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2013年中考数学知识点:一元二次方程——一元二次方程组单元综合测试题

2013年中考数学知识点:一元二次方程——一元二次方程组单元综合测试题
2013年中考数学知识点:一元二次方程——一元二次方程组单元综合测试题

一元二次方程单元综合测试题

(时间:90分钟 满分:100分)

一、填空题(每题2分,共20分)

1.方程12

x (x -3)=5(x -3)的根是_______. 2.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的有________.

(1)2y 2+y -1=0;(2)x (2x -1)=2x 2;(3)21x

-2x=1;(4)ax 2+bx+c=0;(5)12x 2=0. 3.把方程(1-2x )(1+2x )=2x 2-1化为一元二次方程的一般形式为________.

4.如果21x -2x -8=0,则1x 的值是________. 5.关于x 的方程(m 2-1)x 2+(m -1)x+2m -1=0是一元二次方程的条件是________.

6.关于x 的一元二次方程x 2-x -3m=0?有两个不相等的实数根,则m ?的取值范围是定______________.

7.x 2-5│x │+4=0的所有实数根的和是________.

8.方程x 4-5x 2+6=0,设y=x 2,则原方程变形为___________________,原方程的根为

________.

9.以-1为一根的一元二次方程可为_____________________(写一个即可).

10.代数式

12

x 2+8x+5的最小值是_________.

二、选择题(每题3分,共18分)

11.若方程(a -b )x 2+(b -c )x+(c -a )=0是关于x 的一元二次方程,则必有( ).

A .a=b=c

B .一根为1

C .一根为-1

D .以上都不对 12.若分式22632

x x x x ---+的值为0,则x 的值为( ). A .3或-2 B .3 C .-2 D .-3或2

13.已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8,则x 2+y 2的值为( ).

A .-5或1

B .1

C .5

D .5或-1

14.已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则x 2-px+q 可分解为( ).

A .(x+2)(x+3)

B .(x -2)(x -3)

C .(x -2)(x+3)

D .(x+2)(x -3)

15.已知α,β是方程x2+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α2)(1+2008β+β2)的值为().

A.1 B.2 C.3 D.4

16.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-6x+8=0的解,?则这个三角形的周长是().

A.8 B.8或10 C.10 D.8和10

三、用适当的方法解方程(每小题4分,共16分)

17.(1)2(x+2)2-8=0;(2)x(x-3)=x;

(32=6x(4)(x+3)2+3(x+3)-4=0.

四、解答题(18,19,20,21题每题7分,22,23题各9分,共46分)

18.如果x2-10x+y2-16y+89=0,求x

y

的值.

19.阅读下面的材料,回答问题:

解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0 ①,解得y1=1,y2=4.

当y=1时,x2=1,∴x=±1;

当y=4时,x2=4,∴x=±2;

∴原方程有四个根:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.

(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用___________法达到________的目的,?体现了数学的转化思想.

(2)解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0.

20.如图,是丽水市统计局公布的2000~2003年全社会用电量的折线统计图.(1)填写统计表:

2000~2003年丽水市全社会用电量统计表:

(2)根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据,求这两年年平均增长的百分率(保留两个有效数字).

21.某商场服装部销售一种名牌衬衫,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了扩大销售,减少库存,商场决定降价销售,经调查,每件降价1元时,平均每天可多卖出2件.

(1)若商场要求该服装部每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?

(2)试说明每件衬衫降价多少元时,商场服装部每天盈利最多.

22.设a ,b ,c 是△ABC 的三条边,关于x 的方程

12x 2x+c -12a=0有两个相等的实数根,?方程3cx+2b=2a 的根为x=0.

(1)试判断△ABC 的形状.

(2)若a ,b 为方程x 2+mx -3m=0的两个根,求m 的值.

23.已知关于x 的方程a 2x 2+(2a -1)x+1=0有两个不相等的实数根x 1,x 2.(1)求a 的

取值范围;(2)是否存在实数a ,使方程的两个实数根互为相反数?如果存在,求出a 的值;如果不存在,说明理由.

解:(1)根据题意,得△=(2a -1)2-4a 2>0,解得a<

14. ∴当a<0时,方程有两个不相等的实数根.

