含参不等式练习题及解法
众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集；
（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。
（3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。
一、立足于“直面求解”
解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求
解不等式切入。例1.设关于x的不等式
（1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；
（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围
分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。
解：（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)(m R，m≠0)
(m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时，由（1）解得
当m=1时，由（1）得x R;当m<1且m≠0时，由（1）解得
∴当m>1时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R
当m<1且m≠0时，原不等式的解集为
（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得
∴此时m的取值范围为{5}
（3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<0 0 ∴此时所求m的取值范围为（0，5）点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值 范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集的特征断定m-1>0以及，m的取值或取值范围由此而产生。 例2．已知关于x的不等式组的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。 分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x= -2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。 解：不等式x2-x-2>0 (x+1)(x-2)>0x<-1或x>2 ∴不等式x2-x-2>0的解集A=（-∞，-1）∪（2，+ ∞），显然-2∈A 不等式2x2+(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0① 设这一不等式的解集为B，则由-2B，得：（-2+R）（-4+5）<0R<2② 注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1= -R，， ∴(1)当时, 由①得,即此时-2 B (2)当时,由①得 ∵{x|x A∩B,x Z}={-2}∴③ 于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2） 点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R<0的解集为B，而后首先由-2 B获得一个必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入讨论。 首先由整数元素的从属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行讨论，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。 二、致力于“化生为熟”化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题”转化为“已经解过的题”。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。 二次不等式是我们所熟知的事物，因此，如果问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。 例1.若不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。 分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。 解：不等式 [（a-1）x+1](x-1)<0[（1-a）x-1](x-1)>0① 解法一:（分类讨论）：由已知不等式解集的形式得：1-a>0且1-a≠1 以下以①式左边多项式的根与1的大小为主线展开讨论： （1）当0<1-a<1即0 ∴由题设条件得（2）当1-a>1，即a<0时 ∴由①得或x>1这与题设条件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范围为{} 解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知） 原不等式[（1-a）x-1](x-1)>0又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 ∴∴所求a的取值范围为 点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形” 一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）>0的解集为（-∞，x1）∪(x2,+∞),则必需 （1）a·c>0 （2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根； 例2.若不等式的解集为(-3,-1) ∪[2,+ ∞）,求实数a的值 分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用. 解:原不等式(x+a)(x2+4x+3) ≥0(x2+4x+3≠0)(x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3) 设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1)则原不等式f(x) ≥0 由题设知x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0a=-2∴所求实数a=-2点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。 