几种特殊三角形的判定方法

几种特殊三角形的判定方法

特殊平行四边形性质和判定归纳表

平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类 别 性质判定对称性 平行四边形①对边平行 ②对边相等 ③对角相等 ④对角线互相平分 (⑤邻角互补) ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 中 心 对 称 矩形①具有平行四边形的 一切性质 ②四个角都是直角 ③对角线相等 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 中轴 心对 对称 称 菱形①具有平行四边形的 一切性质 ②四条边都相等 ③对角线互相垂直 (平分每组对角) ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 (④对角线垂直且平分的四边形) 中轴 心对 对称 称 正方形①具有平行四边形、矩 形、菱形的一切性质 (②对角线与边的夹角 为450) ①有一个角是直角且有一组邻边 相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 （④对角线垂直且相等的平行四 边形） 中轴 心对 对称 称 四种特殊四边形的性质 边角对角线对称性 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等互相平分中心对称 矩形对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分 且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四条边相等 对角相等互相垂直平分（且 每条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四条边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，（每 条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 四种特殊四边形常用的判定方法： 平行 四边形 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形 ①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形 ③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形

322几种特殊的三角形.docx

322 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC屮，三角形的内心/、重心G、垂心H必然在一条直线上. 例 5 在口ABC 中，AB = AC = 3,BC = 2.求 (1)UABC的面积彳磁及AC边上的高BE； (2)DABC的内切圆的半径厂； (3)UABC的外接圆的半径 解(1)如图，作AD丄BC于D. ???AB = AC9:.D为BC的中点, ??? AD = JAB? - BD，= 2>/2, /. S ABC =丄x2x2V2 = 2V2. 2 又S ABC=丄AC ? BE,解得BE =也? 2 3 (2)如图，/为内心，贝I"到三边的距离均为厂, S QJABC = +S QJB C+S“AC 9 即2V2=-AB r + -BC r + -CA-r, 2 2 2 解得r =乜. 2 (3) -a ABC是等腰三角形， ???夕卜心O在AD上，连BO, 则RtDOBD屮，OD = AD-R, OB2 =BD2-^-OD\ :.R2 = (2>/2 —R)2 +1\ 解得R = 9A/2 图 3.2- 10 图 3.2- 11 图 3.2- 12

在直角三角形ABC中，DA为直角，垂心为直角顶点A,外心0为斜边BC的中点， 内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为h °（其中a",c分别为三角形的三边图3213 2 BQCAAB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2 + AB2= BC2. 例6 如图，在7ABC中，AB=AC , P为BC上任意一点?求证: AP2= AB2? PB2PC ? 证明：过4作AZ）A BC于D. 在RtVABD中,AD2= AB2? BD2?图 3.2-14 在RtNAPD中，AP2= AD2? DP2? \ AP2= AB—BD2 + DP2 = AB—(BD+ DP)(BD? DP). QAB= AC.AD^ BC,\ BD= DC. \ BD- DP= CD? DP= PC. \ AP2= AB2? PB2PC. 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形ABC和点P,设点P到三边AB, AC, BC 三角形ABC的高为/z, “若点P在一边BC上,此时包=0,可得结论：入+饥+饨=/1T

特殊三角形常见题型

八年级上册第二章 特殊三角形 一、将军饮马 例1 如图，在正方形ABCD 中，AB=9，点E 在CD 边上，且DE=2CE ，点P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、3√10 B 、10√3 C 、9 D 、9√2 【变式训练】 1、如图，在矩形ABCD 中，AD=4，∠DAC=30°，点P 、E 分别在AC 、AD 上，则PE+PD 的最小值是（ ） A 、2 B 、2√3 C 、4 D 、 8√3 3 - 2、如图，∠AOB=30°，P 是∠AOB 内一定点，PO=10，C ，D 分别是OA ，OB 上的动点，则△PCD 周长的最小值为 3、如图，∠AOB=30°，C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC=2，OD=6，点C ，D 分别是AO ，BO 上的动点，则CM+MN+DN 最小值为 4、如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，连结AC ，CE ． （1）已知AB=3，DE=2，BD=12，设CD=x ．用含x 的代数式表示AC+CE 的长； （2）请问点C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小并求出它的最小值； % （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x 2 +4+√(8?x )2+16 的最小值 二、等腰三角形中的分类讨论 例2（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的周长为 （2）已知等腰三角形的两边长分别为8cm 和10cm ，则它的腰长为 （3）已知等腰三角形的周长为28cm 和8cm ，则它的底边为 ！ 【变式训练】 1、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则周长为 2、已知等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则它的各个内角的度数为 3、已知等腰三角形的一个外角等于150°，则它的各个内角的度数为 E B C A D P 第2题 B O A P C D 第1题 B O A C N 第3题 D E C

