状态空间分析与综合

·258· 第9章 线性系统的状态空间分析与综合

重点与难点

一、基本概念

1．线性系统的状态空间描述

（1）状态空间概念

状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。

状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。

状态向量 以状态变量为元素构成的向量。

状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。

状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。

输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。

状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：

???+=+=Du

Cx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。

（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。

根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。

（4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At

e ）及其性质：

·259·

(9.8)

i ． I =)0(φ

ii ．A t t A t )()()(φφφ

== iii.

)()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv.

)()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ=

vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+=

vii. )( )exp()exp(11非奇异P P At P APt P --=

求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：

拉氏变换法

=)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）

级数展开法

++++

+=k k At t A k t A At I e !

12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）

非齐次状态方程式（9.1）求解

?-+=t

Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现

传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系

D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)

传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。

传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。

（6）线性定常连续系统的离散化及其求解

对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为

???+=+=+ )()()( )()()()()1(k D k Cx k y k u T G k x T k x φ

·260·

其中 T t t T ==)()(φφ

?=T

B T G 0d )()(ττφ 离散状态方程式（9.1）的解为

∑-=--+=1

01)()()()0()()(k i i k k

i u T G T x T k x φφ (9.9) 2. 线性系统的可控性与可观测性

（1）系统的（状态）可控性。设系统状态方程为Bu Ax x

+= ，若在有限时间间隔],[0f t t t ∈内存在无约束的分段连续控制函数)(t u ，能使系统从任意初始状态)(0t x 转移到任意的终止状态)(f t x ，则称系统是状态完全可控的，简称可控。

线性定常连续系统可控性常用判据：

1） rank n B A B A AB B n =-] [12 (9.10)

2）当A 为对角矩阵且特征根互异时，输入矩阵B 中无全零行（当矩阵A 有相同特征根时不适用）。

当A 为约当矩阵且相同特征根分布在一个约当块内时，输入矩阵中与约当块最后一行对应的行中不全为零，且输入矩阵中与相异特征根对应的行不全为零（当相同特征根分布在两个或两个以上约当块时不适用）。

3）B A sI 1)(--的行向量线性无关。

4）单输入系统},{B A 为可控标准形。

5）单输入单输出系统，当由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消时，系统可控、可观测（对多输入多输出系统不适用）。

连续系统状态方程离散化后的可控性：连续系统不可控，离散化的系统一定不可控；连续系统可控，离散化后的系统不一定可控（与采样周期的选择有关）。

（2）系统输出可控性。设系统状态空间表达式为式（9.1）,若在有限时间间隔],[0f t t t ∈内，存在无约束的分段连续控制函数)(t u ，能使系统从任意初始输出)(0t y 转移到最终内测量到的输出)(f t y ，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。

输出可控性判据为

rank )(]D C CAB [1阵的行数C q B A CB n =-

状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，其间没有必然联系。

单输入单输出系统，若输出不可控，则系统或不可控或不可观测。

（3）系统状态可观测性。已知输出)(t u 及有限时间间隔],[0f t t t ∈内测量到的输出)(t y ，若能唯一确定初始状态)(0t x ，则称系统是完全可观测的，简称可观测。

常用可观测性判据：

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1） rank n C A C A C T n T T T T =-])( [1 (9.11)

2）当A 为对角矩阵且有相异特征值时，输出矩阵无全零列（A 阵有相同特征值时不适用）。

当A 为约当阵且相同特征值分布在一个约当块时，输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不全为零，输出矩阵中与相异特征值对应的列不全为零（相同特征值分布在两个或更多个约当块时不适用）。

3）1)(--A sI C 的列向量线性无关。

4）单输出系统},{C A 为可观测标准形。

连续系统离散化后的可观测性：连续系统不可观测，离散化后一定不可观测；连续系统可观测，离散化后不一定可观测（与采样周期的选择有关）。

对偶原理：线性系统},,{1C B A S 与},,{2T

T T B C A S 互为对偶系统。若系统1S 可控，则2S 可观测；若系统1S 可观测，则2S 可控。

（4）线性定常系统的规范分解。从可控性、可观测性出发，状态变量可分解为可控可观测co x 、可控不可观测o c x 、不可控可观测o c x 和不可控不可观测o c x 四类。以此对应将状态空间划分为四个子空间，系统也对应分解为四个子系统，这称为系统的规范分解。研究规范分解能更明显地提示系统结构特性和传递特性。

