求圆的切线方程一题三法

求圆的切线方程一题三法

在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？

【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.

解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，

过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.

又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4.

将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.

∵圆心（0，0）到切线的距离是2，

∴＝2，解得k＝－.

∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.

故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.

又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.

故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，

由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－

x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况.

【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋

y2＝r2上，则可直接用公式xx0＋yy0＝r2（A（x0，y0）为切点），类似的可以求出过圆（x －a）2＋（y－b）2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2；若点在圆外，则所求切线必有两条，此时可设切线方程，用待定系数法求斜率k.如果关于k 的方程只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在，应该将该直线补上.

三招求圆的切线方程

三招求圆的切线方程 江西省永丰中学 吴全根 求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招. 一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下： ① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2. ② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2 0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①. （2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用. （3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之. 例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程. 解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上， ∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0. 解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0. 二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k . 例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程. 解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114 232=++-+k k k ,∴k=7 24,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来. 三、判别式法 其依据是圆的切线的定义. 例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程. 解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0 直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴?=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0. (2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x. 点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.

专题椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中刘向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫： 问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l （1）请你写出一条直线l 的方程； （2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程 如 x y =±= （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。

实用圆切线方程的证明

关于圆的切线方程及相关公式的证明 一、点P(x 0,y 0)在圆上 1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 (x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或 (x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0 证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ，圆心O(a,b)，OP 的斜率a x b y k --=00 ∴切线的斜率为k 1 - ，切线方程)(0000 x x b y a x y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ① （x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ② ①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 2 2、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 x 0x + y 0y ＝=r 2 （当a=0，b=0） 3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2 x x + ）+ E ×（ 2 y y + ）+ F =0 证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(222 2 F E D E y D x -+= + ++ ∵P(x 0,y 0)在圆上，4 4)2 ()2 (222020F E D E y D x -+= + ++ ，OP 的斜率 2 2 00D x E y k + += ∴切线的斜率为 k 1 - ，切线方程

求圆的切线方程的几种方法

1 / 2 求圆的切线方程的几种方法 四川省冕宁中学 谢玉 在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。 例：已知圆的方程是x ２ + y 2 ＝ r 2，求经过圆上一点Ｍ(ｘ0,y 0)的切线的方程。 解法一：利用斜率求解 同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M . . . )(,.112002202020200000 000 00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=? 解法二:利用向量求解 () . .. )(0 PM OM ) ,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-?+-?∴=?∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三:利用几何特征求解 用。 重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM OM y x P y x M . .. )()() ,(),(2200220202020002 220 2020202 2200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥ 解法四：用待定系数法求解 图1 图2

求圆的切线方程的几种方法

1 求圆的切线方程的几种方法 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考. 1.利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程. 例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线. 设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3), 化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即 d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1 ＝2, 解得k ＝3±265 . 所以切线方程为y －2＝3±265 (x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解. 2.利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程. 例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线. 当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2). 直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0, 因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0. 解得k ＝－34 . 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34 (x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2. 3.利用垂直关系求切线方程 当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程. 例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程. 解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线. 设切线方程为l :y －2＝k (x －3). 由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP ＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5. 点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算. 小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.

求圆的切线方程一题三法

求圆的切线方程一题三法 在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？ 【例题】求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程. 解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4， 过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4. 又点A（2，1）在切线上，∴2x0＋y0＝4. 将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0. 解法二：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0. ∵圆心（0，0）到切线的距离是2， ∴＝2，解得k＝－. ∴所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件. 故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 解法三：设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0. ∵直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－. ∴所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0. 又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切. 故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2. 【误区警示】大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0， 由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－ x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况. 【知识小结】求过定点的圆的切线问题，应首先判断该点是否在圆上，若点在圆x2＋

专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计 马二中 向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫： 问题1、已知椭圆22 :182 x y C +=与直线l 只有一个公共点 （1）请你写出一条直线l 的方程； （2）若已知直线l 的斜率为1k =-，求直线l 的方程； （3）若已知切点(2,1)P ,求直线l 的方程； （4 ）若已知切点P ,求直线l 的方程。 设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。 （2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消

元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化： 猜想：椭圆22 22:1x y C a b +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？ （椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课） 设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为2 00x x y y r +=进行猜想，培 养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。 探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

直线与圆常见公式结论

直线与圆常见公式结论 1、斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠；11112222A B C l l A B C ?==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 当12121210k k A A B B =-+=或时， 直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2 π.

