2013力学竞赛动力学练习题

2013动力学练习题

(一)第一部分:三大定理练习题

1、均质杆AB 长为L 、质量为m 、,放在铅垂平面内,

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其A 端靠在光滑的铅垂墙面上,另一端B 放在光滑 的水平地板上。并与水平面成600 角。此后,杆由 静止状态倒下,则杆AB 在任意位置时的

角速度为 (5分); 角加速度为 (5分); 当杆脱离墙面时,此杆与水平面的夹角为 (5分)。 ()l /()sin (g 2213?ω-=

,)l /(cos g 23?α=, )/a r c s i n (311=? )

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2、半径为r 的均质圆柱体,初始时静止在台边上,且α=0,受到小扰动后无滑动地滖下。则圆柱体离开水平台时的角度为___(6分),这时的角速度为___(6分)。

(95574arccos

0'==α;r

g 72=ω)

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3、图示系统中,匀质圆柱体的质量为M ,半径为R ,且在水平面上作纯滚动。匀质杆的质量为m ,长l 。该系统的自由度为______(2分),轮心速度与杆的角速度之间的关系为_________(8分)。

( 2; ?

?

2

3cos +=M ml x

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4、均质棒OA ,长为l ,在水平面上能绕其一固定端O 自由转动, 并驱动一个在棒前的小球C ,球与棒的质量相同。初始时小球 静止在棒前并离O 点很近,同时此棒以某一角速度旋转,假定 所有接触都是光滑的,则当小球离开端点A 的瞬间,小球 的绝对速度与棒所成的角度为: 。( 1a r c t g 2

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5、均质圆盘,半径为R 重为P ,在圆盘中心处焊上了一半径等于r 的直杆。并知轴线和盘面垂直,杆的质量忽略不计。今在直杆AB 上缠上两根细绳(绳的质量可忽略不计)。然后将圆盘自由释放。已知:圆盘在水平自由下坠的过程中伴随有绕水平轴的转动。则圆盘下落(或转动)的规律为

C y = ?= ,圆盘下落时绳子的张力T = 。

( 2222

T 2

22222

;;222C C r g rg R y t t F y P R r R r R r

?====+++ )

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6、质量为M 倾角α=300的三棱柱放在光滑水平面上。一根自然长度为l ,弹性系数k =2mg/l 的弹性轻绳,其一端拴在光滑斜面上的A 点处,另一端系有质量为m 的质点。初始时质点位于A 点,系统静止,然后释放。质点的速度再次为零时它离A 点的距离为 。当三棱柱的速度达到最大时质点离A 的距离为 。绳子刚拉直时质点相对三棱柱的速度为 。 ( l 2;45l ;m

M gl m M v r ++=4)(2 )

7、如图示圆轮半径为R ,重量为P ,在其铅垂直径的上端B 点处作用 水平力Q ,轮与水平面间的滚动摩阻因数为δ,轮与水平面间的滑动 摩擦因数为μ。则轮子只滚不滑的条件是

23()23p Q p R R

δδ

μ≤≤+。

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8、长为2a 的均质杆直立并靠在光滑的墙上,杆在垂直 于墙面的铅垂平面内倒下,开始时上端离墙。设地面光滑。 则杆子倒在地下时,杆子的质心速度为 。

ga 143

1

P

O Q

B

9、在图示铅垂平面内,匀质滑块A 的 质量为m ,套筒C (其重心与C 点重合) 的质量也为m ,杆AB 的质量不计,它可 在套筒内滑移,如果所有接触均为光滑, 求套筒在滑块A 的重力作用下,自水平位 置(θ = 0)无初速转动至 θ = 450时的角 速度及铰链A 所受到的力。套筒对通过质 心C 的转动轴的回转半径2

2a

=

ρ。 (

a

g 32; mg F Ax 817-=,mg F Ay 817

=)

10、图示总质量为m ,厚度为t 的柔性地毯,从半径为 r(0)=R 的圆柱形以初速度为零时开始滚动,随后在水平 地板上无滑动而连续展开。设t<

14

11、一质量为m ,半径为r 的匀质刚 球,绕水平直径(垂直于纸面)以角 速度ω0 转动(球无初速度),被慢慢 的放在质量为 m 的匀质刚性薄平板 上。球与板间摩擦系数为f ,板与地 面间的摩擦系数为f /4。