3. 线性定常系统的状态反馈与状态观测器

（1）状态反馈与极点配置。用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可控。

状态反馈不改变系统的零点，只改变系统的极点。

在引入状态反馈后，系统可控性不变，但其可观测性不一定与原系统一致。单输入无零点系统在引入状态反馈后不会出现零极点对消，故其可观测性与原系统保持一致。

（2）输出反馈（到状态微分处）与极点配置。用输出反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统可观测。

输出反馈不改变系统的零点。

在引入输出反馈后不改变系统的可观测性，但其可控性不一定与原系统保持一致。

（3）输出到输入参考点的常值增益反馈可以配置的闭环极点数为}1,min{-+q p n ，式中C q B p rank ,rank

==，故一般情况下不能像输出到状态微分处反馈那样任意配置系统闭环极点。

（4）状态观测器及其设计。若被控系统},,{C B A 可观测，则其状态可用形如

Hy Bu x HC A x

++-=?)(? (9.12) 的全维状态观测器给出估值。矩阵H 按任意配置极点的需要来选择，以决定状态误差衰减的速率。

·262· 分离定理：若被控系统可控可观测，当用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即矩阵K 与H 的设计可分别独立进行。

4. 李雅普诺夫稳定性分析

（1）李雅普诺夫意义下的稳定性：

平衡状态：在无外部激励的条件下，系统能维持在某个状态而不变化，即0

==e x x x

则称e x 为一个平衡状态。 零状态是线性系统的平衡状态，且当系统矩阵非奇异时，零状态是唯一的平衡状态。 李雅普诺夫稳定性：若要求0||)(||0>≤-εe x t x ，存在0),(0>t εδ，只要),(||)(||00t t x t x e δ<-，上述条件更可满足，则称系统在e x 处稳定。

（2）李雅普诺夫第二法（直接法）：

标量函数)(x V （如二次型函数）的定号性：正定、正半定、负定、负半定、不定。

李雅普诺夫稳定性定理：设系统状态方程为),(t x f x

= ，其平衡状态满足0),0(=t f ，并设在原点邻域存在),(t x V 对x 的连续一阶偏导数，则有

定理1：若),(t x V 正定，),(t x V

负定，则原点是渐近稳定的。 定理2：若),(t x V 正定，),(t x V 负半定，]),,;([0

0t t x t x V 在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。

定理3：若),(t x V 正定，),(t x V 负半定，]),,;([0

0t t x t x V 在非零状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。

定理4：若),(t x V 正定，),(t x V

正定，则原点是不稳定的。 当平衡状态不在原点时，可通过坐标变换将其置于原点上，坐标变换不改变系统的固有性质。

（3）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析。设系统状态方程为A Ax x

,= 为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。取二次型函数)(x V 作为可能的李雅普诺夫函数，即

Px x x V T =)(

则 x AP P A x Qx x x V

T T T )()(+=-= 系统渐近稳定的充要条件是：给定一正定实对称矩阵Q ，有唯一的正定实对称矩阵P ，Q AP P A T -=+成立。Px x T 是系统的一个李雅普诺夫函数。

线性定常离散系统)()1(k x k x φ=+，零平衡状态0=e x 渐近稳定的充要条件是：任意给定一个正定实对称矩阵Q ，存在一个正定实对称矩阵P ，满足李雅普诺夫方程。

Q P P T -=-φφ

纯量函数)()()]([k Px k x k x V T

=是该离散系统的一个李雅普诺夫函数。如果沿系

·263·

统任一状态轨迹运动（0)(=k x 除外），其)()()]([k Qx k x k x V T -=?≠0，则Q 可取正半定矩阵。

二、基本要求

1．线性系统的状态空间描述

（1）正确理解状态空间有关概念。

（2）熟练掌握建立元件、系统状态空间表达式的方法。

（3）掌握状态空间表达式向可控、可观测标准形、对角形、约当形等规范形式变换的基本方法。

（4）熟练掌握系统实现的常用方法。

（5）熟练掌握依状态空间表达式},,,{D C B A 求系统传递矩阵)(s G 的方法。

（6）熟练掌握线性系统状态方程求解方法。特别要掌握状态转移矩阵)(t φ的性质及求取方法。

2．线性系统的可控性和可观测性

（1）正确理解可控性、可观测性的基本概念。

（2）熟练掌握判定系统可控、可观测性的充要条件及有关方法。

（3）理解可控性、可观测性与系统传递函数的关系。

（4）理解线性系统规范分解的作用和意义，了解规范分解的一般方法。

3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器

（1）正确理解利用状态反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握按系统指标要求确定状态反馈矩阵K 的方法。

