江苏省南通市2014年中考数学真题试题(扫描版,非官方答案)

江苏省南通市2014年中考数学真题试题

南通市2014年中考数学试卷最后一题解析

【试题】如图，抛物线y=－x 2

+2x+3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，对称轴与BC 交于E.

（1） 求DE 的长，

（2） 设过E 的直线与抛物线y=－x 2

+2x+3与x 轴相交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）试判断当2

1x x -的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，

（3） 设P 为x 轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan ∠α=4时，求P 的坐标.

【解析】（1）略

（2）∵E 的坐标为（1,2）∴用待定系数法得直线MN 的解析式为y=（2－b ）x+b

点M ，N 的坐标是方程组???++-=+-=3

2)2(2

x x y b x b y 的解，用代入法将方程组化为关于x 的一元二次方程，得x 2

－bx+b －3=0，由韦达定理得，x 1+ x 2=b ，x 1x 2= b －3， ∵2

1x x -=221)(x x -=212214)(x x x x -+=)3(42--b b =8)2(2

+-b ，

∴当b=2时，2

1x x -最小值=22.∵b=2，∴直线MN 的解析式为y=2，∴直线MN ∥x 轴.

（4） 有三种解法：

① 如图1，这里数学机智灵活的同学易发现tan ∠DOH=4，又∵tan ∠α=4，∴∠DOH=∠α，应用三角形外

角定理与∠DAO+∠DPO=∠α，得∠DPO=∠ADO ，显然△ADP ∽△AOD ，从而得AD 2

=AO ·AP 1，而AD 2

=20，AO=1，因此AP 1=20，∴OP 1=19，由对称性OP 2=17，∴P 1（19,0） P 2（－17,0）

②③如图2，应用三角形外角定理转化出∠α.延长AD ，过P 1作P 1F ⊥AF 于F ，显然∠FD P 1=∠α，AD=25，∵tan ∠α=4，设DF=m ，则P 1F=4m ，△ADH ∽△A P 1F ，则

m

m

+=52424 解得m=25，∴AF=45，P 1F=85，在直角三角形AF P 1中由勾股定理得，AP 1=20，

以下与方法①相同.

③如图3，如果高中生来解很简单，应用三角公式tan （β+γ）=

γ

βγ

βtan tan 1tan tan -+

∵∠α=∠β+∠γ，tan ∠α=4，tan ∠β=2 tan ∠γ=

1

4

HP ，将以上条件代入三角公式tan （β+γ）=γ

βγ

βtan tan 1tan tan -+，可解得H P 1=18，以下与方法①相同.