力系简化为一个力和一个力偶

8.17力系简化为一个力和一个力偶

设在刚体上作用一力系（，，…），其作用点分别是，，…由矢径，，等确定（如图3.14a）。正如上一节所示，若一个附加力偶矩

与×相等，那么可以从移动到一个给点的O点。将，…也重复这一步骤，我们便获得了如图3.14b的系统，其中包含原力系所有的力，现在这些力都作用与O点，以及附加力偶系。因为所有的力都是作用于同一点，所以可以求矢量和并用主矢量R代替。相似的，力偶向量，，…，也可以求矢量和，并且用一个单一的的力偶向量表示。因此，不管多么复杂的力系，都可以在给定的O点简化为一个等效的力偶系统（如图3.41c）。我们应该注意到，每一对力偶矢量，，…（在图3.14b），垂直于它们相应的力，图3.14c中的合力R与合力偶向量一般不会互相垂直。

等效力偶系是由以下方程定义的

R=∑F =∑=∑（r×F）

(3.52)

它表达了力R是系统所有力的矢量和，而由

合力偶向量产生的力矩，称为系统主矩，

是由在O点所有力产生的力矩和所构成的。

当一个所给的力系简化到在O点的一个

力和一个力偶时，就可以很简单地简化在另

一点上简化为一个力和一个力偶。当合力

R保持不变，那么新的合力矩等于与

在点的力R对点O的力矩的和(如图

3.42)。因此，有

=+s×R (3.53)

实际上，将一个力系简化为在O点的一个力R和一个力偶向量可以展开在直角坐标系上。将系统每个矢径r和每个力F展开在直角坐标系上，我们写做

r=x i+y j+z k (3.54)

F=i+j+k (3.55)

替换上式的r与F，保留向量单位i,j,k,我们得到了R与的表达式

R=i+j+k=i+j+k （3.56）

作用在刚体上使其平移运动的力，分解到x,y,z方向上分力的总和分别是，，。相似的，作用在刚体上使其旋转的力矩，分解到x,y,z方向上力矩的总和分别为，，。

如果力R的大小和方向的确定的话，可以通过2.12部分的2.18，2.19

的关系式来得到，，。类似的，也可以计算得到力偶矢量的大小和方向。

平面汇交力系和平面力偶系

第二章 平面汇交力系与平面力偶系 §2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法 一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成 先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系1F ，2F ，3F 汇交于O （图1），由静力学公理3： 力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F =如图和图所示，其中321F F F F ++= F 2 F 3 F O F O 1 F 2 F 3 F 12F 讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力 大小和方向的方法称为合力多边形法则。 2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。 结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即： ∑=i F F 用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。 2．平面汇交力系的平衡 1 F 2 F i F 2 -n F 1-n F n F 设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F 先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F ，（∑-=-=11 1n i i N F F ）

0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F 由静力公理1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是：1-N F 与n F 等值，反向，共线， 即n N F F =-1， 可得01=+-n N F F ，或0=∑i F 结论：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡条件是 0=∑i F ，力多边形自行封闭。 例1． 已知：简支梁AB ，在中点作用力F ，方向如图，求反力 F A B C 45F A F B A C α 45F F B F α 解：1。取研究对象AB 梁 2．受力分析如图 3．作自行封闭的力三角形如图 2 1=αtg 4．求解 ) 45sin(45sin )90sin(αα-==+ B A F F F αcos 45sin F F A = α αcos )45sin(-= F F B 例2．已知：支架ABC ，A 、B 处为铰支座，在C 处用销钉连接，在销上作用kN P 20=， 不计杆自重。求：AC 和BC 杆所受的力。 A B C P 30 C 30AC F BC F P 30AC F BC 解：1。取研究对象销钉C 2．受力分析 3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形 60 sin 90sin 30sin BC AC F F P == §2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法 1． 力在坐标轴上的投影

平面汇交力系与平面力偶系

平面汇交力系与平面力偶系 作业参考答案与解答 1．四力作用于一点，其方向如图所示。已知各力的大小为：F 1=50N ，F 2=80N ，F 3=60N ，F 4=100N 。求力系的合力。 答案: 0 ),( N 02.52R R ≈∠=i F F 2．一均质球重P =1000N ，放在两个相交的光滑斜面之间如图示。如斜面AB 的倾角? =45o，而斜面BC 的倾角θ =60o。求两斜面的约束力F D 和F E 的大小。 解：受力图如上右图所示，为避免解联立方程，取轴x 、y 分别与F D 、F E 垂直。 由 ∑=0x F ， 015cos 45sin =+?o o E F P 解得 N 73215 cos 45sin ==o o P F E 由 ∑=0y F ， 015cos 60sin =+?o o D F P 解得 N 89615 cos 60sin ==o o P F D

