常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2

求下列方程的解 1．

dx

dy =x y sin +

解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx

c dx +)

=e x [-

21

e x -(x x cos sin +)+c]

=c e x -2

1

(x x cos sin +)是原方程的解。

2．

dt

dx +3x=e t 2

解：原方程可化为：

dt

dx =-3x+e t 2

所以：x=e ?

-dt

3 (?e t 2 e -?-dt

3c dt +)

=e t 3- (5

1

e t 5+c)

=c e t 3-+5

1

e t 2 是原方程的解。

3．

dt

ds =-s t cos +

21t 2sin

解：s=e ?

-tdt

cos (t 2sin 2

1

?e dt dt

?

3c + )

=e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4．

dx

dy n

x

x

e y n x =- ， n 为常数.

解：原方程可化为：

dx

dy n

x x

e y n

x +=

)(c dx e

x e e

y dx

x n

n

x

dx

x n

+??=?-

)(c e x x n += 是原方程的解.

5．

dx

dy +

1212

--y x

x =0 解：原方程可化为：

dx

dy =-1212

+-y x

x ?

=-dx

x

x e

y 2

1

2(c

dx e

dx

x

x +?

-2

21)

)

2

1(ln 2

+

=x e

)(1ln 2

?+-

-c dx e

x

x

=)1(1

2

x ce x + 是原方程的解.

6．

dx dy 2

3

4xy

x x +=

解：

dx

dy 2

3

4

xy x x +=

=2

3y

x +

x

y

令

x

y u = 则 ux y =

dx

dy =u dx

du x

+

因此：dx du x u +=

2

u x

2

1u

dx

du =

dx du u =2

c

x u

+=3

31

c x x u +=-33 （*） 将

x

y u =带入 （*）中 得：3

4

3

3cx x y =-是原方程的解.

3

3

3

2

()2

1()2

27.

(1)

1

2(1)

12(),()(1)

1(1)

(())

1(1)

dx

P x dx

x P x dx

dy y x dx

x dy y x dx x P x Q x x x e e

x e Q x dx c x +--

=++=+++==++??

==+?

?++??

P(x)dx

2

3

2

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+2

3

2

2

1

(1)(

)

2

11,()(())dy y x c dy y dx x y

dx x y

dy y y Q y y

y

e y

Q y dy c -+++==+=??==?

?+??2

2

4

3

P(y)dy P(y)dy

P(y)dy

1)dx+c) =(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8.

=

x+y 解：则P(y)=

e 方程的通解为： x=e e 2

3

3

1*)

2

2

y dy c y

y

cy

y

++? =y( =即 x=

+cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.

,1),()(())

01a

dx

P x dx

a

x P x dx

P x dx

a

a

dy ay x a dx

x

x

a x P x Q x x

x

e e

x

e e Q x dx c a a -+=

++==

??

==?

?+==?

为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c)

x

x

当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a

a

≠a

的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为x 1 y=cx +-

1-

3

3

3

1

()()()3

10.11(),()1(())(*)

dx

P x dx

x P x dx

P x dx

dy x

y x

dx

dy y x

dx x P x Q x x

x

e e

x

e e Q x dx c x x dx c c x c x

-

-+==-+=-=??

==

??+++

+

??3

3

解：方程的通解为： y=1 =x x =

4

x

方程的通解为：　y=

4

()

()

()

22

33

33

2

3

3

2

3

2

3

3

23

11.

2()

2()

()2,()2(())((2)p x xdx x

p x p x x

dy xy x y

dx

xy x y

dx xy

x

y dx xy x dx y z

dz xz x dx

P x x Q x x e dx e e

e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-?

?==?

?+-??2

3

-2x

dy 解：两边除以y dy dy

令方程的通解为： z= =e 2

2

2)1

1)1,0x

x

dx c ce

y ce

y +++++==2

2

=x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2

221

2

11

1

()()2

2

2

ln 112.(ln 2)4

2

4

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())

ln 1(())(P x dx P x dx

dx

dx

x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy

x y dx x

x

y

z dz x z dx

x

x

x P x Q x x

x

z e e Q x dx c x z e e

dx c x x

------

-=+

+

=-

=

-

=-

==

-==-

??=+??=-

+=??解： 两边除以 令方程的通解为：

2

2

2

ln ())

ln 14

2

4

ln 1:(

)1,4

2

4

x dx c x

x

c x x c x y x -+=+

+

+

+

=?

方程的通解为且y=0也是解。

13

2

2

2(2)2122xydy y x dx dy y x y dx

xy

x

y

=--==

-

这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1y ，

2

12

dy y

y

dx

x

=

-

令2y z =

2d z d y y

d x

d x

=

2

2211dz y z dx

x

x

=-=

-

P(x)=

2x

Q(x)=-1

由一阶线性方程的求解公式

2

2

()dx

dx

x x z e

e

dx c -

??=-+?