2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题， 集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。 例1.若对中的一切实数a，满足不等式 化简两个不等式的解集切入 解：设集合A={x| |x-a| 设集合则：（2） 由题设知A≤B， 故由①，②得： 注意到 又∴由(3)得(5) 同理由(4)得(6) 再注意到这里b>0,于是由(5)、（6）得b的取值范围为。 点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。 例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a<0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+3<0和x2-6x+8<0中的一个，求实数a的取值范围。 分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。 解:设A={x|x2-4x+3<0}，则A=（1，3）； B={x|x2-6x+8<0},则B=（2，4）； ∴A∪B=（1，4） 设C={x|2x2-9x+a<0}, 则由题设得C A∪B，即C（1，4） 又设f(x)= 2x2-9x+a 则f(x)的图象是以直线为对称轴且开口向上的抛物线 ∴由C（1，4）得{x|f(x）<0}(1,4) 于是可知实数a的取值范围为 点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系：C A∪B；第二次是注意到2x2-9x+a<0为二次 不等式，于是在C A∪B=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利在望。 配伍练习：已知三个不等式：（1）|2x-4|<5-x;（2） （3）2x2+mx-1<0 ，若同时满足不等式（1）、（2）的x也满足（3），求m的取值范围。 点拨：此题的题面与例2颇为相似，若设不等式（1）、（2）、（3）的解集分别为A、B、C，则转化为有关集合间 的关系，也颇为顺畅；只是在立足于A∩B C实施第二次转化时会遇到新的情况，如何完成第二次转化？请同学们实践中品味和感知。 3、化生为熟之三：转化为二次不等式 在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件乃是我们正面解决含参不等式问题的唯一的理论依据: ax2+bx+c>0对任何x R恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0; ax2+bx+c<0对任何x R恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0; 而与上述不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的,是在其基础上滋生出的关于最值的命题： μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界 μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界 例1.（1）若对于任意X R恒有,求m的值 （2）已知不等式|x+1|+|x-2|>m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）注意到对任意x R，总有x2+x+1>0∴对任意x R 恒成立对任意x R 恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）成立对任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立 注意到m N*，∴m=1 （2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)>m对一切实数x恒成立 m ∴f(x)的最小值为3（当且仅当x[-1，2]时所得）（2）于是由（1）（2）得m<3，即所求的取值范围为。 例2.若不等式对一切x R恒成立，求实数的取值范围。 分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒 成立问题）。解：不等式 注意到∴原不等式对一切x R恒成立5(3x2-2x+3) ∴所求m的取值范围为（-11，9）点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术. 例3.已知三个关于x的不等式： (1)|2x-4|<5-x;(2) ; (3)2x2+mx-1<0若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。 分析：本例的条件与结论与例2颇为相似，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。 解：将（1）（2）联立，得： 0≤x<1或2 设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B（3）的解集为C 则有A∩B=[0，1）∪（2，3）由题设知，即[0，1）∪（2，3） C ∴再由题设知，当x[0，1）∪（2，3）时，不等式（3）恒成立 当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-1<0恒成立 注意到当x=0时，2x2+mx-1<0显然成立， ∴当x[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-1<0恒成立 设 则由1）得m 注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)内为减函数 ∴g（x） ∴由（2）（3）得，即所求m的取值范围为 点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相似之处”，但是第二步的转化却有着明显的差异：前者是转 化为已知二次函数f(x)<0的解区间（1，4）的充要条件，后者是转化为含参不等式的恒成立问题，大家在解题与总结时要注意比较品悟，这些“形似”但“神不似”的问题 三、借重于“变量转换” 当我们面对生疏复杂的无理函数或复合函数问题时，循着哲学中“量变促质变”的原理，可借重“变量替换”这一量的变换，促使有关问题向其对立的方向转化，转化为我们所熟悉的有理函数或比较简单的问题，以“量变”促发“质变”，乃是我们解决比较复杂问题的基本策略之一. 例1.若不等式的解集为（4，b），求a,b的值 分析：此类问题在一元二次不等式板块中经常出现。注意到我们对一元二次不等式的认知： ax2+bx+c>0的解集为（x1, x2）a<0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。 