高斯误差函数表表

0.00 0.00000 0.78 0.73001 1.56 0.97263 0.02 0.02256 0.80 0.74210 1.58 0.97455 0.04 0.04511 0.82 0.75381 1.60 0.97635 0.06 0.06762 0.84 0.76514 1.62 0.97804 0.08 0.09008 0.86 0.77610 1.64 0.97962 0.10 0.11246 0.88 0.78669 1.66 0.98110 0.12 0.13476 0.90 0.79691 1.68 0.98249 0.14 0.15695 0.92 0.80677 1.70 0.98379 0.16 0.17901 0.94 0.81627 1.72 0.98500 0.18 0.20094 0.96 0.82542 1.74 0.98613 0.20 0.22270 0.98 0.83423 1.76 0.98719 0.22 0.24430 1.00 0.84270 1.78 0.98817 0.24 0.26570 1.02 0.85084 1.80 0.98909 0.26 0.28690 1.04 0.85865 1.82 0.98994 0.28 0.30788 1.06 0.86614 1.84 0.99074 0.30 0.32863 1.08 0.87333 1.86 0.99147 0.32 0.34913 1.10 0.88020 1.88 0.99216 0.34 0.36936 1.12 0.88679 1.90 0.99279 0.36 0.38933 1.14 0.89308 1.92 0.99338 0.38 0.40901 1.16 0.89310 1.94 0.99392 0.40 0.42839 1.18 0.90584 1.96 0.99443 0.42 0.44747 1.20 0.91031 1.98 0.99489 0.44 0.46623 1.22 0.91553 2.00 0.99532 0.46 0.48466 1.24 0.92051 2.02 0.99572 0.48 0.50275 1.26 0.92524 2.04 0.99609 0.50 0.52050 1.28 0.92973 2.06 0.99642 0.52 0.53790 1.30 0.93401 2.08 0.99673 0.54 0.55494 1.32 0.93807 2.10 0.99702 0.56 0.57162 1.34 0.94191 2.12 0.99728 0.58 0.58792 1.36 0.94556 2.14 0.99753 0.60 0.60386 1.38 0.94902 2.16 0.99775 0.62 0.61941 1.40 0.95229 2.18 0.99795 0.64 0.63459 1.42 0.95538 2.20 0.99814 0.66 0.64938 1.44 0.95830 2.22 0.99831 0.68 0.66378 1.46 0.96105 2.24 0.99846 0.70 0.67780 1.48 0.96365 2.26 0.99861 0.72 0.69143 1.50 0.96611 2.28 0.99874 0.74 0.70468 1.52 0.96841 2.30 0.99886 0.76 0.71754 1.54 0.97059 2.32 0.99897

2.34 0.99906 2.44 0.99944 2.70 0.99987 2.36 0.99915 2.46 0.99950 2.80 0.99992 2.38 0.99924 2.48 0.99955 2.90 0.99996 2.40 0.99931 2.50 0.99959

3.00 0.99998 2.42 0.99938 2.60 0.99976 ∞ 1.00000

本表摘至冶金传输原理,沈顾身,李保卫,吴懋林著,冶金工业出版社

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程

第七讲 不定方程 不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12x y =??=? ． 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．． ． 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对． 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25x y +=； （2）238x y +=； （3）321x y +=； （4）4520x y +=．

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”． 形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解． 例1． 甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请 问：张明共买了多少支铅笔？ 「分析」设张明买了甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7350x y +=，其中x 和y 都是自然数．怎么求解呢？ 练习1、（1）求3535x y +=的所有自然数解；（2）求1112160x y +=的所有自然数解． 一般地，如果x m y n =??=?是ax by c +=的一组解，那么x m b y n a =+??=-? （当n a ≥时）也是ax by c +=的一组解．这是因为()()()()a m b b n a am ab bn ab am bn c ++-=++-=+=．另外，x m b y n a =-??=+? （当m b ≥时）也是ax by c +=的一组解，理由相同． 这条性质有什么用呢？我们以求2350x y +=的自然数解为例，我们容易看出它有 一组自然数解1010x y =??=?．应用上面的规律，x 每次增加3，y 每次减少2（只要y 还是自然数），所得结果仍然是2350x y +=的一组解，所以138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?都是2350x y +=的自然数解．另外x 每次减少3（只要x 还是自然数），y 每次增加2，所得结果也是2350x y +=的自然数解，所以712x y =??=?、414x y =??=?、116x y =??=? 也都是2350x y +=的自然数解．而且这样就已经求出了2350x y +=的所有自然数解，它们是： 116x y =??=?、414x y =??=?、712x y =??=?、1010x y =??=?、138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?． 这就告诉我们，在求形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x 值每次变化b ，y 值每次变化a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by +的大小不变）．

