一动一定中的二次函数最值问题

一动一定中的二次函数最值问题

1、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值；

2、二次函数的最值只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得：

3、二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论

设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a

=-

2 当a >0时，抛物线开口向上 若-

∈b a

m n 2[]，，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b a m n 2[]，， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a

=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a >0时

???????+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ????

?????<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

当a <0时

????

?????<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876m a x 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+???????，，如图如图212212910

例1、求函数2()44f x x x =-+在下列区间上的最大值和最小值

（1）[0,1] （2） [1,3] （3）[3,6]

例2、已知函数2()4f x x x a =-+在[0，6]的最大值为13，求a 的值.

例3、已知函数2()24f x x ax =-+在区间[0，3]上的最小值为1，求a 的值

例4、已知函数2()24f x x ax =-+在区间[1，3]上的最大值为13，求a 的值.

例5、求函数2()24f x x ax =-+在区间 [1，3]上的值域.

例6、已知函数2()1030f x x x =-+在区间[,3]a a +上的最小值为6，求a 的值.

例7、求函数2()1030f x x x =-+在区间[,3]a a +上的最小值函数()g a

例8. 已知二次函数22()24(1)29f x x a x a a =---++

(1)若对 [－1, 1] 上的一切实数 m, 都有 f (m)>0, 求实数a 的取值范围.

(2) 若在 [－1, 1] 上至少存在一个实数 m, 使得f (m)>0, 求实数a 的取值范围;

注意两种数学思想：

（1）分类讨论的思想：

关键是确定对称轴与区间的相对位置，依据二次函数的图象与单调性.

（2）数形结合的思想：

最值取到的位置(注意抛物线开口方向)；在解题时，可在边上画简图.

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值专项练习60题 1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性． 2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值． 3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求 （1）函数在一2＜x≤a的最小值； （2）函数在a≤x≤a+2的最小值． 4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值． 5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理： ∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0 ∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2． 试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．

6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）． （1）写出?ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围． （2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值． 7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值． 8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值． 9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．

二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题

二次函数——动点产生的线段最值问题 【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标； （3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标； （4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC -最大？并求出 最大值． 解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2 +bx+c ， ∵抛物线经过A 、B 、C 三点， ∴09303a b c a b c c -+=??++=??=?，解得：123a b c =-?? =??=? ， ∴抛物线的解析式为：y=-x 2 +2x+3． ∵y=-x 2 +2x+3= 2 (1)4x --+， ∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）． （2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ， 要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线 如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ， 解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ， 则303k n n +=??=? ,解得13k n =-??=? ∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2） 解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC ∴△BFE ∽△BOC ∴ BF EF BO CO =， ∴3133EF -=, ∴2EF = ∴点E 的坐标为（1，2） （3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3， F E

高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：

初中数学二次函数的最值问题--练习题+答案

初中数学二次函数的最值问题--练习题+答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积 例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间 练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变 量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为 在线段 记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否 以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值； 若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。 二次函数最大面积交AB D B E 能力提高 例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。 当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

二次函数在闭区间上的最值 (经典)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

2018届重庆中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

二次函数相关的最值问题 2 例1.如图，抛物线y = —x —4x+ 5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点. 求直线AC的解析式及顶点D的坐标； 若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA QC求|QA—QC|的最大值及此时点Q的坐标; (3)连接CD点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE//x轴交直线AC于点 E,作PF//CD交直线AC于点F,当线段PE+ PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；

⑷在⑶K,连接0L 3问的条件下，将 KH求线段 (5)在⑶+ P' E'+ E 问的条件下，将线段PE沿着直线B取最小值时点E'的坐标.

针对训练 2 1 .如图，直线y= kx + b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( —4, 0)、B(0 , 3)，抛物线y=—x + 2x + 1与y 轴交于点C. ⑴求直线y = kx + b的解析式； (2) 若点P(x , y)是抛物线y = —x2+ 2x+ 1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； (3) 若点E在抛物线y = —x2+ 2x + 1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+ EF的最小值.

