45分钟滚动基础训练卷(十二)
一、填空题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,把答案填在答题卡相应位置)
1.已知一正方体的棱长为m ,表面积为n ;一球的半径为p ,表面积为q ,若m p =2,则n
q
=________.
2.关于直线m ,n 和平面α,β,有以下四个命题: ①若m ∥α,n ∥β,α∥β,则m ∥n ; ②若m ∥n ,m ?α,n ⊥β,则α⊥β; ③若α∩β=m ,m ∥n ,则n ∥α且n ∥β; ④若m ⊥n ,α∩β=m ,则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________. 3.[2011·南通三模] 底面边长为2 m ,高为1 m 的正三棱锥的全面积为________ m 2.
4.已知直线m 、n 及平面α,其中m ∥n ,那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是________.
图G12-1
5.已知一个圆锥的侧面展开图如图G12-1所示,其中扇形的圆心角为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为________.
6.如图G12-2,边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ,已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是________(填序号).
①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上; ②BC ∥平面A ′DE ;
③三棱锥A ′-FED 的体积有最大值.
图G12-2
7.已知命题:“若x ⊥y ,y ∥z ,则x ⊥z ”成立,那么字母x ,y ,z 在空间所表示的几何图形有可能是:①都是直线;②都是平面;③x ,y 是直线,z 是平面;④x ,z 是平面,y 是直线.
上述判断中,正确的有________(请将你认为正确的判断的序号都填上).
8.已知三棱锥S -ABC 中,SA =SB =SC =AB =AC =2,则三棱锥S -ABC 体积的最大值为________.
二、解答题(本大题共4小题,每小题15分,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 9.如图G12-3,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 是菱形,边长为2,∠BCD =60°,经过AC 作与PD 平行的平面交PB 于点E ,ABCD 的两对角线交点为F .
(1)
(2)若EF PBC 的距离.
10.[2011·南通三模] 如图G12-4,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中. (1)若BB 1=BC ,B 1C ⊥A 1B ,证明:平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1;
(2)设D 是BC 的中点,E 是A 1C 1上的一点,且A 1B ∥平面B 1DE ,求A 1E
EC 1
的值.
11.如图G12-5(1)所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,且AB=3,BC =4,作BB1∥AA1,分别交A1D1,AD1于点B1,P,作CC1∥AA1,分别交A1D1,AD1于点C1,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得DD1与AA1重合,构成如图(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1.
(1)求证:AB⊥平面BCC1B1;
(2)求四棱锥A-BCQP的体积.
图G12-5
12.如图G12-6,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,E,F分别是棱BC,B1C1上的动点,且EF∥CC1.CD=DD1=1,AB=2,BC=3.
(1)证明:无论点E怎样运动,四边形EFD1D都为矩形;
(2)当EC=1时,求几何体A-EFD1D
45分钟滚动基础训练卷(答案)
1.6π [解析] 因为n =6m 2,q =4πp 2,所以n q =6π
. 2.①③④ [解析] 根据线面位置关系的判定定理可知,假命题的序号是①③④.
3.33 [解析] 由条件得斜高为12+????3
32=23,从而全面积S =34×22+3×12×2×23
=3 3.
4.(1)(2)(4) [解析] 如图(1),当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点;如图(2),直线m 、n 在已知平面α的两侧且到α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直,则已知平面α为符合题意的点集;如图(3),直线m 、n 所在平面与已知平面α平行,则符合题意的点集为一条直线.
5.
223π [解析] 因为扇形弧长为2π,所以圆锥母线长为3,高为22,所求体积V =1
3
×π×12×22=22π3
. 6.①②③ [解析] ①由已知可得面A ′FG ⊥面ABC , ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上. ②∵BC ∥DE ,∴BC ∥平面A ′DE .
③当面A ′DE ⊥面ABC 时,三棱锥A ′-FDE 的体积达到最大.
7.①②④ [解析] 对于③,当x ⊥y ,y ∥z 时,只能确定直线x 垂直于平面z 中的一条直线(该直线与y 平行),不符合线面垂直的条件.
