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广州中考数学压轴题

压轴题

1.关于x 的二次函数y ＝-x 2

＋(k 2

-4)x ＋2k-2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为L ，点A 的横坐标为x ，试求L 关于x 的函数关系式；

(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．答案：(1)根据题意得：k 2-4＝0，

∴k＝±2 .

当k ＝2时，2k-2＝2＞0, 当k ＝－2时，2k-2＝-6＜0. 又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方, ∴k＝2 .

∴抛物线的解析式为：y ＝-x 2

＋2. 函数的草图如图所示：

(2)令-x 2

＋2＝0，得x ＝±2.

当0＜x ＜2时，A 1D 1＝2x ，A 1B 1＝-x 2

＋2 ∴l＝2(A 1B 1＋A 1D 1)＝-2x 2

＋4x ＋4.

当x ＞2时，A 2D 2＝2x,A 2B 2＝-(-x 2

＋2)＝x 2

-2, ∴l＝2(A 2B 2＋A 2D 2)＝2x 2

＋4x-4. ∴l 关于x 的函数关系式是：

????

?-=)2x (4x 4x 2)2x 0(4x 4x 2l 22

＞－＋＜＜＋＋

(3)解法①：当0＜x ＜2时，令A 1B 1＝A 1D 1,得x 2

＋2x －2＝0. 解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3.

将x=-1＋3代入l=-2x 2

＋4x ＋4,得l=83-8, 当x ＞2时，A 2B 2=A 2D 2

第2题图

A 1

A 2

B 1

B 2

C 1

D 1 C 2

D 2 x

得x2-2x-2=0,

解得x=1-3(舍)，或x=1＋3,

将x=1＋3代入l=2x2＋4x-4,

得l=83＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

解法②：当0＜x＜2时，同“解法①”可得x=-1＋3,

∴正方形的周长l=4A1D1=8x=83-8 .

当x＞2时，同“解法①”可得x=1＋3,

∴正方形的周长l=4A2D2=8x=83＋8 .

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83－8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上,

∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，-x2＋2).

令AB＝AD，则22

x-+=2x,

∴-x2＋2=2x, ①

或-x2＋2=-2x, ②

由①解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3,

由②解得x=1-3(舍)，或x=1＋3.

又l=8x,∴当x=-1＋3时，l=83-8；

当x=1＋3时，l=83＋8.

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．

3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动, 同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动.

①移动开始后第t 秒时, 设△PBQ 的面积为S, 试写出S 与t 之间的函数关系式, 并写出t 的取值范围.

②当S 取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.

答：（1）设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，

由题意知点A （0，-12），所以12-=c ，又18a+c=0，3

a , ∵AB ∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是32=-=a

x . ∴4-=b .

所以抛物线的解析式为1243

--=x x y . （2）①9)3(6)6(22

22+--=+-=-??=

t t t t t S ，()60≤≤t . ②当3=t 时，S 取最大值为9。这时点P 的坐标（3，-12），点Q 坐标（6，-6）. 若以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（Ⅰ）当点R 在BQ 的左边，且在PB 下方时，点R 的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R 的坐标就是（3，－18）；

（Ⅱ）当点R 在BQ 的左边，且在PB 上方时，点R 的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件. （Ⅲ）当点R 在BQ 的右边，且在PB 上方时，点R 的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R 不满足条件. 综上所述，点R 坐标为（3，-18）.

第3题图

6.（2010年河南中考模拟题1）如图，在ABC ?中，∠A 90=°，10=BC , ABC ?的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A'?与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.

（1）．用x 表示?ADE 的面积;

（2）．求出0﹤x ≤5时y 与x 的函数关系式；（3）．求出5﹤x ﹤10时y 与x 的函数关系式；（4）．当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

答案：解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC ∴

)(BC

DE S S ABC ADE =??

