第三章 时域分析法题解
第三章 时域分析法
3-1 已知一阶系统的传递函数
()10(0.21)G s s =+
今欲采用负方馈的方法将过渡过程时间s t 减小为原来的0.1倍，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解答：
闭环传递函数：
10()0.2110s s
θ=
+
由结构图知：
00
10()
10110()0.2
1()
0.21101
110H
H
h H
K k G S k K s K G S s k S K θ+=
=
=
+++++
由 0
0101011011010100.910H H H k
k k k k ???
??
??
???
?
?=++===
3-2已知系统如题3-2图所示，试分析参数b 对输出阶跃过渡过程的
影响。
题3-2 图
解答：
系统的闭环传递函数为：
()
()()1()C S K
s R S T Kb s θ=
=
++ 由此可以得出：b 的大小影响一阶系统的时间常数，它越大，系统的时间常数越大，系统的调节时间，上升时间都会增大。
3-3 设温度计可用1(1)Ts +描述其特性。现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1分钟可指示98％的实际水温值。如果容器水温依10℃/min 的速度线性变化，问温度计的稳态指示误差是多少？
解答：
本系统是个开环传递函数 系统的闭环传递函数为：
系统的传递函数：
1()1G s Ts =
+
则题目的误差传递函数为：
1()11E s Ts =
+
12
()1(),()11()11()|0.98T =0.2556
10()10,lim ()
10 2.556
t
t ss s r t t c t e E S T S
c t r t e sE S T S
τ-=→==-=
+=====时根据得出当时
3-4 设一单位反馈系统的开环传递函数
()(0.11)
K G s s s =
+
试分别求1
10K
s
-=和1
20K
s -=时系统的阻尼比ζ、无阻尼自振频率n w 、
单位阶跃响应的超调量p
σ％和峰值时间p
t ，并讨论K 的大小对动态性能的影响。
解答：
开环传递函数为
n 2
n n 2
n n n 2
n n 10()(0.11)
(10)
25W 10W 102W 10
10W 10W 100.5
%16.3%
0.242
0.363
2W 10
20W 10W 14.140.347
%arccos p r d p d
p r d K K G s S S S S K
K K t t K K t ζζσπβωπωζζσπβ
ω=
=
++=??=?=?=?=?=??
=?=-=
=
==
==?=?=?=??
=?=
--=
=
则当时由得出当时由得出0.238
p d
t πω=
=
=
3-8 设控制系统闭环传递函数
2
2
2
()2n n n s s ωφζωω=++
试在s 平面上给出满足下列各要求的闭环特征根可能位于的区域：
1. 10.707,2n ζω>≥≥
2. 0.50,42n ζω≥>≥≥
3. 0.7070.5,2n ζω≥≥≤
解答：
欠阻尼二阶系统的特征根：
1. 由0.7071,arccos ζβζ<<=，得045β??
<≤，由于对称关系，在实轴的下
半部还有。
2.
由00.5,arccos ζβζ
<≤=，得6090
β??
≤<，由于对称关系，在实轴的下半
部还有。
3. 由0.50.707,arccos ζβζ≤≤=，得出4560β??
≤≤，由于对称关系，在实轴
的下半部还有。
则闭环特征根可能位于的区域表示如下：
1．
2．
3．
3-10 设单位反馈系统开环传递函数分别为： 1.[]()(1)(0.21)G s K s s s =-+ 2. ()(1)[(1)(0.21)]G s K s s s s =+-+ 试确定使系统稳定的K 值。
解答：
1.系统的特征多项式为：
32
()0.20.8D s s s s k =+-+
()D s 中存在特征多项式中存在负项，所以K 无论取什么值，系统都不会稳定。
2.系统的特征多项式为：32
()0.20.8(1)D s s s k s k =++-+ 劳斯阵列为：
3
s 0.2 k-1
2
s 0.8 k
1
s
0.60.8
0.8
k -
s k
系统要稳定 则有
0.60.8
00.80k k ??
?
??->>
所以系统稳定的K 的范围为
43k >
3-14 已知单位反馈系统开环传递函数如下：
1.]()10(0.11)(0.51)
G s s s =++ 2.
2
()7(1)(4)(22)G s s s s s s ??=++++?? 3.
2
()8(0.51)(0.11)G s s s s ??=++?? 解答:
1.系统的闭环特征多项式为:
2
()0.050.611D s s s =++ 可以判定系统是稳定的.
则对于零型系统来说，其静态误差系数为:
l i m ()
10
p s k G s →==
lim ()0
v s k sG s →==
2
l i m ()
a s k s
G s →==
那么当()1()r t t =时，
11111
ss p
e k =
=
+
当()1()r t t t =?时，
1ss v e k ==∞
当2
()1()r t t t =?时，
2ss a
e k =
=∞
2.系统的闭环特征多项式为:
4
3
2
()610157
D s s s s s =
++++ 可以用劳斯判据判定系统是稳定的.