8.1 [解析] 取SA 中点D ,连接BD 和CD ,因为SA =SB =SC =AB =AC =2,所以BD =CD =3,且SA ⊥平面DBC ,所以三棱锥S -ABC 体积可以看作三棱锥S -DBC 和三棱锥A -DBC 的体积之和,
故V S -ABC =V S -DBC +V A -DBC =1
3
(SD +DA )·S △DBC ,
又S △DBC =12×3×3×sin ∠CDB ≤3
2
,
故体积最大值为1.
9.[解答] (1)证明:因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC ⊥BD .
又因为PD ⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD , 所以PD ⊥AC .
而PD ∩BD =D ,所以AC ⊥平面PBD . 因为DE ?平面PBD ,所以AC ⊥DE . (2)设点D 到平面PBC 的距离为h ,
由题PD ∥平面ACE ,平面ACE ∩平面PDB =EF , 所以PD ∥EF .
点F 是BD 中点,则EF 是△PBD 的中位线,
EF =1
2
PD ,EF =3,
故PD =23,
正三角形BCD 的面积S △BCD =12×2×2×3
2
= 3.
由(1)知PD ⊥平面BCD ,V P -BCD =13S △BCD ·PD =13×3×23=2,V P -BCD =V D -BCP =1
3
S △BCP ·h ,易求得
PC =PB =4,S △BCP =1
2
×2×15=15.
所以153·h =2,h =2155
,
故点D 到平面PBC 的距离为215
5
.
10.[解答] (1)证明:因为BB 1=BC , 所以侧面BCC 1B 1是菱形, 所以B 1C ⊥BC 1.
又因为B 1C ⊥A 1B ,且A 1B ∩BC 1=B , 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.
又B 1C ?平面AB 1C ,所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1. (2)设B 1D 交BC 1于点F ,连接EF , 则平面A 1BC 1∩平面B 1DE =EF .
因为A 1B ∥平面B 1DE ,A 1B ?平面A 1BC 1,
所以A 1B ∥EF ,所以A 1E EC 1=BF
FC 1
.
又因为BF FC 1=BD B 1C 1=12,所以A 1E EC 1=1
2
.
11.[解答] (1)证明:在正方形ADD 1A 1中,∵AB =3, BC =4,∴CD =AD -AB -BC =5,
∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC =5. ∴AB 2+BC 2=AC 2,∴AB ⊥BC .
∵四边形ADD 1A 1为正方形,AA 1∥BB 1, ∴AB ⊥BB 1,而BC ∩BB 1=B , ∴AB ⊥平面BCC 1B 1. (2)∵AB ⊥平面BCC 1B 1,
∴AB 为四棱锥A -BCQP 的高.
∵四边形BCQP 为直角梯形,且BP =AB =3,CQ =AB +BC =7, ∴梯形BCQP 的面积为
S 四边形BCQP =1
2
(BP +CQ )·BC =20.
∴四棱锥A -BCQP 的体积
V A -BCQP =1
3
S 四边形BCQP ·AB =20.
12.[解答] (1)在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,DD 1∥CC 1, ∵EF ∥CC 1,∴EF ∥DD 1.
又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1, 平面ABCD ∩平面EFD 1D =ED , 平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D =FD 1,
∴ED ∥FD 1,∴四边形EFD 1D 为平行四边形. ∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ,又DE ?平面ABCD , ∴DD 1⊥DE ,
∴无论点E 怎样运动,四边形EFD 1D 为矩形.
(2)连接AE ,∵四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为直四棱柱, ∴侧棱DD 1⊥底面ABCD ,又AE ?平面ABCD , ∴DD 1⊥AE ,
在Rt △ABE 中,AB =2,BE =2,则AE
在Rt △CDE 中,EC =1,CD =1,则DE =2;
在直角梯形ABCD 中,AD =BC 2+(AB -CD )2=10; ∴AE 2+DE 2=AD 2,即AE ⊥ED .
又∵ED ∩DD 1=D ,∴AE ⊥平面EFD 1D .
由(1)可知,四边形EFD 1D 为矩形,且DE =2,DD 1=1, ∴矩形EFD 1D 的面积为S =DE ·DD 1=2,
∴几何体A -EFD 1D 的体积为VA -EFD 1D =13S ·AE =13×2×22=4
3.
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ;
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理,1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE; (2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理, AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1 AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设 11111 A C B D O ?=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D (2)1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵, 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥, 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C