ax2+bx+c>0的解集为（-∞, x1）∪（x2,+∞）a>0且x1, x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。 于是由此不等式所含的数和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。 解：设t=，则t≥0且原不等式 ∴由题设知关于t的不等式(t≥0)的解集为（2，） ∴一元二次方程的两根为2， ∴由韦达定理得由此解得∴ 点评：这里“化生为熟”的手段是“换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“有理”的质的转变的重要手段. 例2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，当x[0，]时，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)>0恒成立，求m的取值范围. 分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用”单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于sinx的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑第二次转化时运用变量转换. 解：由f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)∴f(sin2x-msinx+m)>-f(-2)当x[0，]时恒成立 f(sin2x-msinx+m)>f(2)当x[0，]时恒成立① 令sinx=t,则由x[0，]得0≤t≤1 ∴由①得f(t2-mt+m)>f(2) 当t[0，1]时恒成立② 又∵f(x)在R上为减函数，∴由②得t2-mt+m<2当t[0，1]时恒成立 m（1-t）<2-t2当t[0，1]时恒成立③ 当t=1时，对任意m R都有m(1-t)<2-t2成立④ 当t≠1时，令g(x)=(0≤t<1)则由③得m m 易知g(t)在[0,1）内递增，∴g(t)有最小值g(0)=2 ∴由⑤得m<2⑥ 于是由④，⑥得所求m的取值范围为（-∞，2） 点评：回顾上述解题过程，在脱去符号“f“之后，首先借助换元，促使关于sinx的二次不等式恒成立的问题，转化为关于t的二次不等式恒成立的问题，完成化繁为简的第一次转化；在此基础上进而由对③式的“主元转换”切入，使问题进 一步转化为g(x)= （0≤t<1）的值域问题，从而完成了化生为熟的第二次转化. 解决比较复杂的函数问题，问题转化往往不能一步到位，此例的解法，为我们提供了一个两次转化，自然顺畅的解题示范，请大家细细品悟. 四、尝试于“主元转换” 在数学问题中，主要变量之外的其它变数都称为参数（参量），然而，“主要”与“次要”是辩证的统一：它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯通，因此，在数学的解题研究中，当我们以熟悉的“主元”切入而面临繁难的境地时，则可考虑利用“主元”与“参数”之间的辩证关系实施“主元转换”；尝试以原来的参数作为“主元”进行考察，从而以全新的角度审视和分析问题，解题由此而引入新的境地，获得简明的解题思路与解题过程便在情理之中了. 例1.如果不等式2x-1>m（x2-1）对于m[-2，2]成立，求x的取值范围 分析：注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于m的一次型不等式在m[-2，2]上恒成立，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解解：原不等式（1-x2）m+(2x-1)>0f(m)=(1-x2)m+2x-1 则f(m)为m的一次函数或常数函数，其几何意义为直线， 于是原不等式对任意m [-2，2]成立 ∴x∈点评：上述解法的详细过程为分类讨论: （i）当1-x2>0-1 ∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得f(-2)>0 (ii)当1-x2<0x<-1或x>1时,f(m)在[-2,2]上为减函数 ∴由f(m)>0(-2≤m≤2)得 (iii)当1-x2=0x=±1时当x=1时f(m)=1>0当x=-1时f(m)=-3>0不成立, 综上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范围为 例2. 已知对于满足p=16sin3α,且α[-,]的所有实数p,不等式log22x+plog2x+1>2log2x+p恒成立,求实数x的取值范围.分析:由题设易得p[-2,2],所给不等式为log2x的二次不等式,也可视为P的一次型不等式,由此想到以P为主元 考察并转化问题.解：由P=16sin3α, ① 又不等式log22x+plog2x+1>2log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)>0(以x为主元) （log2x-1）P+（log22x- 2log2x+1）>0 (以P为主元)② 设f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2③ 注意到当log2x=1即x=2时原不等式不成立 故f(p)为p的一次函数，并且由①②得所给问题等价于f(p)在区间[-2，2]上恒大于0 ∴所求实数x的取值范围为点评：在这里不可忽略考察（3）中P的关系log2x-1=-0的料情形，事实上，当log2x-1=0即x=2时原不等不成立，故这里x≠2，即这里的f(p)不存在为常数求的情形 若a,b[-11]且a≠b，则有（1）判断f(x)在区间[-1，1]的单调性； （2）解不等式 （3）若f(x)≤m2-2am+1对所有x[-1，1]，a[-1,1]恒成立，求m的取值范围。 分析：注意到这里f(x)为轴象数，故（1）的数解只能运用数的单调性定义，而f(x)的单调性一经确定，便为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。 解：（1）设x1, x2[-1,1]且x1 并且由题设得∴f(x1)-f(x2)<0 ,即f(x1) ∴f(x)在区间[-1，1]上的增区数。 （2）注意到f(x1)定义域为[-1，1]，且f(x)在用区间[-1，1]递增， ∴利用增数定义为 ∴原不等式的解集为 (3)由(1)知f(x)在闭区间[-1,1]上为增函数①∴f(x) ≤m2-2am+1在x[-1,1], [-1,1]上恒成立② m2-2am+1(-1≤a≤1)≥f(x)(-1 ≤x≤1)③m2-2am+1≥f(1)在a[-1,1]上恒成立 m2-2am+1≥0在a[-1,1]上恒成立(以m为主元④ (-2m)a+m2≥0在a[-1,1]上恒成立(以m为主元⑤ 当g(a)=(-2m)a+m2，则g(a)为a的一次函数⑥ ∴由（5）（6）得g(a)≥0在a[-1,1]上恒成立g(1) ≥0且g(-1) ≥0m≤-2 或m≥2 ∴所求m的取值范围为（-∞,-m）∪[2,+ ∞] 点评：这里的解题经历三次视角的转化：第一次是由①到②，将f(x)在给定区间上递增，视为相关不等式在给定区间上恒成立；第二次是以②到③，将不等式与f(x)的最大值建立联系；第三次是从④到⑤，将关于m的二次不等式视为关于a的一次型不等式，由此，解题一步步转化，一步步走向熟悉与简明. 