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八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题

八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题
八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题

八年级数学《数据的分析》知识点归纳与经典例题

1.解统计学的几个基本概念

总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定,准确把握教材,明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。 2.平均数

当给出的一组数据,都在某一常数a 上下波动时,一般选用简化平均数公式'

x x a =+,其中a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据,常选用加权平均数公式。 3.众数与中位数

平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关,任何一个数的波动都会引起平均数的波动,当一组数据中有个数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则不合适,用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关,个别数据的波动对中位数没影响;当一组数据中不少数据多次重复出现时,可用众数来描述。 4.极差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用这种方法得到的差称为极差,极差=最大值-最小值。 5.方差与标准差

用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫方差,计算公式是

s 2=

1

n

[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2];

方差和标准差都是反映一组数据的波动大小的一个量,其值越大,波动越大,也越不稳定或不整齐。

【能力训练】

一、填空题:

1.甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒,测得它们的实际质量的方差如下表所示:

2.甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm 的螺丝,为了检验产品质量,从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径,进行数据处理后,发现这三组数据的平均数都是60mm

它们的方差依次为S 2甲=0.162,S 2乙=0.058,S 2

丙=0.149.根据以上提供的信息,你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床。

3.一组数据:2,-2,0,4的方差是 。

4.在世界环境日到来之际,希望中学开展了“环境与人类生存”主题研讨活动,活动之一是对我们的生存环境进行社会调查,并对学生的调查报告进行评比。初三(3)班将本班50篇学生调查报告得分进行整理(成绩均为整数),列出了频率分布表,并画出了频率 根据以上信息回答下列问题:

(1)该班90分以上(含90分)的调查报告共有________篇;

(2)该班被评为优秀等级(80分及80分以上)的调查报告占_________%;

(3)补全频率分布直方图。

5.据资料记载,位于意大利的比萨斜塔1918~1958这41年间,平均每年倾斜1.1mm ;1959~1969这11年间,平均每年倾斜1.26mm ,那么1918~1969这52年间,平均每年倾斜约_________(mm)(保留两位小数)。

6.为了缓解旱情,我市发射增雨火箭,实施增雨作业,在一场降雨中,某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表:

则该县这10个区域降雨量的众数为________(mm);平均降雨量为________(mm)。

7.一个射箭运动员连续射靶5次,所得环数分别是8,6,10,7,9,则这个运动员所得环数的标准差为________。

8.下图显示的是今年2月25日《太原日报》刊登的太原市2002年至2004年财政总收入完成情况,图中数据精确到1亿元,根据图中数据完成下列各题:

(1)2003年比2002年财政总收入增加了_______亿元; (2)2004年财政总收入的年增长率是_______;(精确 到1%)

(3)假如2005年财政总收入的年增长率不低于2004年

根据表中数据,可以认为三台包装机

中, 包装机包装的茶叶质量最稳定。

财政总收入的年增长率,预计2005年财政总收入至少达 到___亿元。(精确到1亿元)

9.为了调查某一路口某时段的汽车流量,交警记录了一个星期同一时段通过该路口的汽车辆数,记录的情况如下表:

那么这一个星期在该时段通过该路口的汽车平均每天为___ ____辆。 10.图(1)(2)是根据某地近两年6月上旬日平均气温情况绘制的折线统计 图,通过观察图表,可以判断这两年6月上旬气温比较稳定的年份是 。

二、解答题:

1.下图反映了被调查用户对甲、乙两种品牌空调售后服务的满意程度(以下称:用户满意程度),分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级,并依次记为1分、2分、3分、4分。

⑴、分别求甲、乙两种品牌用户满意程度分数的平均值(计算结果精确到0.01分); ⑵、根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高?该品牌用户满意程度分数的众数是多少?