则对于一型系统来说，其静态误差系数为:
l i m ()p s k G s →==∞
7lim ()8
v s k sG s →==
2
l i m ()
a s k s
G s →==
那么当()1()r t t =时，
11ss p
e k =
=∞
+
当()1()r t t t =?时，
187
ss v e k ==
当2
()1()r t t t =?时，
20
ss a
e k =
=
3.系统的闭环特征多项式为:
3
2
()0.148
D s s s s =+++ 可以用劳斯判据判定系统是稳定的.
则对于零型系统来说，其静态误差系数为:
l i m ()p s k G s →==∞
lim ()v s k sG s →==∞
2
l i m ()
8
a s k s
G s →==
那么当()1()r t t =时，
10
1ss p
e k =
=+
当()1()r t t t =?时，
10
ss v e k ==
当2
()1()r t t t =?时，
214
ss a
e k =
=
线性系统的时域分析法第七讲
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
第三章控制系统的时域分析法知识点
第三章 控制系统的时域分析法 一、知识点总结 1．掌握典型输入信号（单位脉冲、单位阶跃、单位速度、单位加速度、正弦信号）的拉氏变换表达式。 2．掌握系统动态响应的概念，能够从系统的响应中分离出稳态响应分量和瞬态响应分量；掌握系统动态响应的性能评价指标的概念及计算方法（对于典型二阶系统可以直接应用公式求解，非典型二阶系统则应按定义求解）。 解释：若将系统的响应表达成拉普拉氏变换结果（即S 域表达式），将响应表达式进行部分分式展开，与系统输入信号极点相同的分式对应稳态响应；与传递函数极点相同的分式对应系统的瞬态响应。将稳态响应和瞬态响应分式分别进行拉氏逆变换即获得各自的时域表达式。 性能指标：延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量 3．掌握一阶系统的传递函数形式，在典型输入信号下的时域响应及其响应特征；掌握典型二阶系统的传递函数形式，掌握欠阻尼系统的阶跃响应时域表达及其性能指标的计算公式和计算方法；了解高阶系统的性能分析方法，熟悉主导极点的概念，定性了解高阶系统非主导极点和零点对系统性能的影响。 tr tp ts td
4．熟悉两种改善二阶系统性能的方法和结构形式（比例微分和测速反馈），了解两种方法改善系统性能的特点。 5．掌握系统稳定性分析方法：劳斯判据的判断系统稳定性的判据及劳斯判据表特殊情况的构建方法（首列元素出现0，首列出现无穷大，某一行全为0）；掌握应用劳斯判据解决系统稳定裕度问题的方法。了解赫尔维茨稳定性判据。 6．掌握稳态误差的概念和计算方法；掌握根据系统型别和静态误差系数计算典型输入下的稳态误差的方法（可直接应用公式）；了解消除稳态误差和干扰误差的方法；了解动态误差系数法。 二、相关知识点例题 例1. 已知某系统的方块图如下图1所示，若要求系统的性能指标为： δδ%=2222%，tt pp=1111，试确定K和τ的值，并计算系统单位阶跃输入下的特征响应量：tt，tt。 图1 解：系统闭环传递函数为：Φ(s)=CC(ss)RR(ss)=KK ss2+(1+KKKK)ss+KK 因此，ωnn=√KK，ζζ=1+KKKK2√KK， δ%=e?ππππ?1?ππ2?ζζ=0.46， t pp=ππωωdd=1ss?ωdd=ωnn?1?ζζ2=3.14 ?ωnn=3.54 K=ωnn2=12.53，τ=2ζζωnn?1KK=0.18 t ss=3ζζωωnn=1.84ss
第三章 时域分析法 习题
第三章时域分析法 3-1两相交流电动机，使用在简单位置控制系统中见习题3-1图。假设作误差检测器用的差动放大器增益为10，且它供电给控制磁场。 ω和阻尼系数ζ等于什么？ 试问a)无阻尼自然频率n b)相对超调量和由单位阶跃输入引起峰值的时间等于什么？ c)写出关于单位阶跃输入下的误差时间函数。 习题3-1图 3-2 差动放大器的增益增加至20，重做习题3-1。并问从你的结果中能得出什么结论？ 3-3 两相交流感应电动机采用齿轮传动和负载链接，使用在简单位置系统中，见习题3-1图。假设作误差检测器用的差动放大器增益为20，且由它供电给控制磁场。试问 ω和阻尼系数ζ等于什么? a)无阻尼自然频率n b)相对超调量和由单位阶跃输入下的峰值的时间等于什么？ c)写出关于单位阶跃输入下的误差时间函数。 3-4 差动放大器的增益增至40，重做习题3-3.并问从你的结果中能得出什么结论？ 3-5 差动放大器的增益减至10，重做习题3-3.并从你的结果中可得出什么结论？ 3-6 综合典型有翼可控导弹控制系统，可使用转矩作用于导弹弹体的方法。这些转矩由作用在离重心很远的控制翼面的偏斜来产生。这样做的结果可以用相对小的翼面负载，就能引起较大的转矩。对这一类型控制系统的设计，为使输入指令响应时间最小，就要求控制回路具有高增益。而又必须限制增益在不引起高频不稳定范围内。习题3-6图表示导弹加速度控制操纵系统。给定加速度与加速度计输出量比较，发出驱动控制系统的节本误差信号。由速度陀螺仪的输出作为阻尼。 试求出下列各式： a)确定这一系统的传递函数C(s)/R(s)。 b)对应一下的一组参数： 放大器增益= A k=16，飞行器增益系数=q=4，R k=4, ω和阻尼系数ζ。 确定该系统无阻尼自然频率n c)确定相对超调量和从加速度单位阶跃输入指令所引起的峰值时间。