即2

1x S ADE =

? (2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤5≤x 时 24

1x S y ADE =

=? （3）x ≤5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形 ∵S △A'DE =S △ADE =

1x ∴DE 边上的高AH=AH'=x 2

1 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE 知

DE A'MN A')H

A'F A'(=??S S

2M N A ')5(-=?x S

∴25104

)5(41222-+-=--=x x x x y （4）在函数2

1x y =中

∵0﹤x≤5

∴当x=5时y 最大为：4

在函数

251043

2-+-=x x y 中

当3202=-=a b x 时y 最大为： ∵425﹤3

∴当320=x 时，y 最大为：3

7.（2010年河南中考模拟题2）如图，直线3

y x =+和x 轴y 轴分别交与点B 、A ，点C

是OA 的中点，过点C 向左方作射线CM⊥y 轴，点D 是线段OB 上一动点，不和B 重合，DP⊥CM 于点P ，DE⊥AB 于点E ，连接PE 。（1）求A 、B 、C 三点的坐标。

（2）设点D 的横坐标为x ，△BED 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式。

（3）是否存在点D ，使△DPE 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的x 的

值。

答案：解：(1)将x=0代入y=4

x+3，得y=3，故点A 的坐标为（0,3），

因C 为OA 的中点，故点C 的坐标为（0，1.5）

将y=0代入y=4

x+3，得x=－4，故点B 的坐标为（－4，0）

所以A 、B 、C 三点坐标为（0,3），（－4，0），（0，1.5）（2）由（1）得OB=4，OA=3则由勾股定理得AB=5 因D 点的横坐标为x ，故OD=－x ，则BD=4+x 又由已知得∠DEB=∠AOD=900

， ∴sin∠DBE=sin∠ABO=DE

OA AB =35

，

345

DE x

=+，DE=3

（4+x ），

cos∠DBE=cos∠ABO=

BE OB BD

，

445

BE x

+，BE 4(4)5

x =

+，

S=1

34(4)5

x +335

（4+x ）=

625

(4+x)2

（－4

（3）符合要求的点有三个，x=0，－1.5，－3916

①当PE=PD 时，过P 作PQ⊥DE 于Q cos∠PDQ=cos∠ABO=

DQ PD

，

DE=2DQ=4

PD32=2.4，即2.4=3

(4)5

x +

X=0

②当ED=EP 时，过E 作EH⊥PD 于H cos∠EDH=cos∠ABO=

DH ED =

，

PD=2DH=234

ED=8

33(4)5

x +=1.5，即x=－

3916

，

③当DP=DE 时，即DE=1.5 ,DE=3

(4)5

x +=1.5 ,x=－1.5，

9.（2010年河南中考模拟题4）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）．（1）点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________；

（2）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）探求（2）中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

答案：解：（1）、（4，0）、（0，3）（2）当0＜t≤4时，OM =t ．由△OMN ∽△OAC ，得

OC ON

OA OM =， ∴ ON =t 43，S=12

3OM3ON=2

83t ．

当4＜t ＜8时，

如图，∵ OD =t ，∴ AD = t-4．

由△DAM ∽△AOC ，可得AM =)4(4

-t ．而△OND 的高是3．

S=△OND 的面积-△OMD 的面积

123t33-123t3)4(43

-t

=t t 38

+-．

(3) 有最大值．方法一：当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S=2

3t 的开口向上，在对称轴t=0的右边， S 随t 的增大而增大， ∴ 当t=4时，S 可取到最大值2

3?=6；

当4＜t ＜8时， ∵ 抛物线S=t t 38

+-的开口向下，它的顶点是（4，6）， ∴ S＜6．

综上，当t=4时，S 有最大值6．

方法二：∵ S=2

23048

33488

t t t t t ?

∴ 当0＜t ＜8时，画出S 与t 的函数关系图像，如图所示．显然，当t=4时，S 有最大值6．

11.（2010年河南中考模拟题6）如图，在平面直角坐标系x0y 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点。抛物线2

y bx c ax

++与y 轴交

于点D ，与直线y=x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切与点A 和点C 。（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长；（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

答案：解：（1）2

1y x x

++，

（2）

，（3）点P 在抛物线上，

设y DC =kx+b,将（0，1），（1，0），带入得k=-1,b=1，

∴直线CD 为y=-x+1，

∵过点B 作⊙O 的切线BP 与x 轴平行， ∴P 点的纵坐标为-1，把y=-1带入y=-x+1得x=2， ∴P（2，-1），将x=2带入2

1y x x

++，得 y=-1，

∴点P 在抛物线2

1y x x

++上。

12.（2010年吉林中考模拟题）甲船从A 港出发顺流匀速驶向B 港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B 港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A 港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A 港的距离y 1、y 2（km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象如图所示．