2 .如图①，已知抛物线y =—身x2+ ^3~x + 3与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD过点D作DH Lx轴于点H,过点A作AEL AC 交DH的延长线于点E. ⑴求线段DE的长度； (2)如图②，试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△ CPF的周长最小时，△ MPF面积的最大值是多少. ① ②

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积 例1 如图所示，等边△ABC 中，BC=10cm ，点1P ,2P 分别从B,A 同时出发，以1cm/s 的速度沿线 段BA,AC 移动，当移动时间t 为何值时，△21P AP 的面积最大并求出最大面积。 A 1P 2P B C 练习 1如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动，如果P,Q 同时出发，分别到达B 、C 两点就停止移动。 （1）设运动开始后第t 秒，五边形APQCD 的面积是2 Scm ，写出S 与t 函数关系式，并指出t 的取值范围。 （2）t 为何值时，S 最小并求出这个最小值。 D C Q A P B 2 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/S 的速度移动，点Q 从点B 开始沿着BC 边向点C 以1cm/S 的速度移动，P,Q 分别从A,B 同时出发。 求四边形APQC 的面积y （2 cm ）与PQ 移动时间x （s ）的函数关系式， A 以及自变量x 的取值范围。 P

B Q C 3 如图 正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与B,C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q,设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm 。 （1）求点P 在BC 上的运动的过程中y 的最大值。 （2）当y= 4 1 cm 时，求x 的值。 A D B P C 4如图所示，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，动点D 在线段BC 上移动（不与B,C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD,交AB 的 长为t 。 y （1） 当t= 3 1 时 ，求线段DE 所在直线的函数表达式。（2） 如果梯形CDEB 的面积为S ，那么S 是否存在最大值若存在，请求出最大值，以及此时 t 的值；若不存在，请说明理由。 （3） 当2 2 DE OD 的算术平方根取最小值时， o A （4） 求点E 的坐标。

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.

练习一

若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 讲义参考答案

二次函数中动点图形的面积最值(初三数学)

深圳高级中学（集团）GLOBE学科课程教学设计 《二次函数中动点图形的面积最值问题》 初三年级数学备课组 一、聚焦问题 因为点动产生图形发生变化,从而面积发生变化.利用二次函数求以动态几何为背景的最值问题，是中考中的一类重要题型。这类试题能有效整合代数和几何的部分重要知识，适于考查考生分析、解决问题的能力及实践和创新的能力，较好地渗透了分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想。 中考考纲要求教师在教学过程中渗透和落实数学学科核心素养的培养（数感、符号意识、几何直观、应用意识），GLOBE教学法要求教师以问题为导向，通过合作探究，引导学生用跨学科知识、思维和方法来解决问题。根据以上的要求，本课聚焦问题如下： 1.学科知识层面： 复习强化二次函数的基本知识，学会用代数式表示函数各个点的坐标，能够利用坐标计算、利用代数式表示二次函数中特定图形、动态图形的面积及其最大值。 2.学科素养层面： 通过利用代数式表示面积的方式，培养学生几何问题代数化的能力，对复杂问题进行分解和转化的能力，培养学生的几何思维能力，空间思维能力。 3.价值观引领方面： 从数到式、从点到线再到面，从静到动，体会数学学习的过程，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的意志，建立自信心，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯,形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。 因此，本课聚焦的重点问题是：“以静制动”把动态问题变成静态问题来解、“复杂问题简单化”归纳总结提炼出这类面积问题解题模型，让学生真正掌握科学、简便的解题路径，正确、快速地解题。 二、核心问题：利用割补法求多边形面积 方法要点是：把所求面积的图形进行适当割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。 三、分解问题 分解问题一：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？ 问题引领1：通过坐标求三角形的底和高表示面积. 问题引领2：如何求底边平行于坐标轴的三角形面积？ 分解问题二：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积？ 问题引领：如何利用割补法求两边均不平行坐标轴三角形的面积及其最值？ 分解问题三：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？ 问题引领：如何求二次函数中动点四边形的面积及最值？