(完整版)解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

正弦余弦定理判断三角形形状专题

例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 例3：在△ABC 中，已知 22 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5 4 cos = A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、 B 、 C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。 例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::1)a b c =，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。 3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形. 4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ ABC 为( ) A 、三边均不相等的三角形 B 、直角三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、等边三角形 5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c === 若,a b b c c a ?=?=? 判断ABC ?的形状。 6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形. 7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lgsin B =-B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：在ABC ?中，若 22 tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。

三角形是一种特殊的三角形

评《13.3.1等腰三角形》 9月29日七校联谊，我们听了侯老师做的示范课，使我受益匪浅。 本节课中，性质的引入体现了新课程的理念，学生合作学习，课堂上，学生充分猜想、验证，用实验方法得出各种不同的结论，借助小组合作学习的方式，使学生的思维充分展开，在课堂上通过讨论，点评了两种方法，其余给学生课后验证，拓展了课堂的空间。从“折叠等腰三角形”这个实践中，通过“小组内交流→小组间交流→小组内归纳”这个过程，总结出等腰三角形的各种性质（现象），学生学习的兴趣增强了，对知识的探究也深入了，印象也比较深刻，明显比教师讲解有更强的作用。另一方面也说明了教师有深厚的学科功底，对教材的理解非常深刻，是在“用课本教”而不是在“教课本”。 其次，本节课的容量非常大，教师对知识的使用和引申也非常熟练，在学生提出问题后能够即时实行解释。同时，对学生没想到的方法，也能实行补充。培养学生的发散性思维。 第三，老师对例题的变形处理，“特殊→一般”的数学思想，数学知识和生活实例的联系等方面的教学安排，值得借鉴。 教学方法设计为“合作探究型”，上好一节课改尝试课（可借鉴此课）。还应处理好以下几点： ⑴等腰三角形“三线合一”定理的强调，尤其是书写。因为它需要两个条件，推出两个结论，学生第一次碰到，比较困难。 ⑵增强证题前的分析，引导学生从已知条件出发，探究解题思路，此时可能有多种途径选择，最好结合所要求证的结论一起考虑，

按需择取。 ⑶增强学生的书写水平的培养。本节课学生书写板演基本没有，比较欠缺，可能学生能说不会写，或者写不好。 ⑷课后要做好总结，尤其是证线段相等或角相等的方法。明确给学生：证线段（角）相等，也可直接利用等腰三角形性质，不一定老是用全等，再去重复定理的证明过程。

三角形的形状的判定

三角形的形状的判定 浙江奉化江口中学（315504）毛显勇 在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。 1、复习三角形中有关知识： 1.1角的关系：A+B+C=ππ=?C -(A+B)、 2 22B A C +-=π 或A+B=π-C 、2 22C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===。 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=。 三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。 按边分：等腰Δ，等边Δ。 其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。 2、三角形形状的判定： 在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。 2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ? A=B 则三角形是等腰三角形； 2.2若2 22c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形； 22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形； 222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。 2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形； cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。 2.4若a ?b =0?a ⊥b ，则三角形是直角三角形。 3、举例应用：

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形 一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理： （1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质： （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 （3）夹在两条平行线间的平行线段相等。 （4）平行四边形的对角线互相平分。 （5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积： 面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。） 二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等。 （4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积： 矩形的面积=长×宽 三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。 （3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1）具有平行四边形的一切性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

判断三角形形状的常用方法

判断三角形形状的常用方法 判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。 一、配方法 例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足 a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则?ABC 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得 a b c a b b c c a 4442222220++---= 配方得： 12 022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，， 得a b c BC ==，?A 为等边三角形，故选D 。 例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）?ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c a b c 222325215++=?+..，则?ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对 解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得： 44138120222a b c ac bc ++--= 到此思路已经明朗，配方得 423022()()a c b c -+-= 所以a c -=0且230b c -= 得c a b a ==，32 所以?ABC 是等腰三角形，故选B 。 二、因式分解 例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则?ABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形