（2）正确理解利用输出反馈任意配置系统极点的有关概念，熟练掌握指标要求确定输出反馈矩阵H 的方法。

（3）正确理解分离定理，熟练掌握依状态观测器要求设计观测器的方法，并会用之构成状态反馈控制系统。

4．李雅普诺夫稳定性分析

（1）正确理解李雅普诺夫稳定性的有关概念。

（2）初步掌握寻求系统李雅普诺夫函数判定系统稳定性的方法。

三、重点与难点

1. 重点

（1）状态转移矩阵的定义；矩阵指数的求取；状态方程的解。

（2）系统能控性和能观测性定义的理解；系统能控性和能观测性的判别。

（3）状态反馈的设计。

2. 难点

（1）矩阵的求逆、矩阵的秩、矩阵的相乘等矩阵运算。

（2）矩阵指数的计算，状态方程的求解。

（3）系统能控性、能观测性问题以及稳定性概念的理解。·264·

状态空间分析法的应用与特点

状态空间分析法的主要特点及其应用 课程：现代控制工程 教师： 学生： 班级：机电研班 学号：

状态空间分析法的主要特点及其应用 机电研班 摘要：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时域分析方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。 本文通过分析比较经典控制理论在多输入多输出方面存在的不足，阐述了现代控制理论中的一种方法——状态空间分析法。本文以线性系统的状态空间表达式为基础对状态空间分析法的特点和应用方面作了一些阐述和论证，并结合现实生活中的一些实际工程问题的分析，论证了此种方法的实用性和先进性。 关键词：现代控制；状态空间分析法；汽轮机；调节系统；动态分析 1引言 经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入——单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。 现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入——多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统；另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识，自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。已能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

自动控制原理 第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答

第八章 线性系统的状态空间分析与综合 习题及解答 8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a a a a a E dt di L i R U ++=+ dt d K E m b b θ= a m m i C M = dt d f dt d J M m m m m m θθ+=2 2 ) ()([)()(2m b m a a m m a m a m a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ ⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m y θ=,试建立其动态方程。 解： （1）由题意可知： ??? ????=======123121x y x x x x x m m m m θθθθ ， 由已知 ???????+===++=m m m m m a m m m b b a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ 可推导出 ????? ????=++-+-===1 233 3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x a m a m m a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下

=??????????321x x x ??? ?? ? ? ?????? ?+- +- m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01 00010??????????321x x x +??????? ? ????? ???m a m J L C 00 a U y =[]001???? ??????321x x x （2）由题意可知：,1a i x =m m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ???????? ???==-=-====+--=+--==2 3133 231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a a b a a a a m a b a a a a θθθθθ 可列动态方程如下 []?? ?? ??????=321010x x x y 由 ?????===m m m x x x θθθ 321和 ??? ??===m m a x x i x θθ 321 得 ??? ? ????? -=-======3 133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ 由上式可得变换矩阵为 ?????? ? ??????? -=m m m m J f J C T 0100 010 8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++ 。式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得： 10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a C f x x m m J J m m ?? ??--???? ?????? ??????????=+??????????????????????- ????????