(2)存在,如果方程的两个实数根x 1,x 2互为相反数,则x 1+x 2=-21a a

=0 ①,

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根,则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( ). (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,? 制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,?那么x满足的方程是( ).(A)x2+130x-1400=0 (B)x2+65x-350=0 (C)x2-130x-1400=0 (D)x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时,代数式3x2+9x-2的值是( ). (A)4 (B)0 (C)-2 (D)-4 4.方程(x+1)(x+2)=6的解是( ). (A)x1=-1,x2=-2 (B)x1=1,x2=-4 (C)x1=-1,x2=4 (D)x1=2,x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( ). (A)(x2-2)·x=x2(B)ax2+bx+c=0 (C)x+1 =5 (D) x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3,x2=1, ?那么这个一元二次方程是( ). (A)x2+3x+4=0 (B)x2-4x+3=0 (C)x2+4x-3=0 (D)x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间,绿地面积增加44%,?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( ). (A)19% (B)20% (C)21% (D)22% 8.下列方程中,无实数根的是( ). (A)x2+2x+5=0 (B)x2-x-2=0 (C)2x2+x-10=0 (D)2x2-x-1=0 9.方程x(x-1)=5(x-1)的解是( ). (A)1 (B)5 (C)1或5 (D)无解 10.把方程x2-4x-6=0配方,化为(x+m)2=n的形式应为( ). (A)(x-4)2=6 (B)(x-2)2=4 (C)(x-2)2=0 (D)(x-2)2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0,x,y为实数,则x y=_________. 2.请写出两根分别为-2,3的一个一元二次方程_________. 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________,一次项系数是 ________,常数项是________. 4.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根,则这个三角形的周长为_______. 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1,则a-b+c=_______.

最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2 ax 叫做二 次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系 数;c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看 做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项 的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式:)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的 系数为b ,常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单 易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的 是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“?” 来表示,即ac b 42 -=? I 当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;

人教全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总含答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的两个实数根. (1)求a的取值范围; (2)若(x1+1)(x2+1)是负整数,求实数a的整数值. 【答案】(1)a≥0且a≠6;(2)a的值为7、8、9或12. 【解析】 【分析】 (1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可;(2) 根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ 2 6 a a+ ,x1x2= 6 a a+ ,由(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1= ﹣ 6 6 a- 是是负整数,即可得 6 6 a- 是正整数.根据a是整数,即可求得a的值2. 【详解】 (1)∵原方程有两实数根, ∴, ∴a≥0且a≠6. (2)∵x1、x2是关于x的一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的两个实数根, ∴x1+x2=﹣,x1x2=, ∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣. ∵(x1+1)(x2+1)是负整数, ∴﹣是负整数,即是正整数. ∵a是整数, ∴a﹣6的值为1、2、3或6, ∴a的值为7、8、9或12. 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键. 2.小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯,成本为30元/只,每天销售量y (只)与销售单价x(元)之间的关系式为y=﹣10x+700(40≤x≤55),求当销售单价为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少元? 【答案】当销售单价为50元时,每天获得的利润最大,利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】 表示出一件的利润为(x﹣30),根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】 设每天获得的利润为w元,

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一:一元二次方程的定义 典例分析: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则( ) A .2±=m B .m=2 C .2-≠m D .2±≠m 3、关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x+a 2-l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、-l C 、 1 或-1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是( ) A 、a ≠1 B 、a ≠-2 C 、a ≠1且a ≠-2 D 、a ≠1或a ≠-2 专题二:一元二次方程的解 典例分析: 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习: 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1,则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解,求b 的值及方程的另一个根. 3、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。 专题三:一元二次方程的求解方法 典例分析: 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 . 难度训练: 1、如果二次三项式16)122++-x m x ( 是一个完全平方式,那么m 的值是_______________.