3．均质杆AB 长l ，置于销子C 与铅垂面间，如图所示。不计摩擦力，求平衡时杆与铅垂线间的夹角θ 。 解：由三力平衡汇交定理，杆AB 所受主动力和约束力的作用线汇交于点O ，如右上图所示。根据几何关系有 θθθ32sin sin sin 2a AC AO l AD = === 解得： 3 2arcsin l a =θ 4．三个相同的光滑圆柱放置如图示，求圆柱不至于倒塌时θ 角的最小值。 解：本题关键在于要清楚当θ 角取平衡时的最小值时，系统处于临界平衡状态，圆柱O 2与圆柱O 3之间的相互作用力为零。考虑临界状态，先取圆柱O 1为研究对象，受力图见图（b ）。 由 31213121 , 030sin 30sin , 0F F F F F x =?=?=∑o o 由 P F F P F F F y 33 , 030cos 30cos , 031213121==?=?+=∑o o 再取圆柱O 3为研究对象，受力图见图（c ）。 由 P F F P F F 3 3 , 0sin )30sin( , 0133113= ==??=∑注意θθξo 解上式得 3 31tan = θ， 即 3 31tan min = θ

第2章 平面汇交力系与平面力偶系

·12· 理论力系 ·12· 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为 θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终点。

·13· A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由 0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面 5．一个不平衡的平面汇交力系，若满足 0x F =∑ 的条件，则其合力的方位应是( A )。 (A) 与x 轴垂直 (B) 与x 轴平行 (C) 与y 轴正向的夹角为锐角 (D) 与y 轴正向的夹角为钝角 图2.24

力矩和平面力偶系

第五节力矩和平面力偶系 一、力矩 1．力矩概念 力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。 a) b) 图7-18 力矩概念 一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。即 M O＝M O（F）＝±Fh （7-9） 力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。力矩的单位为N·m。 2．合力矩定理 设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。记为 M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10） 或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O 例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。

第02章 平面汇交力系与力偶系(高)

第二章平面汇交力系与平面力偶系 2-1铆接薄板在孔心A、B和C处受三力作用，如图所示。F1=100N,沿铅直方向；F2=50N，方向如图；F3=50N，沿水平方向，并通过点A，尺寸如图。求此力系的合力。（答案:F R =161.2N ） 2-2、物体重W=20KN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、AB与CD杆自重及摩擦略去不计，A、B、C三处均为铰链连接。当物体 处于平衡状态时，拉杆AB和支杆CB所受的力。（答案: F AB=54.64KN( 拉), F CB=74.64KN）__ 2-3、在图示刚架的点B作用一水平力F,刚架重量不计。求支座A、D的反力F A和F D。 （答案:F A= 1.118 F F D=0.5F）

2-4电动机重P=5000N，放在水平梁AC的中央，如图所示。梁的A端以铰链固定，另一端以撑杆BC支持，撑杆与水平梁的交角为300。不计撑杆重，求撑杆BC的内力及铰支座A处的约束力。 答案:F BC=5000N, F A=5000N 2-5铰链四连杆机构CABD的CD边固定，在铰链A、B处有力F1、F2作用，如图示。机构平衡，不计杆重。求力F1、F2的关系。答案:F1/F2 =0.6124 2-6三铰门式刚架受集中载荷Ｐ作用，不计架重；求图示情况下支座Ａ．Ｂ的约束反力。 （答案：R A =R B =0.707F ）

2-7在杆AB的两端用光滑铰与两轮中心A、B连接，并将它们置于互相垂直的两光滑斜面上。两轮重均为P，杆AB重量不计，试求平衡时角θ之值。若轮A的重量PA=300N，欲使平衡时杆AB在水平位置，轮B的重量P B应为多少。答案：θ=300 P B=100N 2-8锻锤工作时，作用的力如图，F=F'=1000N，偏心距e=20mm，锤头高度h=200mm，求锤头加给两侧导轨的压力。答案：F=100 KN 2-9 已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为L，梁重不计。求支座A、B的约束力。 答案：F A =F B =M / Lcosα