=2x x c +

2

2

y x x c =+

14

23y dy e x dx

x

+=

两边同乘以y

e 22

()3y y

y

dy e xe

e

dx

x

+=

令y e z =

y

d z d y e

d x

d x

=

2

222

33dz z xz z z dx

x

x

x

+=

=

+

这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以2z

2

2

131

dz

z dx xz x =+ 令

1T

z

=

2

1dT dz dx

z dx

=-

231

dT T dx x x

-=+ P （x ）=3x

- Q(x)=

2

1

x

-

由一阶线性方程的求解公式

33

21()dx

dx x x T e

e dx c x --?

?=+?

=32

1()2

x x c --+

=1

3

12x

cx

---

+

1

3

1()12

z x

cx ---

+= 1

3

1()12

y

e x

cx

---+=

2

3

12

y

y x e ce x

-+=

2

3

12y

x x e c

-+=

15

3

3

1dy dx xy x y

=

+

33

dx yx y x

dy

=+

这是n=3时的伯努利方程。 两边

3

x

3

3

2

1dx y y

x dy

x

=

+

令2x z -=

3

2d z d x x

d y

d y

-=-

3

2

22d z y y

d y

x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y -

由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy z e y e dy c ---?

?=-+?

=2

2

3(2)y y e y e dy c --+? =2

21y y ce --++

2

22(1)1y

x y ce

--++=

2

2

2

2

2

(1)y

y

y

x e y ce

e

--++=

2

2

2

2

2

(1)y

e x x y cx -+=

16 y=x e +0()x

y t dt ?

()x

dy e y x dx

=+ x

dy y e

dx

=+

P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x x x e e e dx c -+? =()x e x c +

()()x x

x

x

e x c e e x c dx +=+

+?

c=1 y=()x e x c +

17 设函数?(t)于-∞

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或(0)1?=

（1） 当(0)0?=时 ()(0)()(t t t ????=+= 即()0t ?= (t ?∈-

∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '0

()()

()lim

t t t t t t

????→+?-=?=0

()()()

lim

t t t t t

????→?-?

=0

()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=0

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

='(0)()t ??

于是

'

(0)()d t dt

???=

变量分离得

'

(0)d dt

?

??

= 积分 '

(0)t ce ??=

由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =

是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+

，其中c 为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：

()()dy P x y Q x dx =+ （2.28）

()dy P x y

dx

=

（2.3）

（1）

设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解 则

11()(

)dy P x y Q x dx

=+ （1） 2

2()()dy P x y Q x dx

=+

（2）

（1）-（2）得

()1212()()d y y P x y y dx

-=-

即12y y y =-是满足方程（2.3） 所以，命题成立。

（2）

由题意得：

()()dy x P x y

dx

= （3）

()()()()

d y x P x y x Q x dx

=+

（4）

1）先证y cy y =+

是（2.28）的一个解。 于是 ()()34c ?+ 得

()()()cdy d y cP x y P x y Q x dx

dx

+

=++

()

()()()d cy y P x cy y Q x dx

+=++

故y cy y =+

是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +

的形式 设1y 是(2.28)的一个解 则

11()(

)dy P x y Q x dx

=+ （4’）

于是 （4’）-（4）得

11()

()()d y y P x y y dx

-=-

从而 ()1P x dx

y y ce cy

?

-==

即 1y y c y =+

所以，命题成立。

（3）

设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解 则

3

3()dy P x y dx = （5） 4

4()dy P x y dx

= （6） 于是（5）c ?得 3

3()cdy cP x y dx

= 即

33()

()()d cy P x cy dx

= 其中c 为任意常数 也就是3y cy =满足方程（2.3） （5）±（6）得

3

4

34()()dy dy P x y P x y dx dx ±=±

即

3434()

()()d y y P x y y dx

±=± 也就是34y y y =±满足方程（2.3） 所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5）

曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为

'()Y y y X x -=-

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'

y x y xy y -

-

即 横截距为 '

y x y -

，

纵截距为 'y xy -。 由题意得： （5） 2

'y x y x -=

方程变形为 2

dy x y x

dx

=-

1

dy y x dx x

=-

于是 1

1

()(())dx

dx

x x y e

x e

dx c -??=-+?

l n l n

(())

x x e x e

dx c

-

=-+? 1

(())

x x x d x c -=-+

? 1(())

x x d x c x

=-+?

()x x c =-+ 2x c x =-+

所以，方程的通解为2y x cx =-+。 （6）'2

x y y xy +-=

方程变形为 22dy y x x

dx

=-

1122

dy y dx

x

=

-

于是 1

1

()221(())2dx

dx

x x y e

e dx c -??=-

+?

1

1ln ln 2

2

1(())2

x

x

e e

dx c -

=-

+?

11

2

2

1(())

2

x x

d x c -

=-

+? 1

1

221

(())2

x x dx c -

=-+?