1、 如果板被固定,则刚球在滑动停

止前走过的距离为 ; ( fg

r 2

2492ω)

2、 如果板可以滑动(不固定),则刚 球在板上停止滑动前相对板走过的距

离为 ;在同一时间里, (fg

r 2

2643ω)

则板相对地面走过的距离为 。 (fg

r 2

2641ω)

A

A ’

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12、小球A (可视为质点)在小车B 上沿光滑的四分之一圆弧面由静止开 始落下。小球的质量为m ,小车的质 量为M=2m 。则小球落到地面时,离 开初始位置的水平距离为 。

(R 6

364+)

13、如图所示,弹性系数为k 的弹簧与质量为m ,半径为

R 的均质轮中心C 相连,轮子在水平面作纯滚动;设初始时

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弹簧未伸长,轮心C 具有初始速度0v ;轮心的运动的规律 为 x

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=ν;

14、 在图示机构中,已知:匀质细杆AB 长l 、重为Q ,

由铅垂位置绕A 端自由倒下。试求:

杆AB (A 点不滑动前的)的角速度为 (5分) 杆AB (A 点不滑动前的)的角加速度为 (5分); 假定030β=时A 端将开始滑动,此时杆与水平面之 间的动摩擦因数f '为 (5分)。

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15、一辆轿车在坡度为13%的山路上行驶。略去车轮的转动惯量, 轮胎与地面的摩擦因数为6.0=s f ,试按: (1)前轮驱动(5分) (2)后轮驱动(5分)

(3)前后轮联合驱动(5分)

计算上山时轿车可能达到的最大加速度。

已知:m h 45.0=,m b 5.1=。

答案:(1)2max /41.1s m a =, (2)2max /94.1s m a =, (3)2max /57.4s m a =

0v

β

B

A

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16、外径为2R 的薄壁圆筒和一根长为2R 的细匀质杆在 B 点焊接而组成一刚体,杆与圆筒具有相同的质量m 。 系统由图示的不稳定平衡位置受一小扰动而开始倾倒。 针对下列两种情况求杆端接触地面前瞬时该系统的角速度。 (1)圆筒与地面之间有足够的摩擦使圆筒滚动;(4分) (2)圆筒与地面之间接触为光滑。(5分) 答案:(1)r g

232=

ω, (2)r

g 2362=ω

17、均质半圆柱质量为m ,半径为r ,质心C 到圆心O 的偏心距:π

34r

e =

,各接触面均为光滑。初时AB 铅垂, 半圆柱由于重力作用而无初速地滑下。

(1)求半圆柱运动至恰好离开墙时的角速度与角加速度。 (2)试证明:半圆柱离开墙CD 后的运动中,其 质心C 的速度的水平分量恒为:π

π3316 rg

v x c = 。

18、动力学习题

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19、图示均质圆盘质量为m、半径为R,其外缘上缠绕了很多圈无重细绳,绳头上用水平常力F牵引,使圆盘沿水平直线纯滚动,则摩擦力的方向水平向右、大小为F/3 ,若盘心(即质量中心)走过路程为s,则圆盘所受力系所做的功为2FS 。若圆盘质量均匀分布于轮缘,其他条件不变,则摩擦力的大小应为0 。

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20、半径为R 的匀质圆柱体O 和一根长为4R 的细匀质杆OA 在组成一系统,杆与圆柱体具有相同的质量m 。系统由图示的不稳定平衡位置受一小扰动而开始运动。试求杆端A 在接触地面前瞬时OA 杆的角速度。

若杆与圆柱体焊接而成一刚体,如题3—1

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(1)圆柱体与地面之间有足够的摩擦使圆柱体 作纯滚动;(5分)

(2)圆柱体与地面之间为光滑接触。(5分)

若杆与圆柱体在O 处用光滑铰链连接, 如题3—2图所示, (3)圆柱体与地面之间有足够的摩擦使圆柱体 作纯滚动;(5分)

(4)圆柱体与地面之间为光滑接触。(5分) 解:(1)222222221241

2

3)2(21])4(12123[21???

mR R m mR R m mR T =+++=

mgR W 25

=

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R g R g 855.04130===?ω (2)2222222248107

1615)2(21])4(12123[21?

?? mR R m mR R m mR T =+++=

mgR W 2

5

=

R

g

R g 059

.1107120===?