第二章：平面汇交力系与平面力偶系

第二章 平面汇交力系与平面力偶系 一、要求 1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理 解。 3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。 4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。 5、深入理解力偶和力偶矩的概念。明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 二、重点、难点 1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解 析法。 2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。 三、学习指导 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小 和方向等于力系的矢量和，即 ∑== +??????++=n i i n F F F F R 1 21 或简化为 ∑= F R 上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。每一个力都有大小和方向两个要素（因为力

的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。矢量方程的解法有：几何法和解析法。 只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。即 ∑ R =F 这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。 （1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。 （2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即： ∑=0 Y X；∑=0 对于平衡方程，和平面汇交力系合成与分解的解析法一样，一般也选直角坐标系。但在特殊情况下，有时选两个相交的相互不垂直的坐标轴，可使问题的求解简化。这是因为平衡时合力恒等于零，合力在任一坐标轴的投影也恒等于零，所以，不一定局限在直角坐标系。 合力投影定理与合力矩定理是结构静力计算经常要用到的两个定理。合力投影定理的内容是：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和。合力矩定理的内容是：合力对点的矩等于各分力对该点的矩的代数和。 力和力偶是静力学的两个基本要素。为了加深对力偶的认识，用列表的方法将力和力偶加以比较。 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即

自测题2 平面汇交力系与平面力偶系

图2-1 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3 (a) (b) 第二章 平面汇交力系与平面力偶系 自测题 一、思考题 1、图示两个力三角形中三个力的关系是否一样？其关系分别是什么？ 2、一平面力系（F 1，F 2，F 3，F 4，F 5）的五个力矢量组成图2-2所示的自行封闭的五边形。 请问：但该力系是否一定平衡？为什么？ 3、汇交于一点的三个平衡力，只要其中的两个力在同一直线上，则不共线的第三个力是否必定为零？为什么？ 二、判断题 1、 合力一定比分力大。 （ ） 2、作用在刚体上仅有两个力，且有F A + F B =0，则此刚体一定平衡。 （ ） 3、凡是力偶都不能用一个力来平衡。 （ ） 4、力偶系中的各力在任意轴上投影其代数各均等于零。 （ ） 5、力偶对其作用面内任意点之矩都等于力偶矩。 （ ） 6、作用在刚体上仅有两个力偶，力偶矩分别为M A 和M B ，且有M A + M B = 0，则该刚体一定平衡。（ ） 图2-2 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5

图2-5 图2-3 A (a) A (b) A (c) 图2-4 三、填空题 1. N 100=F ，方向如图示，若将F 沿图示y x ，方向分解，则x 方的向分力大小为____________N ，y 方向的分力大小为______________N 。 2、力偶对物体产生的运动效应是 。 （平移效应，转动效应） 四、作图题 图示三个平衡机构，请画出在以下三种情况下A ，B 两处的约束力的方位和指向。各杆自重不计。 五、计算题 三铰拱AC 部分上作用有力偶，其力偶矩为M ，如图所示。已知两个半拱的直角边成正比，即a :b =c :a ，略去三铰拱自身的重量。 求：A 和B 两点的约束力。

力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系 2.2.1 力对点之矩(简称为力矩) 1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 （F）来表示，即 力对点之矩用M O Mo(F) = ± Fd 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 Mo(F) = ± 2△OAB

力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。 由力矩的定义可知： （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理 设在物体上A点作用有平面汇交力系F 1、F 2 、---F n ，该力的合力F可由汇交力系 的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则 --- 由上图可以看出，合力F对O点的矩为 据合力投影定理，有 F y=F1y+F2y+---+F ny 两边同乘以l，得 F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l 即 M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n) 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3 .力对点之矩的求法(力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d 是矩心到力 作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l ，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。 解 （1）利用力矩的定义进行求解

n平面汇交力系与平面力偶系

第二章平面汇交力系和平面力偶系 2-1 .图示三铰刚架受力 座反力的大小为 的大小为—F O 2 2-2.图示，两个尺寸相 同的直角曲杆，受相同 的力偶 M 作用，则A 1 束反力大小 — - O 21 处约束反力 - O 文档来自于网络搜索 l 刍F ， 2-3 ?平面系统受力偶矩为 支座反力的大小为 ______ 作用于BC 杆时，A 支座反力的大小为 M =10KN m 的力偶作用。当力偶 10KN ________ ；B 支座反力的大小为 _ 5KN M 作用于AC 杆时，A 10KN ___________ ;当 M ;B 支座反力的大小为 图2-3 (b )