7状态空间设计法极点配置观测器解析

第7章线性定常离散时间状态空间设计法 7.1引言 7.2状态反馈配置极点 7.3状态估值和状态观测器 7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点 7.5扰动调节 7.6无差调节

7.1 引言 一个被控对象： (1)()()()() ():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n +=+?? =?????? 7.1 当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声 ● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。 给d L (k )扰动 图7.1 控制系统示意图 根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。 伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。 7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点 工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈 ()()()u k v k Lx k =+ 7.2 如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得 (1)()()()() ()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+?? =??=+? 7.3 整理得 ()(1)()() ()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++?? =? 7.4 (k ) v (k ) 图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点 闭环系统的特征方程为 []det ()0zI F GL -+= 7.5 问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有 []1det ()()0n i i zI F GL z λ=-+=-=∏ 7.6 定理：状态反馈配置极点

ARCGIS10.0 空间分析方法与GIS典型应用例证

一、实验目的 1、掌握ArcGIS缓冲区分析、叠置分析、网络分析方法。 2、熟悉ArcGIS的空间统计、栅格计算方法。 3、综合利用矢量数据空间分析中的缓冲区分析和叠置分析解决实际问题。 4、学会用ArcGIS9 进行各种类型的最短路径分析，了解内在的运算机理。 5、熟练掌握利用ArcGIS上述空间分析功能分析和结果类似学校选址的实际应用问题的基本流程和操作过程。 二、主要实验器材（软硬件、实验数据等） 计算机硬件：lenovoideapadY460N 计算机软件：ArcGIS10.0软件 实验数据：《ArcGIS地理信息系统空间分析实验教程》随书光盘的第七章、第八章等 三、实验内容与要求 1、空间缓冲区分析。 （1）为点状、线状、面状要素建立缓冲区。 1)打开菜单“自定义”下的“自定义模式”，在对话框中选择“命令”，在“类别” 中选择“工具”，在右边的框中选择“缓冲向导”（如图 1 所示），拖动其放置 到工具栏上的空处。 图1提出“缓冲向导” 2)利用选择工具选择要进行分析的点状要素，然后点击，在“缓冲向导” 对话框设置缓冲区信息，如图2及图3所示。

图2 线状缓冲区信息设置1 图3线状缓冲区信息设置2 3)利用选择工具选择要进行分析的线状要素，然后点击，在“缓冲向导” 对话框设置缓冲区信息。 4)利用选择工具选择要进行分析的面状要素，然后点击，在“缓冲向导” 对话框设置缓冲区信息，如图4所示。 图4 面状缓冲区信息设置

2、学校选址。 要求： (1) 新学校选址需注意如下几点： 1）新学校应位于地势较平坦处； 2）新学校的建立应结合现有土地利用类型综合考虑，选择成本不高的区域； 3）新学校应该与现有娱乐设施相配套，学校距离这些设施愈近愈好； 4）新学校应避开现有学校，合理分布。 (2) 各数据层权重比为：距离娱乐设施占0.5，距离学校占0.25，土地利用类型和地势 位置因素各占0.125。 (3) 实现过程运用ArcGIS的扩展模块（Extension）中的空间分析（Spatial Analyst）部 分功能，具体包括：坡度计算、直线距离制图功能、重分类及栅格计算器等功能完 成。 (4) 最后必须给出适合新建学校的适宜地区图，并对其简要进行分析。 具体操作： （1）打开加载地图文档对话框，选择E:\Chp8\Ex1\school.mxd。 （2）从DEM 数据提取坡度数据集： 打开工具箱→“Spatial Analyst 工具”→“表面分析”→“坡度”工具；在打开对话框中设置，如图5所示；生成坡度图，如图6所示。 图5 “坡度”对话框设置 图6 坡度图

线性系统状态空间分析报告与运动解

【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】 1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成 2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】 1、MATLAB/Simulink 数值分析软件 2、计算机一台 【实验原理】 1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig （A ） Cv=eig(A) 说明：V 特征向量，J 是Jordan 型，cv 是特征值列向量 2、求运动的方法 （1）利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统 采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。 （2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有： 假设初始时刻为零，LTI 系统的解析解为dt Bu e e x e t x t At At At ??+=0 )()0()(τ。若u （t ）是单 位阶跃输入，则上述解可写成dtBu e e x e t x t At At At ? ?+=0 )()0()(τ。进一步简化为： Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+= 对离散线性定常系统有： ∑---+ =1 1 )()0()(k i k k i Hu G x G k x