（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．（2分）（2）求甲船在逆流中行驶的路程．（2分）

（3）求甲船到A 港的距离y 1与行驶时间x 之间的函数关系式．（4分）（4）求救生圈落入水中时，甲船到A 港的距离．（2分）

【参考公式：船顺流航行的速度=船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速

度=船在静水中航行的速度-水流速度．】

答案：解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h ．（2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3?-=(km)．

（3）方法一：

设甲船顺流的速度为a km/h ，由图象得23(3.5 2.5)24a a -+-=．解得a =9．

当0≤x ≤2时，19y x =．当2≤x ≤2.5时，设116y x b =-+．把2x =，118y =代入，得130b =． ∴1630y x =-+．

当2.5≤x ≤3.5时，设129y x b =+．把 3.5x =，124y =代入，得27.5b =-． ∴197.5y x =-．方法二：

设甲船顺流的速度为a km/h ，由图象得23(3.5 2.5)24a a -+-=．解得a =9．

当0≤x ≤2时，19y x =．令2x =，则118y =．

当2≤x ≤2.5时，1186(2)y x =--．即1630y x =-+．

令 2.5x =，则115y =．当2.5≤x ≤3.5时，1159( 2.5)y x =+-．

197.5y x =-．

（4）水流速度为(96)2 1.5-÷=(km/h)．

设甲船从A 港航行x 小时救生圈掉落水中．

C'N

G(M)D

O(A)

C'N

M D

O(A)

I y

x N

O(A)

根据题意，得9 1.5(2.5)9 2.57.5x x +-=?-．解得 1.5x =．

1.5913.5?=．

即救生圈落水时甲船到A 港的距离为13.5 km ．

13.(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图1，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上，经过B 、C 、D 三点的抛物线c 1交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c 1的解析式及点M 、N 的坐标；

(2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/

D 在x 轴的负半轴上(/D 在/B 的左边)，点/

A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中/

D B 始终与x 轴平行.

①直接写出点/

A 、/

B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；

②如图3，当正方形/

D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标．

答案：解： (1)y=－2

1x 2

+4, M(22-,0),N(22,0) ①y A'=－21x 2+2 (2分), y B'=－2

1(x －2)2

+4 ②G(1－13，－3＋13)

14.（2010年铁岭市加速度辅导学校）如图，在直角梯形OABD 中，DB OA ∥，

90OAB ∠=，点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，对角线OB AD ，相交于点M ．223OA AB ==，，:1:2BM MO =．

（1）求OB 和OM 的值；

图1

图2

图3

（2）求直线OD 所对应的函数关系式；

（3）已知点P 在线段OB 上（P 不与点O B ，重合），经过点A 和点P 的直线交梯形OABD 的边于点E （E 异于点A ），设O P t =，梯形OABD 被夹在OAE ∠内的部分的面积为S ，