均为绳，0 =0.1rad , DB 水平，AB 铅 文档来自于网络搜索 AB 、ED 、DB 、CB 图2-4 2-4图示一拔桩装置装置， 垂。力F =800N ，求绳AB 作用于桩上的力。 F DE =8000N 解： .1、以D 点为研究对象 S Fy =0 F DE sin 日-F = 0 S Fx =0 F DB - F DE COS^ = 0 F DB =8000N F DB 以B 点为研究对象 Z F x F BC 2F y =0 F BC si n i F BD =0 =80000N F BA =0 F BC CO S T-F BA " =80000N F BC BA

2-5物体重P =20kN ，用绳子挂在支架的滑轮 示。转动绞，物体便能升起。设滑轮的大小、 C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时， 自于网络搜索 B 上，绳子的另一端接在绞 D 上，如图所 AB 与CB 杆自重及摩擦略去不计， A ，B ， 求拉杆 AB 上作用一力偶 M ，梁长为I ，梁重不计，求a,b 两种情况下，支座 A 和B 4 ---------- ) — 1 2 k ------------------------------------------- I (b) 解: F BC F BA =—74.64N = 54.64N 图2-5 AB 和支杆CB 所受的力。文档来 2-6 已知梁 处的约束 力。 J-

土木工程力学教案——力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即 d F F M ?±=)(O （3－1） O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=? ??=?=d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 图3-1

第二章平面汇交力系与平面力偶系

·12· 理论力系 第2章 平面汇交力系与平面力偶系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。 ( √ ) 2．用解析法求平面汇交力系的合力时，若选取不同的直角坐标轴，其所得的合力一定相同。 ( √ ) 3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。 ( × ) 4．在保持力偶矩大小、转向不变的条件下，可将如图2.18(a)所示D 处平面力偶M 移到如图 2.18(b)所示E 处，而不改变整个结构的受力状态。 ( × ) (a) M 图2.18 5．如图 2.19所示四连杆机构在力偶12M M =的作用下系统能保持平衡。 ( × ) 6．如图2.20所示皮带传动，若仅是包角α发生变化，而其他条件均保持不变时，使带轮转动的力矩不会改变。 ( √ ) 2 图2.19 图2.20 二、填空题 1．平面汇交力系的平衡的充要条件是平面汇交力系的合力等于零，利用它们可以求解 2个未知的约束反力。 2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力 不能 相互平衡。 3．如图2.21所示，杆AB 自重不计，在五个力作用下处于平衡状态。则作用于点B 的四个力的合力R F =F ，方向沿 与F 的方向相反 。 4．如图2.22所示结构中，力P 对点O 的矩为θsin 2 1 PL 。 5．平面汇交力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终

第2章 平 面汇交力系与平面力偶 系 ·13· 点。 A B 1F 4F 3F 2F F 图2.21 图2.22 6．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小相等，但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。 三、选择题 1．如图2.23所示的各图为平面汇交力系所作的力多边形，下面说法正确的是( C )。 (A) 图(a)和图(b)是平衡力系 (B) 图(b)和图(c)是平衡力系 (C) 图(a)和图(c)是平衡力系 (D) 图(c)和图(d)是平衡力系 2F 1F 3F (a) 2F 1F 3F (b) 1F 2 F 3F 4 F (c) 1F 2F 3F 4 F (d) 图2.23 2. 关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是( B )。 (A) 力在某坐标轴上的投影与力在该轴上的分力都是矢量，且大小相等，方向一致 (B) 力在某坐标轴上的投影为代数量，而力在该轴上的分力是矢量，两者完全不同 (C) 力在某坐标轴上的投影为矢量，而力在该轴上的分力是代数量，两者完全不同 (D) 对一般坐标系，力在某坐标轴上投影的量值与力在该轴上的分力大小相等 3．如图2.24所示，四个力作用在一物体的四点A 、B 、C 、D 上，设1P 与2P ，3P 与4P 大小相 等、方向相反，且作用线互相平行，该四个力所作的力多边形闭合，那么( C )。 (A) 力多边形闭合，物体一定平衡 (B) 虽然力多边形闭合，但作用在物体上的力系并非平面汇交力系，无法判定物体 是否平衡 (C) 作用在该物体上的四个力构成平面力偶系，物体平衡由0=∑i M 来判定 (D) 上述说法均无依据 4．力偶对物体的作用效应，取决于( D )。 (A)力偶矩的大小 (B) 力偶的转向 (C) 力偶的作用平面 (D) 力偶矩的大小，力偶的转向和力偶的作用平面