2.如图所示,A 、B 两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示.根据图中所示解答以下问题: (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年? (2)求A 、B 两个旅游点从2002

到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话温温(1)2004年6月上(2)2005年6月上

2002 2003 2004 2005 2006 年

6

5 4 3

2 1

A

B

对这两个旅游点的情况进行评价;

(3)A 旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A 旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A 旅游点决定提高门票价格.已知门票价格x (元)与游客人数y (万人)满足函数关系5100

x

y =-

.若要使A 旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少?

3.如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图。教练组规定:体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格。

⑴请根据图11中所提供的信息填写右表:

⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:

①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好; ②依据平均数与中位数比较甲和乙,

的体能测试成绩较好。

⑶依据折线统计图和成绩合格的次

数,分析哪位运动员体能训练的效果较好。

4.为了帮助贫困失学儿童,某团市委发起“爱心储蓄”活动,鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行,定期一年,到期后可取回本金,而把利息..捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人,图1是该校各年级学生人数比...例.分布的扇形统计图,图2是该校学生人均存款....

情况的条形统计图. (1)九年级学生人均存款元; (2)该校学生人均存款多少元?

(3)已知银行一年期定期存款的年利率是2.25% (“爱心储蓄”免收利息税),且每351元能提供 给一位失学儿童一学年的基本费用,那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童。

答案: 一、填空题:

1.乙;2. 乙;3.5;4.21,76;5.1.13;6.14,14;7

8.(1)19 (2)30﹪(3)156;9.90;10.2005 二、解答题:

1.⑴、甲品牌被调查用户数为:50+100+200+100=450(户) 乙品牌被调查用户数为:10+90+220+130=450(户)

甲品牌满意程度分数的平均值=50×1+100×2+200×3+100×4

450

≈2.78分

乙品牌满意程度分数的平均值=10×1+90×2+220×3+130×4

450

≈3.04分

答:甲、乙品牌满意程度分数的平均值分别是2.78分、3.04分。

⑵、用户满意程度较高的品牌是乙品牌。

因为乙品牌满意程度分数的平均值较大,且由统计图知,乙品牌“较满意”、“很满意”的用户数较多;该品牌用户满意程度的众数是3分。

2.(1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年.(2)A X =

5

5

4321++++=3(万元)

B X =5

34233++++=3(万元) 2A S =51[(-2)2+(-1)2+02+12+22

]=2

2B S =51[02+02+(-1)2+12+02

]=5

2

从2002至2006年,A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A 旅游点较B

旅游点的旅游人数波动大. (3)由题意,得 5-100

x

≤4 解得x ≥100 100-80=20 答:A 旅游点的门票至少要提高20元。 3.(1)

⑵ ①乙;②甲 ⑶ 从折线图上看,两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势,但是,乙的增长速度比甲快,并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多,所以乙训练的效果较好。 4.(1)240(2) 解法一:

七年级存款总额:400×1200×40% = 192000(元) 八年级存款总额:300×1200×35% = 126000 (元) 九年级存款总额: 240×1200×25% = 72000 (元) (192000+126000+72000)÷ 1200 = 325 (元) 所以该校的学生人均存款额为 325 元

解法二: 400×40% + 300×35% + 240×25% = 325 元 所以该校的学生人均存款额为 325 元

(3)解法一: (192000+126000+72000)×2.25% ÷351= 25(人) 解法二: 325×1200×2.25%÷351 = 25(人)。

八年级数学上册 知识点总结

《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系2 2 2 c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数:满足2 2 2 c b a =+的三个正整数,称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等; (2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如 3 π +8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.

