2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)
(1) 设常数1
2a ≠,则21lim ln .(12)n
n n na n a →∞??-+=??-??
(2)
交换积分次序:
111
42210
4
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +=
?
??.
(3) 设三阶矩阵12
22
12304A -??
?
= ? ??
?
,三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关,则 a =
.
(4)
则2
X 和2
Y 的协方差22cov(,)X Y =.
(5) 设总体X 的概率密度为
(),,
(;)0,
x e x f x x θθθθ--?≥=?
而12,,
,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义,在开区间(,)a b 内可导,则 ( )
(A)当()()0f a f b <时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈,有lim[()()]0x f x f ξ
ξ→-=.
(C)当()()f a f b =时,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈,使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(2) 设幂级数1n
n n a x ∞
=∑与1n
n n b x ∞
=∑
1
3,则幂级数221n n i n
a x
b ∞
=∑的收敛半
径为 ( ) (A) 5 (B)
(C) 13 (D)15
(3) 设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则线性方程组()0AB x = ( )
(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解
(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解
(4) 设A 是n 阶实对称矩阵,P 是n 阶可逆矩阵,已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量,则矩阵(
)
1
T
P AP
-属于特征值λ的特征向量是 ( )
(A) 1
P α- (B) T
P α (C)P α (D)()
1T
P α-
(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布,则 ( )
(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2
χ分布
(C)2X 和2Y 都服从2
χ分布 (D)22
/X Y 服从F 分布
三、(本题满分5分)
求极限 2
00
arctan(1)lim
(1cos )
x
u x t dt du x x →??+????-?
?
四、(本题满分7分)
设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数,且(,)z z x y =由方程x y z
xe ye ze -=所确定,求du .
五、(本题满分6分)
设2
(sin ),sin x f x x =
求()x dx . 六、(本题满分7分)
设1D 是由抛物线2
2y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域;2D 是由抛物线2
2y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域,其中02a <<.
(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ;2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ;
(2)问当a 为何值时,12V V +取得最大值?试求此最大值. 七、(本题满分7分)
(1)验证函数()()369
3()13!6!9!3
!n
x x x x y x x n =+++++
++-∞<<+∞满足微分方程
x y y y e '''++=
(2)利用(1)的结果求幂级数(
)303!n
n x n ∞
=∑的和函数.
八、(本题满分6分)
设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点[,]a b ξ∈,使
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?.
九、(本题满分8分)
设齐次线性方程组
1231231230,0,0,
n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=??++++=????+++
+=?
其中0,0,2a b n ≠≠≥,试讨论,a b 为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
十、(本题满分8分)
设A 为三阶实对称矩阵,且满足条件2
20A A +=,已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值
(2)当k 为何值时,矩阵A kE +为正定矩阵,其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)
假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布,随机变量
1,1-1,11,1;1,1;
U U X Y U U -≤-≤??==??>->??若若若若
试求:(1)X 和Y 的联合概率分布;(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)
假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题 (1)【答案】
1
12a
- 【详解】ln “”里面为1∞
“”型,通过凑成重要极限形式来求极限,
1
(12)12211lim ln lim ln 1(12)(12)n
n a a
n n n na n a n a -?
-→∞
→∞????-+=+????--????
(12)
11
lim ln 112(12)n a n a n a -→∞??=+??--??
11
ln 1212e a a
=
=--.
(2)【答案】
21
20
(,)x
x
dx f x y dy ??
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ,将它们的并集记为D . 于是
1
1142210
4
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +?
??(,)D
f x y d σ=??.
再将后者根据积分定义化为如下形式,即2
102
x y x x →→从,从,所以
2120
(,)(,).x
x
D
f x y d dx f x y dy σ=??
??
(3)【答案】1- 【详解】
12
22
12123,304134a a A a a α-?????? ??? ?==+ ??? ? ??? ?+?
?????
由于A α与α线性相关,(两个非零向量线性相关,则对应分量成比例),所以有
2334
11
a a a a ++==,得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关,则其中一个可以由另一个线性表出)
即 231341a a a k a ???? ? ?+
= ? ? ? ?+????,得
2334a ka
a k a k =??
+=??+=?
,得 1.(1)a k
=-=
(4)【答案】0.02-.