一元二次方程知识点集 (整理)

一元二次方程 知识点题集 (须用心按质完成) 1.方程12 x (x -3)=5(x -3)的根是_______. 2.下列方程中,是关于x 的一元二次方程的有________. (1)2y 2+y -1=0;(2)x (2x -1)=2x 2;(3)21x -2x=1;(4)ax 2+bx+c=0;(5)12 x 2=0. 3.把方程(1-2x )(1+2x )=2x 2-1化为一元二次方程的一般形式为________. 4.如果21x -2x -8=0,则1x 的值是________. 5.关于x 的方程(m 2-1)x 2+(m -1)x+2m -1=0是一元二次方程的条件是________. 6.关于x 的一元二次方程x 2-x -3m=0?有两个不相等的实数根,则m?的取值范围是定______________. 7.x 2-5│x │+4=0的所有实数根的和是________. 8.方程x 4-5x 2+6=0,设y=x 2,则原方程变形为___________________,原方程的根为________. 9.以-1为一根的一元二次方程可为_____________________(写一个即可). 10.代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________. 11.若方程(a -b )x 2+(b -c )x+(c -a )=0是关于x 的一元二次方程,则必有( ). A .a=b=c B .一根为1 C .一根为-1 D .以上都不对 12.一元二次方程x 2-4=0的解是( ) A .x 1=2,x 2=-2 B .x =-2 C .x =2 D . x 1=2,x 2=0 13.已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8,则x 2+y 2的值为( ). A .-5或1 B .1 C .5 D .5或-1 14.已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和-3,则x 2-px+q 可分解为( ). A .(x+2)(x+3) B .(x -2)(x -3) C .(x -2)(x+3) D .(x+2)(x -3) 15.已知α,β是方程x 2+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α2)(1+2008β+β2)的值为( ). A .1 B .2 C .3 D .4 16.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x 2-6x+8=0的解,?则这个三角形的周长是( ). A .8 B .8或10 C .10 D .8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12; C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )

(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习

知识点总结:一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式:ax2+bx+c=0时,应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a 是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x+是b的平方根,当0 ≥ b时,b a x± = +,b a x± - =,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p ±√q;如果q<0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式: )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式:一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中,ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式,通常用“?”来表示,即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x,,那么a b x x- = + 2 1 , a c x x= 2 1 。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程

中考数学专题 一元二次方程试题

中考数学专题 一元二次方程试题 一、选择题 1、(2007巴中市)一元二次方程2 210x x --=的根的情况为( )B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2、(2007安徽泸州)若关于z 的一元二次方程02. 2=+-m x x 没有实数根,则实数m 的取值范围是( )C A .m-1 C .m>l D .m<-1 3、(2007四川眉山)一元二次方程x 2+x +2=0的根的情况是( )C A .有两个不相等的正根 B .有两个不相等的负根 C .没有实数根 D .有两个相等的实数根 4、(2007四川内江)用配方法解方程2 420x x -+=,下列配方正确的是( )A A .2(2)2x -= B .2(2)2x += C .2(2)2x -=- D .2(2)6x -= 5、(2007四川内江)已知函数2y ax bx c =++的图象如图(7)所示,那么关于x 的方程2 20ax bx c +++=的根的情况是( )D A .无实数根 B .有两个相等实数根 C .有两个异号实数根 D .有两个同号不等实数根 6、(2007广州)关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数,则( )A A .0p >且q >0 B .0p >且q <0 C .0p <且q >0 D .0p <且q <0 7、(2007山东淄博)若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x += .则k 的值为( )C (A )-1或 34 (B )-1 (C )3 4 (D )不存在 8、(2007四川成都)下列关于x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )D (A )x 2+4=0 (B )4x 2-4x +1=0 (C )x 2+x +3=0 (D )x 2+2x -1=0 9、(2007湖南岳阳)某商品原价200元,连续两次降价a %后售价为148元,下列所列方程正确的是( )B A :200(1+a%)2=148 B :200(1-a%)2=148 C :200(1-2a%)=148 D :200(1-a 2%)=148 图(7) x y 0 3-

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】

解一元二次方程专项练习题(带答案) 1、用配方法解下列方程: (1) 025122=++x x (2) 1042=+x x (3) 1162=-x x (4)0422=--x x 2、用配方法解下列方程: (1) 01762=+-x x (2) x x 91852=- (3) 52342=-x x (4)x x 2452-= 3、用公式法解下列方程: (1) 08922=+-x x (2) 01692=++x x (3) 38162=+x x (4)01422=--x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252=-+x x (2) 7962=++x x

