浙江省杭州市2012届高三第二次教学质量检测
数学(理)试题
考生须知: 1.本卷满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,在答卷密封区内填写学校、班级和姓名。 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效。 4.考试结束,只需上交答题卷。 参考公式:
如果事件A 、B 互斥,那么 棱柱的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+
Sh V =
如果事件A 、B 相互独立,那么
其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ?=?
棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是 Sh V 3
1=
P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 次的概率 棱台的体积公式
k n k k n n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k = )(3
12211S S S S h V ++=
球的表面积公式 其中S 1,S 2分别表示棱台的上、下底面积,h 24R S π=
表示棱台的高
球的体积公式
33
4
R V π=球
其中R 表示球的半径
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项 是符合题目要求的. 1.若全集U={1, 2, 3, 4, 5},={4, 5},则集合P 可以是 A .{
}
*
4x N x ∈<
B .{}*6x N x ∈<
C .{}
*216x N x ∈≤
D .3{*|16}x N x ∈≤
2.已知复数z =i tan 1θ?-(i 是虚数单位),则“θπ=”是“z 为实数”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要件 3.用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数),现乙还有一
次不小于90分的成绩未记录,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
A .
25
B .
710
C .
45
D .
12
4.设l 是一条直线,α,β,γ是不同的平面,则在下列命题中,假命题...是 A .如果αβ⊥,那么α内一定存在直线平行于β B .如果α不垂直于β,那么α内一定不存在直线垂直于β C .如果αγ⊥,βγ
⊥,l αβ= ,那么l γ⊥
D .如果αβ⊥,l 与α,β都相交,那么l 与α,β5.已知函数3
21()12f x ax x x =+
=-在处取得极大值,记()g x =程序框图如图所示,若输出的结果S >2011
2012
的关于n 的判断条件是 A .2011?n ≤ B .2012?n ≤
C .2011?n >
D .2012?n >
6.设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg
12ax
f x x
+=-是奇函数 (,,2),b a b R a a ∈≠-且则的取值范围是
A .
B .
C .
D .
7.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ,,渐近线分别为12l l ,,点
P 在第一象限内且在1l 上,若21l PF ⊥,22//l PF ,则双曲线的离心率是
A B .2
C D 8.正项等比数列{}n a 中,存在两项,(,*)m n a a m n N ∈14,a =且7652.
a a a =+则
15
m n +的最小值是 A .
74
B .13
+
C .
256
D .
3
9.如图所示, A , B , C 是圆O 上的三点, CO 的延长线与线段BA 的延长线
(第5题)
交于圆O 外的点D ,若,则m n +的取值范围是
A .(0,1)
B .(1,)+∞
C .(,1)-∞-
D .(1,0)-
10.用
C (A )表示非空集合A 中的元素个数,定义
()(),()()
,
()(),()()
C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥?*=?-
22{|10,},{||1|,}{|1}A x x ax a R B x x bx b R S b A B =--=∈=++∈=*=设,
则C (S )等于 A .4 B .3 C .2 D .1
二、填空题:(本大题有7小题,每小题4分,共28
11.10
(x -
的展开式中,6x 的系数 是 (用数字作答)。
12.已知正三棱柱ABC - A'B'C' 的正视图和侧视图如 图所示.设△ABC ,△A'B'C' 的中心分别是O , O', 现将此三棱柱绕直线OO' 旋转, 在旋转过程中对应 的俯视图的面积为S , 则S 的最大值为 . 13.函数sin()cos()2
6
y x x π
π
=+
+
的单调区间是 .
14.设整数m 是从不等式2280x x --≤的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素,记随
机变量2m ξ=,则ξ的数学期望E ξ= .
15.已知动点P 在直线210x y +-=上,动点Q 在直线230x y ++=上,线段PQ 中点M
(00,x y )满足不等式00002,3
2x y y x ?
≤+???≤-+?
的取值范围是 . 16.数列21
111231{},2,()(*),555
,5
n n n n n n n a a a a n N S a a a a -+=+=∈=++++ 中则
65n n n
S a n
-= .
17.设定义域为(0,+∞)的单调函数
()f x ,对任意的
(第11题)
正视图 侧视图
20
(0,),[()log ] 6.x f f x x ∈+∞-=都有若x 是方程
0()()4(,1)(*)f x f x a a a N '-=∈+∈的一个解,且x ,则a= 。
三、解答题:(本大题有5小题,共72分) 18.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A , B , C 所对的边分别为a ,b ,c ,设平面向量=m (a ,
1
2
),=n (cos C ,2c b -),且m ⊥n . (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若1a =,求△ABC 的周长l 的取值范围.
19.(本小题满分14分)设数列{}n a 与数列{}n b 满足
11121111
1,
(2*)n n n b a b n n N a a a a -===+++≥∈ 且 (1)求证:
11
1(2);n n
n n b a n b a +++=≥ (2)设1212111111
(1)(1)(1)(+)(*)n n
n N b b b a a a λ+
++=++∈ ,求实数λ的值。
20.(本小题满分15分)已知四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,
∠ADC=90°,AD//BC ,AB ⊥AC ,AB=AC=2,G 为△PAC 的重点,E 为PB 的中点,点F 在BC 上,且CF=2FB 。 (1)求证:FG ⊥AC ; (2)当二面角P —CD —A 的正切值为多少时,FG ⊥平面AEC ;并求此时直线FG 与平面
PBC 所成角的正弦值。
22.(本小题满分15分)设函数()ln f x x =,2
1()2
g x x =.
(Ⅰ)设函()()(),(0,2),F x f x ag x x =-∈若设()F x 不存在极值,求实数a 的取值范围;
(Ⅱ)设函数2(1)[()()]()()
x f x g x G x g x -+=,如果对于任意实数(1,]x t ∈,都有不等
式()()()()tG x xG t G x G t -≤-成立,求实数t 的最大值.