高斯函数与不定方程

竞赛中的高斯函数与不定方程 一．高斯函数][x 数学竞赛试题中常常用高斯函数][x 的知识，具体包含： 一、 定义 设R x ∈，][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。函数][x y =的定义域为R ，值域为.Z 二、 性质 ][x 的应用范围很广，很多竞赛题要应用][x 的性质。 性质1。对任意,R x ∈都有}{][x x x +=，}({x 为x 的小数部分） 性质2。对任意,R x ∈都有 1][][1+<≤<-x x x x 性质3。对任意,,2 1 R x x ∈且21x x ≤；有][][21x x ≤ 性质4。 对任意Z n ∈和R x ∈，都有 ][][x n x n +=+ 性质5。 对任意的R y x ∈,，都有}{}{}{],[][][y x y x y x y x +≥++≤+ 性质6。0,0≥≥y x ，则][][][y x xy ?≥ 证：因为}{][x x x +=，}{][y y y += }){]})([{]([y y x x xy ++= 则][][][y x xy ?≥ 性质7。在!n 的质性质7。对任意正整数n 和任意实数,x 有 ].][[][n x n x = 证： 1][][+<≤n x n x n x 则)1]([][+<≤n x n x n x n 其中][n x n 与)1]([+n x n 都是整数，则

)1]([][][+<≤n x n x n x n 则 1][][][+<≤n x n x n x 所以 ].[]][[ n x n x =因数分解中，质数p 的指数是：][...][][2m p n p n p n +++ 二． 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。 定理1：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(0 y x 为其一组解，则其全部解为 ,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。 三．高次不定方程 解高次不定方程难度大，且无定073222 =--+y x y x 法。但 对某些特别方程可通过特殊方法解。 例1：解下列不定方程 （1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x

高斯函数_常见题型

高斯函数_常见题型 一、常见题型与相关例题 1、 整数问题 例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987?????? ??????????????? 中有多少个不同的整数？ 2、 方程问题 方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程33[]3x x -=。 例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。 3、 恒等问题 这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如1().22n n n n N * +???? +=∈???????? 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则 1 0[]n k k x nx n -=? ?+=??? ?∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题 不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设,x y R ∈，试证： （1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3] [3][][]2[]x y x y x y +≥+++. 注：与上面不等式相类似地还有 （3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5] [5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++ 例7、设,,x R n N * ∈∈试证：1[] [][].n k kx n x nx k =≤ ≤∑ 例8、证明不等式[ ][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ 立。 例9、求所有正整数n 使得2 2min()1991.k N n k k * ∈?? +=????

excel函数符号表

Excel函数用途、参数、用法速查表（按Ctrl+F搜索）

Excel常用函数功能及用法介绍 .xls 文件下载 函数名功能用途示例ABS求出参数的绝对值。数据计算 条件判断AND“与”运算，返回逻辑值，仅当有参数的结果均为逻辑“真（TRUE）”时返回 逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。 AVERAGE求出所有参数的算术平均值。数据计算 COLUMN显示所引用单元格的列标号值。显示位置CONCATENATE将多个字符文本或单元格中的数据连接在一起，显示在一个单元格中。字符合并COUNTIF统计某个单元格区域中符合指定条件的单元格数目。条件统计 DATE给出指定数值的日期。显示日期DATEDIF计算返回两个日期参数的差值。计算天数DA Y计算参数中指定日期或引用单元格中的日期天数。计算天数DCOUNT返回数据库或列表的列中满足指定条件并且包含数字的单元格数目。条件统计