求S 关于t 的函数关系式．

解：（1）

90OAB ∠=，2234OA AB OB ==∴=，，

12BM OM =，412OM OM -∴=，8

OM ∴= （2）由（1）得：83OM =，4

3BM ∴=．

DB OA ∥，易证1

2DB BM OA OM ==

1DB ∴=，(123)D ，．

∴过OD 的直线所对应的函数关系式是23y x =．

（3）依题意：当8

t <≤

时，E 在OD 边上，分别过E P ，作EF OA ⊥，PN OA ⊥，垂足分别为F 和N ，

tan 32PON ∠==，60PON ∴∠=，

OP t ON t PN t =∴==，，．

直线OD 所对应的函数关系式是23y x =，

∴设(23)E n n ，

易证得APN AEF △∽△，PN AN

EF AF

∴

=， 31222223t t

n -∴=

- 整理得：

422t t n n

-=- 82n nt t ∴-=，(8)2n t t -=，28t

n t

∴=

-分由此，112223228AOE

t S OA EF t

==???-△， y

B D M

D M O N

F E y

B D M

438

(0)83t S t t ∴=

<-≤

当

t <<时，点E 在BD 边上，此时，ABE OABD S S S =-△梯形，DB OA ∥，

易证：EPB APO ∴△∽△

BE BP OA OP ∴

=，42BE t

-∴= 2(4)t BE t -=

112(4)4232322ABE t t

S BE AB t t

--==??=?△

1(4)483

(12)23233323532t t S t t t

--∴=+?-?=-?=-+．

综上所述：438

083838

5343

t t

S t t

?-+<

（1）解法2：

90OAB ∠=，223OA AB ==，．

易求得：304OBA OB ∠=∴=，

（3）解法2：分别过E P ，作EF OA ⊥，PN OA ⊥，垂足分别为F 和N ，

由（1）得，13

3022

OBA OP t ON t PN t ∠==∴==，，，，即：1322P t t ??

? ?

，，又(20)，，设经过A P ，的直线所对应的函数关系式是y kx b =+

则13

tk b t k b ?+=

???+=?

解得： 32344t t k b t t =-=--， ∴经过A P ，的直线所对应的函数关系式是32344t t y x t t

+--．

依题意：当8

t <≤

时，E 在OD 边上，(23)E n n ∴，在直线AP 上， 3232344t t n n t t

∴-

+=-- 整理得：

2244tn t

n t t -=-- 28t

n t

∴=-

438t

S t

∴=

- （803t <≤）

当

t <<时，点E 在BD 上，此时，点E 坐标是(23)n ，，因为E 在直线AP 上， 3232344t t n t t

∴-

+=-- 整理得：

2244tn t

t t +=--．82n nt t ∴-=． 48t n t

-∴=

482(4)

22t t BE n t t

--=-=-=

1(4)483

(12)23233323532t t S t t t

--∴=+?-?=-?=-+

综上所述：438

083838

5343

t t

S t t

?-+<

15.（2010天水模拟）如图，在平面直解坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为（4，0）（4，3），动点M ，N 分别从点O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NPBC ，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时。（1）P 点的坐标为（4-t,

t 4

）(用含t 的代数式表示)。（2）记△MPA 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0

（4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且△QAN 为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式。（1）4-t, 4

3t (2)S=

21MA 2PD=21（4-t ）43t S=t t 2

283+-(0

b 2-=8

3223

?=2s S 有最大值, S 最大=23

(平方单位)

(4)设Q(0,m)①AN=AQ AN 2

=AQ 2

+32

=16+M 2

M 2=-3 ∴此方程无解,故此情况舍去. ②AN=NQ AN 2

=NQ 2

13=22

+(3-m)2 3-m=±9 m=0,m 2=6

∴Q=(0,0) ∴AQ:y=0 ③NQ=AQ 4+(3-M)2

=16+M 2

M=-21 ∴(0, 2

) AQ:y=2x 16.(2010年厦门湖里模拟)已知关于x 的一元二次方程2x 2

+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2

+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=2

x+b (b

答案：解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k －1)≥0．∴k ≤3．

∵k 为正整数，∴k ＝1，2，3． (2)当k ＝1时，方程2x 2

＋4x ＋k －1＝0有一个根为零；当k ＝2时，方程2x 2

＋4x ＋k －1＝0无整数根；当k ＝3时，方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有两个非零的整数根综上所述，k ＝1和k ＝2不合题意，舍去；k ＝3符合题意．

当k ＝3时，二次函数为y ＝2x 2

＋4x ＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y ＝2x 2

＋4x －6．

(3)设二次函数y ＝2x 2＋4x －6的图象与x 轴交于A 、B 两点，则A (－3，0)，B (1，0)．依题意翻折后的图象如图所示．

第16题图

当直线b x y +=

21经过A 点时，可得23

=b ；当直线b x y +=21经过B 点时，可得2

-=b ．

由图象可知，符合题意的b (b ＜3)的取值范围为2

21<<-b ．

17．（2010年杭州月考）如图，已知抛物线与x 轴交于点(20)A -，，(40)B ，，与y 轴交于点(08)C ，

．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点

P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果

不存在，请说明理由；

（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

A B

答案：（1）设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-，把(08)C ，代入得1a =-． 228y x x ∴=-++2(1)9x =--+，顶点(19)D ，

