专题十六(圆幂定理)

专题十六圆幂定理

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．

1.相交弦定理：

2.切割线定理：

《弦切割定理》：

3.割线定理：

【例题求解】

【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=4，则PB= ．

思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．

注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：

(1)平行线分线段对应成比例；

(2)相似三角形对应边成比例；

(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；

(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．

【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( )

A ．3

B ．4

C ．415

D ．5

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思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．

【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠

B ．

(1)求证：PA 是⊙O 的切线；

(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．

思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k 的关系，建立x 或k 的方程．

【例4】 如图，P 是平行四边形AB 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、E ，EG 是过B 、F 、P 三点圆的切线，G 为切点，求证：EG=DE

思路点拨 由切割线定理得EG 2=EF ·EP ，要证明EG =DE ，只需证明DE 2=EF ·EP ，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．

注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段

等积式是转化问题的桥梁．

需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．

【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF 切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．

求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．

思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，

Rt△AEB入手．

注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：

(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．

(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．

(3)将以上分析组合，寻找联系．

1、如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD 于E，B

E交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC．

2、如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．

(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由；

(2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；

(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．

3、如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ．

(1)求证：△PBD ∽△PEC ；

(2)若AB=12，tan ∠EAF=

3

2，求⊙O 的半径的长．

4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．

(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．