初中八年级数学知识点总结

八年级数学(上)知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一.知识框架 二.知识概念 1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为180° 三角形外角的性质: 性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形的外角和:多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法(2016.4.21) 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ Λ. 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

初二数学知识点总结

苏教版《数学》(八年级上册)知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于60度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中,大角对大边,大边对大角。 第二章勾股定理、平方根

一、勾股定理: 1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么 a 2+ b 2= c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 有下面关系:a 2+b 2=c 2,那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么 ka ,kb ,kc 同样也是勾股数组。) *附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ,那么这个三角形是直角 三角形。(经典直角三角形:勾三、股四、弦五) 其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c ); (2)若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形; 若a 2+b 2<c 2,则此三角形为钝角三角形(其中c 为最大边); 若a 2+b 2>c 2,则此三角形为锐角三角形(其中c 为最大边) 4.注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质

初二上册数学知识点汇总完整版!!!

初二上册数学知识点汇总完整版!!! 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架: 二、知识概念: 1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。 3、高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。 11、正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质: (1)三角形的内角和:三角形的内角和为180°(2)三角形外角的性质:性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。(3)多边形内角和公式:边形的内角和等于·180°(4)多边形的外角和:多边形的外角和为360°(5)多边形对角线的条数:①从边形的一个顶点出发可以引条对角线,把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容: 高三复习专题:数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? (1 ??? (2()时命题成立,证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法,这两步各司其职,缺一不可,特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性,如果没有第一步,而仅有第二步成立,命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即n=k+1时为什么成立,n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的,学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? (1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错。 ??? (2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 ??? (3)关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时,。 ,右边,左边 时等式成立,即有,则当时, 由①,②可知,对一切等式都成立。 的取值是否有关,由到时 (2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法,即 ,则这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证。 (3)在步骤②的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑”结论,关键是明确 时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区别和联系。

初二数学知识点归纳总结

初二数学知识点归纳总结 初二数学知识点归纳总结 (一)运用公式法: 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有:a2-b2=(a+b)(a- b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2。如果把乘法公式反过来, 就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用 公式法。 (二)平方差公式: (1)式子:a2-b2=(a+b)(a-b) (2)语言:两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的 差的积。这个公式就是平方差公式。 (三)因式分解: (1).因式分解时,各项如果有公因式应先提公因式,再进一 步分解。 (2).因式分解,必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 (四)完全平方公式: (1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来,就可以得到:a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说,两个 数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个 数的和(或者差)的平方。把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子 叫完全平方式。上面两个公式叫完全平方公式。 (2)完全平方式的形式和特点

①项数:三项 ②有两项是两个数的的平方和,这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 (3)当多项式中有公因式时,应该先提出公因式,再用公式分解。 (4)完全平方公式中的a、b可表示单项式,也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 (5)分解因式,必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 (五)分组分解法: 我们看多项式am+an+bm+bn,这四项中没有公因式,所以不能用 提取公因式法,再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分 成两组(am+an)和(bm+bn),这两组能分别用提取公因式的方法分别 分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n),做到这一步不 叫把多项式分解因式,因为它不符合因式分解的意义.但不难看出 这两项还有公因式(m+n),因此还能继续分解,所以原式 =(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)?(a+b). 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出,如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一 个因式正好相同,那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式. (六)提公因式法: 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时,首先观察多项式的结构特点,确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个 多项式时,可以用设辅助元的方法把它转化为单项式,也可以把这 个多项式因式看作一个整体,直接提取公因式;当多项式各项的公 因式是隐含的时候,要把多项式进行适当的变形,或改变符号,直 到可确定多项式的公因式. 运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:

实用文库汇编之数学归纳法经典例题及答案

*实用文库汇编之数学归纳法(2016.4.21)* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.