【详解】2X 、2Y 和2X 2
Y 都是01-分布,而01-分布的期望值恰为取1时的概率p .
由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1,且2
Y 的可能取值也为0和1,且X 和Y 的边缘分布为
{}00.070.180.150.4P X ==++=;{}10.080.320.200.6P X ==++=; {}10.070.080.15P Y =-=+=;{}00.180.320.5P Y ==+=; {}10.150.200.35P Y ==+=;
故有
{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======
{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======
{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=
而边缘分布律:
{}{}2000.4P X P X ====,{}{}2110.6P X P X ====, {}{}2000.5P Y P Y ====,
{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=
所以,22
(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为
由上表同理可求得2
2
X Y 的分布律为
所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到:
22222
2
2
2
2
2
()0.5()0.60,(0.28
cov ()()0.280.60.50.02
E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-?=-,)(,)()
(5)【答案】1X -.
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθ
θ+∞
+∞
---∞
=
==+?
?
X
0 1
0.4 0.6 Y
1- 0 1
0.15 0.5 0.35
样本均值 1
1n
i i X X n ==∑
用样本均值估计期望有 E X X =,即 111n
i i X n θ=+=∑,
解得未知参数θ的矩估计量为 1
1?11n
i
i X X n θ==-=-∑.
二、选择题 (1)【答案】(B)
【详解】方法1:论证法.由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导,所以()f x 在(,)a b 内连续,
因此,对于(,)a b 内的任意一点ξ,必有lim ()().x f x f ξ
ξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξ
ξ→-=.故
选(B).
方法2:排除法.
(A)的反例:1(,]
()1x a b f x x a
∈?=?
-=?,有()1,()1,()()10f a f b f a f b
=-==-<
,
但()f x 在(,)a b 内无零点.
(C)与(D)的反例,(1,1]
()1
1
x
x f x x ∈-?=?
=-? (1)
(1)1f f -==,但()1f x '=(当(1,1)x ∈-),不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值定理的结论.故选(B).
(2)【答案】(D)
【详解】方法1:A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则AB 是m 阶方阵,因
()min((),())r AB r A r B ≤.
当m n >时,有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解,故应选(D).
方法2:B 是n m ?矩阵, 当m n >时,,则()r B n =,(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方
程组0Bx =必有非零解,即存在00x ≠,使得00Bx =,两边左乘A ,得00ABx =,即0ABx =有非零解,故选(D).
(3)【答案】(B)
【详解】方法1:由题设根据特征值和特征向量的定义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,
故T
A A =.设()
1
T
P AP
B -=,则
111()T
T
T T
T
T T B P A P
P AP
P A P ---===
上式左乘1
T P
-,右乘T
P ,得
111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=,即1
T T A P BP -=,
所以 1
()T T A P
BP ααλα-==
两边左乘T
P ,得 1
()()T T T
T
P P B P P αλα-=得()T T B P P αλα=
根据特征值和特征向量的定义,知1
()T
B P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为
T P α,即应选(B).
方法2:逐个验算(A),(B),(C),(D)中哪个选项满足,由题设根据特征值和特征向量的定
义,A αλα=,A 是n 阶实对称矩阵,故T A A =.设()
1
T
P AP
-属于特征值λ的特征
向量为ξ,即(
)
1
T
P AP
ξλξ-=,其中()1
11T
T
T
T
T
T
P AP P A P
P AP
---==
对(A),即令1P ξα-=,代入111()T
T P AP P P αλα---≠
对(B),1()T
T T P AP P α-1()T
T T P A P P α-=1[())]T T T P A P P α-=T
P A α=()T P λα= 成立.故应选(B).
(4)【答案】C
【分析】(i)2χ变量的典型模式是:222
2
12n
X X X χ=++
+,其中i X 要求满足:i X 相互独立,(0,1)i
X N .称2χ为参数为n 的2χ变量.
(ii) F 变量的典型模式是:1
2
//X n F Y n =
,其中,X Y 要求满足:X 与Y 相互独立,2212(),()X
n Y
n χχ,称F 为参数为()12,n n 的F 变量.
【详解】方法1:根据题设条件,X 和Y 均服从(0,1)N .故2
X 和2
Y 都服从2
(1)χ分布,答案应选(C).