五、练习（高考真题） 1、（2005-辽宁卷）在R上定义运算×：x × y=x(1-y),若不等式（x-a）× (x+a)<1对任意实数x成立，则（） A．-1 2、（2005-天津卷）已知m R，设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1- x2|对任意实数 a[-1，1]恒成立；Q：函数在（-∞，+∞）上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围。 3、（2005—辽宁卷）函数y=f(x)在区间（0,+ ∞）内可导，导函数f′(x)是减函数，且f′(x)>0，设 x0（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x0 f(x0)）处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m （1）用x0 f(x0),f′(x0)表示m；（2）证明：当x（0，+∞）时，g（x）≥f(x)； （3）若关于x的不等式在[0，+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a与b 所满足的关系。分析与解答：1、分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到从本题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：由所给定义（x-a）× (x+a)<1对任意x R成立 （x-a）(1-x-a)<1对x R恒成立x2-x+(1-a2+a)>0对x R恒成立 Δ=1-4（1-a2+a）<04a2-4a-3<0故应选C 2、分析：由P正确且Q正确推出m的范围 首先需要寻找命题P与命题Q成立时，变量m所满足的等价条件，故从命题P、Q的转化切入。 解：由x1, x2为方程x2-ax-2=0的两个实根，得x1+x2=a，x1x2=-2 ∴命题P正确不等式对任意实数a[-1，1]成立（1） ∵-1≤a≤1,∴8≤a2+8≤9, ∴由（1）得命题P正确|m2-5m-3|≥3 m2-5m-3≤-3或m2-5m-3≥3m≤-1或0≤m≤5或m≥6 即当m（-∞，-1]∪[0，5] ∪[6，+∞]时，命题P正确（2） 又 f′(x)的图象是开口向上的抛物线∴要使f(x)在（-∞，+∞）上有极值，只需f′(x)的最小值小于零 m<-1或m>4 即当m（-∞，-1）∪（4,+ ∞）时,命题Q正确（3） 于是由（2）、（3）知，当命题P、Q同时正确时，m的取值范围由（-∞，-1）∪（4,5] ∪[6，+∞）。 点评：在这里命题Q的转化：注意到f(x)在R上可导，所以f（x）在R上存在极值，只需f＇(x)可取正值、负数与零值，又f＇（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在R上连续，故只f＇(x)的最小值小于0，这一步步化隐为明的转 化,值得我们品悟与借鉴. 3、分析：（1）注意到导数的几何意义，考虑从写出曲线y=f(x)在（x0,f(x0)）处的切线方程切入； （2）注意到利用（1）的结果，有关函数的极值易于解决，故考虑设h（x）=g(x)-f(x)(x>0)，而后证明h(x)的最小值为0；对于（3）中的连号不等式，容易想到对其“一分为二”考察，而后“合二为一”结论. 解：（1）由导数的几何意义得：曲线y=f(x)在（x0,f(x0)）处的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)（x-x0）即y=xf′(x0)+ f(x0)- x0f′(x0)∴m= f(x0)- x0f′(x0) (2)证明：令h（x）=g (x)- f(x)则h′(x)= f′(x0)- f′(x),h′(x0)=0 ∵f′(x)递减，∴h′(x)递增∴当x>x0时，h′(x)> h′(x0)=0 当0 又h(x0)=g(x0)-f(x0)=0∴当x R+时总有h(x) ≥h(x0)=0 即当x（0，+∞）时，总有g(x)≥f(x) （3）解：注意到不等式在[0，+∞）上恒成立，易知a>0且0≤b≤1是所给不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。 （i）关于x的不等式x2+1≥ax+b对任意x[0, +∞）恒成立(1） 设g(x)=x2-ax+(1-b)，则g′(x)=2x-a (ii) 设,关于x的不等式,对任意x[0，+∞）恒成立 p(x) ≥0对任意x[0，+∞）成立（4） 令p′（x）=0得x=a-3∴当0 当x>a-3时p′（x）>0∴当x=a-3时，p(x)取得最小值P（a-3）(5) ∴p(x) ≥0对任意x[0，+∞）成立p(a-3) ≥0 于是综合(i),(ii)不等式的充要条件是： 易见存在a,b使成立的充要条件是 不等式解此不等式得： ∴所求b的取值范围为a与b所满足的关系式为 点评：循着由“粗略”到“精细”的顺序，首先考察所给连号不等式的某一局部成立的情形，从中寻出这一不等式成立的必要条件，于是，下面的讨论便可在这一条件下进行.如此，有效地减少了讨论的头绪，从而简化了整个解题过程. y x O A B 一元二次不等式一、知识导学1. 一元一次不等式与一次函数的关系 对于不等式ax>b, (1)当a>0时，解为___________； (2)当a ＜0时，解为____________ (3)当a ＝0，b ≥0时___________；当a ＝0，b ＜0时，解为_______________． ①作出21y x =+的图像，观察21x +＞0，21x +=0，21x +＜0的解与图像的关系 21x +＞0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +＜0的解集表示当x 取何值时，21y x =+的图像______________________ 21x +=0表示__________________. 总结： （1）y>0时，x?的取值范围就是______________的图像所对应的x 的取值范围． （2）y<0时，x 的取值范围就是_______________的图像所对应的x 的取值范围． （3）y=0时，x 的值就是图像与_______________交点的横坐标． （4）当y>a 或yy ；当x 时，2-≤y 。 3．如图，直线l 是一次函数b kx y +=的图象，观察图象，可知： （1）=b ；=k 。