数列的极限
7.7（1）数列的极限第一课时
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1、创设情境，引出课题 1. 观察
教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？
学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完. 2. 思考
教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？ 学生 ： , 21
, , 8
1 , 41 , 21n
3．讨论
教师； 随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？ 学生： 慢慢靠近
0.
教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳，形成概念 （1）直观认识
教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势 （a ）
,10
1
,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0 ③当n 无限增大时，相应的项
n
101
可以“无限趋近于”常数0 （b ） ,)1(,
,31,21,1n
n
--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小
②当n 无限增大时，相应的项n
n
)1(-可以“无限趋近于”常数0
（c ）
,1
,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1 ③当n 无限增大时，相应的项
1
+n n
可以“无限趋近于”常数1
教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式： （a ）从右趋近 （c ）从左趋近 （b ）从左右
两方趋近，使学生明白不同的趋近方式 教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国
魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割
之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.” 概念辨析
教师：归纳数列极限的描述性定义
学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近
于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限. 教师：是不是每个数列都有极限呢？ 学生1：（思考片刻）不是.如n a n = 学生2： 2n a n = n n a )1(-=
教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.
（a ）???
??-=n
n n a n 11
（b ）无穷数列：
,3333.0,,333.0,33.0,3.0n
学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数
时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.
教师： 有不同意见吗？ 学生2：数列（b ）的极限是0.34 学生3：数列（b ）的极限不存在
（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）
教师： 数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思） 学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数
n 是奇数 n 是偶数
列（b ）的极限是3
1.
教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们
对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述. （2）量化认识
教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ 学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0
教师：现在以数列n n
a n n )1(-=为例说明这种过程观察：
距离量化：n n a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n
1
的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n
1
比给定的正数小. 教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .
问题拓展
学生：老师再来几个其它的数列
教师：以上我们以提到的 , 2
1 , , 8
1 , 4
1 , 2
1n 和
,10
1
1,,1011,1011,101132n ----
为例，大家可以再操作一下.
教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？ 学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使
得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.
教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：
一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数
N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞
→lim ，
或者∞→n 时a a n →.
教师：常数数列的极限如何？ 学生：是这个常数本身. 教师：为什么？
学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.
7.7（1）数列的极限 第二课时
钱森
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣. 教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解. 难点：数列极限的定义的理解.
三、巩固练习
讲授例题 已知数列?
??
??
?+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来. ②写出n 1-n a 的解析式. ③?
??
??
?+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列?
??
??
?+-11n n 的极限. 四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
七、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.
数列极限的概念(经典课件)
第二章 数列极限 引言: 在第一章中我们已经指出，数学分析课程研究的对象是定义在实数集上的函数，那么数学分析用什么方法研究实数集上的函数呢？从本质上来说，这个方法就是极限。极限思想和方法贯穿于数学分析课程的始终，几乎所有的概念都离不开极限，是我们数学分析课程的基础。 §１ 数列极限的概念 教学内容：数列极限的概念，应用定义证明简单数列的极限，无穷小数列。 教学要求：使学生逐步建立起数列极限的N ε-定义的清晰概念。深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小 数列等有关概念。会应用数列极限的N ε-定义证明数列的有关命题，并能运用N ε-语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：数列极限的概念。 教学难点：数列极限的N ε-定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 一、数列概念： １．数列的定义： 简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。 若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→或+∈N n n f ),(为数列。 若记()n f n a =，则数列n n n f ,2,1),(=就可写作为：12,,,, n a a a ，简记为{}n a ，其中n a 称为 该数列的通项。 ２．数列的例子： （1）(1)111:1,,,, 234n n ??---???? ； （2）11111:2,1,1,1,435 n ? ?+ +++???? （3）{}2 :1,4,9,16,25, n ； （4）{}1 1(1) :2,0,2,0,2, n ++- 二、数列极限的概念： １．引言： 对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）： 第１天截下 12，第２天截下2111222?=，第３天截下23111222?=，…，第n 天截下1111 222 n n -?=，… 得到一个数列：? ?? ?? ?n 21： 231111 ,,,,,2222n 不难看出，数列12n ?? ? ??? 的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。