方法2:题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ,没有X 与Y 的相互独立条件.因此,2
X 与2
Y
的独立条件不存在,选(B)、(D)项均不正确.
题中条件既没有X 与Y 独立,也没有(,)X Y 正态,这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A).根据排除法,正确选项必为(C).
三【详解】
22
0000
03arctan(1)arctan(1)lim
lim 1(1cos )2
x
u x u x x t dt du t dt du x x x
→→????++????????-?
???等 2
2
arctan(1)lim
32
x x t dt x →+?洛洛20arctan(1)2lim
3x x x x
→+?2346ππ
=?=.
四【详解】方法1:用一阶微分形式不变性求全微分.123du f dx f dy f dz '''=++
(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定,两边求全微分,有
()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=?-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ?+--=+,
解出 (1)(1),(10).(1)
x y z
e x dx e y dy
dz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)
x y z e x dx e y dy
f dx f dy f e z +-+'''++?+
1323(1)(1)(1)(1)x y
z z
e x e y
f f dx f f dy e z e z ????++''''=++-????++????
方法2:
1323,u z u z
f f f f x x y y
????''''=+=+????(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到
z x ??,z y
??.由x y z
xe ye ze -=两边对x 求偏导数,有 ()
,x x z z z xe e ze e x
?+=+? 得x x z z z xe e x ze e ?+=?+,(10)z +≠设.类似可得,y y
z z z ye e y ze e
?+=-?+,代入,u u x y ????表达式
1323(),()x x
y y
z z z z u xe e u ye e
f f f f x ze e y ze e
?+?+''''=+?=-??+?+, 再代入 u u
du dx dy x y
??=
+??中,得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z z
e x e y
f f dx f f dy e z e z ????++''''=++-????++???
?.
五【详解】首先要从2
(sin )sin x
f x x
=
求出()f x .
命2
sin u x =,则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)
arcsin ()
x f x dx x ==
sin 2sin cos cos t
t
t tdt t
?
(换元积分法) sin t tdt =2?[]2cos sin t t t C =-++(分部积分法)
2C ?=+?.
六【分析】旋转体的体积公式:设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤,()0f x ≥与直线
,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()b
a
V f x dx π=?.
【详解】(1) ()2
2
25
142(32)5
a
V x dx a π
π
==-? 2
222
2420
202a V a a x dy a a πππ=-=<
.
(2) 54124(32)5
V V V a a π
π=+=
-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点,令
34(1)0dV
a a da
π=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >,当12a <<时0dV
da
<,因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点,所以是V 的最大值点,129max 5
V π
=.
七【解】(1) 369
331()113(3)!(3)!
n
n
n x x x x x y x n n ∞
==++++
+=+∑+!6!9!, 由收敛半径的求法知收敛半径为∞,故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得
3311()(1)(3)!(3)!n n n n x x y x n n ∞
∞=='??''=+= ???∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑31
1(31)!
n n x n -∞==-∑, 同理得 32
1(32)!
n n x y n -∞
=''=-∑
从而 ()()()y x y x y x '''++32313111
()()(1)(32)!(31)!(3)!n n n
n n n x x x n n n --∞
∞∞
====+++--∑∑∑
11!
n
n x n ∞
==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)
x e =
这说明,30()(3)!
n
n x y x n ∞
==∑是微分方程x y y y e '''++=的解,并且满足初始条件
310(0)1(3)!n n y n ∞
==+∑1=,31
10(0)(31)!
n n y n -∞
='=-∑0=. (2)微分方程x
y y y e '''++
=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=,其特征方程为
210
λλ++=
,其特征根为12-,所以其通解为
2
12[cos
sin ]22
x y e C x C x -=+. 另外,该非齐次方程的特解形式为x
y ce =,代入原非齐次方程得x
x
x
x
ce ce ce e ++=
,
所以13
c =
.故微分方程x
y y y e '''++=的通解为 2
121[]
3
x x y e C x
C x e -
=+
+. 故
22121211
[cos sin ][sin cos ]2222223
x x
x y e C x C x e C x x e --'=-?++-?++
222112111(2(22222223
x x
x e C C x e C C x e --=-?-?-?-?+
由初始条件(0)1,(0)0y y '==得
02121
00
022*********[00]33111
0(20(2)cos 022*********e C C e C e C C e C C e C C ---?=++=+??