（2）当2>y 时，x 。 ②已知直线y 1=ax+b 和y 2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空． ⑴ 当x_ _时，y 1＞y 2；当x___ _时，y 1=y 2；当x___ ___时，y 1＜y 2. ⑵ 方程组y=ax+b y =mx+n ??? 的解为___________它表示 . 利用函数图象解一元一次不等式： （1）6345+>-x x ； （2）9632-<+x x 。 练习：如图，直线y kx b =+经过(21) A ，，(12) B --，两点，则不 等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 . 2. 一元二次不等式 作出下列二次函数的图像，观察图像填空 函数 图像 y=0 y>0 y ≥0 y<0 y ≤0 y O 1 23123-1-1 含参不等式以及含参不等式组的解法 不等式在中考中的运用，往往掺杂参数来增加难度，我们只要读清楚题目找到解题思路便能迎刃而解了。本节课我们就重点讲讲如何读题去寻找解题思路。 含参不等式： 解不等式5（x-1）<3x+1 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x<3 求不等式 57x -<3 2 -x 的最小整数解. 通过去括号、移项、合并同类项等一系列运算可以求出解为：x>8 31 ,故可以得出最小整数为4. 那么含参不等式如下： 解含参不等式ax0时 X< a b X ≤ a b a<0时 X>a b X ≥a b a=0时 若b>0，则解集为任意数 若b ≥0，则解集为任意数 若b ≤0，则这个不等式无解 若b<0，则这个不等式无解 在这些需要讨论的情况下，等号最后讨论才方便，不会讨论重合。 例题：1、求不等式kx+2>2x-3的解集 移项、合并同类项、讨论取值 2、（1）求不等式解集mx+a>nx+b 移项、合并同类项、讨论取值 （2）（m-1）x>a 2+1对于任意x 都成立，则参数m 的值为 练习 ：1、求不等式kx+2>3的解集 2、（1）求不等式mx-2<-7-nx 的解集 （2）求不等式m 2x+1<-x+5的解集 3、关于x 的方程5x-2m=-4-x 的解满足2 含参不等式组： 观察下列不等式组的解集 ?? ?>>31 x x ???<<31 x x ???<>31 x x ?? ?><3 1 x x 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无限了 例题：1、（1）求不等式x-a ）（x-b ）>0的解集。 （2）求不等式 320-x +518-x +716-x +914-x +11 12 -x >5的解集。 那么5的倍数呢？不是5的倍数，18呢？ 2、（1）已知关于x 的不等式组???>-≥-1 250 x a x 只有四个整数解，求实数a 的取值范围。 （2）已知关于x 的不等式组? ??-<+>232 a x a x 无解，则a 的取值范围是？ 3、已知关于x 的不等式（a+3b ）>a-b 的解集是x<-3 5 ,试求bx-a>0的解集。 4、已知关于x 的不等式组?? ? ??-<<->k x x x 111 （1）求其解集。 （2）由（1）可知，不等式组的解集是随数k 的值的变化而变化，当k 为任意有理数时，写出不等式的解集。 练习：1、已知关于x 数的不等式组?? ?>->-0 230 x a x 的整数解共有6个，则a 的取值范围是？ 例2 解不等式135 x <-< 课后练习： 一．选择题（共2小题） 1．（2015春?石城县月考）已知m为整数，则解集可以为﹣1＜x＜1的不等式组是（） A ．B ． C ． D ． 2．（2002?徐州）已知实数x、y同时满足三个条件：①3x﹣2y=4﹣p，②4x﹣3y=2+p，③x＞y，那么实数p 的取值范围是（） A ．p＞﹣1 B ． p＜1 C ． p＜﹣1 D ． p＞1 二．填空题（共7小题） 3．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围 是． 4．（2010?江津区）我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1 ＜＜3，则x+y的值是． 5．若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 6．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 7．不等式组的解是0＜x＜2，那么a+b的值等于． 8．已知不等式组的解集1≤x＜2，则a=． 9．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是． 三．解答题（共4小题） 10．（1）解方程组： （2）求不等式组的整数解． 11．（2013?乐山）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组，求满足条件的m的整数值． 12．（2011?铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元． （1）篮球和排球的单价分别是多少元？ （2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？ 13．（2011?邵阳）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人． 规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年 级学生． 请求出该合唱团中七年级学生的人数． 含参不等式（有解、无解问题）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.若不等式组的解集为，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 2.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 3.若不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 4.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 5.若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 6.关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 7.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 8.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 9.