高三上课后作业2：空间直线与平面

墨微教育课后作业

空间直线与平面的方程及其位置关系

空间直线与平面的方程及其位置关系

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空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。

空间直线和平面总结 知识结构图+例题

【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 期中复习 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ (a//b,b//c a//c) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

面面垂直判定 面面垂直定义 αβαβ αβ =-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 面面∥ 面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b （3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =?=?=??? ? ????????

空间中直线和平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

空间直线和平面复习总结.doc

学习好资料 欢迎下载 空间直线和平面 （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 // a // b a , b a , b b a A a // b a a b A a , b b a // , b // a // // 公理 4 线面平行判定 面面平行判定 1 面面平行性质 线线∥ 线面∥ 面面∥ (a//b,b//c 线面平行性质 面面平行性质 1 // a//c) a // // // a a // b a // a // b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

a , b a b O l a , l b a l a 三垂线定理、逆定理线面垂直判定 1 面面垂直判定 PA , AO为 PO 线线⊥线面⊥面面⊥线面垂直定义面面垂直性质，推论 2 在内射影 l a a b a 则 a OA a PO l a a, a b a POa AO a a 面面垂直定义 l ，且二面角l 成直二面角 3.平行与垂直关系的转化： a a a / / b / / b a a 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 a / / a / / b b a a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5.唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1.三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ： 0°＜θ ≤ 90°

（ 2）直线与平面所成的角：0°≤ θ ≤ 90° （0 时， b∥或b） （ 3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤ θ≤ 180° 2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（ 1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。 3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。 4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体： （一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 侧棱都相等 侧面是平行四边形 对角面是平行四边形 性质 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 S侧直截面周长侧棱长 V柱底面积高直截面面积侧棱长

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

空间直线与平面,平面与平面的位置关系

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_

D所成的角， 2 = 3

D C P A B 解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60o，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点， ∴PD= BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 2 31 ∴31 217 cos ==∠AD PD PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31 217 巩固练习： 1 选择题 （1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ） （A ）（0o,90o） （B ）[0o,90o] （C ）[0o,180o] （D ）[0o,180o) （2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论 中，可能成立的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ） （A ）0条或1条 （B ）0条或无数条 （C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条 答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题 （1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .

∵AO OE ⊥ ∴2tan 2AO AEO OE ∠= = ∴2 arctan 2 AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为2 arctan 2 （3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠= 即异面直线AB 和CD 所成角为45 例5、设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置． （1）P 到三角形各边的距离相等． （2）P 到三角形各顶点的距离相等． （3）PA 、PB 、PC 两两垂直． 解析：设P 在平面M 内的射影是O ． （1）O 是△ABC 的内心； （2）O 是△ABC 的外心； （3）O 是△ABC 的垂心．

人教版数学必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 教案

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系教案 教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 教学重点：直线与平面的三种位置关系及其作用． 教学难点：直线与平面的三种位置关系及其作用 问题提出 1. 空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？ 2. 空间两直线有哪几种位置关系？ 探究：直线与平面之间的位置关系 思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:如图，线段A ′B 所在直线与长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的六个面所在的平面各是什么位置关系？ 思考3:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系有哪些？靠什么来划分呢？ 思考4:用图如何表示直线与平面的三种位置？如何用符号语言描述这三种位置关系？ 思考5:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l 平行于平面α，则直线l 与平面α内的直线的位置关系如何？ B A D C A' B' D' C'

理论迁移 例1 给出下列四个命题： (1)若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α. (2)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行. (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. (4)若直线l 在平面α内，且l 与平面β平行，则平面α与平面β平行. 其中正确命题的个数共有 __个. 随堂练习：判断正误 1、若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α( ) 2、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行( ) 3、如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行( ) 4、如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行（ ） 5、若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点( ) 巩固练习 1．选择题 （1）以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 （2）已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系 ①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 （3）如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系 一定是（ ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ?α （4）已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 （5）已知直线a 在平面α外，则 （ ） （A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点 （C ）a A α ?= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点 课本49页练习 课堂小结 课外作业 一、选择题： 1．下列命题中正确的是（ ） A ．平行于同一个平面的两条直线平行