(3) 2325x x =+ (4) 1)53)(2(=--x x 5、用分解因式法解下列方程: (1)01692=++x x (2) x x x 22)1(3-=- (3))32(4)32(2+=+x x (4)9)3(222-=-x x 6、用适当方法解下列方程: (1) 22(3)5x x -+= (2) 22330x x ++= (3) 2)2)(113(=--x x ; (4) 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、 解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x -2=0 (2) 3x 2+4x -7= (3) (x +3)(x -1)=5 (4) (x -2)2+42x =0 8、解下列方程(12分) (1)用开平方法解方程:4)1(2=-x (2)用配方法解方程:x 2 —4x +1=0 (3)用公式法解方程:3x 2+5(2x+1)=0 (4)用因式分解法解方程:

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构: 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程.... 就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习: 1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 针对练习: 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次 类型一、直接开方法:()m x m m x ±=?≥=,02

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点

北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点 知识点一:认识一元一次方程 (一)一元二次方程的定义:只含有一个未知数(一元)并且未知数的次数是2(二次)的整式方程;这样的方程叫一元二次方程. (注意:一元二次方程必须满足以下三个条件:是整式方程;一元;二次) (二) 一元二次方程的一般形式:把20ax bx c ++=(a 、b 、c 为常数;a ≠0)称为一元二次方程的一般形式.其中a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项. 【例题】 1、一元二次方程3x 2=5x -1的一般形式是 ;二次项系数是 ;一次项系数是 ;常数项是 . 2、一元二次方程(x+1)(3x -2)=10的一般形式是 . 3、当m= 时;关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程. 4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 23 2057 x +-= 知识点二:求解一元一次方程 (一)一元二次方程的根定义:使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解;一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【例题】 例1、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0;则a 值为( ) A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1 2 (二)解一元二次方程的方法: 1.配方法 <即将其变为2()0x m +=的形式> 配方法解一元二次方程的基本步骤: ①把方程化成一元二次方程的一般形式; ②将二次项系数化成1; ③把常数项移到方程的右边; ④两边加上一次项系数的一半的平方; ⑤把方程转化成2()0x m +=的形式; ⑥两边开方求其根. 【例题】 例2 一元二次方程x 2-8x-1=0配方后可变形为( ) A .(x+4)2=17 B .(x+4)2=15 C .(x-4)2=17 D .(x-4)2=15 例3 用配方法解一元二次方程x 2-6x-4=0;下列变形正确的是( ) A .(x-6)2=-4+36 B .(x-6)2=4+36 C .(x-3)2=-4+9 D .(x-3)2=4+9 例4 x 2-6x-4=0; x 2-4x=1; x 2-2x-2=0 2. 公式法x = (注意在找abc 时须先把方程化为一般形式) 【例题】 例5若一元二次方程x 2+2x+a=0的有实数解;则a 的取值范围是( ) A .a <1 B .a≤4 C .a≤1 D .a≥1 例6 已知一元二次方程2x 2-5x+3=0;则该方程根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .两个根都是自然数 D .无实数根 例7 已知关于x 的方程x 2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根;求实数a 的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时;求a 的值及方程的另一根. 3.分解因式法 把方程的一边变成0;另一边变成两个一次因式的乘积来求解.(主要包括“提公因式”和“十字相乘”) 【例题】 例8 一元二次方程x 2-2x=0的解是( ) A .0 B .2 C .0;-2 D .0;2 例9 方程3(x-5)2=2(x-5)的根是 例10 x 2-3x+2=0; x 2+2x=3; (x-1)2+2x (x-1)=0 知识点三:一元二次方程的根与系数的关系 1.根与系数的关系:如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为x1、x2;则有:1212,b c x x x x a a +=-?= . 2.一元二次方程的根与系数的关系的作用: (1)已知方程的一根;求另一根; (2)不解方程;求二次方程的根x1、x2的对称式的值. (3)对比记忆以下公式:

人教中考数学一元二次方程综合练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为x=﹣1. (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标; (2)若动点P 在第二象限内的抛物线上,动点N 在对称轴l 上. ①当PA ⊥NA ,且PA=NA 时,求此时点P 的坐标; ②当四边形PABC 的面积最大时,求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标. 【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣ 32 ,154) 【解析】 试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式; (2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标; ②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可. 试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0 {3 12a b c c b a ++==-=-,解得:1 {23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4); (2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得21(舍去)或x=21-,∴点P (21-,2); ②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题 知识点1:一元二次方程的概念及一般形式 1、方程(1)3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)2(5)3x x x --=- (2)(21)(5)6x x x -+= 知识点2:用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程: (1)2169x = (2)2450x -= (3)24(21)360x --= (4)(21)40x +-= 知识点3:用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时,原方程变形为 ( ) A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程: (1)22410x x -+= (2)2213x x += 知识点4:用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程: (1)2410x x +-= (2)2441018x x x ++=- 知识点5:根的判别式(24b ac -)的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( ) A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根,试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. (1)求证:原方程恒有两个实数根; (2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m 的取值范围. 知识点6:用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 (1)230x x += (2)2(3)4(3)0x x x -+-=