?=-?-?-?-?+????=-+?
解得
112
113110
2
23C C C ?
+=??
?
?-++=??, 于是得到惟一的一组解:
122
,0.3
C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解,只有一个,为
221cos 323
x x y e x e -=+
另一方面,由(1)已知30()(3)!
n n x y x n ∞
==∑也是微分方程x
y y y e '''++=及初始条件
(0)1,(0)0y y '==的解,由微分方程解的唯一性,知
321211cos ().(3)!
323x
n x n x e x e x n ∞
-=+=+-∞<<+∞∑
八【详解】方法1:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,所以存在1x 2x 使得
1[,]
()max ()x a b f x M f x ∈==,2[,]
()min ()x a b f x m f x ∈==,
满足()m f x M ≤≤.又()0g x >,故根据不等式的性质
()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤
根据定积分的不等式性质有
()()()(),b b b
a
a
a
m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤???
所以 ()().()b
a
b
a
f x
g x dx
m M g x dx
≤
≤??
由连续函数的介值定理知,存在[,]a b ξ∈,使()()()()b
a
b
a
f x
g x dx
f g x dx
ξ=
??
即有
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?.
方法2:因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续,且()0g x >,故
()()b
a
f x
g x d x
?
与
()b
a
g x dx ?
都
存在,且
()0.b
a
g x dx >?
记
()()()b
a
b
a
f x
g x dx
h g x dx
=??
,于是()()()(),b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
h g x dx hg x dx ==???即
(())()0b
a
f x h
g x dx -=?
因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=.不然,则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么
()f x h -恒为正,从而根据积分的基本性质得(())()0b
a
f x h
g x dx ->?;要么()f x h
-恒为负,同理得
(())()0b
a
f x h
g x dx -
,均与(())()0b
a
f x h
g x dx -=?不符.由此推
知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=,从而
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=?
?.
九【详解】方法1:对系数矩阵记为A 作初等行变换
21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A b
b a b b a a b b b b
a b a a b -- -????
?
?-- ? ? ? ?=→-- ? ? ? ? ? ?--?
???
行行行行行行
当(0)a b =≠时,()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x ++
+=,基础解
系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自
由未知量,分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…,
230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解
[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,
,0,
,1,0,,0,1T
T
T
n ξξξ-=-=-=-,
为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中
(1,2,1)
i k i n =-是任意常数. 当a b ≠时,
000000a b b b b a a b
A b a a b
b a a b ??
?-- ? ?→-- ?
? ?--?
?
2311001
010100
1a b a b n a b a b b b --
-?? ?- ? ?→- ? ? ?-?
?
行/()
行/()行/()
12131(1)000110
01
010100
1b
b n b
a n b
-?-?
-?+-??
?-
? ?→- ? ? ?-?
?
行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时,(1)0A a n b =+-≠,(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时,()1,0r A n AX =-=的同解方程组是
1213
10,
0,0,
n x x x x x x -+=??-+=??
??-+=?…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,
,1T
ξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为
X k ξ=,其中k 是任意常数.
方法2:方程组的系数行列式
a b b b
b a b b A b b a
b
b b b
a
=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b b
b a n b a b
b n a n b b a
b a n b b b a
+-+-+-+-把第,,列
加到第列
111[(
1)]11b b
b a b
b a n b b a
b b b
a +-提取第列的公因子 1
2100
03-1[(1)]00
0-
10
b
b
b a b a n b a b
n a b
--+--
-第行第行
第行第行
第行第行
1[(1)]()n a n b a b -=+--
(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时,0A ≠,()r A n =方程组只有零解. (2)当(0)a b =≠时,
a a a
a a a a a A a a a a a
a a
a ????????
=????????
21000031000010000a a a
a n ??-???
?-??
??
?
?-????第行第行第行第行第行第行1
111000
0110
0000
00
0a ?????
???????
?????
第行 方程组的同解方程组为
120n x x x +++=
基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量,取23,,...,n x x x 为自由未知量,
分别取231,0,...,0n x x x ===,230,1,...,0n x x x ===,…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解
[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,
,0,
,1,0,,0,1T
T
T
n ξξξ-=-=-=-,
为基础解系,方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++,其中
(1,2,1)
i k i n =-是任意常数.