空间直线和平面总结-知识结构图+例题

空间直线和平面 ［知识串讲］ 空间直线和平面： （一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥ 面面∥ 公理 4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ //,//I I ==???? a b a b 面面平行判定1 a b a b a //,//???? ??ααα 面面平行性质 a b a b A a b ??=????? ?ααββαβ ,//,////I 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ?I 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥ 三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论：

空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)

空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).

《空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系》教学设计(优质课)

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力. 2．过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识. （二）教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系. （三）教学方法 借助实物，让学生观察事物、思考等，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标. 有几种位置关系？：有三种位置关系： ）直线与平面平行

图形语言是： 直线a与面α相交的 直线a与面α ∥α. 图形语言是：

′C′D′的六 平面与平面平行的符号语 .图形语言是：

（1）AB没有被平面

备用例题 例1 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（） A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交 【解析】直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C. 例2 “平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“α // l”的（）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面 平行，应选B. 例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内. 已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l 求证：mα ?. 证明：设l与P确定的平面为β，且αβ= m′，则l∥m′. 又知l∥m，m m P '=，

空间中直线与平面的位置关系 说课稿 教案 教学设计

1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

空间直线和平面复习总结

空间直线和平面（一）知识结构 （二）平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线线∥ 线面∥面面∥ 公理4 (a//b,b//c a//c) 线面平行判定 αβ αγβγ // , // I I == ? ? ? ? a b a b 面面平行判定1 a b a b a // , // ?? ? ? ? ? αα α 面面平行性质 a b a b A a b ?? = ? ? ? ? ? ? αα ββ αβ , //,// // I 线面平行性质 a a b a b // // α β αβ ? = ? ? ? ? ? ? I 面面平行性质1 αβ α β // // a a ? ? ? ? ? 面面平行性质 αγ βγ αβ // // // ? ? ? ? A b α a β a b α 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

线线⊥线面⊥面面⊥三垂线定理、逆定理 PA AO PO a a OA a PO a PO a AO ⊥ ? ⊥?⊥ ⊥?⊥ α α α ,为 在内射影 则 线面垂直判定1面面垂直判定 a b a b O l a l b l , , ? = ⊥⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? α α I a a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α β αβ 线面垂直定义 l a l a ⊥ ? ?⊥ ? ? ? α α 面面垂直性质，推论2 αβ αβ β α ⊥ = ?⊥ ?⊥ ? ? ? ? ? I b a a b a , αγ βγ αβ γ ⊥ ⊥ = ?⊥ ? ? ? ? ? I a a 面面垂直定义 αβαβ αβ I=-- ?⊥ ? ? ? l l ，且二面角 成直二面角 3. 平行与垂直关系的转化： 线线∥线面⊥面面∥ 线面垂直判定2面面平行判定2 面面平行性质3 a b a b // ⊥ ?⊥ ? ? ? α α a b a b ⊥ ⊥ ? ? ? ? α α // a a ⊥ ⊥ ? ? ? ? α β αβ // αβ α β // a a ⊥ ⊥ ? ? ? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： （三）空间中的角与距离 1. 三类角的定义： （1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

空间中点、直线、平面之间的位置关系知识点总结.doc

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （ 1）四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言： A l , B l ,且 A, B l。 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：①经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。符号语言： P,且 P I l , P l 。 公理 4 ：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言： a // l ,且 b // l a // b 。 （ 2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线 a,b ，经过空间任意一点O 作直线a // a, b // b，我们把a与b所成的角（或直角）叫异面直线 a,b 所成的夹角。（易知：夹角范围0 90 ） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 2. 位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （ 3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线在平面内（l）有无数个公共点 直线与平面的位置关系有三种：直线与平面相交（l I A）有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行（l / / ）没有公共点 （ 4）空间中平面与平面之间的位置关系