FREQUENCY以一列垂直数组返回某个区域中数据的频率分布。概率计算 条件计算 IF根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结 果。 数据定位INDEX返回列表或数组中的元素值，此元素由行序号和列序号的索引值进行确 定。 INT将数值向下取整为最接近的整数。数据计算 逻辑判断ISERROR用于测试函数式返回的数值是否有错。如果有错，该函数返回TRUE，反 之返回FALSE。 LEFT从一个文本字符串的第一个字符开始，截取指定数目的字符。截取数据LEN统计文本字符串中字符数目。字符统计 MA TCH返回在指定方式下与指定数值匹配的数组中元素的相应位置。匹配位置MAX求出一组数中的最大值。数据计算MID从一个文本字符串的指定位置开始，截取指定数目的字符。字符截取MIN求出一组数中的最小值。数据计算MOD求出两数相除的余数。数据计算MONTH求出指定日期或引用单元格中的日期的月份。日期计算 NOW给出当前系统日期和时间。显示日期时 间 逻辑判断 OR仅当所有参数值均为逻辑“假（FALSE）”时返回结果逻辑“假（FALSE）”， 否则都返回逻辑“真（TRUE）”。 RANK返回某一数值在一列数值中的相对于其他数值的排位。数据排序RIGHT从一个文本字符串的最后一个字符开始，截取指定数目的字符。字符截取

不定方程的解法

基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，

公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1

高斯函数的一个重要性质

西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡.

高斯函数

高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6

第5讲 高斯记号和不定方程

纵观数学史，最富传奇性的不定方程必然是：x n+y n=z n。 1637 年左右，法国“最伟大业余数学家”费马在研究丢番图《算术》时，在该书的第二卷页边写下了这样一个定理“x n+y n=z n，当n是大于2的整数时，没有正整数解”，单单是如此简洁的一个定理就有足够的吸引了，然而让众多数学家们深陷其中的则是费马接下来的一句话“我已发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。 这个方程究竟有多传奇？就让我们从证明的历史中感受吧！ 1753 年，欧拉证明了n=3 时成立，不过n还有无限种情况 呢… 1816 年，巴黎科学院说：证明n是质数时成立就行了嘛，于是设了个奖，费马大定理火了。 1847 年，拉梅和柯西说：我证明了！可德国数学家库默尔说：你俩错了。 1850 年，库默尔说：我证明了100 以内除37、59、67 都成立。 1926 年，范狄维尔：库默尔你也不全对，n<211 时都成立。 二十世纪前期，勒贝格说：我证明了！不过很遗憾，发现又错了。 1908 年，沃尔夫斯凯尔奖设立，因为富豪沃尔夫斯凯尔在决意自杀前看到了费马大定理，算着算着就不想自杀了，救命之恩啊有没有！奖金十万马克啊有没有！ 1955 年，谷山-志村猜想提出，等等，这是解决椭圆问题的，和费马大定理有啥关系？ 1984 年，弗雷认为：应该有关系！可惜当时谷山丰没意识到，否则他应该不会自杀吧！ 1986 年，里贝特说：真的有关系！证明谷山---志村猜想就证明了费马大定理。 1993 年，安德鲁·怀尔斯说：我证明了！ 不会再错了吧？严格的审查后确定：真的又错了，有严重漏洞！ 怀尔斯说：知错就改，我再证！怀尔斯修补了漏洞，绝地逢生！大奖和奖金也收获囊中。 至此，费马大定理得到了最终证明！证明过程历时358年，横跨数学多个分支，吸引众多数学大师，其中历经种种艰辛，远不像文中如此轻描淡写，笔者也非常想详细描述，只是… “这里空白太小，写不下” 2011 年，谷歌（Google）纪念费马诞辰450 周年的Logo