(1)当(1)(0)a n b b =--≠时,
(1)(1)(1)(1)n b
b b b
b
n b b b A b b n b
b b b b n b -??
?- ? ?=- ? ?
?-??
1,2,...,11111111111111111n b n n n
n ?
-?? ?- ? ?→- ? ? ?-??行分别11
11210
03100100n n n n n
n n n -??
- ?-
?- ?- ?
?- ?-??行行行行行行 1111110
02,...,1
01011001n n n -??
?- ? ?
-?
? ? ?-?
?行分别000
011002,...,10101001n ?? ?-
? ?- ? ? ?-?
?
把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-,其同解方程组是
1213
10,
0,0,
n x x x x x x -=??-=??
??-=?…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量,取1x 为自由未知量,取11x =,得方程组1个非零解[]1,1,
,1T
ξ=,即其基础解系,故方程组的全部解为
X k ξ=,其中k 是任意常数.
十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值,α是A 的属于λ的特征向量,根据特征值、特征
向量的定义,有 ,0,A αλα
α=≠ ① 两边左乘A ,得 2A αA λαλλα==2
λα= ② ②+2*①得 ()()
22
22A A αλλα+=+
因2
20A A +=,0α≠,从而上式()()
22220A A αλλα+=+=,
所以有2
20λλ+=,故A 的特征值λ的取值范围为0,2-.
因为A 是实对称矩阵,所以必相似于对角阵Λ,且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成,且()()2r A r =Λ=,故A 的特征值中有且只有一个0.
(若没有0,则222-????Λ=-????-??,故()()3r A r =Λ=与已知矛盾;若有两个0,则200-????Λ=??
????,
故()()1r A r =Λ=与已知矛盾;若三个全为0,则000??
??Λ=??
????
,故()()0r A r =Λ=与已知
矛盾). 故
2
20A -??
??Λ=-?
????
?
即A 有特征值1232,0λλλ==-=.
(2)A kE +是实对称矩阵,A 有特征值1232,0λλλ==-=,知A kE +的特征值为
2,2,k k k --.因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零,故
A kE +正定200k k ->???>?2
0k k >???
>?
2k ?> 故2k >时A kE +是正定矩阵.
十一【分析】(,)X Y 有四个可能值,可以逐个求出.在计算过程中要注意到取值与U 的值有关.U 的分布为均匀分布,计算概率不用积分都行,可以直接看所占区间的长度比例即可.
【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和.依照题意,有
{}{}{}1(2)1
1,11,11;2(2)4
P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-=
=--
{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=?=
{}{}{}1
1,11,111;
2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}1
1,11,11.4
P X Y P U U P U ===>->=>=
于是,(,)X Y 分布为
(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,所以我们应该知道X Y +和2
()X Y +的分布律.
对离散型随机变量,X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4;
{}{}1
21,1,4
P X Y P X Y +=-==-=-=
{}{}{}1101,11,10,22
P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}1
21,1,4P X Y P X Y +=====
(){}
{}2
100,2
P X Y P X Y +==+==
(){}{}{}2
1
4222
P X Y P X Y P X Y +==+=-++==.
X Y +和2()X Y +的分布律分别为
和
所以由离散
型随机变量的数学期望计算公式有:
{}1
()n
k k k E X x P X x ==?=∑
所以有,2224
()0,()2442
E X Y E X Y +=-
+=+==. 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=
十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式. Y 由X 和2(小时)来确定,所以min(,2)Y X =.
指数分布的X 的分布参数为 11
,()5
E X λ=
=其密度函数为:
1510()5
00
x X e x f x x -?>?
=??≤?
其中0λ>是参数
由分布函数的定义:{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤
(1) 当0y <时,()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =,其中X 和2都大于0,那么小于0是不可能事件)
(2) 当2y ≥时,()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2,所以小于等于2是一定发生的,是必然事件)
(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤
11
5
50
1()15
x y y
y
X f x dx e dx e ---∞
===-?
?
所以
1
500()10212y Y y F y e y y -??
=-≤?≥??