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示：

β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα

空间中直线与平面、平面与平面之间的关系

科目：数学 课题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面 之间的关系 课型新课 教学目标（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力. 教学过程教学内容备 注 一、自主学习 1.空间点与直线，点与平面分别有哪几种位置关系？空间两直线有哪几种位置关系？ 2.就空间点、线、面位置关系而言，还有哪几种类型有待分析？

二、质疑提问思考1:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？ 思考2:对于一条直线和一个平面，就其公共点个数来分类有哪几种可能？ 思考3:如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有几种位置关系？ 思考4:通过上面的观察和分析，直线与平面有三种位置关系，即直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.这些位置关系的基本特征是什么? （1）直线在平面内---有无数个公共点； （2）直线与平面相交---有且只有一个共点； （3）直线与平面平行---没有公共点. 思考5:下图表示直线与平面的三种位置，如何用符号

语言描述这三种位置关系？ 思考6:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 用符号语言怎样表述？ 思考7:过平面外一点可作多少条直线与这个平面平行？若直线l平行于平面α，则直线l与平面α内的直线的位置关系如何？ 思考1:拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种变化？ 思考2:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

思考3：由上面的观察和分析可知，两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.这两种位置关系的基本特征是什么？ （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 思考4:下图表示两平面之间的两种位置，如何用符号语言描述这两种位置关系？

点、直线、平面之间的位置关系知识点归纳

第二章点、直线、平面之间的位置关系 知识点总结 1、平面的性质 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 四个公理： 公理1 文字语言： 符号语言： 公理2： 文字语言： 符号语言： 公理3： 文字语言： 符号语言： 推论： （1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 （2）过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。 2、空间中直线与直线之间的位置关系 异面直线： 空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）： 相交直线：

平行直线： 异面直线： 公理4 ：（平行线的传递性） 文字语言： 符号语言： 等角定理： 异面直线所成的角： 3、空间中直线与平面与直线间的位置关系 （1）直线在平面内： （2）直线与平面相交： （3）直线与平面平行： 4、平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行： （2）两个平面相交： 二、直线、平面平行的判定的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定及其性质 （1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）： 符号语言： （2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）：

符号语言： 2、平面与平面平行的判定及其性质 （1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）: 符号语言： （2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）： 符号语言： 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线平面垂直的的判断及其性质 （1）直线与平面垂直的定义： （2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）： 符号语言： （3）直线与平面垂直的性质： 符号语言： （4）平面与直线所成角的角：

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

第 1 页 共 2 页 1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P 48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L

空间直线与平面

空间直线与平面

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一对一ｖip 辅导讲义 年 级： 高二 辅导科目： 数学 课 题 空间直线与平面（一) 教学目的 1.熟练掌握平面基本性质； 2.理解空间中的线线关系； 3.锻炼初步的空间想象能力,体会数学空间中的抽象美。 教学内容 【知识讲解】 （一)平面 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 注意：（１）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达.A ∈L,B ∈Ｌ，Ａ∈α,B ∈α?L ?α。 (2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。 （３)公理１说明平面具有无限延展性。 B A α 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 如图: l βα 注意: 1． “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的,“只有”说明直线是唯一的。 ２. 如果两个平面α和β有一条公共直线,就说平面α和β相交,交线是ａ，则可记作 α∩β＝a 3． 公理2可表示成如下形式:若A ∈α,A ∈β，则α∩β＝a ，且A ∈a 。 4. 两个平面如果有一个公共点,那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上,即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。 ５. 公理2是作出两个平面交线的依据。 6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下： ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图(1） ②再画出表示两个平面交线的线段，如图（2） ③过图(1)中线段的端点分别引线段，使它平行且等于(２)中表示交线的线段,如图（３)。 ④画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线,可以用虚线,也可以不画，如图（4)）

