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大学物理(二)答案

大学物理（二）练习册参考解答

第12章真空中的静电场

一、选择题

1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)，二、填空题

(1). 电场强度和电势，0/q F E

=，l E q W U a

?==00d /(U 0=0).

(2). ()042ε/q q +， q 1、q 2、q 3、q 4 ；

(3). 0，λ / (2ε0) ； (4). σR / (2ε0) ； (5). 0 ； (6).

???? ?

?-π00

114r r q ε ；

(7). －23103 V ； (8).

???? ??-πb a

r r q q 1140

0ε

(9). 0，pE sin α ； (10). ()(

)j y x i xy

40122482+-+-- (SI) ；

三、计算题

1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．

解：在O 点建立坐标系如图所示．半无限长直线A ∞在O 点产生的场强： ()j i R

-π=

014ελ

半无限长直线B ∞在O 点产生的场强： ()j i R

+-π=

024ελ

四分之一圆弧段在O 点产生的场强：

()j i R

E +π=

034ελ

由场强叠加原理，O 点合场强为：

()j i R

E E E E +π=

++=03214ελ

∞

O B

A ∞

∞

2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E

垂直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E

也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ． (1) 假设地面上各处E

都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85310-12 C 22N -12m -2) 解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面?S 平行地面)上下底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：

??E

2S d ＝E 2?S -E 1?S ＝(E 2-E 1) ?S

高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h ?S ρ

由高斯定理(E 2－E 1) ?S ＝h ?S ρ /ε 0

∴

() E E h

1201-=ερ＝4.43310-13 C/m 3

(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力

线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理 ??E

2S d =

∑i

-E ?S =

S ?σε0

∴ σ =－ε 0 E ＝－8.9310-10 C/m 3

3. 带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度为λ=λ0sin φ，式中λ0为一常数，φ为半径R 与x 轴所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度．

解：在φ处取电荷元，其电荷为d q =λd l = λ0R sin φ d φ 它在O 点产生的场强为R R q

E 0

04d sin 4d d εφφλεπ=π=

在x 、y 轴上的二个分量

d E x =－d E cos φ， d E y =－d E sin φ 对各分量分别求和

?ππ=

000

d cos sin 4φφφελR E x ＝0

R E y 0002

008d sin 4ελφφελ-=π=?π ∴ j R

j E i E E y x

008ελ-=+=

(2)

(1)

4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： σ = σ0cos φ ，式中φ 为半径R 与x 轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

λ = σ0cos φ R d φ，它在O 点产生的场强为： φφεσελ

d s co 22d 000π=π=

E 它沿x 、y 轴上的二个分量为：

d E x =－d E cos φ =φφσd s co 2200

π-

d E y =－d E sin φ =

φφφεσd s co sin 200

π 积分：?ππ-=20200

d s co 2φφεσx E ＝002εσ

0)d(sin sin 2200

=π-=?πφφεσy E

∴ i i E E x

02εσ-

5. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为

πR qr

ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量) ρ = 0 (r >R )

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

解：(1) 在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 d q = ρd V = qr 4πr 2d r /(πR 4) = 4qr 3d r/R 4 则球体所带的总电荷为 ()q r r

q V Q r V

===

d /4d ρ

(2) 在球内作一半径为r 1的高斯球面，按高斯定理有

041

240

121

d 41

qr r r R qr E r r εε=π?π=

π?

得 4

021

14R qr E επ= (r 1≤R)，1E 方向沿半径向外．

在球体外作半径为r 2的高斯球面，按高斯定理有 0222/4εq E r =π 得 2

2024r q E επ=

(r 2 >R )，2E

方向沿半径向外．

(3) 球内电势

∞?+?=

r r E r E U

d d 2111

∞π+π=R R r r r q

r R qr d 4d 420

4021εε 403

10123R qr R q

εεπ-π=???

? ??-π=3310412R r R q ε ()R r ≤1 球外电势 2

0224d 4d 2

r q

r r q r E U r R

r εεπ=

π=?=

∞

()R r >2

6. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小；

(2) 平板内任一点P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？

解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ．

作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．按高斯定理∑?

