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湖南省长沙市一中2009届高三第三次模拟试卷理科数学

湖南省长沙市一中2009届高三第三次模拟考试试卷

理科数学

命题：长沙市一中理科数学备课组

一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.在复平面内,复数i

z +=

对应的点位于（） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限

2.已知a R ∈，则“2a >”是“2

2a a >”的

（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3.直线(1)y k x =+与圆2

1x y +=的位置关系是（） A .相离 B .相切 C .相交 D .与k 的取值有关 4.函数b x A x f +?+ω=)sin()((0,0,)2

A π

ω?>>-

的图象如图，则)(x f 的解析式可以为

A . 3

()sin 12f x x π=+

B . 1

()sin 12

f x x =+

C . 1()sin 124

f x x π

D .12

sin 21)(+π

x x f 5.正四棱锥P －ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为表面积为（）

A. 18π

36π C. 72π D. 9π

6．设斜率为2的直线l 与双曲线22

221x y a b

-=交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好

是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为

（）

B. C.

D. 科网

7．已知函数4

()1||2

f x x =

-+的定义域为[a,b ] (,)a b ,值域为[0,1]，那么满足条件的有序对(,)a b 共有（）

A. 3对

B. 4对

C. 5对

D. 9对 6.如果关于x 的方程2

3ax x +

=有且仅有一个正实数解，那么实数a 的取值范围为（） A. {|0}a a ≤ B. {|0a a ≤或2}a = C. {|0}a a ≥ D. {|0a a ≥若2}a =-

8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再

染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是（）

A . 3948

B . 3953

C . 3955

D .3958 二．填空题（本大题共７小题，每小题5分，共35分）

9.某小卖部，为了研究气温对冷饮销售的影响，经过一段时间的统计研究先一天冷饮卖出的杯数y 与当天气温x ℃近似地满足线性回归方程：1648y x =+

.若天气预报明天的气温是30℃,则该小卖部明天大约能卖出冷饮___________杯．

10 .已知2

|1|(0)()log (0)x x f x x x -≤?=?>?，则[(1)]f f -=_________.

11.若椭圆22

21615x y p

+=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为_________．

12.已知面积型几何概率的定义为：若随机运动的点可能运动的总范围面积为S ,该点落在某指定范围的面积为S '，则该点落在指定范围的概率S P S

.试用以上定义求解：如图,一只蚂蚁在边长分别

为爬行到离三个顶点距离都大于1的区域内的概率为．

13.

已知(A ，O 为原点，点(),P x y

的坐标满足0200y x y -+????

≤≥≥，

则OA OP OA

? 的最大值是，此时点P 的坐标是 .

14.某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后

这种基金的股价约是__________元/股（精确到0.01）.

15.设函数(),()f x g x 的定义域分别为D J ,D E ．且D J D E ，若对于任意x ∈D J ,都有()(),g x f x =则称函数()g x 为()f x 在D E 上的一个延拓函数.设()ln (0),()f x x x x g x =>为()f x 在(,0)(0,)

-∞?+∞上的一个延拓函数，且()g x 是奇函数，则()g x =________________________；设()21(0)x f x x =

-≤,

()g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数，且且()g x 是偶函数，则()g x =________________________.

三．(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)

某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是

41、32、5

，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是

，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。

17．(本小题满分12分)

已知角α、β满足：53sinα＋5cosα＝82ββ=且α∈(0，π3)，β∈(π6，π

2)，求cos(α

＋β)的值.

如图，△ABC 中，C ∠=o 90,o 45A ∠=,ABC DC ⊥平面,DC=6,G ABC ?为的重心

o 45M GD MCG ∠=为上的一点，.

(1)求证AB ⊥DG ；

(2)求二面角G —MC —B 的大小.

19．（本小题满分13分）已知()ln f x x x =．

⑴ 求函数()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；

⑵ 对一切实数(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；

⑶ 证明对一切(0,)x ∈+∞， 12

ln x x e ex

>-恒成立．

如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m ，要求通行车辆限高．．5 m ，隧道全长2.5 km ，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？

（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h 和拱宽l ？

（已知：椭圆22a x +22

y =1的面积公式为S = ab ，柱体体积为底面积乘以高.）

（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M 、N ，使它们所在位置的高度恰好是限高．．5m ，现以M 、N 以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l =30m ，

倍，试确定M 、N 的位置以及h 的值，使总造价最少.

