07-08-3高等数学A期中考试试卷参考答案

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07-08-3高数A 期中试卷参考答案

08.4.11

一.填空题(本题共5小题，每小题5分，满分2 5分) 1. 交换二次积分的次序

(

)(

)01

12

1d ,d d ,d x f x y y x f x y y -+?

??

2

=；

2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数， 且0v zF ≠，则z z x y

y x x y z

??+=??； 3. 二重积分

2221

()d d 2

x y x y x y π

+≤+=

??

；

4. 曲线222

1,,

y x z x y ?=-?

?=+??在点(1,0,1)处的切线方程为11010x y z --==； 5. 设曲线2224:1

x y z L z ?++=?=?

，则曲线积分2s =?. 二．单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分) 6.

(

[ B ]

(A

)

)))c o i s 2- (B

)

))()c o i s 2+

(C

)(

)())c o s 2i s i 2- (D

)(

)())l c o s 2i s i 2+ 7. 设22222

2()d ,:4I f x y z V x y z z Ω

=

++Ω++≤???

，f 为连续函数，则I = [ D ]

(A )

()4c o s 2

2

20

0d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

(B ) ()24c o s 2220

2d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

(C )

()24c o s 2

2

0d d sin d f r r r ππθ?θθ?

??

(D ) ()24c o s 2220

d d sin d f r r r π

πθ?θθ?

??

8. 设,e x x z f y y ??= ???

，其中函数f 具有二阶连续偏导数，则2z x y ?=?? [ A ]

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(A ) 21112221232e 1(1)e e x x x

x f x f y f f f y y y -+-+-+ (B )21112223e (1)e x x x f x f y f y y +-+

(C )2111222132e 1e x x

x f f y f f y y y ++- (D ) 211122223e e e x x x x f f y f f y y

+++

9. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数,且(1,1)2f =,(,)x f m n m n =+,(,)y f m n m n =?, 令()(,(,))g x f x f x x =，则(1)g '= [ C ] （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 三. 计算下列各题(本题共4小题，每小题9分，满分36分) 10．

计算二重积分

{d ,(,)0D

x y D x y x =≤≤.

解

2sin 2

3220

0816

d d d sin d 39

D

x y π

π??ρρ??===??

?

11．求函数2

(,,)e d xy t z

u x y z t -=?

在点(1,1,1)P 处沿曲面222

1236

x y z ++=在该点处的法线

方向的方向导数. 解 {

}

222

()()111grad e ,e ,e ,,e e e xy xy z

P

P

u

y x ---??

=-=-????

，单位法向量为

=±n

，

111,,e e e P

u n

???=±?-=??

???

12．计算三重积分

2

2()d xy

z V Ω

+???,其中Ω是由旋转抛物面22x y z +=与平面1=z 和

4=z 围成的空间闭区域.

解

4

2223

1255

()d d d 4

xy z V z V z z ππΩ

Ω

+===??????? 13.

计算曲面积分

222A ∑

??

，其中∑

为上半球面z =面22

0(0)x y Ry R +-=>内的部分.

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解 投影区域{

}

22

(,)xy D x y x y Ry =+≤，

()222222

12d d A R A R x y A R ∑

∑

∑

=-

--????

22d d xy

xy

D D R x y x y =-??

??

sin sin 20

2d d d R R R π

?π??ρ?ρ=-??

??

33532

39

R R π=- 四（14）．（本题满分8分）设曲线段2

:(01)L y x x =≤≤上任意一点(,)x y 处的线密度函数12x μ=，求该曲线段的质量. 解

1

12

d 121L

m x s x ===?

?

五（15）。（本题满分8分）已知曲线22:4

z x y C x y z ?=+?++=?，求C 上距离原点最远的点和最近

的点，并求最远距离和最近距离.

解 22222()(4)L x y z x y z x y z λμ=++++-+++-， 220x L x x λμ=++=，

220y L y y λμ=++=,20z L z λμ=-+=,220x y z +-=,40x y z ++-=

解得12(2,2,8),(1,1,2)M M --，由问题的实际意义知，1M 为最远点，2M 为最近点

max min d d =六（16）.（本题满分7分）设()(,)i (,)f z u x y v x y =+为解析函数，其中实部与虚部的

乘积满足()

22(,)(,)2u x y v x y xy x y ?=-，试求2

()f z 的表达式（必须用变量z 表示）.

解 记2()(,)i (,)f z U x y V x y =+,22

(,)2(,)(,)4()V x y u x y v x y xy x y =?=-,

224(3)V U x x y y x

??=-=??,422

6()U x x y y ?=-+,

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22312()124U V

x y y x y y y x

???'=-+=-=-+??,于是4()y y C ?=+, 44226U x y x y C =+-+(C 为常数) ,

2442222()6i4()f z x y x y C xy x y =+-++-,24()f x x C =+,24()f z z C =+