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组） 10.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解： (1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f（x） g（x） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f（x） g（x） ＞0?f(x)g(x)＞0； f（x） g（x） ＜0 ?f(x)g(x)＜0； f（x） g（x） ≥0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≥0， g（x）≠0； f（x） g（x） ≤0 ? ?? ? ??f（x）g（x）≤0， g（x）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值围是( ) A.－2 【例 【例 【例 解一元一次不等式组 11 21 31 0的解集是（ 解不等式组 解不等式组 3x 1 2x C. 1 < x < 2 3x 2x 3x x 1 ~6~ 4x B . x < 2 4 4，并把它的解集表示在数轴上. 2 2x 1 3 1 ?x 2 8x 9 3 2x 6 D . 0< x < 2 3x 1 6 3x 1 2 (7) 【例 【例 3x 4 ""2 16x 6 c 4x 17 2x ------ 8 9 2 4】求不等式组 2x 5 w 3 x 2 的整数解。 含有字母的一元一次不等式组 (1) 关于 x 的一次不等式组 x x a 的解集是x b (2) 关于 x 的一次不等式组 x a 的解集是a x b (3) 关于 x 的一次不等式组 x a 的解集是a x b (4) 关于 x 的一次不等式组 x a 无解集，则 5 】 b ，则 x x a , x 2x 9 (6) 3 0.05x (8) 2 3x 0.08 0.07 b 的大小关系是 a ，b 的大小关系是 a ，b 的大小关系是 b 的大小关系是 x a 2 x a 2无解，求a的取值范围x 3a 2 X 1 若关于x的不等式组 x a 1 只有3个整数解，求a的取值范围 (2) 若关于x的不等式组 a 3a 无解，求a的取值范围 【例若关于 若关于 x的不等式组 x的不等式组 常数a取何值时，关于 2x 无解，求a的取值范围 有解，求a的取值范围 x的不等式组 1 二2 2 2 3[1 2x 4 2 1 -]> 2，有解? 3 7】(1)若关于x的不等式组 x a 2x 1 0只有四个整数解，求a的取值范围 1 【例6】(1)若关于x的不等式组 3 中考专题训练二 一、含参数方程组和不等式的结合 1.若整式a 使得关于x 的不等式组20113 x a x ì->?í-???至少有一个整数解，且使得关于x 的方程415ax x =-有整数解，那么所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 12 B.1 C.52 D.3 2.从22,1,,0,13---这五个数字中，随机抽取一个记为a ，则使得关于x 的方程213ax x +=-的解为非负数，且满足关于y 的不等式组0321 x a x ì->?í-+???恰有三个整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、含参数的函数和方程、不等式的结合 3. 一直一个口袋中装有5个完全相同的小球，小球上分别标有2,6,9,12,15五个数字，搅匀后从中摸出一个小球，将小球上的数字记为a ，若使得一次函数6y ax a =+-不经过第四象限且关于x 的分式方程 6466 ax x x x =+--的解为整数，则这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A.21 B.27 C.29 D.44 4. 从2,1,0,1,2,4--这六个数中，任取一个数作为a 的值，恰好使得关于x,y 的二元一次方程组2x y a x y ì-=?í+=?? 有整数解，且函数242y ax x =++的图象与x 轴有公共点，那么这6个数所有满足条件的a 的值之积是（ ） A. 16- B.4- C.0 D.8 练习： 1. 有五张正面分别标有数组12,0,,1,32-的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，若使得关于x 的分式方程 11222ax x x -+=--有整数解，则这5个数中满足条件的a 的值之和是（ ） B. 0 B.3 C.4 D. 32 2. 使关于x 的分式方程122k x -=-的解为非负数，且使反比例函数3k y x -=的图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k 的和为（ ） C. 1 B.2 C.3 D.5 3. 在平面直角坐标系中，抛物线2 23y x x =--与x 轴交于B,C 两点，（点B 在点的左侧），点A 在抛物线上，且横坐标为-2，连接AB ，AC ，现将背面完全相同，正面分别标有2,1,0,1,2--的五张卡片洗均匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为P 的横坐标，将该数加1作为点P 的纵坐标，点P 落在△ABC 内（不含边界），则满足条件的点P 的个数为（ ） D. 1 B.2 C.3 D.4 一元一次不等式解法练习题 一、选择题： 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A ； B ； C ； D ；2、下列各式中，是一元一次不等式的是（） A、5+4＞8 B、2x－1 C、2x≤5 D、－3x≥03、下列各式中，是一元一次不等式的是（）(A)2x 四、解不等式组，并在数轴上表示它的解集 1、2、 3、 4、－5＜6－2x＜3． 5、 6、 7、8、 9、10 11、 12、五．变式练习：1不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是( )．(A) m≤2 (B)m≥2(C)m≤1 (D)m≥ 12、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．3、适当选择a的取值范围，使1、7＜x＜a的整数解：（1）x 只有一个整数解；（2）x一个整数解也没有． 4、当时，求关于x的不等式的解集． 5、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小． 6、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值． 7、关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围． 8、 k取哪些整数时，关于x的方程5x＋4＝16k－x的解大于2且小于10? 