一元二次方程概念专项练习

一元二次方程概念专项练习 知识梳理: 1.一元二次方程的一般形式:a x2+bx+c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点: ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点:一元二次方程的识别与判断 4.难点:题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时,需要分类讨论 一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是() A.x2-2xy+y2=0 B.x(x+3)=x2-1 C.x2-2x=3 D.x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中,一元二次方程个数() ①、;②、;③、;④、;⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程(x+1)2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是() A.m≥﹣ B.m≥0 C.m≥1 D.m≥2 5、以1,-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程(m +1)x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解,那么m的值是() A.0 B.1 C.- 1 D. 7、若c(c≠0)为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根,则c+b的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于

A.1 B.2 C.1或2 D.0 9、定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是() A. B. C. D. 10、若为方程的解,则的值为() A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解,则代数式的值为 . 13、已知,则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生,将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张,全组共互赠了182张,若全组有名学生,则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足,则3___________. 三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程?请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0,求的值是多少? 18、已知关于x的方程. (1)m为何值时,此方程是一元一次方程?

一元二次方程知识点总结与易错题及答案

一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式: )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤:就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a ,一次项的系数为b ,常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于- a b ,二根之积等于a c ,也可以表示为x 1+x 2=-a b ,x 1 x 2=a c 。利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用。

中考数学一元二次方程知识点总结

中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点: (1)含有一个未知数; (2)且未知数次数最高次数是2; (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程。 (4)将方程化为一般形式:ax 2 +bx+c=0时,应满足(a≠0) 3. 一元二次方程的一般形式:一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0(a ≠0)。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0(a ≠0)后,其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±?=,当b<0时,方程没有实数根。 (2)配方法 配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方 程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2 =q 的形式,如果q ≥0,方程的根是x=-p ±√q ;如果q <0,方程无实根. (3)公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式:

一元二次方程知识点归纳

一元二次方程知识点 知识点一:一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2 的整式方 程. (2)一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项,a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项. 例:方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程,则方程的根为- 1. 2 .一元二 次方程的解法 (1)直接开平方法:形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法:可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程,用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-(b2-4ac≥0). (4)配方法:当一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶 数时,也可以考虑用配方法. 解一元二次方程时,注意 观察,先特殊后一般,即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法,不能用这两种方 法解时,再用公式法. 例:把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后, h=-3,k=6. 知识点二:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ=24 b ac -0时,原方程有两个不相等的实数根. (2)当Δ=24 b ac -0时,原方程有两个相等的实数根. (3)当Δ=24 b ac -0时,原方程没有实数根. 例:方程2210 x x +-=的判 别式等于8,故该方程有两个不相 等的实数根;方程2230 x x ++= 的判别式等于-8,故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 (1)基本关系:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ;x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. (2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式 的值时,先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子,再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形: x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时, 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三:一元二次方程的应用 4(1)解题步骤:①审题;②设未知数;③列一元二次方程; ④解一元二次方程;⑤检验根是否有意义;⑥作答. 运用一元二次方程解决实际问题时,方程一般有两个实

人教版21章一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点 一、一元二次方程 1、一元二次方程概念:等号两边是整式,含有一个未知数,并且未 知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。 注意:(1)一元二次方程必须是一个整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2 ;(4)二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。 (2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。 (3)形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程,当且仅当0≠a 时是一元二次方程。 二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当2 =x 时,0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根(相等或不等) 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 直接开平方法理论依据:平方根的定义。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。

三种类型:(1)()02≥=a a x 的解是a x ±=; (2)()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=; (3)()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±= 。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 (一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤: (1) 把一元二次方程化成一般形式 (2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这 个数; (3) 把原方程变为()n m x =+2的形式。 (4) 若0≥n ,用直接开平方法求出x 的值,若n ﹤0,原方程无解。 (二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时,用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数; (3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式; (4)若0≥n ,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。

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