）（2）假设满足条件的点P 存在，依题意设(2)P t ，，

由(08)(19)C D ，，

，求得直线CD 的解析式为8y x =+，它与x 轴的夹角为45，设OB 的中垂线交CD 于H ，则(210)H ，．

则10PH t =-，点P 到CD 的距离为22

1022

d PH t ==-．又22224PO t t =+=+．

4102

t t ∴+=

-．平方并整理得：2

20920t t +-=

1083t =-±．

∴存在满足条件的点P ，P 的坐标为(21083)-±，

．（3）由上求得(80)(412)E F -，，

，． ①若抛物线向上平移，可设解析式为2

28(0)y x x m m =-+++>．当8x =-时，72y m =-+．当4x =时，y m =．

720m ∴-+≤或12m ≤．

072m ∴<≤． 222222 （2分）

②若抛物线向下移，可设解析式为2

28(0)y x x m m =-++->．

由2288

y x x m y x ?=-++-?=+?，有2

0x x m -+=．

A B

C O

y D F

140m ∴=-≥△，1

m ∴<≤．

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移1

个单位长．

18．（2010 河南模拟）如图，经过x 轴上A （-1，0）、B （3，0）两点的抛物线

(0)y bx c a ax =++≠交y 轴的正半轴于点C ，设抛物线的顶点为D 。

（1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标；（2）若0

BCD ∠=

，请确定抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q ，使△BDQ 为直角三角形？如果能，请直接写出点Q 的坐标，如不能，说明理由。

答案：（1）D （1，-4a ），C （0，-3a ），（2）2

23y x x

++，

（3）1239115,,,2424Q Q ????-- ? ?????

19．（2010 河南模拟）已知：如图，等腰梯形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正方向上，A ( 0, 6 )

D ( 4，6），且AB ＝210.

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得

S △ABC = 1

2 S 梯形ABCD ?若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.

答案：

（1）在Rt ΔABC 中，，又因为点B 在x 轴的负半轴上，所以B （－2，0）

（2）设过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式为，将A （0，6），B （－2，0），D （4，6）三点的坐标代入得

第18题

第19题

61646420c a b c a b c =??++=??-+=? 解得 1

26a b c =-

== 所以 2

1262

y x x =-

++ （3）略

20.（2010湖南模拟）已知二次函数的图象是经过点A(1,0),B(3,0),E(0,6)三点的一条抛物线.

(1)求这条抛物线的解析式;

(2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x 轴于点D,在y 轴正半轴上有一点P,?且以A 、O 、P 为顶点的三角形与△ACD 相似,求P 点的坐标.

解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3). ∵过E(0,6),∴6=a 33 ∴a=2, ∴ y=2x 2

-8x+6

(2)y=2x 2

-8x+6=2(x 2

-4x+3)-2=2(x-2)2

-2, ∴C(2,-2).对称轴直线x=2,D(2,0). △ACD 为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1. 当△AOP ∽△ACD 时,

OA OP AD CD =,112

=,∴OP=2. ∵ P 在y 轴正半轴上,∴P(0,2).

当△PAO ∽△ACD 时,

OA OP CD AD =,122OP =,OP=1

P 在y 轴正半轴上,∴P(0, 1

21.（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，

与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan∠AC O ＝

．（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使

?????

第

20题

以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

答案：（1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

将A 、B 、C 三点的坐标代入得???

??-==++=+-30390

c c b a c b a

解得：??

??-=-==321c b a

所以这个二次函数的表达式为：322

--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a 所以这个二次函数的表达式为：322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3）理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y

y _

x _ O

E _

D _

C _

B _ A 图10

G _ A _

B _

C _

D _ O

x _

y 图11

∴E 点的坐标为（－3，0）由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN 在x 轴上方时，设圆的半径为R （R>0），则N （R+1，R ），代入抛物线的表达式，解得2

1+=

R ②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0），则N （r+1，－r ），

代入抛物线的表达式，解得2

1+-=r

∴圆的半径为

2171+或2

1+-．（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．

设P （x ，322

--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22

++-=x x ．

3)2(2

2?++-=

+=???x x S S S GPQ APQ APG 当2

x 时，△APG 的面积最大此时P 点的坐标为??

