多元微分学二重积分

8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教案

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 一、不定积分 1不定积分的概念 原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . 可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为{│ Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 ?dx x f )( 一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则 ? x a dt t f )(是的一个 原函数。 2不定积分的计算 (1)裂项积分法 例1：dx x x dx x x dx x x )1 21(1211122 242 4???++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23 3 。 例2：???+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222 22222 例3：22 22 22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++??221arctan 1dx dx x C x x x -=--++?? (2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ? ，如果凑上一个常数因子2，使成为 ()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x = ?=???C x +=2sin 2 1

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即 {}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=?? ?? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 2 2 21221x x D y y dxdy dx dy x x =???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1

32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计 算，这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5

分段函数的原函数与导函数论文

数学与统计学学院 中期报告 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月1日

目录 摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2. 分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3] (4) 3. 关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2 函数在分界点处连续的情况 (5) 结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)

计算不定积分应该注意的几个问题

arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13

计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且

二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月

二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题 来源：文都教育 2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！ 一、解题思路分析 求分段函数的原函数（不定积分） 先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之： （1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。 （2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x a ?=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=?，其中C 为任意常数。 如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。 二、例题解析 例1 已知()?? ???>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ?. 解析：由题意得： 因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。 综上所述，()?????>+≤<++<+=?,1, ,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f 因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。于是有 ()()()() ,2lim lim 3lim lim 34112311C x x F C x x x F x x x x +==++=++--→→→→ 即223652134C C C +=-+=。 综上所述，()?????>++≤<++<+=?, 1,65,10,3,0,24231x C x x C x x x C x dx x f 其中1C 与2C 是两个独立的常数。

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

二重积分的计算法教案

教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 （第1课时） 教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点：选择合适的方法计算二重积分. 教学方法：直观教学，启发式讲授. 教学过程： 一、利用直角坐标系计算二重积分 1．积分区域D的分类

（1）积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域 图3 图3，图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2．二重积分计算公式 （1）积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体（图5）的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

二重积分计算方法

1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤，其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续，则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????；（1） 若D为y型区域（如图2），即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤，其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续，则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????．[1]（2）例1 计算 2 2 D y dxdy x ??，其中D是由2 x=，y x =，及1 xy=所围成． 分析积分区域如图3所示，为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? ．确定了积分区

域然后可以利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出， 是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1行计 算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域，然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域， 进而通过公式（3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为