高中数学复习――数列的极限
●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n 1 =0;③∞ →n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 22+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞ →n lim a n ＝A ，则A ＞0 C.若∞ →n lim a n ＝A ，则∞ →n lim a n 2＝A 2
数列的极限及运算法则
学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 二、基本题目 1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由
(完整版)《数列的极限》教学设计
《高等数学》——数列极限 教学设计
教学过程设计 A 、【课前准备】1、安排学生提前预习本节内容。 2、分组：4～6人为一个学习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 B 、【组织教学】 检查学生出勤情况，填写教学日志，教材、用具准备等（2分钟） C 、【复习回顾】 数列的定义（2分钟） D 、【教学内容、方法和过程】接下表 教师活动 学 生 活 动 设计意图 (一) 结合实际，情景导入(时间4分钟） 导入1、战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一 尺之棰，日取其半，万世不竭” 也就是说一根长为一尺的木棒，每天 截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去 导入2、三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分成三等分、 六等分、十二等分、二十四等分、··· 这样继续分割下去,所得多边形的 周长就无限接近于圆的周长. 教师引入：不论是庄周还是刘徽，在他们的思想中都体现了一种数列极 限思想，今天我们来学习数列极限。 【学情预设】：有的学生可能没体会到情景导入的目的，教师最后要总结导入中蕴含的数学思想。 (二)归纳总结,形成概念: (时间9分钟） 1．提出问题：分析当无限增大时，下列数列的项的变化趋势及共同特征. （1）１，21，31，41…n 1 …递减 （2）递增 （3）摆动 学生参 与，思 考，感 受 学生参 与，思 考 问题，在 老师的引 导下对数 列极限知 识有一个 形象化的 了解。 通过讨 论，学生 了解以研 究函数值 的变化趋势的观点研究无穷数列，从而体会发现数列极限的过程 通过介绍我国古代哲学家庄周和刘徽，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。同时为学习新知识做准备，使学生更好的承上启下。 （一）概念探索阶段” 在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
数列的极限
数列的极限 【知识概要】 1. 数列极限的定义 1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞ =. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如 果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式 n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞ =. 注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n -； ④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限； ⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”. 例1 判断下列结论的正误 （1）若lim 0n n a →∞ =，则n a 越来越小； （2）若lim n n a A →∞ =，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ； （3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞ =，则lim 0n n a A →∞ -=. 解：（1）不正确，例如：1 n a n =- ，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21 n n a n n n ?? =??+?，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞ =. （3）不正确，例如：1 1n a n =-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=. （4）正确
数列极限练习
练习一 1. 填空题： (1)无穷数列：，，…，，…的极限是________． (2)数列：的极限是________． (3)若，，则 ________，________； (4)若，，则 ________， (5)的极限是________． 2. 选择题： (1)数列：1，－1，1，－1，…，(－1)·1，…的极限为( )； (A)1 (B)－1 (C)1和－1 (D)不存在 (2)若，，则( )； (A)不存在(B)0 (C)3 (D)1 (3)数列各项的和是( )． (A)1 (B) (C)0 (D)不存在． 3. 求下列极限： (1)；(2)； (3)；(4)． 4. 求无穷等比数列0.7，0.07，0.007，…各项的和． 5. 已知，，求下列极限：
(1)；(2)． 6. 求下列极限： (1)；(2)； (3)；(4)； (5)；(6)． 7. 求下列无穷等比数列各项的和： (1) (2) (3)，1，，…；(4)1，－，，－，…(||<1) 8. (1)如图，在圆内接正(≥3)边形中，是边心距，是周长，是面积.求证：． (第8题) (2)当圆的内接正多边形的边数无限增加时，的极限是圆的半径，的极限是圆周长2，的极限是圆面积，求证：圆面积等于． 9. 如图，等边三角形的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中心得到一个更小的三角形，如些无限继续下去，求所有这些三角形面积的和． (第9题) 答案：提示和解答： 1. (1)；(2)0；(3)3，－2，－6；(4)；(5)1． 2. (1)D；(2)B；(3)A． 3. (1)10；(2)－2； (3)
几个有趣的数列极限问题
几个有趣的数列极限问题 鄞州高级中学姜泉洋 数列极限是连接初等数学和高等数学的一个重要纽带，也是与我们平时生活息息相关的问题。 引例、如果3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，那么10个空汽水瓶最多可以喝几瓶汽水？ 分析：从数学角度来看，第一次：10个空汽水瓶可换得10 3 （瓶）汽水，第二次： 10 3 个 空汽水瓶可换得10 9 （瓶）汽水，如此继续下去，所求问题为以10为首项，以 1 3 为公比的 等比数列的所有项的和，是个极限问题。但如果换个角度看，这个问题也可这样解决：先用9个空汽水瓶换3瓶汽水，如此还剩下4个空汽水瓶，再用3个空汽水瓶换1瓶汽水，如此还剩下2个空汽水瓶，最后，再去先“借”（赊）1瓶汽水，喝完后连同前面的2个空汽水瓶刚好抵这瓶“借”来的汽水。因此，共可换3115 ++=（瓶）汽水。 注：本问题还可这样解决：2个空汽水瓶相当于1瓶不含瓶的汽水，因此，10个空汽水瓶可以喝5瓶汽水。 下面试举几个有趣的例子。 一、巧借 例1、从前有一个老汉，养了19头牛，他在临死前，对于他的19头牛的分配方法立下 了这样的遗嘱：大儿子分得牛的总数的1 2 ，二儿子分得牛的总数的 1 4 ，小儿子分得牛的总 数的1 5 。老汉死后，三个儿子为这19头牛的分法动了很多脑筋，但由于19不能被2或4 或5整除，所以他们一时想不到可行的办法。你能为他们设计一种分配方法吗？请讲讲你的分法的数学依据。 分析：这是一个很古典的数学问题，按老汉的要求，第一次：大儿子分得牛的数量为19 2 （头），二儿子分得牛的数量为19 4 （头），三儿子分得牛的数量为 19 5 （头）。但此时19头牛 还没有分完，还有 19191919 19 24520 ---=（头）。因此还要继续不断的分下去。同理，第二 次：大儿子分得牛的数量为191 220 ?（头），二儿子分得牛的数量为 191 420 ?（头），三儿子 分得牛的数量为191 520 ?（头）。……从数学角度来看，三个儿子分得的牛的数量分别构成
数列的极限及运算法则
