高考文科数学圆锥曲线专题复习试题

高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳： 名 称 椭圆

双曲线

图 象

x

O

y

x

O

y

定 义

平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭

圆即a MF MF 221=+

当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆，

当2a ＝2c 时，轨迹是一条线段

21F F

当2a ﹤2c 时，轨迹不存在

平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即122MF MF a -=

当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a ＝2c 时，轨迹是两条射线

当2a ﹥2c 时，轨迹不存在

标准方 程

焦点在x 轴上时： 122

22=+b

y a x

焦点在y 轴上时：122

22=+b

x a y

注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

焦点在x 轴上时：122

22=-b

y a x

焦点在y 轴上时：122

22=-b

x a y

常数

c b a ,,的关 系 222b c a +=，0>>b a ，

a 最大，

b

c b c b c ><=,, 222b a c +=，0>>a c

c 最大，可以b a b a b a ><=,,

渐近

焦点在x 轴上时：

0x y

a b

±=

线 焦点在y 轴上时：

0y x

a b

±= 抛物线：

图

形

x

y

O

F

l

x

y

O F

l

方

程 )0(22>=p px y

)

0(22>-=p px y

)0(22>=p py x

)0(22>-=p py x

焦点 )0,2

(p )0,2(p -

)2,0(p

)2

,0(p -

准

线 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

（一）椭圆

1. 椭圆的性质：由椭圆方程)0(122

22>>=+b a b

y a x

（1）范围：a x b -a ，x a ≤≤≤≤-，椭圆落在b y ±=±=a ，x 组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，

简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。 （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。a c

e =

?2)(1a

b e -=。10<

c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为是椭圆在1=e 时的特例。

2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式

3. 椭圆的准线方程

对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 2

2:=

对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2

2:=

焦点到准线的距离c

b c c a c c a p 2

222=-=-=（焦参数）

（二）双曲线的几何性质： 1. （1）范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x

的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。 （2）顶点

顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21

实轴：21A A 长为2a,a 叫做实半轴长。虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 （3）渐近线

过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±b

y

a x ）

（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比a

c

a c e ==

22，叫做双曲线的离心率 范围：e>1 双曲线形状与e 的关系：1122

2

22-=-=-==e a

c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。

2. 等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e 。

3. 共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为x a

b y ±

=)0(>±=k x ka kb

，那么此双曲线方程就一定是：

)0(1)()(2

2

22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22

22

b

y a x 。 4. 共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：

三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5. 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=

a c a

c

e 的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e 是双曲线的离心率。 6. 双曲线的准线方程：

对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2

1:-=，相对于右焦点)

0,(2c F 对应着右准线c

a x l 2

2:=；

焦点到准线的距离c

b p 2

=（也叫焦参数）。

对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2

1:-=；相对于上焦点)

,0(2c F 对应着上准线c

a y l 2

2:=。

（三）抛物线的几何性质 （1）范围

因为p ＞0，由方程()022

>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标（x ，y ）满足不等式x ≥0，

所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。 （2）对称性

以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 （3）顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y ＝0时，x ＝0，因此抛物

线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点。 （4）离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。由抛物线的定义可知，e ＝1。

【典型例题】

例1. 根据下列条件，写出椭圆方程

（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； （2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；

（3）中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。

分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。

解：（1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上

因此有两解：

112

x 16y 112y 16x 2

222=+=+或 （2）焦点位置确定，且为（0，5±），设原方程为22

221y x a b

+=,（a>b>0），由已知条件有

?????=+=-1

4

95

2222b a

b a 10,152

2==?b a ，故方程为110x 15y 22=+。 （3）设椭圆方程为122

22=+b

y a x ,（a>b>0）

由题设条件有???-=-=5

10c a c

b 及a2＝b2＋c2，解得b ＝10,5=a

故所求椭圆的方程是15

y 10x 2

2=+。

例2. 直线1+=kx y 与双曲线132

2

=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支

上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？ 解：把1+=kx y 代入132

2

=-y x

整理得：022)3(2

2

=---ax x a (1)

当3±≠a 时，2424a -=?

由?>0得6a 6<<-且3±≠a 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点

若A 、B 在双曲线的同一支，须3

2

221-=a x x >0，所以3?-a 或3>a 。 故当36-<<-a 或63<

在双曲线的两支上。

例3. 已知抛物线方程为)1x (p 2y 2

+=（p>0），直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得

的弦长为3，求p 的值。

解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则 由距离公式|AB|＝|y y |2|y y |k 1

1)y y ()x -(x 21212

2

212

21-=-+=-+ 则有2129().2

y y -=

由02y x ，)1(221222=-+??

?

??

+=+-=+p py ，x p y p y x 得消去

.,2.

04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=?

从而212212214)()(y y y y y y -+=-

即2

94)2(22=

+-p p 由于p>0，解得4

3=

p 例4. 过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y=2

1

x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.