空间直线和平面 概念整理

空间直线和平面概念整理 1.空间直线、平面这一章节有哪几个章节组成？ （1）平面直线；（2）空间两直线；（3）直线与直线平行，平面与平面平行；（4）直线与平面相交，平面与平面相交 2.空间两直线位置关系有哪几种？ （1）相交；（2）平行；（3）异面 3.空间直线与平面的位置关系卫？ （1）直线在平面内；（2）直线与平面相交（包括垂直）；（3）直线与平面平行 4.空间两平面位置关系？ （1）平行；（2）相交（包括垂直） 5.平面的概念中有哪几个公理？ 公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面内有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共线。 公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面（也称确定一个平面）。 推论1：经过直线与直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 6.什么是等角定理？ 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，则这两组直线所交的锐角（或直角）相等。 7.异面直线如何定义？什么是异面直线所成角？什么是两条异面直线互相垂直？ （1）不同在任何一平面内的两条直线，叫做异面直线。 （2）经过空间任意一点，作两条异面直线的平行线，这两条平行直线所成的锐角（或直角）就称异面直线的所成角。 90，则称这两条异面直线互相垂直。 （3）若两条异面直线的所成角为 8.直线与平面平行的判定 （1）定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称直线与平面平行。 （2）判定：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线线平行，面面平行） 9.直线与平面平行的性质： 定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行，线线平行） 10.平面与平面平行的判定： （1）定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行。

空间的直线和平面单元知识小结

空间的直线和平面单元知识小结 一、基础知识 1、空间点线面的基本关系（点是元素，线、面是点的集合） 公理1： 公理2： 公理3： 推论（1） （2） （3） 公理4： 等角定理： 2、点线面的关系符号 （1）点A在直线m上点A不在直线m上 （2）直线在平面α上 （3）直线m与平面α相交于点P 平面α与平面β相交于直线a 3、空间线面之间所成的角 （1）异面直线所成的角：； 范围是。 （2）直线与直线所成的角：； 范围是。 （3）直线与平面所成的角：； 范围是。 （4）二面角的平面角：； 范围是。 4、空间的平行与垂直关系 直线与平面垂直的判定： 直线与平面平行的判定： 平面与平面平行的判定： 平面与平面垂直的判定： 5、异面直线的公垂线： 5、一些结论 （1）两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。 （2）垂直于同一平面的两直线平行。 （3）垂直于同一直线的两个平面平行。

（4）过直线外一点作已知直线的平行线有且仅有一条。（5）过直线外一点作直线的垂线有无数条。 （6）过一点作平面的垂线有且只有一条。 二练习题 1、在正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中：O为AC与BD的交点 （1）求直线AD 1 与BD所成的角； （2）直线A 1 O与平面ABCD所成的角 （3）直线A 1C与平面BC 1 D所成的角 （4）直线A 1O与C 1 D的距离 2、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， （1）四边形EFGH是什么图形？满足什么条件时会是矩形、菱形、正方形？ （2）若AB=BC=CD=DA=AC=BD,分别求异面直线AB与CD所成的角，异面直线AC与DF所成的角，直线AB与平面BCD所成的角，平面ABC与平面BCD所成的角。 3、己知正方形ABCD边长为a，PA⊥平面ABCD （1）求点P到BC的距离 （2）平面PBC与平面ABCD所成的角 （3）若PA=AB=a，AD=2a，求异面直线PC与BD所成的角 （4）若PA=AB=AD=a,M、N分别是AC、PB的中点，求异面直线MN与BC所成的角

《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底3 1 3台体的体积h S S S S V ?++=)3 1 下下上上（ 4球体的体积 334R V π= 第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结 1.内容归纳总结 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβαβ∈∈?=∈ 且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所 成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角 范围090θ<≤?） 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系 直线与平面的位 置 关 系 有 三 种 ： //l l A l ααα??? =?? ?? ?? 直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点 （4）空间中平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ??=? 两个平面平行（）没有公共点 两个平面相交（）有一条公共直线 2 22r rl S ππ+=