题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++

八年级数学知识要点归纳

八年级数学知识要点归纳 上册 第一章 勾股定理 1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即222a b c +=。 2.勾股定理的证明:用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。 3.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是 直角三角形。满足222a b c +=的三个正整数称为勾股数。 第二章 实数 1.平方根和算术平方根的概念及其性质: (1)概念:如果2x a =,那么x 是a 的平方根,记作: a 的算术平方 根。 (2)性质:①当a ≥0 ≥0;当a ② 2 =a ; a =。 2.立方根的概念及其性质: (1)概念:若3 a ,那么x 是a ; (2 a = ;②3a == 3.实数的概念及其分类: (1)概念:实数是有理数和无理数的统称; (2)分类:按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。 4.与实数有关的概念: 在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是 一一对应的。因此,数轴正好可以被实数填满。 5 (a ≥0,b ≥0) a ≥0,b >0)。 第三章 1.平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平移不改变图形大小和形状,改变了图形的位置;经过平移,对应点所连的线段平行且相等;对应线段平行且相等,对应角相等。 2.旋转:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。这点定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状,改变了图形的位置;经过旋转,图形点的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度;任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角;对应点到旋转中心的距离相等。 3.作平移图与旋转图。 第四章 四边形性质的探索 1.多边形的分类: =a b a b =

初二数学下学期知识点总结

初二下数学期末知识点回顾 分式 知识要点 1.分式的有关概念 设A 、B 表示两个整式.如果B 中含有字母,式子 B A 就叫做分式.注意分母B 的值不能为零,否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简 2、分式的基本性质 ,M B M A B A ??= M B M A B A ÷÷=(M 为不等于零的整式) 3.分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似). bd bc ad d c b a ±=± (异分母相加,先通分); ;;bc ad c d b a d c b a b d ac d c b a =? =÷=? .)(n n n b a b a = 4.零指数)0(10 ≠=a a 5.负整数指数 ).,0(1 为正整数p a a a p p ≠= - 注意正整数幂的运算性质 n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(, 可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数. 6、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程..验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去. 7、列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审清题意;(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程;(4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意;(5)写出答案(要有单位)。 1. (-5)0 =_____; 2. 3-2 =________;3. 当x_________时,分式 1x+1 有 意义;

数学归纳法经典例题及答案精品

【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法( 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点: 两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n =k +1时. 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2. 左边<右边,不等式成立. ②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++ . 那么当n =k +1时, 这就是说,当n =k +1时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立. 说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是要证明:

1211 2+<++k k k . 认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例3 (x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x -1)n (n ≥2,n ∈N *). (1)当n =5时,求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值. (2)设b n = a 22n -3,T n = b 2+b 3+b 4+…+b n .试用数学归纳法证明:当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 . 解: (1)当n =5时, 原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5 令x =2得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243. (2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以a 2=C n 2·2n -2 b n =a 22 n -3=2C n 2=n (n -1)(n ≥2) ①当n =2时.左边=T 2=b 2=2, 右边=2(2+1)(2-1)3 =2,左边=右边,等式成立. ②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, 即T k =k (k +1)(k -1)3 成立 那么,当n =k +1时, 左边=T k +b k +1=k (k +1)(k -1)3+(k +1)[(k +1)-1]=k (k +1)(k -1)3 +k (k +1) =k (k +1)?? ??k -13+1=k (k +1)(k +2)3 =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)-1]3 =右边. 故当n =k +1时,等式成立. 综上①②,当n ≥2时,T n =n (n +1)(n -1)3 .

新人教版八年级数学知识点总结归纳

第十一章三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 (1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 (3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广,需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 ~ 三角形有下面三个特性: (1)三角形有三条线段 (2)三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 (3)首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”,读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下: 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 ' 等边三角形

三角形按角的关系分类如下: 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。 推论:三角形的两边之差小于第三边。 】 (2)三角形三边关系定理及推论的作用: ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时,可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。 推论: ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 & 注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。 8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义:由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。

人教版八年级数学上册知识点汇总(框架图)

人教版八年级上册数学知识点汇总 第十一章全等三角形 全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定, 这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 边边边(SSS):三边对应相等的两个三角形全等。 边角边(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 画法:课本第48页。 性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 1、明确命题中的已知和求证。 基本方法2、根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证。 3、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这 个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重 合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。 基本概念线段的垂直平分线:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的 垂直平分线。 等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰,另 一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底 角。 等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