21 模块一 含参不等式组 1．不等式组解集口诀 设b ＜a 解集 在数轴上表示的示意图 口诀 x a > x b > x a > b a 同大取大 x a ＜ x b ＜ x b ＜ b a 同小取小 x a ＜ x b > b x a ＜＜ b a 大小小大中间找 x a > x b ＜ 无解 b a 大大小小无解了 2．不等式组的常见题型 （1）已知不等式组的解集情况，求参数的取值或取值范围； （2）整数解问题 模块二 含参不等式（组）和方程（组）综合 解关于x 的不等式组365(12)8 mx mx mx x m x -<-??+>-+?． 化简不等式组得411 38mx mx ? ． ① 当0m >时，可化为11483x m x m ? ?? ，且811103412m m m -=-<，故解集为81134x m m << ； 模块一 含参不等式组 ②当0 m<时，可化为 11 4 8 3 x m x m ? > ?? ? ?< ?? ，且 8111 3412 m m m -=->，故解集为 118 4 3 x m m < <； ③当0 m=时，原不等式组无解． 【教师备课提示】这道题主要考查含参不等式组的基本解法． （1）若关于x的不等式 521 x a x -> ? ? - ?≥- 无解，则a的取值范围为___________． （2）若不等式组 2 32 x a x a >+ ? ? - ?≤ 有解，试判断不等式组 2 2 x a x a >- ? ? <+ ? 的解的情况． （1）不等式组化简得到 3 x a x > ? ? ?≤ ，“大大小小没有解”，知3 a>； 再讨论当3 a=时不等式组解的情况，发现亦为无解. 3 a≥ ∴. （2）“大小小大中间找”，232 a a +<-； 当232 a a +=-时，不等式组无解. 2 a> ∴，22 a a -<+ ∴， ∴不等式组的解集为22 a x a -<<+. （1）（实外半期）关于x的一元一次不等式组 26 x x x m -+>- ? ? < ? 的解集是4 x<，则m的取值范围是． （2）已知不等式组 2 21 x m x m -> ? ? -> ? 的解集为5 x>，则m的值为． （3）如果不等式组 2 2 22 x a b x b a ? +> ? ? ?-< ? 的解集是12 x <<，则a b +=___________． （1）4 m≥． （2）不等式分别求解得到 2 21 x m x m >+ ? ? >+ ? ，求解需要讨论m的取值范围. 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集； （2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。 （3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。 一、立足于“直面求解” 解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求 解不等式切入。例1.设关于x的不等式 （1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围； （3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围 分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m2>0,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为ax>b型，于是可以x的系数a的取值为主线进行讨论。 解：（1）由题设，原不等式m（x+2）>m2+(x-3)(m R，m≠0) (m-1)x>m2-2m-3(1)∴当m>1时，由（1）解得 当m=1时，由（1）得x R;当m<1且m≠0时，由（1）解得 ∴当m>1时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R 当m<1且m≠0时，原不等式的解集为 （2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1）知应得 ∴此时m的取值范围为{5} （3）注意到x=3 为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）>m2-2m-3m2-5m<0 0 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组1 21x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求 a的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 不等式的练习题 一、填空题 1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x ＜18的整数解为 . 3、如果不等式21 16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 . 17.已知关于x 的方程ax 2 +bx+c ＜0的解集为｛x ｜x ＜-1或x ＞2｝.则不等式ax 2 -bx+c ＞0的解集为 . 二、解不等式： 1、302x x -≥- 2、21 13 x x ->+ 3、22 32023x x x x -+≤-- 4、221 02x x x --<- 5、()()() 3 22 1603x x x x -++≤+ 6、()2 309x x x -≤- 7、 101x x <-< 8、 . 0)25)(-4-( 2 2<++x x x x 9 、 (2 1x -)(2 68x x -+)≤0 10 、 22 41 1372 x x x x -+≥-+ 11 、 12 、x x x 211322 +>+- 含参不等式与参变量的取值范围 一、选择题 1. 已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 A. a >-1 B. a=1 C. a ≥1 D. a ≤1 2. 设)(1 x f -是函数1)((2 1)(>-= -a a a x f x x 的反函数，则使1)(1 >-x f 成立的x 的取值范围是 ) ,.[) ,21.() 21,.() ,21.(222+∞---∞+∞-a D a a a C a a B a a A 3. 在R 上定义运算○×：x ○×y=x(1–y),若不等式（x –a ）○×(x + a)<1对任意实数x 成立 2 1 23.2 3 21.20.11.