由平面向量的数量积判断三角形形状

由平面向量的数量积判断三角形形状 河北 张军红 由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。本文总结如下： 例1：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ?>，则△ABC 是什么三角形（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形 解：0AB BC ?>，即│AB │·│BC │cos(π－B)>0，∴cosB<0∴△ABC 是钝角三角形 例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解∵OA =(a,b)，AB =(b,－a),∴()0OA AB ab b a ?=+-=∴OA ⊥AB 又∵│AB │=22b a +，│OA │=22b a +，∴│AB │=│OA │所以△ABC 为等腰直角三角形 说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB 、BC 、AC 是否有一对垂直。 例3：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可化为()0CB OB OA OC OA -+-=即()0CB AB AC += 结合图可知平行四边形ABCD 为菱形, 所以△ABC 为等腰三角形 例4：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可变为()0OC OB OC OA BC -+=∴0OC CB OA BC += 即()00CB OC OA CB AC -=∴=∴CB AC ⊥∴△ABC 为直角三角形 说明：以上两例式子中都含与三角形无关的O ，应先通过向量知识使式子中不含有O ，再通过数量积求解。 例5：已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：(AB －2AC ) ⊥AB (AB －2AC ) ·AB =0即AB ·AB －2AC ·AB =0 AB AC +C B A

特殊三角形基本知识点整理

特殊三角形的定义、性质及判定 |

? 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 | 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ~ 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.

（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； > ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释： 已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 ￥

判定三角形形状的十种方法

判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则△ABC为等边三角形。 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形； 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形。 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形。 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。

8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中 的最大角), 则△ABC为钝角三角形。 9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如 tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如 cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质： 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一 个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三 角形为（） （A）锐角三角形；（B）钝角三角形； （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛) 解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾， ∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根， ∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边 的直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式

特殊三角形基本知识点

特殊三角形基本知识点整理

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特殊三角形的定义、性质及判定 三角形类型定义性质判定 等腰三角形有两条边相等的三角 形是等腰三角形，其 中相等的两条边分别 叫做腰，另一条边叫 做底边，两腰的夹角 叫顶角，腰和底边的 夹角为底角 1、等腰三角形是对称图形，顶 角平分线所在直线为它的 对称轴 2、等腰三角形两底角相等，即 在同一个等腰三角形中，等 边对等角 3、等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和高线互相 重合，简称等腰三角形的三 线合一 1、（定义法）有两 条边相等的三角形 是等腰三角形 2、如果一个三角形 有两个角相等，那 么这个三角形是等 腰三角形，即，在 同一个三角形中， 等角对等边 等边三角形三条边都相等的三角 形是等边三角形，它 是特殊的等腰三角 形，也叫正三角形 1、等边三角形的内角都相等， 且为60° 2、等边三角形是轴对称图形， 且有三条对称轴 3、等边三角形每条边上的中 线，高线和所对角的角平分 线三线合一，他们所在的直 线都是等边三角形的对称 轴 1、三条边都相等 的三角形是等 边三角形 2、三个内角都等 于60°的三角 形是等边三角 形 3、有一个角是 60°的等腰三 角形是等边三 角形 直角三角形有一个角是直角的三 角形是直角三角形， 即“R t△” 1、直角三角形的两锐角互余 2、直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 3、直角三角形中30°角所对 的直角边等于斜边的一半 4、直角三角形中两条直角边 的平方和等于斜边的平方 （勾股定理） 1、有一个角是直 角的三角形是 直角三角形 2、有两个角互余 的三角形是直 角三角形 3、如果一个三角 形中两条边的 平方和等于第 三条边的平 方，那么这个 三角形是直角 三角形（勾股 定理逆定理）

正余弦定理三角形形状判断

正余弦定理与三角形形状的判断 一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下几个: (1）在△AB Ｃ中,A + B ＋ C = π， 2 22C B A -=+π, () C B A sin sin =+，()C B A cos cos -=+， sin （A ＋B/2)=cos(C/2）,2 cot 2tan C B A =+ ． （2）正余弦定理及其变式: 如a = ２Ｒ s ｉｎA ，b 2 + ｃ2－a 2 ＝２b c cos Ａ ,这里， R 为三角形外接圆的半径. (限于篇幅,定理原文及其它相关变式请读者自己回忆并写出）． (3）射影定理：ａ = b ｃos C + c cos Ｂ.（用余弦定理很容易证得，请读者作为练习自行证之） 二、弄清题目类型 1.目标明确型 例１ 在△ABC 中,a 2+b 2＝c ２ +a ｂ,且ｓin A ｓｉｎＢ＝4 3 ,求证：△ＡBC 为等边三角形. 分析：由ａ2+b ２ =c 2＋ａｂ,知,用余弦定理可求出C 角, 证明：由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ． ∵a 2+b ２=c ２ +ab ， ∴ab －2ａb c ｏs Ｃ=0． ∴cos C = 2 1 ，∴C =６０° ∵ｓin A sin Ｂ=43，ｃｏs(A +B )＝cos(180°-C )＝co ｓ１2０°=-2 1 ， cos(A +Ｂ)=ｃos Ａｃｏs Ｂ－sin A si ｎB , ∴cos A cos B = 4 1． ∴c ｏｓ(A -B ）＝c ｏs Ａc ｏs B +ｓｉn A s ｉｎＢ=1． ∵-π