数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim
数学分析-数列极限
第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：
对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．
第一讲--数列的极限典型例题
第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ．
上海高中数学数列的极限
7.6 数列的极限 课标解读： 1、理解数列极限的意义； 2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解： 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无 限地趋近于某个常数 a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。 注： a 不一定是{}n a 中的项。 2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01l i m =∞→n n ；③ ) 1|(|0lim <=∞ →q q n n ； 3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当 a a n n =∞ →lim ， b b n n =∞ →lim 时，b a b a n n n ±=±∞ →)(lim ； b a b a n n n ?=?∞ →)(lim ；)0(lim ≠=∞→b b a b a n n n 4、两个重要极限： ① ?? ???<=>=∞→00100 1lim c c c n c n 不存在 ②?? ?? ?-=>=<=∞→11||111||0 lim r r r r r n n 或不存在
问题解析： 一、求极限： 例1：求下列极限： (1) 3 21 4lim 22 +++∞→n n n n (2) 2 4 323lim n n n n n -+∞→ (3) )(lim 2n n n n -+∞ → 例2：求下列极限： (1) )23741( lim 2222n n n n n n -++++∞→ ； (2) ]) 23()13(11181851521[lim +?-++?+?+?∞→n n n 例3：求下式的极限： )2 ,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n 二、极限中的分数讨论： 例4：已知数列 {}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足 c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数。 (1) 求数列 {}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
数列极限练习题
3322 11 1321.lim _____212.lim _____3(5)33.lim _____(5)3 4 4.lim ______1234....(21)2 5.lim _____1 (2)6.lim ______124...(2)7.lim(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213)______211118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()1 13(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-??≤≤?+?=???≥??求的值 若为数列的前项和求
{}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,, 32lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-??=-+-++-??+??数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且 求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, ...lim 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞→∞++→∞→∞++→∞=+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521 111,1...20.lim ...121.{},lim()12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞-++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围
数列极限和数学归纳法练习(有-答案)
数列极限和数学归纳法 一、知识点整理： 数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和 要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01 q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：2 1 ,(1),n n n -等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1 lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞ ==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a S S q q 数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和 证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64 整除，2438(1)9k k +-+-）22 9(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题 1、 计算：1 12323lim -+∞→+-n n n n n =_____3_____。 2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、2 1 为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，， ，n V V V 21 =+++∞ →)(lim 21n n V V V Λ87 . 3、 20lim ______313n n n →∞+=+1 3 4、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32 _______. 5、 设{}n a 是公比为 2 1 的等比数列，且4)(lim 12531=+???+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3． 6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞ +++=L _16±______. 7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞ →Λ=___76 ____ . 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=， 则lim n n S →∞ 的值为 163 . {}n a *1 , 1 ()1 , 2(1)n n a n N n n n =?? =∈?≥?+? n n S lim n n S →∞
数列的极限