<<- <<- <<<<-a D a C a B a A 的取值范围是 恒成立，则时，不等式（当的取值范围是，则实数的解集为若不等式的取值范围是 都有意义，则对已知函数的取值范围是 值，则）上有最大 ，在（存在，且，若，其中已知的取值范围是 数有且仅有三个解，则实若设的取值范围是 有解，则实数若不等式可以是的取值范围的充分条件，则是若集合a x x x D C B A a R x a x a D C B A a x x x x f b D b C b B b A b x f x f b a x a x b x x b ax x f D C B A a x x f x x f x a x f m D m C m B m A m m x x b D b C b B b A b B A a a b x x B x x x A a a a x x log )1)2,1(.10)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(4)2(2)2(.9)21,161.()21,321.[]21,641.[)21,1281.[)2 1 ,0()log (log )(.81 0.1.12 1 .1.11)()(lim 0,0)1,0(] 0,1()(.7] 1,.(),1.[)2,.(]2,1.[)()0)(1() 0(3)(.62 .2 .1 .1 .|3||5|.521.13.20.02."""1"},|||{},01 1 |{.422220<-∈-∞+∞--∞--<-+-∈+-=≤<≥≤<>->>??? ??∈---∈+=-∞+∞-∞=? ??>-≤-=≥>≥><-+-<≤--<<-≤<<≤-≠=<-=<+-=→- φ 含参不等式专题（淮阳中学） 编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。 解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况： （1） 二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（4）根的大小。 一、含参数的一元二次不等式的解法： 1．二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑0≥?） 例1、解关于x 的不等式0)1(2>++-a x a x 。 解：0)1)((2>--x a x 1,0)1)((==?=--x a x x a x 令 为方程的两个根 （因为a 与1的大小关系不知，所以要分类讨论） （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 综上所述： （1）当1或 （2）当1>a 时，不等式的解集为}1|{<>x a x x 或 （3）当1=a 时，不等式的解集为}1|{≠x x 变题1、解不等式0)1(2>++-a x a x ； 2、解不等式0)(322>++-a x a a x 。 一元一次不等式的解法巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．已知关于x 的不等式||(1)0m m x -≥是一元一次不等式，那么m 的值是 ( ) . A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C ．m ＝-1 D ．不能确定 2．由m n >得到22ma na >，则a 应该满足的条件是（ ）. A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≠0 D ．a 为任意实数 3．（2015?南通）关于x 的不等式x ﹣b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜b ＜﹣2B ．﹣3＜b≤﹣2C ．﹣3≤b≤﹣2D ．﹣3≤b＜﹣2 4．不等式475x a x ->+的解集是1x <-，则a 为（ ）. A ．-2 B ．2 C ．8 D ．5 5．如果1998a+2003b=0，那么ab 是（ ） A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 6.关于x 的不等式2a x 2≥+-的解集如图所示，则a 的值是 （ ）. A ．0 B ．2 C ． -2 D ．-4 二、填空题 7．若x 为非负数，则5x 231-≤- 的解集是. 8．（2015?铜仁市）不等式5x ﹣3＜3x+5的最大整数解是． 9．比较大小：22336a b -+________22241a b -+. 10．已知-4是不等式5ax >-的解集中的一个值，则a 的范围为________. 11．若关于x 的不等式30x a -≤只有六个正整数解，则a 应满足________. 12.已知a x >的解集中的最小整数为2-，则a 的取值范围是. 三、解答题 13．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ． 14. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： （1）x 只有一个整数解； (2) x 一个整数解也没有． 15.当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4) 5(的解集． 16.（2015秋?相城区期末）已知关于x 的方程4x+2m+1=2x+5的解是负数． （1）求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于x 的不等式2（x ﹣2）＞mx+3． 【答案与解析】 一、选择题 1 不等式的解法 一、 选择题： 1、下列语句中正确的是 （ ） A 、若b a >，b c >，则c a > B 、若b a >，则22bc ac > C 、若b a >，则c b c a ->- D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ） A 、]6,2[- B 、]6,2(- C 、)6,2[- D 、)6,2(- 3、不等式362≤x 的解集是 （ ） A 、}6{±≤x x B 、}66{≤≤-x x C 、}66{<<-x x D 、}6{-≤x x 4、不等式0542>+-x x 的解集是 （ ） A 、),(+∞-∞ B 、),5()1,(+∞--∞ C 、? D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式032≤-x x 的解集是 （ ） A 、]0,3(- B 、)3,0[ C 、]3,3(- D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是 （ ） A 、)2,1()2,( --∞ B 、),2()1,2(+∞- C 、)2,(--∞ D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是 （ ） A 、}88{<<-x x B 、}22{<<-x x C 、}22{>-各种不等式解法练习试题
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