（3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统 采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法，典型的是Runge-Ktuta 算法，其通常使用如下的函数格式： [t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。 b.参数options 为积分的误差设置，取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间围；x0是初值是初值向量；[t,x]是解。 （4）利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step （）/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应： 当系统G 是连续的情况下： 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间围和周期； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间围和周期； 当系统G 是离散的情况下: 调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算； 调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间围和周期一致。 另外lsim()函数调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial （）,格式：[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应 使用simulink 求取线性或非线性系统的响应，调用格式如下： [t,x,y]=sim(‘XX.mdl ’,ti:Ts:tf,options,u) 【实验容】 已知线性系统：]) (201)() (2 10)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----? 已知线性系统 1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。

状态空间法教案

一、问题引入 结合一些典型问题（分油问题）提出问题： 我们是怎样解决这些问题的？在人工智能领域又可以通过怎样的方法去解决呢？（状态空间法） 2、引导学生思考问题，并得出结论。 二、讲授新课 （一）基础知识部分 1、什么是状态空间法？ 许多问题求解方法是采用试探搜索方法的。也就是说，这些方法是通过在某个可能的解空间内寻找一个解来求解问题的。这种基于解答空间的问题表示和求解方法就是状态空间法，它是以状态和算符(operator)为基础来表示和求解问题的。 2、状态空间法三要点 1) 状态（state）：表示问题解法中每一步问题状况的数据结构； 2) 算符（operator）：把问题从一种状态变换为另一种状态的手段； 3) 状态空间方法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。

由上可知，对一个问题的状态描述，必须确定3件事： 1) 该状态描述方式，特别是初始状态描述； 2) 操作符集合及其对状态描述的作用； 3) 目标状态描述的特性。 问题的状态空间可用一个三元序组来表示： S：问题的全部初始状态的集合 F：操作的集合 G：目标状态的集合 4、用状态空间表示问题的步骤： 1）定义状态的描述形式 2）用所定义的状态描述形式把问题所有可能的状态都表示出来，并确定初始状态和目标状态的集合描述 3）定义一组算符，使得利用这些算符可以把问题由一个状态转为另一个状态。 4）利用状态空间图表示求解过程。 （二）实践应用部分

【分油问题】有A、B、C三个不带刻度的瓶子，分别能装8kg, 5kg和3kg油。如果A瓶装满油，B和C是空瓶，怎样操作三个瓶，使A中的油平分两份？(假设分油过程中不耗油) 解：第一步：定义问题状态的描述形式： 设Sk=(b,c)表示B瓶和C瓶中的油量的状态。 其中： b表示B瓶中的油量。 c表示C瓶中的油量。 初始状态集：S={(0,0)} 目标状态集：G={(4,0)} 第二步：定义操作符： 操作：把瓶子倒满油，或把瓶子的油倒空。 f1：从A瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f2：从C瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f3：从A瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。 f4：从B瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。

ARCGIS空间分析操作步骤

ARCGIS空间分析基本操作 一、实验目的 1. 了解基于矢量数据和栅格数据基本空间分析的原理和操作。 2. 掌握矢量数据与栅格数据间的相互转换、栅格重分类(Raster Reclassify)、栅格计算－查询符合条件的栅格(Raster Calculator)、面积制表（Tabulate Area）、分区统计(Zonal Statistic)、缓冲区分析(Buffer) 、采样数据的空间内插(Interpolate)、栅格单元统计（Cell Statistic）、邻域统计（Neighborhood）等空间分析基本操作和用途。 3. 为选择合适的空间分析工具求解复杂的实际问题打下基础。 二、实验准备 预备知识： 空间数据及其表达 空间数据（也称地理数据）是地理信息系统的一个主要组成部分。空间数据是指以地球表面空间位置为参照的自然、社会和人文经济景观数据，可以是图形、图像、文字、表格和数字等。它是GIS所表达的现实世界经过模型抽象后的内容，一般通过扫描仪、键盘、光盘或其它通讯系统输入GIS。 在某一尺度下，可以用点、线、面、体来表示各类地理空间要素。 有两种基本方法来表示空间数据：一是栅格表达; 一是矢量表达。两种数据格式间可以进行转换。