1

1

22()x x c =-+

1

2

x c x =-+

所以，方程的通解为1

2y x cx =-+。 22．求解下列方程。 （1）0')1(2=+--xy y x 解：1

111'2

2

--

--=

x y x xy y

)1

1

(12

122?+?--

?=---c e x e

y dx

x x

dx

x x

=]/1/1

1

1[/1/2

1

2

2

21

2

c dx x x x +---

-?

=]/1/[/1/2

3

2

21

2c x dx

x +--

-?

=c x x +-/1/2

（2） '3sin cos sin 0y x x y x --=

2

sin sin cos cos dy y x dx

x x

x

=

+

P(x)=

1sin cos x x

Q(x)=

2

sin cos x x

由一阶线性方程的求解公式

1

1

2

sin cos sin cos sin ()cos dx

dx

x x x x x y e

e

dx c x

-

??=+?

=sin (sin )cos x xdx c x +? =

sin (cos )cos x x c x

-+

=sin tgxc x -

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)

内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》第三版答案

《常微分方程》第三版答案 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-

令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程(第三版)课后答案

常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

最新常微分方程(第三版)答案

常微分方程(第三版) 答案

常微分方程习题答案 2.1 1.?Skip Record If...?,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 ?Skip Record If...??Skip Record If...?并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： ?Skip Record If...?3 ?Skip Record If...? 解：原式可化为： ?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 12．?Skip Record If...? 解?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? 15．?Skip Record If...? ?Skip Record If...?16．?Skip Record If...? 解：?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，这是齐次方程，令?Skip Record If...? 17. ?Skip Record If...? 解：原方程化为?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 方程组?Skip Record If...??Skip Record If...? 则有?Skip Record If...? 令?Skip Record If...? 当?Skip Record If...?当?Skip Record If...? 另外 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

常微分方程王高雄第三版答案3.1

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=--=0 )1(22y y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

常微分方程(第三版)(王高雄周之铭朱思铭)高等教育出版社课后答案

常微分方程习题答案 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== , 0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分方程第三版课后习题答案#(精选.)

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

常微分方程第三版答案2.2[1]1

习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

《常微分方程》答案 习题3.3

习题3.3 1．Proof 若（1）成立则0ε?>及00x x >，0(,)x δδε?=，使当 000|||(,,)|y y x x y δ=≤ 时，初值问题 0000(,)()(,,) dy f x y dx y x y y x x y ?=? ??==? 的解00(,,)y y x x y =满足对一切0x x ≥有00|(,,)|y x x y ε<, 由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解00(,,)y y x x y =及00(,,)y y x x y =都过点 00(,)x y ，由解的存在唯一性 0000(,,)(,,)y x x y y x x y =，当0x x ≥时 故000|(,,)|,y x x y x x ε<≥ 若（2）成立，取定00x x >，则0ε?>，10(,)()x δδεδε?==，使当 001|(,,)|y x x y δ≤ 时,对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 因初值问题0(,)()0 dy f x y dx y x ?=? ??=? 的解为0y =，由解对初值的连续依赖性， 对以上0ε>，000(,,)(,)x x x δδεδε?==，使当 0||y δ ≤时 对一切00(,]x x x ∈有 001|(,,)|m in{,}y x x y εδε << 而当0x x ≥时，因

0011|(,,)|min{,}y x x y εδδ≤< 故00|(,,)|y x x y ε< 这样证明了对一切0x x ≥有 00|(,,)|y x x y ε < 2．Proof ：因(,)f x y 及 f y ??都在G 内连续，从而(,)f x y 在G 内关于y 满足局部 Lipschitz 条件，因此解00(,,)y x x y ?=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的。 设由初值00(,)x y 和000(,)x y y +?0(||,y αα?≤足够小）所确定的方程解分别为 00(,,)y x x y ?? =≡，000(,,)y x x y y ψψ=+?≡ 即0 0(,)x x y f x dx ??≡+?，0 00(,)x x y y f x dx ψψ≡+?+? 于是 00((,)(,))x x y f x f x dx ψ??ψ-≡?+-? 0(,()) ()01x x f x y dx y ?θψ?ψ?θ?+-=?+ -<

常微分方程第三版答案教学文稿

常微分方程第三版答 案

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程第三版答案.doc

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.doc

\ 习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 & 解：y 2 dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 、 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- { 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+2 2y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx } arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 ` 2 e x 3-3e 2 y -=c. (lnx-lny)dy-ydx=0

常微分方程第三版课后习题答案

常微分方程第三版课后习题答案 习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y= | )1(|ln 1 +x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 3 2 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 2 1+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令x y =u 则 dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0

常微分方程第5章答案

习题 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令＝x ＝＝＝则得： 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝ x x＝ 满足初始条件 x(0)=

常微分方程第三版课后答案

常微分方程 2.1 1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 22 ,11,0,ln ,212=====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2111,011 1=++ =++≠++-=++=+≠+?+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 . 0;0;ln , ln ,ln ln 0110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 111 1,11,,,0 )()(:53322 222222222 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：