高斯函数

高斯函数定理2 设f(x) x x，贝y f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b). 一、知识概要 1、定义：设x R，用x表示不超过x的最大整数。贝U y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然， y x的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和， 即x x a 0 a 1，因此，x x x 1，这里，x为x的整数部分，而x x x 为x的小数部分。 2、性质 1、函数y x是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1 x2时，有x1x2； 2、n x n x，其中n Z ; 3、x 1x x x 1; 4、若x y n ,则x n a, y n b,其中0a, b 5、对于「切实数x, y有x y x y ; 6、若x0,y0 ,则xy x y ; 7、x x 1(x不是整数时) x (x是整数时) 8若n N 5 x 则 x；当n 1时，x x n n 9、若整数a,b适合a bq r ( b 0,q,r是整数，Orb)，贝U - q ； b x 10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有 - 个； n 下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质. 对于函数y x ,如何做出它的图像呢？我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征? (1) 由y x的性质知x的图形在y x的图形的下方? (2) 由y x的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶 梯形? 可见函数y x是一个不减(非单调)的非周期的函数，其图像如下(a) (b) 例1、方程[x] x 1实数根的个数 例2、函数f (x)定义在R上，对任意x R,有f(x 1) 为增函数， 请说明理由。 例3、作出函数为y [sin x]的图像. 例4、定义函数y x n, n x n 1, n N ,若— 2 f (x)，则函数f (x)在R上是否 x的取值范 围。

整除、同余与高斯函数

整除、同余与高斯函数 一、整除 对于整数a (本讲字母均表示整数)和不为零的整数b,我们有带余除法:a bq r =+,(0)r b ≤<.其中q 称为商,r 称为余数. 特别地,若0r =,即a bq =,则 称a 被b 整除或称b 整除a ,记为|b a ; 若0r ≠,则称b 不整除a ,记为b a .若|b a , 我们也称a 是b 的倍数,b 是a 的约数(或因数).整除有下面的基本性质: 1.若|a b ,|b c ,则|a c . 2.若|a b ,k 为整数,则|a kb . 3.若|a bc ,且a 与c 互质,则|a b , 特别地,若质数|p bc ,则必有|p b 或|p c . 4.若|a b , |a c , 则|()a b c ±. 5.若|b a , |c a , 且b 与c 互质, 则|bc a . 例1. 求出所有的正整数n ,使得n . 精析 令()2 21k n k ≤<+，即n 介于两个完全平方数之间是解题的突破口. 全解 设()221k n k ≤<+， 当3k ≥时， 1,2, ,n n k n . 因为()2,11k k --=，()1,1k k -=，()2,2k k -≤， 所以 ()()1 122 k k k n --. ()()()2 11212 k k k n k --≤<+， 故 325220k k k ---<， 即 ()()22512k k --<. 得 3,45k =或. 所以 36n <. 当14n ≤<，有1,1,2,3n n =都满足条件； 当49n ≤<，有1,2,4,6,8n n n =都满足条件；

同余与不定方程

北大博雅15.4.满足1112015 x y +=，且x y ≤的正整数对(,)x y 的个数为（ ） A.12 B.15 C.18 D.前三个答案都不对 北大博雅2015.5.整数,,a b c ，满足()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++有可能等于（ ） A.126 B.144 C.162 D.前三个答案都不对 北大博雅2016.15.三个不同的实数,,x y z 满足3232323323x x y y z -=-=-，则x y z ++（ ） A.-1 B.0 C.1 D.前三个答案都不对 15.【解答】D 设323232333x x y y z z m -=-=-=，则x y z ，，是关于t 方程323t t m -=的三个实数根，其中m 为常数，由韦达定理可知，x y z ++=3。 【评析】三次方程的韦达定理，没有特别的技巧。 北大博雅2016.18.1!2!2016!+++除以100所得余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对 18.【解答】B 由于当10n ≥且n N ∈时，100|n !，于是1！+2！+ (2016) 1!2!...9!1262420+20+40+20+8013mod100≡+++≡++++≡（） 【评析】简单的同余计算能力，是大家必须要掌握的。 北大博雅2016.19.方程组23234345,,x y z x y z x y z ?+=?+=??+=?的实数解组数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对