圆锥曲线的切线方程总结

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当

高考★圆锥曲线★的基本公式推导

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2 换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

高中数学《直线和圆的方程》常用公式

高中数学《直线和圆的方程》常用公式 1.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 2.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ?=≠； ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 3. 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-= +. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 4.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 5.夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 6．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线

专题：椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计 马鞍山二中 文恫兵 一、 教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方 法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的 学习精神。 二、 教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、 教学流程设计 （一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比, 都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一 元二次方程中的判别式等于零来解决。 （二）探究新知 基础铺垫： X 1 2 3 问题1、已知椭圆C ：— 8 1与直线1只有一个公共点 设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如 x 2 2, y 2。先由 特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。 （2 ）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消 元，得到一元二次方程，判别式 0。切线斜率确定，切线不确定。 （3 ）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元 二次方程，判别式 0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由 （2） （ 3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二 次方程，判别式 0。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切 点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化： 2 2 X y 猜想：椭圆C : r 牙1与直线I 相切于点P （X o , y 。），则切线I 的方程? 1 请你写出一条直线1的方程； 2 若已知直线I 的斜率为k 1，求直线I 的方程; 3 若已知切点P （2,1）,求直线I 的方程； （4）若已知切点 ,求直线I 的方程。

圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的推导 2 2 1.若点P(x o ,y o ) 是椭圆 笃?爲=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： 一 b x o x y o y 1 a 证明: 1° 当 b 2 2 2 由占"亠 b a x- -a 时，过点 ???对①式求导：2yy'= 2 y 2二圧(1一笃)……① a P 的切线斜率k 一定存在，且k - y' |x 2b 2 x O , a 二 k 二 y ' |x 談- a y o 2 x ???点P(x o ,y o )在椭圆 — a _b X 。 . b 2x ?切线方程为 y_y o =_ — (X_xJ ..... a yo 2 2 故辱1 a 2 b 2 而当x = a 时, 代入②得 y o = 0 X o x _y o y 2 .2 ~ 1 a b 切线方程为x 二- a ，也满足③式 故驴晋可是椭圆过点 P(x 0,y 0)的切线方程. 2.若点P(x o ,y o )是双曲线 2 2 計計1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为: x °x y o y a 2 证明: 1°当 2 = 1。 b 2 2 2 由 b-^-1- b a x = -a 时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且k = y'L 承。 2 b 2(^2 -1) .. ① a ?对①式求导 ?切线方程为 2b 2 2yy'=-^rxo ?- k= y'l x’ a b 2x o 2 a y o y _y 。二 警(x - X 。) a y o 2 2 2 2 ??点 P(x o ,y °)在双曲线 仔-与=1上，故 第逆 =1 a b a b 代入②得 x o x y o y a 2 b 2 =1…③ 而当x 二-a 时，y 。二O ,切线方程为x 二-a ，也满足③式

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程 222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。 22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。 【方法】1.设出直线，再求解； 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：2 22r y x =+究竟是什么关系呢？下面我们进行探究： 一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆O 外时， 1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2 020 ∴ r d <，故直线L 与圆O 相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢? 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。 22 r = Q 2,OA ON OM ∴=?(N 为L 与OM 的交点) 从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线， 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2 11r y y x x =+，直线MB:2 22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程, ∴?????=+=+2 01022 0101r y y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程2 00r y y x x =+， 由于两点确定一条直线 ∴直线AB 的方程为2 00r y y x x =+。 所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。 【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

高三第一轮复习圆的切线方程及弦长公式

圆的切线方程及弦长公式 【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号） 1．掌握圆的切线方程． 2．会用代数法和几何法求圆的弦长． 主干知识归纳 1．圆的切线方程 (1) 过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2； (2) 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)． 2．求圆的弦长的常用方法 (1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则()l 22 ＝r 2 －d 2 ，即22d -r 2 =l (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2 x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 方法规律总结 1. 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上，若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况． 2．求解与圆的弦长有关的计算问题时，常利用圆的半径r ，弦长l 与弦心距d 之间的关系：r 2 ＝d 2 ＋l 2 4 ，一 般不用代数法求解． 3．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1) 形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【指点迷津】 【类型一】圆的切线方程 【例1】：求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 【解析】：解法一：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线， 且有|MA |＝|AP |＝r ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则???? ? n －2m －1＝2－31＋1 (m －1)2＋(n －2)2＝ (m －4)2＋(n ＋1)2＝r ， 解得m ＝3，n ＝1，r ＝5， 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5. 解法二：因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0过点M (1,2)的切线方程为2x －y ＝0， 所以设所求圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＋λ(2x －y )＝0，因为点P (4，－1)在圆上， 所以代入圆A 的方程，解得λ＝－4，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝5（x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0）. 【例2】：已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.若过点A 的圆的切线只有一条，则切线方程为________． 【解析】：由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0，