/d q

S E S

，即

2d d 1

2εερεkSb

x x kS

x S SE b

得到 E = kb 2

/ (4ε0) (板外两侧) (2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底

面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯

定理有

()0

2εεkSb xdx kS

S E E x

+'?

得到 ???

? ??-=

'22220

b x k

E ε (0≤x ≤b ) (3) E '=0，必须是02

=-b x ，可得2/b x =

7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ．如图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．

解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的大平面和面密度为－σ的圆盘叠加的结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为

i x

x E

012εσ=

圆盘在该处的场强为

i x R x x E

???

? ??+--=

2202112εσ

∴ i x

R x E E E 2

20212+=+=εσ

该点电势为 ()

220

2d 2x R R x

R x x U x

+-=

εσ

8．一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5310-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5310-3 m 的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 V ，

忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本

电荷e ＝1.6310-19 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有 2πrE = λ/ ε0

得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

??π-=?=-21d 2d 0R R B

A B A r r

r E U U ελ 120ln

2R R ελπ-= 得到 ()120/ln 2R R U U A B -=πελ

，所以 ()r

R R U U E A B 1/ln 12?-=

在阴极表面处电子受电场力的大小为 ()()1

1211

/c R R R U U e

R eE F A B ?-==

＝4.37310-

14 N 方向沿半径指向阳极．

四研讨题

1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为 2

041

r q

E πε=

式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？

参考解答：

点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．

若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．

2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．

参考解答：

证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而

0d d d ≠?'-?=????c

b a d l E l E l E

按静电场环路定理应有0d =??l E ，

此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．

3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？

参考解答：

由电势的定义： ?

零势点

场点

l E U d

式中E

为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。

由场强与电势的关系： U E grad -=

场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。如果只知道电场中某点的电势值，而不知道其表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。

4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。

参考解答：

先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。直流高压电源的正极接在线圈上，负极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空气的击穿电场13Vmm 103-?相近时空气发生电离，形成大量的正离子和自由电子。自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以

后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着在集电极上。（集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。这种结构也称管式静电除尘器。如右中图所示。

对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。如右下图所示，r a 与r b 分别表示电晕极与集电极的半径，L 及D 分别表示圆筒高度及直径。一般L 为3-5m ，D 为200-300mm ，故L >>D ，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电

场。设单位长度的圆柱面带电荷为λ。用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r 处点P 的场强为：

)1(?20-----=r r

E πελ

式中r

?为沿径矢的单位矢量。内外两极间电压U 与电场强度E 之关系为

?----?=b a

r r l E U )2(d ，将式(1)代入式(2)，

积分后得: a

r r U ln

20πελ-

=, 故 a b r r r U

E ln =.

由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电

场强度m E 时，就可获得高压电源必须具备的电压

a m r r r E U ln

?= 代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下：

m 15.0m,105.0,m V 103216=?==??=--b a m r r r E ,计算结果V 101.54?=U .

若施加电压U 低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这样尺寸的除尘器中，通常当电压达到105V 的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如板式结构等。可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。

第13章静电场中的导体和电解质

一、选择题

1(D)，2(A)，3(C)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B)

二、填空题

(1). 4.553105 C ；

(2). σ (x ，y ，z )/ε

0，与导体表面垂直朝外(σ > 0) 或与导体表面垂直朝里(σ < 0). (3). εr ，1， εr ； (4). 1/εr ，1/εr ；

(5). σ ，σ / ( ε 0ε r )； (6).

q 04επ ；

(7). P ，－P ，0； (8) (1- εr )σ / εr ； (9). 452； (10). εr ，εr

三、计算题

1.如图所示，一内半径为a 、外半径为b 的金属球壳，带有电荷Q ，在球壳空腔内距离球心r 处有一点电荷q ．设无限远处为电势零点，试求：

(1) 球壳内外表面上的电荷．

(2) 球心O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． (3) 球心O 点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q ，外表面上带电荷q +Q ． (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O 点的距离都是a ，所以由这些电荷在O 点产生的电势为 a

U q 04επ=

?-a

04επ-=

(3) 球心O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q 在O 点产生的电势的代数和 q Q q q O U U U U +-++= r q 04επ=

a q 04επ-

b q Q 04επ++ )111(40b a r q +-π=εb

04επ+

2. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则电容器两极板之间的场强分布为 )2/(r E ελπ= 设电容器内外两极板半径分别为r 0，R ，则极板间电压为

???π==R r

r r r r E U d 2d ελ 0

ln 2r R

ελπ=

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有

002E r ελπ=，0

00ln

r R

E r U = 适当选择r 0的值，可使U 有极大值，

即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得 e R r /0=，显然有

2d d r U < 0，

故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压 e RE U /0max = = 147 kV.

3. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R 1，外筒半径为R 2 (R 2＜2 R 1)，其间充有相对介电常量分别为εr 1和εr 2＝εr 1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ．若两种介

质的击穿电场强度相同，问：

(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？

(2) 该电容器能承受多高的电压？

解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋λ和－λ．两筒间电位移的大小为 D ＝λ / (2πr ) 在两层介质中的场强大小分别为

E 1 = λ / (2πε0 εr 1r )， E 2 = λ / (2πε0 εr 2r ) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即

E 1M = λ / (2πε0 εr 1R 1)， E 2M = λ / (2πε0 εr 2R ) 可得 E 1M / E 2M = εr 2R / (εr 1R 1) = R / (2R 1)

已知 R 1＜2 R 1，可见 E 1M ＜E 2M ，因此外层介质先击穿． (2) 当内筒上电量达到λM ，使E 2M ＝E M 时，即被击穿，

λM = 2πε0 εr 2RE M 此时．两筒间电压(即最高电压)为：

r r r r U R R r M R

R r M d 2d 22

201012??

+=επελεπελ???? ??+=R R R R RE r r M r 22

112ln 1

ln 1εεε

4. 一空气平行板电容器，两极板面积均为S ，板间距离为d (d 远小于极板线度)，在两极板间平行地插入一面积也是S 、厚度为t (

(1) 电容C 于多少？ (2) 金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？

解：设极板上分别带电荷+q 和-q ；金属片与A 板距离为d 1，与B 板距离为d 2；金属片与A 板间场强为 )/(01S q E ε=

金属板与B 板间场强为 )/(02S q E ε= 金属片内部场强为 0='E 则两极板间的电势差为

2211d E d E U U B A +=- )(210d d S q

ε)(0t d S

q -=ε 由此得 )/()/(0t d S U U q C B A -=-=ε

因C 值仅与d 、t 有关，与d 1、d 2无关，故金属片的安放位置对电容值无影响．

5. 如图所示，一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a ，外筒半径为b ，筒长都是L ，中间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．内、外筒分别带有等量异号电荷+Q

和-Q ．设 (b - a ) << a ，L >> b ，可以忽略边缘效应，求：

(1) 圆柱形电容器的电容；

(2) 电容器贮存的能量．

解：由题给条件 (a a b <<-)和b L >>，忽略边缘效应, 应用高斯定理可求出两筒之间的场强为： )2/(0Lr Q E r εεπ=

两筒间的电势差 =π=

?r dr

L Q

U b

r εε02a b L Q r ln 20εεπ 电容器的电容 )]//[ln()2(/0a b L U Q C r εεπ==

电容器贮存的能量 22

CU W =

)/ln()]4/([02a b L Q r εεπ=

6. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为ε1和ε2．当电容器带电荷±Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为ε1的介质板抽出，试求外力所作的功．

解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为

d S C 112ε=

，d S

C 222ε= 串联后的等效电容为 ()

21212εεεε+=d S

带电荷±Q 时，电容器的电场能量为 ()S d Q C Q W 21212242εεεε+== 将ε1的介质板抽去后，电容器的能量为 ()S

d Q W 202024εεεε+='

外力作功等于电势能增加，即 ???

??-=-'=?=102114εεS d Q W W W A

7. 如图所示，将两极板间距离为d 的平行板电容器垂直地插入到密度为ρ、相对介电常量为εr 的液体电介质中．如维持两极板之间的电势差U 不变，试求液体上升的高度h ．

解：设极板宽度为L ，液体未上升时的电容为 C 0 = ε0HL / d 液体上升到h 高度时的电容为 ()d hL

L h H C r

εεε00

+-=()011C H h r ?????