19.【解答】C 顺次记方程组中方程为(1)，(2)，(3)，则(1)×(3)-(2)2可得()220xy x y -=，从而x =0或y =0或x =y 。 情形一：x =0或y =0 此时可得(x ,y ,z )=(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(-1,0,-1) 情形二：x =y 且0xy ≠ 此时可得(x ,y ,z )=(-1,-1,0)，)，。综上所述，原方程有7组实数解。 【评析】数论中的不定方程，此题亦不算难题，注意方程形式进行变形处理即可。 清华领军2016.2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解有多少组？ A.8 B.10 C.11 D.12 2.【解答】B. 由0x y z <≤≤知111132x y z x =++≤，又111112 x x y z <++=得26x <≤。 (1) 6x =时， 111132x y z x =++≤取等，由取等条件知x y z ==，此时方程有一组解（6,6,6） (2) 5x =时，111152 y z ++=整理得()()310310100y z --=由()3103102mod3y z -≡-≡，100分解为两个模3余2的因数相乘有：250?，520?，3102y -=时4y x =<，舍去得到一组解（5,5,10） (3) 4x =时111142 y z ++=，整理得()()4416y z --=，由161162844=?=?=?分别解得三组解（4,5,20），（4,6,12），（4,8,8）

清北学堂 2012年五一数学精品班(集训七)数论导学(同余问题 高斯函数 不定方程)

数论导学 一、 同余问题与高斯函数 知识点： 一、同余问题 1．定义 定义： 设m 是大于1的正整数，a ，b 是整数，如果b a m ?|，则称a ，b 关于 模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m。当b a m ?/|，则称a，b 关于模m 不同余，记作)(mod m b a ≡/。 显然，有如下事实： (1)若)(mod 0m a ≡，则|m a . (2)b a m b a ,)(mod ?≡分别用m 除，余数相同。 2．性质 定理1 设a ,b ,c ,m (m >1)是整数，则有 (1)反身性：)(mod m a a ≡； (2)对称性：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； (3)传递性：若b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡. 定理2 设)(mod ),(mod 2211m b a m b a ≡≡，则 (1).)(mod 2121m b b a a ±≡± (2) )(mod 2121m b b a a ≡ 推论1 若(mod ),1,2,,,k k a b m k n ≡="则n k m b a k k ,,2,1),(mod "=≡ (1)∑∑==≡n k n k k k m b a 11)(mod ， (2)∏∏==≡n k n k k k m b a 1 1 )(mod . 推论2 若)(mod m b a ≡，则(mod )n n a b m ≡.

定理3 若)(mod ),(mod 222121m b a m b b a a ≡≡，且1),(2=m a ，则)(mod 11m b a ≡. 推论 若)(mod m bc ac ≡，且1),(=c m ，则 )(mod m b a ≡. 注 条件1),(=c m 是不可缺少的，当1),(≠c m 时，此性质不成立。例如2×4≡4×6(mod 12)，但)12(mod 42≡/. 定理4 若)(mod m b a ≡，且m d d b a |,),(=，则 ?? ? ???≡d m d b d a mod . 定理5 若 )(mod 1m b a ≡， )(mod 2m b a ≡， ………… )(mod n m b a ≡， 且 ],,,[21n m m m M "=，则 )(mod M b a ≡ 二、高斯函数 1．定义 设][,x R x ∈表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。函数][x y =的定义域为R，值域为Z。R x ∈ 由定义知，x x ≤][，故.0][≥?x x 称][x 为x 整数部分，称][x x ?为x 的小数部分，记作{x }. 例如，.7.0}3.2{,3]3.2[;2.0}2.3{,3]2.3[=??=?== 2．性质 [x ]的应用范围很广，很多竞赛题都要应用[x ]的性质。 性质1 对任意R x ∈，都有}{][x x x +=，且1}{0<≤x . 性质2 对任意R x ∈，都有 1][][1+<≤

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

第七讲不定方程 前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 3x 4 19只有一个解x 5，方程组 x 2y 5 只有一组解 2x 3y 8 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程 唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样 一来就会有无穷多组解. 通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时.，这个方程.(或 方程组).就会有无穷多个解. 可是方程的解那么多， 究竟哪个才是正确的呢？应该说， 如果不加任何额外的限制条件， 这 无穷多个解都是正确的. 但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数， 这 样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对. x 2y 5的解就不 対刖?所以这杆的方程才 囚平处方程啊 x+y=10 陕。一个右程龙么含右两个木 如 数啊”这样的力稈论町好 多桦 1 方程个数小于未知数个数 怖方 程如叫不罡方4T. 不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上. 之

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往求下列方程的自然数解: (1) x 2y 5 ;(2) 2x 3y 8 ; (4) 4x 5y 20 .