已知数列{}n a 满足1a =25a =，116n n n a a a +-=+（2n ≥，*n N ∈），

若数列{}1n n a a λ++是等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求证：当k 为奇数时，

11114

k k k a a +++<；（Ⅲ）求证：121111

n a a a +++< （*n N ∈）.

长沙市一中高三第三次模拟考试试卷

理科数学答案

9. 528 10. 1 11. 4 12 118

-π

13，(1,.

14. 2.44 . 15. ||ln ||,21x x x --

三．(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A 、B 、C ，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：

5232)411(52)321(41)521(3241)()()(=??-+?-?+-??=

++=BC A P C B A P C AB P p ……6分（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M ，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N ，

4455121()C ()(),()()333

P M P N ==……………………………………8分

所以，所求的概率是：P=P （M ）+P （N ）=243

)31()32()31(5445=+C 。 …………11分

15533ξE =?= ,即平均使用台数为5

台。 ……………………12分

17．解：∵53sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋π6)＝4

．………………3分

∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝3

5．………………5分

又∵2sinβ＋6cosβ＝2，∴sin(β＋π3)＝2

，………………8分

∵β∈(π6，π2)，∴β＋π3∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－2

2，………………10分

∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－2

，

∴cos(α＋β)＝－

．………………12分 18．解析(1) 在△ABC 中，AC BC =,o 90ACB ∠=故△ABC 为等腰直角三角形 ∵G ABC ?为的重心，∴ AB ⊥GC ……①

又∵DC ABC ⊥平面, AB 平面ABC ∴ AB ⊥DC ………②

由①②及DC GC C ?=知AB ⊥面DGC,

∵ DG 面DGC, ∴AB ⊥DG ……6分

(2)延长CG 交AB 于点N ∵G ABC ?为的重心 ∴N 是AB 的中点 ∵o 90ACB ∠= ∴1

CN AB =

= 连接DN 延长CM 交DN 于点C ,由o 6,45CN DC MCG ==∠=

知CE DN ⊥,则E 是DN 的中点，连接BE ，由AB ⊥面DGC ,知B CE E ⊥ 故BEN ∠为二面角G —MC —B 的平面角 ……9分在Rt BEN ?中，BN =6,EN

∴tan BN

BEN EN

∠=

∴二面角G —MC —B

的大小是 ……12分

19．解：⑴ '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1

(,)x e

∈+∞，'()0f x >，

()f x 单调递增．………………………………………………………………1分 ① 1

02t t e

<<+<，t 无解；………………………………………………2分

② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11

()()f x f e e ==-；………………………………3分

③ 12t t e ≤<+，即1

t e

≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；

所以min 1

10()1ln t e e

f x t t t e ?-<

，，．………………………………………………………………5分

⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32l n a x x x ≤++

，设3

()2l n (0)hx x x x x

=++>，则2

(3)(1)'()x x h x x +-

，

(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递减，

所以min ()(1)4h x h ==，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=；………………9分

⑶ 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e >

-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1

，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e

-=，易得max 1

()(1)m x m e ==-，

当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12

ln x x e ex

>-成立．………………13分

20．（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （10， 2），

椭圆方程为22a x +22

y =1.将b =h -3=3与点P 坐标代入椭圆方程，得a

=l =2a

因此隧道的拱宽约为m. ………………5分

（2）要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭

圆的面积最小即可．

由椭圆方程22a x +22

b y =1，得2210a +222b =1.因为2210a +2

22b ≥2102ab

??，即ab ≥40，………8分

所以半椭圆面积S =

2πab ≥40π202

=π.………………………………………10分当S 取最小值时，有2210a =222b =2

，得a =102，b

=此时l =2a =202， h =b

+3=………………………………………………12分

故当拱高为

(、拱宽为202m 时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小……13分（3）根据题意设(,2),(,2),1015M x N x x -≤<则

设()22[15)f x x x x =+=+≤< ……11分

则()f x '=

令()0f x '=，230221013(17)x x x x ?-+=?==舍去，且1013x ≤<时，()0,1315()0,f x x f x ''<<<>时,

∴13x =时，()f x 取最小值，此时(13,2),(13,2)M N -,

代入椭圆方程得14

b =

∴3314

h b =+=+

……………………………………13分

21．【解】（Ⅰ）∵数列{}1n n a a λ++是等比数列

∴

()()