??-415,21，827的最大值为APG S ?．

r 1

B D

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

广州广东中考数学压轴题集锦

广州市历年中考压轴题 2018年 24．（14分）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上． ①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由； ②若点C关于直线x=﹣mm2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求ll rr的值． 25．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．

2017年 24．（14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD 的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=√5cm． ①求sin∠EAD的值； ②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA 匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间． 25．（14分）如图，AB是⊙O的直径，AAAA?=BBAA?，AB=2，连接AC．（1）求证：∠CAB=45°；（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD 所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD． ①试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论； ②EEEE CCCC是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上（2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1）（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

广州近三年中考数学试题分析

广州市数学中考试题题型与解析广州市数学中考比较重视学生对基本方法、基本知识、基本技能的考查，没有偏、怪、难的题目，试题一般有多种解法，大多数题目的解法都能从课本上找到影子。回归课本，就是要掌握典型例题、习题的通法通则，就是抓纲悟本。从这三年的中考数学试卷上分析可得到以下结论： 1、试卷满分都是150分，考试时间120分钟; 2、题型的分布都是总共25道题，其中选择题10道(30分)，填空题6道(18分)，解答题9道(102分); 3、试卷难度不大，基础题占有122分(82%)，有难度拔高题占有28分(18%); 4、代数部分考查分数大概是90～100分，几何部分考查分数50～60分(37%); 5、知识点的考查比较有规律，常规题型的变化不大下面是我对2010～2012年广州市中考数学试卷的分析表，仅供参考：从表中我们可以清楚的意识到，中考对于函数部分的考查比例非常重，考查的对象主要是：一次函数、反比例函数、二次函数。主要研究函数的解析式，取值范围，数形结合的思想，分类讨论的思想在里面体现得很淋漓尽致。对于必须掌握的一定要复习到位，比如待定系数法求三种函数的解析式，函数与方程的联系与转换，函数与不等式的关系，函数里的最值问题总结与归纳。一、试题具体相关数据

注：2011及2012年对比加粗部分为占比变化较大的板块。表2 2013广州中考数学试卷中各版块分值分布

注：灰色部分为多个知识点综合题. 二、试题分析 1.在内容上，2013年广州中考数学在各板块所占比重与上年基本持平，但函数部分占比下降明显，2012年填选题3题，解答题2题，2013年填空题1题，解答题2题。数与式部分题目量增加，所占分值较上年有所增加。本卷统计与概率结合同一解答题考查，统计概论板块所占分值下降。 2.2013年广州中考数学没有考查找规律，也没考查方程、不等式或函数的应用题，而增加了尺规作图的考查，还是要求考生掌握基本作图方法。 3.在难度上，与上年相比，2013年中考数学试题前22题难度相对较小，考察的题型也比较常规，基本上都是基础的知识，如有理数大小比较、数与式部分基础题型、全等三角形的判定和尺规作图、四边形的性质。结合的知识点较多，往往一个题目中涵盖多个考点。考查依旧重基础，要求常规题型熟练掌握。 4.考生普遍反应除两道压轴外，23题考查反比例函数与动点面积问题难度较大。24题尽管考查圆与相似三角形结合的问题，但是难度并不大，易错点在于分类讨论。25题二次函数问题并没有考查其与图形结合问题，而是较纯粹地考查二次函数的基本概念及性质，尽管难度不大，但会让部分考生不知所措。 5.在试题的选取上，延续了近几年出题的规律，后面两道压轴题一道几何（圆）一道二次函数，在上文讲到难度并不大，为了均衡试卷难度，23题就相应比前几年的考试难度大。三、2014广州中考复习启示 1.以考纲为依据，重基础，认真复习常规题型。尽管2013年广州中考数学试题23题较难，但是并不违背其多年的出题规律：前23题为基础考查，结合考点较少，难度一般不大。2014年中考复习先要紧抓考纲，巩固基础。 2. 掌握分类讨论、数形结合等数学思想； 2013广州中考数学试题24题考查了分类讨论，25题考查数形结合，这两个思想一直是中考考查热点。2014年中考复习要做到能够熟练运用数学思想，解决综合问题。 3.有针对性的练习提高学生解决综合问题的能力。进行2014年广州中考数学复习的同学可在自己能够接受得范围内自觉进行综合题练习，既能够复习巩固基础考点，也能够练习分类讨论或数形结合的数学思想的运用。 Ps:函数部分是代数部分的重点内容，也是难点内容，考查重点在于以下几点：函数解析式的求法，难度较低，熟悉待定系数法等方法即可;三种函数图像的基本性质的应用，难度中等;函数的实际应用，常出现在试卷难度最大的代数综合题、代几综合题中，分值在25分左右。不等式与方程的复习，要以基础为主，不要只研究难题，要注重过程以及方法的总结。从试卷这部分考题来看，难度都不大，关键是我们的同学能否有明确的思路，良好的解题过程，正确答案。因此我们在复习的时候，一定要特别注意。加强对以下内容的复习：一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式、不等式组、一元二次方程。注意整体思想，换