初二数学知识点总结

初二数学知识点总结 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像2 一次函数和正比例函数,及其表达式、增减性、图像3 从函数的观点看方程、方程组和不等式如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。形如y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 一、、常量、变量在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量,数值始终不变的量叫做常量。 二、函数的概念函数的定义:一般的,在一个变化过程中如有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说x是自变量,y是x的函数、 三、函数中自变量取值范围的求法(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。(2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。(3)用奇次根式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。 用偶次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围,即为自变量

的取值范围。(5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。 四、函数图象的定义一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。 五、用描点法画函数的图象的一般步骤 1、列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。 2、描点:在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点。 3、连线:按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来。六、函数有三种表示形式(1)列表法(2)图像法(3)解析式法七、正比例函数与一次函数的概念:一般地,形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数。 一般地,形如y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数。、当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数是一次函数的特例、。八、正比例函数的图象与性质图象:正比例函数y= kx (k 是常数,k≠0) 的图象是经过原点的一条直线,称之为直线y= kx 。 性质:当k>0时,直线y= kx经过第三,一象限,从左向右上升,即随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y= kx经过二,四

初二数学知识点归纳

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初二数学第十一章三角形 知识点归纳 一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角,三角形有三个顶点,三个角,三条边。 2.等边三角形:三边都相等的三角形。 3.等腰三角形:有两条边相等的三角形,相等的两边叫做腰,另一边叫做底,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角,两个底角相等。 4.不等边三角形:三边都不相等的三角形。 5.三角形分类: (1)按边分:不等边三角形 等腰三角形:底边和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)按角分:锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 6.三角形三边的性质:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 注:1)在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边,则可说明能组成三角形 2)在实际运用中,已知两边,则第三边的取值范围为:两边之差<第三边<两边之和 3)所有通过周长相加减求三角形的边,求出两个答案的,注意检查每个答案能否组成三角形 7.三角形的高:从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高 8.三角形的中线:连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线 注:两个三角形周长之差为x,则存在两种可能:即可能是第一个△周长大,也有可能是第一个△周长小 9.三角形的角平分线:画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线 10.三角形的稳定性,四边形没有稳定性 二、与三角形有关的角 1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180度。

新人教版八年级数学下册知识点归纳总结

八年级数学(下册)知识点总结 第十六章 二次根式 1.二次根式概念:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a = (b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. △ 比较数值的方法 (1)、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 (2)、平方法 当0,0a b >>时,①如果2 2 a b >,则a b >;②如果2 2 a b <,则a b <。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较 231-与1 21 -的大小。 (4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较1514-与1413-的大小。 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0);

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法(2016.4.21) 令狐采学 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是: (1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确; (2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),…… 注意:数学归纳法使用要点:两步骤,一结论。 二、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 例1.用数学归纳法证明: 证明:①n=1时,左边31311=?= ,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n=k 时,等式成立,即: ()()1212121751531311+=+-++?+?+?k k k k . 当n=k+1时. 这就说明,当n=k+1时,等式亦成立, 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 题型2.证明不等式 例2.证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N). 证明:①当n=1时,左边=1,右边=2.

左边<右边,不等式成立. ②假设n=k 时,不等式成立,即 k k 21 31 21 1<++++ . 那么当n=k+1时, 这就是说,当n=k+1时,不等式成立. 由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立. 说明:这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ,当代入归纳假设后,就是 要证明: 1211 2+<++k k k . 认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例3 (x +1)n =a0+a1(x -1)+a2(x -1)2+a3(x -1)3+…+an(x -1)n(n ≥2,n ∈N*). (1)当n =5时,求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值. (2)设bn =a2 2n -3,Tn =b2+b3+b4+…+bn.试用数学归纳法 证明:当n ≥2时,Tn =n(n +1)(n -1)3. 解:(1)当n =5时, 原等式变为(x +1)5=a0+a1(x -1)+a2(x -1)2+a3(x -1)3+

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