11111

16611n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλ--+-----+

++++++===+++++应为常数 ∴6

1λλ

=+ 得2λ=或3λ=- 当2λ=时，可得{}12n n a a ++为首项是21215a a +=，

公比为3的等比数列，则1

13152-+?=+n n n a a ①

当3λ=-时，{}13n n a a +-为首项是10312-=-a a ，公比为2-的等比数列， ∴()

13102n n n a a -+-=-- ② ①－②得， ()32n

n n a =-- ………4分

（注：也可由①利用待定系数或同除12n +得通项公式）（Ⅱ）当k 为奇数时，

11113

2312313411+++++--++=-+k k k k k k k k a a ()()()()11111134872768403323233232k

k k

k k k k k k k k k k ++++++?????-???

???-?+?????==

13411++<+k k k a a ………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知k 为奇数时，

1113

313411++++=<+k k k k k a a ………10分 ①当n 为偶数时， 212111111111

133323

n n n a a a ??+++<+++=-< ??? ②当n 为奇数时，

21211

111111++

+++<+++n n n a a a a a a a 211111111

1333232n n ++??+++=-< ??? ………13分

高三理科数学高考模拟检测卷及答案

届山东省德州市高三第一次练兵（理数） 1. i 是虚数单位， ) 1(1 3+-i i i =（） (A)-1 (B)1 (C)- i (D) i 2. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3. 已知函数2log ,0,()2, 0.x x x f x x >?=?≤?若1 ()2f a =，则a =（） A ．1- B ． C ．1- 或 D ．1 或 4. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数与优秀率分别为． A 800 20% B 980 20% C 980 10% D 800 10% 5．命题p ：若1||1||||,>+>+∈b a b a R b a 是，则的充分不必要条件；命题q ：函数),3[)1,(2|1|+∞?--∞--=定义域是x y ，则（） A ．“p 且q ”为假 B ．“p q 或”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 6．已知正四棱锥S-ABCD 的三视图如下，若E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为（） 2 2 2

(A) 3 1 (B) 32 (C) 33 (D) 3311 7.若实数,x y 满足1|1|ln 0y x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ). 8、、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若γαβα//,//，则γβ//; ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ; ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥; ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 9. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2 y x =和曲线y x = 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）（A ） 12 （B ）1 3 （C ）1 4 （D ）16 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息，设定原信息为 }{),2,1,0(1,0,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中201100,a h h a a h ⊕=⊕=，⊕运算规则为.011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（） (A)11010 (B)01100 (C)10111 (D)00011 11．已知点F 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（） A ．（1，+∞） B ．（1，2） C ．（1，1+2） D ．（2，1+2） 12.令3tan ,sin ,cos ,|04 442a b c π πππθθθθθθθθθ?====- << ≠≠≠?? 且且则如图所示的算法中，给θ一个值，输出的为θsin ，则θ的范围是（） O 1 x y O 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y 1 A. B. C. D. 2

湖南省长沙一中高二数学(理)第一学期期末

长沙市一中高二理科数学考试卷时量：115分钟满分：150分命题人：胡雪文校审人：江楚珉一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.选对的得5分，错选或不答得0分.） 1．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b 与c 不平行，则（） A ．a 与c 平行 B ．a 与c 不平行 C ．a 与c 是否平行不能确定 D ．a 与c 是异面直线 2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（） A ．A 1C 1与A 1D 成90°角 B ．A 1C 1与AC 是异面直线 C ．AC 与DC 1成45°角 D ．A 1C 1与B 1C 成60°角 3．下列命题正确的是（） A ．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行 B ．平行于同一个平面的两条直线平行 C ．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 D ．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行 4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（） A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交 5．空间四边形OABC 中，OA = a ，OB = b ，OC = c ，点M 是在OA 上且OM = 2MA ，N 为BC 的中点，则MN 等于（） A ．12a 2 3 -b +12c B ．2 3 -a +12b +12c C ．12a +12b 2 3 -c D ．23a +2 3 b 12-c 6．若直线l 与平面α所成角为 3 π ，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是（） A ．2 [0,]3 π B ．2 [,)33 ππ C ．2 [,]33 ππ D ．[,]32 ππ 7．长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1:2:3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A ．12 B ．24 C ． D ．8．设地球半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于南纬75°东经120°，则甲、乙两地的球面距离为（）

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<