?-+=ε 在U 不变下，液体上升后极板上增加的电荷为

()d hLU U C CU Q r /100-=-=?εε 电源作功 ()d hLU QU A r /120-==?εε 液体上升后增加的电能

20212121U C CU W -=?()d hLU r /12

20-=εε 液体上升后增加的重力势能 2

1gdh L W ρ=?

因 A = ?W 1+?W 2，可解出 ()2

01gd

U h r ρεε-=

思考题1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为)2/(0εσ=E ，而在静电平衡状态下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为0/εσ=E ，为什么前者比后者小一半？

参考解答：

关键是题目中两个式中的σ不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为./0εσ'=E

对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为)2/(0εσ=E .这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。

对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为./0εσ'=E 这里的 σ′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。

如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则σ是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而σ′仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。

在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下，导体板的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电荷密度间的关系为σ =2σ′。这样，题目中两个E 式就统一了。

思考题2：由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？

参考解答：

由极性分子组成的电介质（极性电介质）放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。

当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的

效果更差。此情形下，电极化强度V

p P i

?=∑ 将会比温度升高前减小。

在电介质中的电场E 不太强时，各向同性电介质的P 和E

间的关系为

E P r )1(0-=εε.

很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量εr 要减小。

思考题3：有一上下极板成θ角的非平行板电容器（长为a ,宽为b ），其电容如何计算？

参考解答：

设一平行板电容器是由长为a ,宽为b 的两导体板构成,板间距为d ,则电容为

,0d

C ε=

若该电容器沿两极板的长度同一方向有d x 的长度增

量,则电容为,d )

d (0d

a C d

x b a C εε+

=+=

' 在此基础上推广到

如图所示的电容器，可以认为是在0C 的基础上,上极板沿与长度方向成θ角度连续增加到b ,下极板沿长度方向连续增加到b cos θ

构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为

b d a C l d l

a C C

b θ

θεθ

εθsin ln tan tan d 0cos 0

0++

=++='?

即非平行板电容器的电容，

b d a C θθεsin ln

tan +=

思考题4：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待

测材料可视作相对电容率为εr 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A 、B 为平板电容器的导体极板，S 为极板面积，d 0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C 与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？

参考解答：

设极板带电S q 0σ=，

两板电势差：d E d d E U 有电介质无电介质+-=?)(0

d d d U r εεσεσ00000)(+-=

? 则 )(00d d d s U q C r r -+=?=εεε 介质的厚度为：C

d C S C d d r r r r r r r )1(1)1(0000---=--=εεεεεεεεε

实时地测量A 、B 间的电容量C ，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常

智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。

如果待测材料是金属导体，其A 、B 间等效电容与导体材料的厚度分别为：

d d S C -=00ε， C S d d 00ε-=.

第14章稳恒电流的磁场

一、选择题

1(B)，2(D)，3(D)，4(B)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题

(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).

π40μ ； (5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8). )/(lB mg ； (9). aIB ; (10). 正，负.

三计算题

1．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．

解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定律可得：

)(22

0R r r R

B ≤π=

因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为

???==S B S B d d 1 Φr r R

I R

d 2020?π=μπ=40I

在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20R r r

B >π=

因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为

??=S B d 2Φr r I R R

d 220?π=μ2ln 20π=I

穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π

2. 横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R 1和R 2，芯子材

料的磁导率为μ，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求．

(1) 芯子中的B 值和芯子截面的磁通量． (2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值．

解：(1) 在环内作半径为r 的圆形回路, 由安培环路定理得

NI r B μ=π?2， )2/(r NI B π=μ 在r 处取微小截面d S = b d r , 通过此小截面的磁通量

r b r

S B d 2d d π==μΦ

穿过截面的磁通量

S B d Φr b r

d 2π=

μ1

2R R NIb

μ (2) 同样在环外( r < R 1 和r > R 2 )作圆形回路, 由于0=∑i

02=π?r B ∴ B = 0

1 m

3. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流，在导线内部作一平面S ，S 的一个边是导线的中心轴线，另一边是S 平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通

过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量．

(真空的磁导率μ0 =4π310-7 T 2m/A ，铜的相对磁导率μr ≈1)