解法一：由e=22

=a c ,得212

22=-a b a ,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12－x22)+2(y12－y22)=0,

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x0,y0),则kAB=－

2y x , 又(x0,y0)在直线y=21x 上，y0=2

1

x0,

于是－

2y x =－1,kAB=－1, 设l 的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),

???-='='???????++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 1

22

1解得则

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=

8

9

,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x + =1,l 的方程为y=－x+1.

解法二：由e=21,222

22=-=

a b a a c 得,从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=

2

2214k k +,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－

2

212k k +.

B

A

y=12x

o

y

x

F 2

F 1

直线l ：y=21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则22

22122121k

k k k +?=+-, 解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l 的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l 的方程为y=－(x －1),即y=－x+1,以下同解法一. 解法3：设椭圆方程为

)1()0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x

直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2

1

=中点矛盾。 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为

整理得：

消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2

2222212b a k a k x x +=

+知：

代入上式得：

又k x x k y y 2)(2121-+=+ 21221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，2

1

22=--∴ka b k k ，22=e 又 122)

(2222

222

2-=+-=--

=-

=∴e a c a a b k ，x y l -=∴1的方程为直线，

222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b

3

3

>

∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，

则b y x b x y b x y -=-?????

???+-==-11212

100000

，， 得：

在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3

3

43>

=∴b ， 16

92=

∴b ， 89

2=a

所以所求的椭圆方程为：116

9892

2=+y x

例5. 如图，已知△P1OP2的面积为

4

27

，P 为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近

线且过点P 的离心率为

2

13

的双曲线方程. 解：以O 为原点，∠P1OP2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2

22

2b

y a

x -

=1(a ＞0,b ＞0)

由e2=

2222

)213()(1=+=a b a

c ，得23

=a b . ∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和y=－2

3

x 设点P1(x1,

23x1),P2(x2,－2

3

x2)(x1＞0,x2＞0), 则由点P 分21P P 所成的比λ=2

1PP P

P =2, 得P 点坐标为(

2

2,322

121x x x x -+), 又点P 在双曲线222294a y a x -

=1上， 所以

2

2

212

2

219)2(9)2(a x x a x x --

+=1,

即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ① ,4

271312

41321sin ||||2113

124

91232tan 1tan 2sin 2

13

4

9||,21349||212121121212222212121121=

??=??=∴=+?

=

+==+==+

=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x1x2=

2

9 ②

由①、②得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9

42

2y x -

=1. 例6. 已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k1、k2满足

o

y

x

P

P 2

P 1

k1·k2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.

解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 ).

2,5(),5(1

2,0)2()5()2(),14(44

4424:).24,14(4),1(1

2:).24

,14(,242,048

4,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222----

=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-=

==-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k k y y x k y k k x k

k k k k y DE k k E x y x k

y AE k k

D k y y k

y k y x y x k y AD A m x y m A

),

1,(21

2

12,2,0)2(24),(),,(,,

14)2,()3(212211222211112≠=--?--∴=?=+-+?????=+=+===x x x y x y k k b x kb x k x

y b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD 得由的方程为设直线得代入将 )

2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).

2().

2(,)2(,)

2(2,02)2())(22()2(,222

2212

212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==

--=

+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k b x x k kb x x b x x k kb x x k b

kx y b kx y

【模拟试题】（答题时间：50分钟）

一、选择题

1. θ是任意实数，则方程4sin 2

2

=+θy x 所表示的曲线不可能是（ ）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 抛物线

D. 圆

2. 已知椭121

)(122

2=-+t y x 的一条准线方程是8=y ，则实数t 的值是（ ） A. 7或－7

B. 4或12

C. 1或15

D. 0

3. 双曲线142

2=+k

y x 的离心率)2,1(∈e ，则k 的取值范围为（ ） A. )0,(-∞ B. （－12，0） C. （－3，0） D. （－60，－12）

4. 以

112422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A.

112162

2=+y x

B.

116122

2=+y x C.

14

162

2=+y x

D.

116

42

2=+y x 5. 抛物线2

8mx y =的焦点坐标为（ ） A. )0,81

(

m

B. )321,

0(m

C. )321,0(m

±

D. )0,321

(m

±

6. 已知点A （－2，1），x y 42

-=的焦点为F ，P 是x y 42

-=的点，为使PF PA +取得最小值，P 点的坐标是（ ） A. )1,41

(-

B. )22,2(-

C. )1,4

1(-- D. )22,2(-- 7. 已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，一条准线方程为095=-y ，则双曲线方程为（ ）

A.

116922=-x y

B.

11692

2=-y x C.

125

92

2=-x y

D.