专题_椭圆的切线方程

“椭圆的切线方程”教学设计 马二中向兵 一、教学目标 知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程； 2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。 过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。 情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。 二、教学重点与难点 教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境 复习：怎样定义直线与圆相切？ 设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫： 问题1、已知椭圆 22 :1 82 x y C+=与直线l只有一个公共点 （1）请你写出一条直线l的方程； （2）若已知直线l的斜率为1 k=-，求直线l的方程；（3）若已知切点(2,1) P,求直线l的方程； （4 ）若已知切点) 2 P,求直线l的方程。 设计意图：（1 ）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x y =±=特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。

（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。切线斜率确定，切线不确定。 （3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0?=。 （4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化： 猜想：椭圆22 22:1x y C a b +=与直线l 相切于点00(,)P x y ，则切线l 的方程？ （椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课） 设计意图：类比经过圆上一点P(x 0，y 0)的切线的方程为200x x y y r +=进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花 费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。 探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

圆的切线方程的求解技法

圆的切线方程的求解技法（） 大家知道：（1）过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的切线方程为200r yy xx =+；（2）过圆()()222r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线方程为 ()()()()200r b y b y a x a x =--+--； （3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()00,y x P 的切线方程为0220000=+?? ? ??++??? ??+++F y y E x x D y y x x （由（2）可导出（3））。那么，过圆()()222r b y a x =-+-外一点()00,y x P 作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？ 举一例介绍求解技法如下。 例：从点()1,2--P 向圆012422=++-+y x y x 引切线，求切点坐标与切线方程。 解法一：转化与化归法。设切点坐标为()11,y x A ，则过点A 的圆的切线方程为()()0121111=++++-+y y x x y y x x 。因为切线过点()1,2--P ，所以4211+--y x 011211=++--y x ，解得11=x ，代入圆的方程，解得311+-=y 或311--=y 。所以切点坐标为()31,1+-，()31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。 解法二：转化与化归法及参数法。圆的方程化为()()41222=++-y x ，故可设切点坐标为()θθsin 21,cos 22+-+，[)πθ2,0∈，则切线方程为()()4sin 21cos 22=?++?-θθy x 。 因为切线过点()1,2--P ，代入切线方程，得 4cos 8=-θ，所以21cos -=θ，23sin ±=θ。所以切点坐标为()31,1+-，() 31,1--，切线方程为0323=-+-y x 或0323=+++y x 。 点评：若出C B A =+θθsin cos 型，可将θcos A 移到右边，再两边平方求解。 解法三：判别式法。设切线的斜率为k （存在时），则过点()1,2--P 的直线方

如何求圆的切线方程

如何求圆的切线方程 在直线与圆的位置关系中，相切是一个重要的位置关系。众所周知，在圆上的点可以作一条直线与该圆相切，过圆外一点可以作二条直线与该圆相切。在历年高考中，常常出现在选择题中。本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论，供同学们参考。 1、 利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径。因此，利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程。 例1 已知圆C 的方程是22 (1)4x y +-=，圆外一点P （3，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。 解：当过P 的直线的斜率不存在时，显然不是圆的切线。故设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(3)y k x -=-。 由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离d 等于半径2，即： 22|12(03)| |31|211k k d k k ----===++ 解之，得：3265 k ±= 所以，切线方程为：3262(3)5y x ±-= - 点评：求切线方程时，点到直线的距离公式相当重要，不能记错。设直线方程时，一定要考虑直线的斜率不存在时的情况，避免漏解。 2、 利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时，直线与圆只有一个公共点，此时方程与直线联立方程，利用判别式等于零即可以求出切线方程。 例2 已知圆C 的方程是22(1)4x y +-=，圆外一点P （2，2），求经过点P 且与圆C 相切的直线方程。 解：当过P 的直线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线。当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线的斜率为k ，直线方程为：2(2)y k x -=-。 直线方程与圆的方程联立，可得：222(1)2(12)4430k x k k x k k ++-+--= 因为直线与圆只有一个公共点，故22224(12)4(1)(443)0k k k k k ?=--+--= 解之，得：34 k =- 故所求的切线方程是：32,2(2)4 x y x =-=-- 点评：利用判别式求解时，计算量比较大。本题注意不能漏解了x=2。 3、 利用垂直关系求切线方程 当已知切点时，我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直，斜率之积为-1可以求出切线方程。 例3已知圆C 的方程是22 (1)4x y +-=，求以P (3,2)为切点的切线方程。 解：设圆心O (0,1)，切线方程为：2(3)y k x -=- 由直线OP l ⊥得：13OP k k k =-?=- 所以切线方程为：23(3)y x -=--即：35y x =-+ 点评：由直线垂直求出切线的斜率，可以避免繁杂的计算。 总之，在求圆的切线方程时，先判断切线方程有几条，再是注意特殊情况（如斜率不存在），三是注意使用哪种方法计算最简捷。