空间分析 空间分析是基于地理对象的位置和形态的空间数据的分析技术，其目的在于提取空间信息或者从现有的数据派生出新的数据，是将空间数据转变为信息的过程。 空间分析是地理信息系统的主要特征。空间分析能力（特别是对空间隐含信息的提取和传输能力）是地理信息系统区别与一般信息系统的主要方面，也是评价一个地理信息系统的主要指标。 空间分析赖以进行的基础是地理空间数据库。 空间分析运用的手段包括各种几何的逻辑运算、数理统计分析，代数运算等数学手段。 空间分析可以基于矢量数据或栅格数据进行，具体是情况要根据实际需要确定。 空间分析步骤 根据要进行的空间分析类型的不同，空间分析的步骤会有所不同。通常，所有的空间分析都涉及以下的基本步骤，具体在某个分析中，可以作相应的变化。 空间分析的基本步骤: a)确定问题并建立分析的目标和要满足的条件 b)针对空间问题选择合适的分析工具 c)准备空间操作中要用到的数据。 d)定制一个分析计划然后执行分析操作。 e)显示并评价分析结果

状态空间分析法的特点及其应用

状态空间法分析及其应用的特点 摘要 基于为寻求便于分析系统的性能的相应状态变量以及探究状态空间变量线性变换对系统性能的影响，来阐述状态空间分析法的特点。通过应用状态空间法到绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构进行数值模拟分析中来进一步阐述其特点，将结构控制理论中的结构状态空间法应用到该复合支座隔震结构的数值模拟分析中。建立了普通框架、安装叠层橡胶支座和安装绞线一叠层橡胶复合支座框架的结构状态方程，应用MATLAB/SIMULINK工具箱建立结构仿真模型，得出不同条件下框架结构的时程反应曲线。通过对比分析可以看出绞线一叠层橡胶复合支座能很好地改变结构的隔震效果，应用状态空间法进行绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构的数值模拟分析简单准确。 关键词：系统、传递函数、线性变换、状态空间变量

一、引言 状态空间分析从实质上说并不是什么新颖的东西，其关键思想起源予19世纪到拉格朗日、哈密顿等人在研究经典力学时提出的广义坐标与变分法。当然，由高斯等人奠定的古典概率、估计理论以及线性代数等也具有同样的重要性。上世纪40年代以来，布利斯、庞德里亚金和别尔曼关于极大值原理，卡尔曼、布西与巴丁等人提出的卡尔曼滤波理论，以及许许多多的学者完成的并不具有里程碑意义的研究成果，积累起来却对算法及分析结果产生了决定性意义的贡献。这些便是状态空间方法发展的历史概况。状态空间分析是对线性代数、微分方程、数值方法、变分法、随机过程以及控制理论等应用数学各学科的综台。对动态系统的性能分析，特别是对扰动的响应、稳定性的特性、估计与误差分析以及对控制律的设计及性能评估，这些便构成状态空间分析的内容。这主要表现在利用向量、矩阵等一整套数学符合，把大量资料加以整理与综合，形成了观念上统一的体系——60年代中期之后出现了现代控制理论。 状态空间分析随着动力学与控制问题维数的增加(其中包括坐标、敏感器、执行机构以及其它装置的数量)而越发显得重要。另一方面亦由于计算机软件的不断完善，特别在可靠性及用户接口方面的改善与进展，使得计算工作比以前任何时候都易于进行，使状态空间分析越发显得有生命力。它具有的特性使得在设计控制系统时，不在只局限于输入量、输出量和误差量，为提高系统性能提供了有力的工具，加之可以利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。

状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：

i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述

状态空间分解法计算公式分析

同批工件间同时到达的耦合关系？ 工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2; 基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二： 两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四： 实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。 平均在制品数量： ()()()() ()121112223331122334444444441112123 ,,,01 01 11 11C 4,,201 1 WIP=; N N C S w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w P w P N +======+===?+?+?+?+?∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑ 第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数 （N4+1） 状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。实际上概率路径之和一定=1 1 i b =-0 i b =1 i b =2 i b = B2 B4 节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程 右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态