专训3 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用

专训3特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定． 矩形的综合性问题 a．矩形性质的应用 1．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF. 求证：四边形AECF是菱形． (第1题) b．矩形判定的应用 2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证： (1)四边形OCED是矩形； (2)OE＝B C. (第2题)

c．矩形性质和判定的应用 3．问题情境：如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM. 探究展示： (1)求证：AM＝AD＋M C. (2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图②，探究展示(1)(2)中的结论是否成立．请分别作出判断，不需要证明． (第3题) 菱形的综合性问题 a．菱形性质的应用 4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接E C. (1)求证：AE＝E C. (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由． (第4题)

b．菱形判定的应用 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(t>0)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. (1)求证：AE＝DF. (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． (第5题) c.菱形性质和判定的应用 6．【中考·江西】(1)如图①，在纸片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D 的形状为() A．平行四边形B．菱形 C．矩形D．正方形 (2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D. ①求证：四边形AFF′D是菱形； ②求四边形AFF′D的两条对角线的长． (第6题)

几种特殊的三角形

3.2.2 几种特殊的三角形（十二讲） 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上. 例5 在ABC 中，3, 2.AB AC BC ===求 （1）ABC 的面积ABC S 及AC 边上的高BE ； （2）ABC 的内切圆的半径r ； （3）ABC 的外接圆的半径R . 解 （1）如图，作AD BC ⊥于D . ,AB AC D =∴ 为BC 的中点， 2222, 1 2222 2. 2ABC AD AB BD S ∴=-=∴=??= 又1,2ABC S AC BE = ? 解得423 BE =. （2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ， 连,,IA IB IC ， ABC IAB IBC IAC S S S S =++ ， 即111 22222 AB r BC r CA r =?+?+?， 解得22 r = . （3）ABC 是等腰三角形， ∴外心O 在AD 上，连BO ， 则Rt OBD 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+ 222(22)1,R R ∴=-+解得92 .8 R = 在直角三角形ABC 中，A D为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为斜边BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2 b c a +-（其中,,a b c 分别为 三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC +=. 图3.2-10 图3.2-13 图3.2-11 图3.2-12

例6 如图，在ABC V 中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点.求证：22AP AB PB PC =- . 证明：过A 作AD BC ^于D . 在Rt ABD V 中，222AD AB BD =-. 在Rt APD V 中，222AP AD DP =-. 22222()().AP AB BD DP AB BD DP BD DP \=-+=-+- ,,AB AC AD BC BD DC =^\=Q . BD DP CD DP PC \-=-=. 22AP AB PB PC \=- . 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形 ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ， “若点P 在一边BC 上，此时30h =，可得结论：123h h h h ++=.” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P 在ABC V 内（如图b ），（2）点在ABC V 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点P 在ABC V 内时， 法一 如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ， 由题设知'AM PD PE =+， 而'AM AM PF =-， 故PD PE PF AM ++=，即123h h h h ++=. 法二 如图，连结， ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V Q ， 111 1 222 2 BC AM AB PD AC PE BC PF \ ??? ， 又AB BC AC ==， AM PD PE PF \=++，即123h h h h ++=. 图3.2-14 图3.2-15 图3.2-16 图3.2-17

特殊三角形知识点及例题

特殊三角形 一、知识结构 本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示： 等腰Rt 两直角三角形全等的判定 直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形 等腰三角形特殊三角形 二、重点回顾 1．等腰三角形的性质： 等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定： 有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。 3．等边三角形的性质： 等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定： 有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质： 直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。 30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：

特殊三角形基本知识点整理讲解学习

特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜 边上的中线。

特殊平行四边形的性质及判定

特殊平行四边形的性质及判定 【第一部分 矩形】 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是 （ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角互补 D 、对角线平分 2、直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是 （ ） A 、26 B 、13 C 、8.5 D 、6.5 3、矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5cm BC cm 12,=，则△ABO 的周长为等于 。 4、已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8cm ，则较大的边长为 。 5、如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠。使点B 恰好落在CD 边的中点E 处， 折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 。 6、如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ， 若23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为 ． （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 7、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ， 若对角线AC =6cm ， 则矩形的周长= ，面积= 。 8、已知：如图，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，则∠AEO= 。 9、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F 。 求证：BE=CF 。 10、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线 于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO=FO ； （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论． 11、如图，E 为□ABCD 外一点，且AE ⊥CE 于点E ，BE ⊥DE 于点E ， 求证：四边形ABCD 为矩形