ω (3))cos 44(2

132********???? x R x R m mR x m T -+++=

???c o s 23

8

45222 x mR mR x m -+=

)cos 1(2?-=mg V , V T L -=

0cos 225=-=???? mR x

m x L , ??cos 54

R x =

g R 25601572=? , R

g

R g 9775.0157150===?ω (4)???cos 23

8

222

x mR mR x

m T -+=, )cos 1(2?-=mg V

0)cos 2(=--x m x R m ??

, ??cos R x = 题3—1图 题3—2图

g R 25481252=? , R

g

R g 9798.02524===?ω

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21、一圆柱体的质量为M ,半径为R ,相对 其中心轴的回转半径为k .援助外面绕着 柔软而不可伸长的轻绳,放在光滑的倾 角为θ 的斜面上,绳子沿斜面向上跨过 一不计质量的定滑轮并在端点挂一质量 为m 的重物。绳子与圆柱体无相对滑 动,初始时系统静止。求:

1、 圆柱体中心的加速度;

2

21k )M m (mR )

sin (mgR +++θ

2、 重物的加速度; g k )M m (mR k )m sin M (mR 2

22

2++--θ 3、 绳子的张力; 2

221k

)M m (mR )

sin (Mgk +++θ 4、 圆柱仅有转动的条件; θsin R k

22

>,对均质圆柱体030<θ

5、 重物不动的条件。 θsin mk )k R (M 2

2

2

=+

(二)第二部分:碰撞练习题

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22、半径为R 的匀质圆柱体在水平地板上以速度v 无滑动地滚动。当碰到高为h (

又问能使圆柱体能不脱离接触地爬上台阶继续滚动 的台阶高度为( )(5分)。

解:碰撞前后对A 点的动量矩守恒, 0223)(21ωmR h R mv mRv =-+ , R

v R h )321(0-=ω 能翻上台阶的条件是:gh h R R

v 3232->

不脱离的条件是:)(233h R g h R R

v --<

台阶高度:R h 7

3

<

题16图

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23、半径为R 的圆环在水平地板上以速度v 无滑动地滚动, 环平面保持在铅垂平面内。当碰到高为h (

)(2222h R g h

R R

v gh h R R --<<-,

gh h R R v ->22

)(22h R g h

R R v --<

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24、均质杆AB ,质量为m ,长为2l ,B 端由铰链固定住。A 端 用手托成水平,然后无初速地释放。则B 处的反力为 。 当杆位于竖直位置时,B 端铰链突然脱落,则在以后的运动中, 杆的角速度为 ,杆中心的轨迹方程为 。

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221234mg y lx l =- )

25、均质杆OA 和AB 质量均为m ,长为L 。在A 端用

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光滑铰链连接。OA 杆水平,AB 杆与水平成300角, B 轮半径R=L/2,质量M=2m ,沿水平面上纯滚动。 初始时系统静止。突然剪断AC 绳,则此时

O 处的力为 (5分); D 处的力为 (5分); 轮B 的角加速度为 (5分)。 (mg F Ox 32321=

,mg F Oy 3213=;mg F ND 3297=,mg F SD 1633=;L

g 833=α )

26、 两根均质杆AB 、B D 质量均为M ,在B 端用光滑铰链

连接,用铰链固定悬挂于A 点,一质量为m 的小球以 速度v 撞到C 点。若恢复因数为e 。

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碰撞后两杆的角速度相等则h 为 (5分); 碰撞后BD 杆的角速度为0则h 为 (5分); 碰撞后BD 杆的角速度为0则此时铰链B 所受的 冲量为 (5分)。

27、一长为2L ,质量为M

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从图示位置释放,撞在放在高为L 为m 质量为M 1长为2a 的均质杆的E DE 杆离开台阶,且正好使得D 台阶的角点E 处。已知:M =4m ,L =2.473a ,x-sin 3x =0的正解为x 且所有碰撞均为光滑碰撞。求:

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1)小球离开桌子时的速度;

2)小球能刚好到达E 处h 3)DE 杆离开台阶时的角速度; (a /)cos (gL θ-16)

4)能够正好使DE 杆的D 端碰在台阶的角点E 处的 θ 角。 ( 0

60=θ)

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28、一长为2a 的均质杆与铅垂线成θ 角自H 高处无初速度 地落下时,与光滑的水平地面作塑性碰撞。则杆的下端与地 面接触后又离开地面的高度H 为多少?

θ

θθcos sin )sin (a H 221831+>

2a

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