GIS空间分析方法

地理信息系统(GIS)具有很强的空间信息分析功能，这是区别于计算机地图制图系统的显著特征之一。利用空间信息分析技术，通过对原始数据模型的观察和实验，用户可以获得新的经验和知识，并以此作为空间行为的决策依据。 空间信息分析的内涵极为丰富。作为GIS的核心部分之一，空间信息分析在地理数据的应用中发挥着举足轻重的作用。 叠置分析(Overlay Analysis) 覆盖叠置分析是将两层或多层地图要素进行叠加产生一个新要素层的操作，其结果将原来要素分割生成新的要素，新要素综合了原来两层或多层要素所具有的属性。也就是说，覆盖叠置分析不仅生成了新的空间关系，还将输入数据层的属性联系起来产生了新的属性关系。覆盖叠置分析是对新要素的属性按一定的数学模型进行计算分析，进而产生用户需要的结果或回答用户提出的问题。 1)多边形叠置 这个过程是将两层中的多边形要素叠加，产生输出层中的新多边形要素，同时它们的属性也将联系起来，以满足建立分析模型的需要。一般GIS软件都提供了三种多边形叠置： (1)多边形之和(UNION)：输出保留了两个输入的所有多边形。 (2)多边形之积(INTERSECT)：输出保留了两个输入的共同覆盖区域。 (3)多边形叠合(IDENTITY)：以一个输入的边界为准，而将另一个多边形与之相匹配，输出内容是第一个多边形区域内二个输入层所有多边形。 多边形叠置是个非常有用的分析功能，例如，人口普查区和校区图叠加，结果表示了每一学校及其对应的普查区，由此就可以查到作为校区新属性的重叠普查区的人口数。 2)点与多边形叠加 点与多边形叠加，实质是计算包含关系。叠加的结果是为每点产生一个新的属性。例如，井位与规划区叠加，可找到包含每个井的区域。 3)线与多边形叠加 将多边形要素层叠加到一个弧段层上，以确定每条弧段(全部或部分)落在哪个多边形内。 网络分析(Network Analysis) 对地理网络(如交通网络)、城市基础设施网络(如各种网线、电力线、电话线、供排水管线等)进行地理分析和模型化,是地理信息系统中网络分析功能的主要目的。网络分析是运筹学模型中的一个基本模型，它的根本目的是研究、筹划一项网络工程如何按排，并使其运行效果最好,如一定资源的最佳分配，从一地到另一地的运输费用最低等。其基本思想则在于人类

第八章控制系统的状态空间分析与综合

第8章控制系统的状态空间分析与综合 第1~7章涉及的内容属于经典控制理论的范畴，系统的数学模型是线性定常微分方程和传递函数，主要的分析与综合方法是时域法、根轨迹法和频域法。经典控制理论通常用于单输入－单输出线性定常系统，其缺点是只能反映输入－输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构和运行状态，不能有效处理多输入－多输出系统、非线性系统、时变系统等复杂系统的控制问题。 随着科学技术的发展，对控制系统速度、精度、适应能力的要求越来越高，经典控制理论已不能满足要求。1960年前后，在航天技术和计算机技术的推动下，现代控制理论开始发展，一个重要的标志就是美国学者卡尔曼引入了状态空间的概念。它是以系统内部状态为基础进行分析与综合的控制理论，两个重要的内容如下。 （1）最优控制：在给定的限制条件和评价函数下，寻求使系统性能指标最优的控制规律。 （2）最优估计与滤波：在有随机干扰的情况下，根据测量数据对系统的状态进行最优估计。 本章讨论控制系统的状态空间分析与综合，它是现代控制理论的基础。 8.1 控制系统的状态空间描述 8.1.1 系统数学描述的两种基本方法 图8-1 典型控制系统方块图 典型控制系统如图8-1所示，由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。被控过程 327