解：在距离导线中心轴线为x 与x x d +处，作一个单位长窄条，其面积为 x S d 1d ?=．窄条处的磁感强度 2

02R

B r π=

μμ

所以通过d S 的磁通量为 x R

S B r d 2d d 2

0π=

=μμΦ

通过１m 长的一段S 平面的磁通量为

π=

r x R Ix

0d 2μμΦ60104-=π

r μμ Wb

4. 计算如图所示的平面载流线圈在P 点产生的磁感强度，设线圈中的电流强度为I ．

解：如图，CD 、AF 在P 点产生的 B = 0

EF D E BC AB B B B B B

+++=

)sin (sin 4120ββμ-π=a

B AB ，方向? 其中 2/1)2/(sin 2==a a β，0sin 1=β ∴ a I B AB π=240μ，同理, a I B B

C π=240μ，方向?．

同样

)28/(0a I B B EF D E π==μ，方向⊙．

∴ a

I B π=

2420μa

π-

240μa

π=

820μ 方向?．

5. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B 中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.93103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB 段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B

的大小．

解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)．

重力矩 αραρsin sin 21

21gSa a a gS a M +?

= αρsin 22

g Sa =

磁力矩 ααcos )2

1sin(22

2B Ia BIa M =-π=

平衡时 21M M =

所以 αρsin 22g Sa αcos 2

B Ia = 31035.9/tg 2-?≈=I g S B αρ T

6. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度．解：取x 轴向右，那么有

/32211

2101])([2x b

R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2

/3222

202]

)([2x b R I R B -+=

μ 沿x 轴负方向

21B B B -=[

μ=

/3221

210]

)([x b R I R ++μ]]

)([2

/3222

20x b R I R -+-

若B > 0，则B 方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B

的方向为沿x 轴负方向．

7. 如图所示．一块半导体样品的体积为a 3b 3c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有

均匀外磁场B (B 的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝

1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0310-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．

(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？

(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带

电粒子数)．

解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。

(2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U 与电流强度I ，磁感强度B 成正比，而与样品厚度a 成反比，即：a IB K

U = 而 q

n K 01= ∴ 根椐题给条件，载流子浓度为： 2001082.2?==

aqU

n m -3 四研讨题

1. 将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比，两者有着本质上的区别。从类比的角度可作

何联想？

参考解答：

磁场的高斯定理与电场的高斯定理：

??∑??=?=?s s q S D S B

d ,0d

作为类比，反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。但是狄拉

克1931年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，提出：

n q q m =

? 式中q 是电荷、qm 是磁荷。电荷量子化已被实验证明了。然而迄今为止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。

1982年，美国斯坦福大学曾报告，用直径为5cm 的超导线圈放入直径20cm 的超导铅筒，由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极子进入才会引起磁通变化。运行151天，记录到一次磁通变化，但此结果未能重复。

据查阅科学出版社1994年出版的，由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的《90年代物理学》有关分册，目前已经用超导线圈，游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单极子。在前一种情况，一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流，它能被一个复杂装置探测出来，但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。游离探测器和闪烁探测器能做成大面积的，但对磁单极子不敏感。现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究，建造闪烁体或正比计数器探测器，相应面积至少为1000m 2。并建造较大的，面积为100m 2量级的环状流强探测器，同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。

2. 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，平行于磁场方向的速度分量如何变

化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？

参考解答：

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，它所受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量，这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小，甚至可使此速度分量减小到零，然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，由于平行于磁场方向的速度分量减小，因而与这个速度分量相关的动能也减小。然而磁力对带电粒子是不做功的，粒子的总动能不会改变，因此，与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大，垂直于磁场方向的速度分量也相应地增大。

3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示：截面矩形的非磁性管,其宽度为d 、高度为

h ，管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B 时,测得液体上表面的a 与下表面的b 两点间的电势差为U ,求管内导电液体的流量。

参考解答：

导电液体自左向右在非磁性管道内流动时, 在洛仑兹力作用下, 其中的正离子积累于上表面,负离子积累于下表面, 于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E ,它同匀强磁场B 一起构成了速度选择器。因此在稳定平衡的条

件下,对于以速度v 匀速流动的导电液体, 无论是对其中的正离子还是负离子,都有

B q d

qE v == ∴流速,Bd U =v 液体流量.B