三线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法 一、教学目的与要求： 对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。 二、授课主要内容： 本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。 1．系统时间响应的性能指标 1）典型输入信号 2）动态过程与稳态过程 3）动态性能与稳态性能 2．一阶系统的时域分析 3．二阶系统的时域分析 1）二阶系统数学模型的标准形式 2）二阶系统的瞬态响应和稳态响应 3）系统参数与特征根及瞬态响应的关系 4．高阶系统的时域分析 1）高阶系统的单位阶跃响应
2）闭环主导极点 5．性系统的稳定性分析 1）系统稳定的充分必要条件 2）劳斯—赫尔维茨稳定判据 6．线性系统的稳态误差计算 1）误差与稳态误差 2）系统类型与静态误差系数 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。 难点：二阶系统阶跃响应与特征根及参数ζ和ωｎ的关系。 要求： 1.掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物 理意义。 2.重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置 之间的关系；理解系统参数ζ和ωｎ的物理意义。 3.掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标 的方法。 4.掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。 5.理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。 6.理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。 7.了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。
第三章-连续时间线性定常系统时域分析-修订版-646302069word版本
第三章：连续时间线性定常系统时域分析 §3.1 系统的数学模型 LTI 系统中各参量之间的相互关系及其随时间的演化，可以由下列四种模型描述。 R 、L 、C 上的电压与电流关系——()()~e t i t 关系模型 ? 电阻： ()()1 i t e t R = （3-1） 或 ()()e t Ri t = （3-2） 图3-1 电阻 图3-2 电压作用于电阻产生电流 图3-3 电流作用于电阻产生电压 ? 电感： ()()()11 d p t i t e e t L L ττ-∞= =? （3-3） 或： ()()()d p d e t L i t L i t t == （3-4） 图3-4 电感上的直流不产生电压
图3-5 电流作用于电感产生电压 图3-6 电压作用于电感产生电流 ? 电容： ()()()d p d i t C e t C e t t == （3-5） 或： ()()()11 d p t e t i i t C C ττ-∞= =? （3-6） 图3-7 电容上的恒压不产生电流 图3-8 电压作用于电容产生电流 图3-9 电流作用于电容产生电压 ? 求和（相加）： ()()()12y t f t f t =± （3-7） 图3-10 信号汇聚流图 ? 分支： ()()()123f t f t f t == （3-8） i(t)e(t)Cp i(t)e(t)Cp e(t)i(t)1Cp e(t)i(t)1Cp
图3-11 信号分支流图 须注意，信息可以拷贝，可以无限复制；而物质则只能被瓜分式共享。 LTI 连续时间系统的状态空间模型： 例1：如图3-12电路 求：（1）()()y t v t :，（2）()()()12:x t x t v t 、 解：列回路电流、电压方程： ()()()()()()()()()()()()()()()()()12122231221233421 220 302v t i t i t x t i t x t i t i t x t x t i t i t x t i t y t i t =-? ? =? ?=-?? ?++-=? -=? ?=? && 消去i 1、i 2、i 3，得下列方程： ()()()()()()()()()11221211122203200 3x t x t v t x t x t x t y t v t x t ?--?????????????=+?????????-????????????????????=+????????????? &L L &L L L L 状态方程观测方程 图3-12 例1电路图 ? 定义（状态）：能够表征系统时域动力学行为的一组最小内部变量组。 ? 物理上，状态的维数dim (t ) = 系统中独立储能元件的个数 ? 状态的选取可以不唯一 ? 状态空间模型：