328 （见图8-2）具有若干输入端和输出端。数学描述通常有两种基本方法：一种是输入、输出描述（外部描述），它将系统看成为“黑箱”，只是反映输入与输出间的关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量，如传递函数；另一种是状态空间描述（内部描述），它是基于系统内部结构的一种数学模型，由两个方程组成。一个反映系统内部变量x 和输入变量u 间的关系，具有一阶微分方程组或一阶差分方程组的形式；另一个是表征系统输出向量y 与内部变量及输入变量间的关系，具有代数方程的形式。外部描述虽能反映系统的外部特性，却不能反映系统内部的结构与运行过程，内部结构不同的两个系统也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；内部描述则能全面完整地反映出系统的动力学特征。 8.1.2 状态空间描述常用的基本概念 1.输入和输出 由外部施加到系统上的激励称为输入，若输入是按需要人为施加的，又称为控制；系统的被控量或从外部测量到的系统信息称为输出，若输出是由传感器测量得到的，又称为观测。 2.状态、状态变量和状态向量 能完整描述和惟一确定系统时域行为或运行过程的一组独立（数目最小）的变量称为系统的状态，其中的各个变量称为状态变量。当状态表示成以各状态变量为分量组成的向量时，称为状态向量。系统的状态)(t x 由0t t =时的初始状态x (0t ) 及0t t ≥的输入)(t u 惟一确定。 对n 阶微分方程描述的系统，当n 个初始条件)(,),(),(0)1(00t x t x t x n -Λ&及0t t ≥的输入)(t u 给定时，可惟一确定方程的解，故)1(,,,-n x x x Λ&这n 个独立变量可选作状态变量。状态对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。n 阶系统状态变量所含独立变量的个数为n ，当变量个数小于n 时，便不能完全确定系统的状态，而当变量个数大于n 时，则存在多余的变量，这些多余的变量就不是独立变量。判断变量是否独立的基本方法是看它们之间是否存在代数约束。 状态变量的选取并不惟一，一个系统通常有多种不同的选取方法。但应尽量选取能测

倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。 关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真 引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器 1．数学模型的建立 倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。 1.1微分方程的数学模型 在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：

图1：直线一级倒立摆模型 设系统的相关参数定义如下： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆质量 F：加在小车上的力 x：小车位置 Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下） 如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

空间分析复习重点

空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。 生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布 2）均匀分布：个体间保持一定的距离，每一个点尽量地远离其周围的邻近点。在单位(样方)

控制系统的状态空间分析

第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系 统在0t t ≥任何时刻())()() (21t x t x t x n 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n 为坐标的n 维空间。系统在某时 刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。

状态空间分析法的特点及其应用

状态空间分析法的主要特点及其应用 1.引言 60年代以前，研究自动控制系统的传统方法 主要使用传递函数作为系统的数学描述，研究对象是 SISO 系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现，控制系统日渐复杂（MIMO ，时变，不确定，耦合，大规模），传统的研究方法难以适应新的形势。在 50s'后期，Bellman 等人提议使用状态变量法，即状态空间法来描述系统，时至今日，这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。 所谓状态空间是指以状态变量n 21X X X ，为轴所构成的n 维向量空间。这样，系统的任意状态都可以用状态空间中的一个点表示。利用状态空间的观点分析系统的方法称为状态空间法，状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组，这在力学和电工上早已使用，并非什么新方法，但用来研究控制系统时具有如下优点。 1、适用面广：适用于 MIMO 、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统，而经典法主要适用于线性定常的 SISO 系统。 2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程， 因而简化数学符号，方便推导，并很适合于计算机的处理，而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。 3、内部描述：不仅清楚表明 I-O 关系，还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。 4、有助于采用现代化的控制方法 ：如自适应控制、最优控制等。 上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。 状态空间法的缺点: 1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样， 能用 Bode 图及根轨迹进行直观的描述。对于简单问题，显得有点烦琐。 2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型，这妨碍了它的推广和应用。。 2.状态空间分析法在部分系统中的应用 2.1状态空间分析法在PWM 系统中的应用 状态空间分析法不仅适用于时变系统（例如PWM 系统），而且可以将其简化，同时便于计算机处理。 在许多控制系统中，包括直流和交流电源系统，采用了脉冲宽度调制(卫WM)方式。可用于计算机和重要负荷的UPS(不停电供电电源)，采用PWM ，除对输出电压进行调节外，还可通过合理选择每周期脉冲数，消除指定的高次谐波，并可加快系统的动态响应速度。在对DC 一Dc 变换器等只具有正脉冲调制的系统分析中，如满足一定条件，则可运用状态空间平均值法。对交变的PWM 系统，每周期系统状态变化较大，有的变量正负值交替变化，因而不能运用平均值法分析，故采用状态空间分析方法。 PWM 系统通常均含开关器件，不同的脉冲间隔对应于开关器件的不同状态，即器件的导通或开断。开关状态的变化引起系统结构或参数的变化，则描述系统运动过程的状态方程也相应改变。

由传递函数转换成状态空间模型

由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ???+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()() ()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ???++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有 ?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 22 1Λ&M &&