一）复习：数学归纳法 1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法. 3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 4.数学归纳法：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先 证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N * ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法. 5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确； (2)假设当n=k(k ∈N * ，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 【注】n 0应为n 能取到的最小正整数 【练习巩固】 练1：若f （n ）=1+ 1 213121++???++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为 练2：将全体正整数排成一个三角形数阵： 12 3456 7 8 910 L L L L L L L L 按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 。 练3：已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++L ， 223 L b b =+,n b ++L L ，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式： 1122n n a b a b a b +++= 112233a L c L c L +++ k k c L +n n c L ++ ， 则k c =__________(2)k n ≤≤ 练4：已知* N n ∈,证明:n n 211214131211--+???+-+-n n n 21 2111+???++++=. 练5：试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋ 2－8n －9能被64整除. 二）数列的极限概念以及简单的应用 1、定义：对于无穷数列{n a }，当n 无限增大时，无穷数列{n a }中的n a 无限趋近于一个常数Ａ，那么Ａ叫做数列{n a }的极限，或者数列{n a }收敛于Ａ，记作lim n n a A →∞ =；如果数列
数列极限练习题
3 3221 1 1 321.lim _____212.lim _____ 3(5)33.lim _____ (5) 34 4.lim ______ 1234....(21)25.lim _____ 1 (2) 6.lim ______ 124...(2)7.lim ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ ++→∞ →∞ →∞ +-→∞ →∞ +=++=+-+=-+=-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题2 1213)______ 2 11118.lim ....(1)______3927319.lim 0,____,_____110.(1)lim (12),_____ (2)4,__11.lim (2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+?? -+++-=??????+--=== ?+??-+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1(3)1,lim ()113(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-?? ≤≤?+?=? ??≥??求的值 若为数列的前项和求
{}{}121231015 11 113.,9,27,,lim 3114.,1,,, 32 lim 15.,3 21111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ + +--→∞ →∞+===-= ∈-??=-+-++-??+? ?数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 2 2 1 121,lim 2, (i) 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞ →∞ ++→∞ →∞ ++→∞ =+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围 数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2 4 23 5 21 111,1...20.lim ...121.{},lim ( )12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞ →∞ -++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围
求数列极限的几种典型方法
求数列极限的几种典型方法 首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n 为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正 整数N ，使得当nN 时有ε<-a a n ，则称数列 {}a n 收敛于，定数则称为数列{}a n 的极限， 并记作 a a a a n n n →=∞ →或lim （∞→n ） 。 若数列没有极限，则称 {}a n 不收敛，或称{}a n 为发散数列。 下面我们来研究求数列极限的几种方法： 方法一：应用数列极限的定义 例一：证明 01 lim =∞ →n n α ，这里为正数。 证明：由于 n n α α 1 01 = - 故对任给的0>ε，只要取11 1+???? ??????=εαN ，则当N n >时就有 εα α << N n 1 1 这就证明了 01 lim =∞ →n n α 。 用定义求数列极限有几种模式： （1）0>?ε，作差a a n -，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取() εf N =或() ,1+=εf N （2）将 a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n n ,都以为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N , 当N n 0 > 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列 {}c n 收敛，且a c n n =∞ →lim 。
例二：求数列{}n n 的极限。 解：记h a n n n n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有 h h n n n n n n 2 2 )1() 1(-?> = + 由上式的12 0-< < n h n )1(>n ,从而有 1 2 111-+ ≤+=≤ n h a n n 数列???? ??-+121n 是收敛于1的， 因为任给的0>ε，取ε 22 1+=N ，则当N n >时有ε<--+ 112 1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞ →n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设 ,2,1,1 1 1 13 2=+ ++ + =n n a n α α α 其中实数2≥α，证明数列{}a n 收敛。 证明：显然数列 {}a n 是递增的，下证有上界，事实上， n a n 2 2 2 1 1 1 13 2++++ ≤ 2 1 2) 1 11()3121()211(1)1(1 3212111<-=--++-+-+=?-++?+?+ ≤n n n n n 于是由单调有界定理知 {}a n 收敛。 方法四：对于待定型 1 ∞ 利用 =+∞ →) 11(lim n n n e
数列极限的几种求法
数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨
函数与数列极限的定义区别
导读： 极限是研究函数最基本的方法，它描述的是当自变量变化时函数的变化趋势.要由数列极限的定义自然地过渡到函数极限的定义,关键在于搞清楚数列也是函数这一点.数列可看作一个定义域为自然数集的函数,其解析表达式为an=f(n).关键词： 极限，数列，函数极限概念是数学分析中 最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、方法等问题. 数列极限的ε-N定义是极限理论的重点与核心. 数列极限 1．定义 设有数列{an}与常数A，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε都成立，那么就称常数A是数列{ an }的极限，或者称数列{an}收敛于A，记作 读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”。数列极限存在，称数列{an}为收敛数列，否则称为发散数列. 上述定义的几何意义是： 对于任何一个以A为中心，ε为半径的开区间（A-ε,A+ε），总可以在数列{an}中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{an}的有限项（N项）. 对于正整数N 应该注意两点： 其一，N是随着ε而存在的，一般来讲，N随着ε的减小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定义中只强调了正整数N的存在性，而并非找到最小的
N，我们只关注第N项以后的各项均能保持与常数a的距离小于给定的任意小正数ε即可. 2．性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性； （2）若数列{an}收敛，则{an}为有界数列； （3）若数列{an}有极限A，则其任一子列{ank}也有极限A； （4）保号性，即若极限A>0，则存在正整数N1，n>N1时an>0； （5）保序性，即若，且A