广东省2018年中考数学试题及答案解析(WORD版)

2018年广东省初中毕业生学业考试数学说明：1.全卷共6页，满分为120 分，考试用时为100分钟。 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号。用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 5.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1．四个实数0、1 3 、 3.14-、2中，最小的数是 A ．0 B ．13 C ． 3.14- D ．2 2．据有关部门统计，2018年“五一小长假”期间，广东各大景点共接待游客约14420000人次，将数14420000用科学记数法表示为 A ．71.44210? B ．70.144210? C ．81.44210? D ．80.144210? 3．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是 A ． B ． C ． D ． 4．数据1、5、7、4、8的中位数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 5．下列所述图形中，是轴对称图形但不是．．中心对称图形的是 A ．圆 B ．菱形 C ．平行四边形 D ．等腰三角形 6．不等式313x x -≥+的解集是 A ．4x ≤ B ．4x ≥ C ．2x ≤ D ．2x ≥ 7．在△ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则ADE 与△ABC 的面积之比为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 8．如图，AB ∥CD ，则100DEC ∠=?，40C ∠=?，则B ∠的大小是

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -，、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式；（2 求tan ABO ∠的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分）解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分）（2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分）在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分）在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分）设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分）解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

2018年度中考数学压轴题

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<

中考数学压轴题几何代数综合题(PDF版)

第三课时几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长；（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4．在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=．（3）存在．理由如下：

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。（1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

2020年广东中考数学压轴题：动点问题

2020年广东省中考数学压轴题：动点问题如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x = -，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62 x x S x x -+-?3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484 y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得126,8. x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．

中考数学压轴题解析二十

中考数学压轴题解析二十 103．（2017黑龙江省龙东地区，第25题，8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示．（1）甲、乙两地相距千米．（2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式．（3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？【答案】（1）480；（2）y2=40x﹣120；（3）1.2或4.8或7.5小时．【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离；（2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）分三种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等；货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等．． 106．（2017山东省莱芜市，第22题，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲种口罩的数量大于乙种口罩的4 5，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可；（2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大

中考数学压轴题专题动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。（2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

中考数学压轴题100题精选

我选的中考数学压轴题100题精选【001 】如图，已知抛物线2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线 OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长． ! , 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t

中考数学压轴题典型题型解析

中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且（1）求的值．（2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．（09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 ·············································································· 1分在中，由勾股定理有 ········································································ 1分（2）∵点在轴上， ········································································ 1分 ABCD 6AD =，OA OB x 2 7120x x -+=OA OB >．sin ABC ∠E x 16 3 AOE S = △，D E AOE △DAO △M AB F ，A C F M F 2 7120x x -+=1243x x ==，OA OB >43OA OB ∴==，Rt AOB △225AB OA OB =+=4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= =E x 163 AOE S = △11623AO OE ∴?=8 3 OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或，x y A D B O C 28题图

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

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