125

92

2=-y x 8. 抛物线2

x y =到直线42=-y x 距离最近的点的坐标为（ ）

A. )4

5,23(

B. )1,1(

C. )4

9,23(

D. )4,2(

9. 动圆的圆心在抛物线x y 82

=上，且动圆与直线02=+x 相切，则动圆必过定点（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，－2）

10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为2

1

，则椭圆方程为( )

125

75D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x

y x y x y x

二、填空题

11. 到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为

2

2

的动点的轨迹方程为______________。 12.双曲线222

2=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________。

13. 已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________。

14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。 三、解答题

15. 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F （2，0）作斜率为

5

3

的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN ＝4，求双曲线方程。

16. 过椭圆13

42

2=+y x 的左焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q ，2F 为右焦点。 求：22QF PF ．的最值

17. 已知椭圆的一个焦点为F 1

022()，-，对应的准线方程为y =-92

4

，且离心率e 满足23，

e 、

4

3

成等比数列。 （1）求椭圆的方程。

（2）试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x =-1

2

平分？若存在，求出l 的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。

18. 如图所示，抛物线y2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4

π

的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A)且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方

程，并求△AMN 的最大面积.

【试题答案】 1. C 2. C 3. B 4. A

5. B

6. A

7. A

8. B

9. B 10.C

11.

13672)4(2

2=++y x 12. －3

4

13. 4 14.4

52

2y x +

=1 15. 解：设所求双曲线方程为1b y a x 22

22=-（a>0，b>0），由右焦点为（2，0）。知c ＝2，b2＝4－a2

则双曲线方程为142222=--b y a x ，设直线MN 的方程为：)2(5

3-=x y ，代入双曲线方程整理得：

（20－8a2）x2＋12a2x ＋5a4－32a2＝0

设M （x1,y1）,N （x2,y2）,则22

2182012a a x x --=+

2

2

421820325a

a a x x --= ∴()2

1212

4531x x x x MN -+????

?

??+=

48203254820125822

42

22=--?-???

? ??--?=a a a a a 解得：12=a ，3142=-=∴b

故所求双曲线方程为：13

2

2

=-y x 16. 解：直线l ：ααα?

??+=+-=sin 0cos 1．．

t y t x 为参数

P 、Q 为l 与椭圆的交点

∴

13

)sin (4)tan 1(2

2=++-αα．t

∴ α

α

α2

21221cos 49

cos 4cos 6--=

-=

+t t t t ． 1

1111122)(416)

4)(4(QF PF QF PF QF PF QF PF z ．．++-=--==

α

αα22

22

121cos 43916cos 49cos 412416416--=-+--=---=．．t t t t ∴ 1cos 2

=α时0cos ;3z 2min ==α时4

25max =

z 17. 解：（1）依题意，234

3

，，e 成等比数列， 可得e =

223

设P （x y ，）是椭圆上任一点 依椭圆的定义得

x y y 22

2292

4

22

3

+++

=

()|| 化简得992

2

x y +=

即x y 2

29

1+=为所求的椭圆方程

（2）假设l 存在 因l 与直线x =-

1

2

相交，不可能垂直x 轴 所以设l 的方程为：y k x m

=+ 由y kx m x y =++=???99

22

消去y 得，992

2

x k x m ++=()

∴+++-=()()k x kmx m 2

2

2

9290有两个不等实根

?=-+->∴--<44990

90

2222

22

k m k m m k ()()

设两交点M 、N 的坐标分别为()()x y x y 1122

，，， ∴+=

-+x x k m

k 12229

线段MN 恰被直线x =-

1

2

平分 ∴-=

+12212

x x

即-+=-29

12k m

k

k ≠0

∴=+m k k

292

代入m k 2

2

90

--<得 k k k

k

k

k

k k k 22

2

22

2

2

9290

909

410

3

33

+?? ?

??-+<+>∴

+-<∴>∴>

<-() 或

∴直线倾角的范围为π

πππ32223，，??

????? ??

? 解：由题意，可设l 的方程为y=x+m,－5＜m ＜0.

由方程组?????=+=x

y m

x y 42,消去y,得x2+(2m －4)x+m2=0……………①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m ，x1·x2=m2, ∴|MN|=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d=

2

5m +.

∴S△=2(5+m)m

-1,从而S△2=4(1－m)(5+m)2

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(

35

5

2

2m

m

m+

+

+

+

-)3=128.

∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.

enjoy the trust of 得到...的信任 have / put trust in 信任 in trust 受托的，代为保管的

take ...on trust对...不加考察信以为真 trust on 信赖 give a new turn to 对~~予以新的看法 turn around / round 转身，转过来，改变意见turn back 折回，往回走turn … away 赶走……，辞退……，把……打发走，转脸不睬，使转变方向 turn to…转向……，（for help）向……求助，查阅，变成；着手于think through…思考……直到得出结论，想通think of 想到，想起，认为，对……有看法/想法

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