可能同时两曲面上。所以，它的坐标不满足方程组(1)。由上述两点可知：曲线C可由方程组(1)表示。 方程组(1)称作空间曲线的一般方程。 二空间曲线的参数方程 对于空间曲线C，若C上的动点的坐标x y z ,,可表示成为参数t的函数x x t y y t z z t = = = ? ? ? ? ? () () () (2) 随着t的变动可得到曲线C上的全部点，方程组(2)叫做空间曲线参数方程。【例1】如果空间一点M在圆柱面x y a 222 +=上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中：ω，v均为常数)，那未点M 的轨迹叫做螺旋线，试建立其参数方程。 解：取时间t为参数。 设当t=0时，动点与x轴上的点A a(,,) 00重合，经过时间t，动点由A a(,,) 00运动到M x y z (,,)。记M在xoy面上的投影为' M，它的坐标为' M x y (,,)0。
由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，经过时间t ，∠'=?AoM t ω 从而 x a t y a t ==???cos sin ωω 又由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升，所以 z vt = 因此，螺旋线的参数方程为 x a t y a t z vt ===???? ?cos sin ωω 或令θω=?t ，则方程形式可化为 x a y a z b b v ===???? ?=cos sin (,)θθθωθ为参数 螺旋线有一个重要性质： 当θ从θ0变到θα0+时，z 由b θ0变到b b θα0+；这表明当oM '转过角α时，M 点沿螺旋线上升了高度h b =α； 特别地，当oM '转过一周，即απ=2时，M 点就上升固定的高度为 h b =2π，这个高度在工程技术上叫螺距。 空间曲线的一般方程也可以化为参数方程，下面通过例子来介绍其处理方法。 【例2】将空间曲线C x y z x z 222921 ++=+=????? 表示成参数方程。 解：由方程组消去z 得
高考数学函数方程思想专题复习
高考数学函数方程思想专题复习 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. ●难点磁场 1.（★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 . 2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b – 1)(a ≠0) （1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点； （2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212 a 对 称，求b 的最小值.
［例1］已知函数f (x )=log m 3 3+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由. 命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目. 知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组. 错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根. 技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题. 解：（1）?>+-03 3x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0) 3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数. （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β– 1),log m m (α–1)］
高中数学专题练习：函数与方程思想
高中数学专题练习：函数与方程思想 [思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切. 常考题型精析 题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 例1已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋t－1，g(x)＝x＋e2 x(x>0)，其中e表示自然对数 的底数. (1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围； (2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根. 点评函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数
第03讲函数方程思想与建模(高中版)
第 3 讲 函数方程思想与建模（高中版） （第课时） 函数方程思想与建模???? ? ?? ??统计模型 几何模型函数模型 不等式模型方程模型 重点：1．函数的性质；2．函数方程思想；3．构造模型解决纯数学问题；4．构造模型解决现实世界中的实际问题。 难点：构造模型解决现实世界中的实际问题。 1．能从题目中收集和处理信息； 2．能把现实世界中的实际问题抽象和简化成数学问题； 3．能综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题。 函数是中学数学的主线内容，综合性极强，它涉及代数的方程、不等式、数列，以及三角甚至几何问题。对函数方程思想的考查往往都是间接和隐蔽的。函数的相关知识几乎全部出现在考题中，增强对生产与生活中的实际问题的考查力度。 近年来高考十分重视对应用问题的考查，题数明显增加，小题向大题转化；紧密联系当前的市场经济和价值规律，应用题的信息来源真实可靠；涉及函数、数列、不等式等高中主要内容，建模思想必将体现在其中。 近年高考试题中应用题的考查情况一览表：
函数思想就是将所研究的问题（包括表面看来的非函数问题）借助建立函数关系式（或构造中间函数），结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、并最终解决。 方程思想就是将数学与实际问题中的数量关系运用数学语言转化为方程或不等式模型加以解决。 实际上函数和多元方程没有什么本质区别，例如函数)(x f y =，就可以看作二元方程 0)(=-y x f 。所以有时还可以实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的。 要深刻理解一般函数)(x f y =、)(1 x f y -= 的性 质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），这是应用函数思想解题的基础。 数学模型：按广义的解释，数学概念、数学公式以及由它们构成的算法系统都称之为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是一个几何图形。数学建模思想不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理各种实际问题的一般数学方法。 数学建模：把现实世界中的实际问题加以抽象和简化，成为数学模型，进而求出模型的解，最后验 证模型的合理性（如果不合理，则应该修改假设，重复建模过程）,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。用数学建模解决问题的基本步骤如右边的流程图。 对于实际应用问题，由于题目文字一般比较多，提供的情景和术语可能比较陌生，陈述的顺序也可能和平时不同，我们必须提高心理承受能力，保持冷静。首先要理解题意，明确问题的实际背景，其次要合理选择变量与参数，最后建立函数、方程或不等式等数学模型，并应用相关知识求解。 对于实际问题，常用的模型有：方程不等式模型、函数模型、数列模型、概率统计模型、几何模型、三角模型。
函数与方程思想
第十一专题 函数与方程思想 考情动态分析： 本专题的内容主要是函数思想、方程思想及其应用.函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的性质，得出所需的结论.高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面：（1）具体的原始意义上的函数问题；（2）方程、不等式与函数的综合问题；（3）数列这一特殊的函数；④利用辅助函数解题. 方程的思想方法，就是设出未知数.根据题中各量间的关系，列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决.高考中有关方程的试题单独命题较少，主要有以下几个方面：（1）方程、函数、不等式的综合题；（2）求曲线的方程；（3）数列中方程思想的应用. 对函数与方程思想的考查，集中体现在应用题、探索性问题，主要考查学生的阅读能力、应用能力、理解能力、表达能力及信息加工处理能力，命题集中体现在在知识交汇点处命制综合性问题. 第一课时 函数思想与方程思想 一、考点核心整合 函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系的观点提出数学抽象，抽象其数学特征，建立函数关系. 方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的，则可以把解析式看作一个方程，通过对方程的讨论使问题得到解决. 函数思想、方程思想体现了一种解决数学问题的理念——建“模”意识.所谓“模”就是一个问题的载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二个步骤是解析“模”，从而真正将实际问题化为数学问题，数学因此也成为探索大自然奥秘的工具. 二、典例精讲： 例1 已知函数)(x f 的定义域为}3,2,1{=A ，值域为}2,1{--=B ，则这样的函数共有 ________个. 例2 设平面内两向量a 与b 互相垂直，且1||,2||==，又k 与t 是两个不同时为0的实数. （Ⅰ）若t )3(2-+=与t k +-=垂直，求k 关于t 的函数关系式)(t f k =； （Ⅱ）试确定)(t f k =的单调区间. 例3 已知函数)(log )1(log 1 1 log )(222x p x x x x f -+-+-+=. （Ⅰ）求)(x f 的定义域； （Ⅱ）求)(x f 的值域. 例4 二次函数r qx px x f ++=2 )(中实数、r 、q p 满足 012=++++m r m q m p ，其中0>m ，求证：（Ⅰ）0)1 ( <+m m pf ； （Ⅱ）方程0)(=x f 在)1,0(内恒有解. 三、提高训练： （一）选择题：
函数与方程思想总结很好很全面
函数与方程思想总结很 好很全面 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数方程思想的几种重要形式 (1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。 (2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； (3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要； (4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【例1】.关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题： ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题是_____________