本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组） ：它们所含未知数的个数往往 大于方程的个数， 而未知数本身又有一定的取值范围， 这个范围通常都是自然数——这 类方程就是“不定方程” ． 形如 ax by c （ a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解 这样的方程， 最基本的方法就是枚举． 那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们 下面结合例题来进行讲解． 例1．甲级铅笔 7角一支，乙级铅笔 3角一支，张明用 5元钱买这两种铅笔， 钱恰好花完． 请 问： 张明共买了多少支铅笔？ 「分析」设张明买了甲级铅笔 x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7x 3y 50, 其中x 和y 都是自然数.怎么求解呢？ x 19 x 22 x 25 、、 y 4 y 2 y 0 的不定方程的自然数解时, 我们可以先找出一组解,之后其余的所有解都可由这一组解的 次变化 a 得到（注意变化的方向相反, 一个增加, 另一个就得减少, 才能保证 ax by 的 大小不变） 练习 1、（1）求 3x 5y 35的所有自然数解；（2）求11x 12y 160 的所有自然数解. 般地,如果 m 是ax n by xm ax by c 的一组解,那么 yn 这 na am ab bn ab am bn c .另外, 也是 ax by c 的一组解,理由相同. 2x 这条性质有什么用呢？我们以求 x 10 一组自然数解 x 10 .应用上面的规律, y 10 然数）,所得结果仍然是 x 25 都是 2x 3y y0 增加 2,所得结果也是 b （当n a 时）也是 3y 50的自然数解为例, 2x 3y 50的一组解, 所以 y 50的自然数解.另外x 每次减少 2x 是2x 3y 50的自然数解. 而且这样就已经求出了 2x 是： 因 b . , （当 m b 时） a 我们容易看出它有 13 x 16 x 19 x 22 8 、 y 、 6 y 、 4 y 2 、 3（只要 x 还是自然数） ,y 每次 x 7 x 4 x 1 、 、 也都 y 12 y 14 y 16 3y 50的自然数解,所以 50 的所有自然数解,它们 3y x 每次增加3, y 每次减少2 （只要y 还是自 x x 16 y6 ax by c （ a 、b 、c 为正整数） 7 x 10 x 13 、、 12 y 10 y 8 x 值每次变化 b , y 值每

不定方程的解法教学资料

不定方程的解法

基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问

题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t 为任意整数}。 S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数 注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。 1. 伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数 思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。 2. 不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数 思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开；误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。 3. 指数积分 思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛；对于0

《通信原理教学资料》Q函数和误差函数表.doc

Q 函数和误差函数 1 _ 2 erfc (x) = — e~x X\7t 4、Q 函数与误差函数之间的关系: Q(x) = ^erfc(-j=) erfc(x) = 2Q(4^x) 吋(x) = \ - 2Q(Ji x)1、Q 函数: x>3 2、误差函数: 3、误差补函数: erfc (x) = 1-erf (x)= X ? 1

飜2」制函黠 X0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.44W 0.432 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 03974 03936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 03745 03707 03669 0.3632 03594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 03409 03372 03336 0.3300 03264 03228 0.3192 03156 03121 0.5 03085 03050 03015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2184 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1H2 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0986 0.0951 0.0934 0,0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.07M 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0M3 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 O.M65 0.0455 1.7 0.W46 0.IM36 0.0427 0.0418 0.M09 0.M01 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 (10207 0.0202 ().0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0112 0.012900125 0.0122 0.0119 0.01160.01 B 0.0110 2.3 0.0107 0.01W 0.0102 0.0099() 0.009M 0.00939 0.00914 0.00889 0.00866 0.00842 2.4 0.00820 0.00798 0.00776 0.00755 0.00734 0.00714 0.00695 0.00676 0.()0657 0.00639 2.5 0.00621 0.00601 0.00587 0.00570 0.00554 0.00539 0.00523 O.OO5A8 0.00494 0.00484 2.6 0.00466 0.00453 0.00440 0.00427 0.1XMI5 ().00402 0.0()391 0.00379 0.00368 0.00357 2.7 0.00.147 0.00336 0.00326 0.00317 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280 0.00272 0.002W