初中数学二次函数的最值问题专题复习

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．

二次函数与最值问题专题讲座

第四讲 二次函数与最值问题专题讲座 一、考点梳理 考点1：二次函数的解析式 一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线 考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值. 二、题型透视 （一）、填空题 1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y = B 、2 25 4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3 3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ?+=?? ≤　（x>2） ，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ） A B ．4 C 4 D ．4 6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2 的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与 c b a y +-= 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．． 的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0 (C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小

初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习(含答案) (2)

初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习（含答案） 一、选择题 1．向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最大的是( ) A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元,则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且所获租金高,那么每张床位每天最合适的收费是( ) A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 二、填空题 3．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t＝________．4．某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是________元时,才能在半月内获得最大利润. 5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：

科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 三、解答题 6．小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律： ①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x； ②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax2＋bx＋10.已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克． (1)求该二次函数的表达式； (2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大,最大平均利润是多少．(注：平均利润＝销售价－平均成本) 7．如图K－7－1所示,甲船从A处起以15海里/时的速度向正北方向航行,这时乙船从A 的正东方20海里的B处以20海里/时的速度向正西方向航行,多长时间后,两船的距离最小？最小距离是多少？

专题五--二次函数的最值问题

专题五 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值． 二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法． 第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值． 如：2 y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论： (1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。 (2) 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02 m n x +≤ ，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。 【例题选讲】 例1求下列函数的最大值或最小值． （1）5322--=x x y ； （2）432 +--=x x y ．

同步练习：已知函数1x 2x 2 1y 2++= （1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点； （3）观察图象：x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （4）观察图象：当x 为何值时，y>0时，当x 为何值时，y=0；当x 为何值时，y<0。 例2 已知函数2 ,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值． 同步练习：当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 同步练习：已知二次函数,322--=x x y （1）x 为何值时0=y ？ （2）x 为何值时0>y ？ （3）x 为何值时0

二次函数的应用题 利润问题、面积问题、最值问题 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)

三．二次函数应用题 题型一．（10分）（2015?南充一模）某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个． （1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？ （2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？ 2．（12分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度））与电价x（元/千度）的函数图象如图： （1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量m（千度）的函数关系为x=5m+600，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

3.（12分）某企业信息部进行市场调查发现： 信息一、如果单独投资A种产品，所投资利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表： x（万元）12 2.535 y A（万元）0.40.81 1.22 信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润 3.2万元． （1）从所学过的函数中猜想y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式； （2）求出y B与x的函数关系式，并求想利润y B为3（万元）应投资金额； （3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？ 例2、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米． (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？ (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

最新二次函数的最值问题举例(附练习、答案)

二次函数的最值问题举例(附练习、答案) 二次函数y = ax 2 bx c (a = 0) 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础. 在初 x取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时，函数在 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时 还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用. 2 【例1】当-2弐x玄2时，求函数y=x -2x-3的最大值和最小值. 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值. 解：作出函数的图象.当x=1时，y mi n =-4，当x=-2时，y max=5. 【例2】当1^x^2时，求函数y =-X2「x T的最大值和最小值. X = 1 时，y min = T ,当X = 2 时，y max = 一5 . 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常 见情况： 【例3】当x - 0时，求函数y = -x(2 - x)的取值范围. 中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 b 2a 处取得最小值 4ac - b2 4a ，无最大值；当 a c 0时，函数在x = -亠-处取得最大值 2a 4ac -b2 4a 无最小值. 解：作出函数的图象.当

解：作出函数y =-x(2 - x) n x? — 2x在x_0内的图象. 可以看出：当x = 1时，ymin - -1，无最大值. 所以，当X _ 0时，函数的取值范围是y _ -1 . 1 25 【例4】当t