2019版高考数学一轮复习第七章推理与证明课时训练_【含答案】
第七章 推理与证明
第1课时 合情推理与演绎推理
一、 填空题
1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________．
答案：55
解析：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
2. 我们把 1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，则第 n 个正方形数是________．
答案：n 2
解析：∵ 1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52
，…
∴ 由此可推得第n 个正方形数是n 2
.
3. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3
，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．
答案：－g(x)
解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4(从左至右)出现在第3行； 数字7，8，9，10出现在第4行，…，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为________．
答案：194
解析：前19行共有19×（1＋19）
2
＝190(个)数字?第19行最左端的数为190?第20行从左到右第4个数
字为194.
5. 观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝3
3
.照此规律，
对于一般的角α，β，有等式____________________．
答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2
解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin α＋sin β
cos α＋cos β
＝tan
α＋β
2
. 6. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y
2n
2＝1(m>n>0，
p ＝m 2－n 2
)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e
.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是
____________．
答案：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y
2n
2＝1(m>0，n>0，
p ＝m 2＋n 2
)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C|sin B ＝1e
解析：由正弦定理和椭圆定义可知sin A ＋sin C sin B ＝AB ＋BC AC ＝2a 2c ，类比双曲线应有|AB －BC|AC ＝
|sin A －sin C|
sin B ＝1
e
. 7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边
上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为2
2
，则最小正方形的边长
为________．
答案：1
32
解析：设1＋2＋4＋…＋2n －1
＝1 023，即1－2n
1－2＝1 023，解得n ＝10.正方形边长构成数列22，? ????222，? ??
?
?
223
，…，? ????2210，从而最小正方形的边长为? ??
??2210＝132.
8. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为________． 1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 …
答案：809
解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202
＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
9. 已知“整数对”按如下规律排成一行：
(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是________．
答案：(5，7)
解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且
第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到
10×（10＋1）
2
<60<11×（11＋1）2
，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结
合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．
10. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG
GD
＝2”．若
把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O
为四面体ABCD 外接球的球心，则AO
OM
＝__________”．
答案：3
解析：如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝
33a ，AM ＝6
3a.设OA ＝R ，则OB ＝R ，OM ＝63a －R ，于是由R 2
＝? ????33a 2＋? ????63a －R 2，解得R ＝64a.所以AO OM ＝6
4
a 63a －6
4
a ＝3.
11. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点
(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)
答案：a ，b
解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路的作用．a ，b 均满足题意，c 中第二排第三列的点至少起到两次确定线路的作用．
二、 解答题
12. 已知函数f(x)＝1
3x ＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性
结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13（1＋3）＝33（1＋3）＋13（1＋3）＝3
3
，
同理可得f(－1)＋f(2)＝
33，f(－2)＋f(3)＝3
3
. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝
3
3
.证明如下： f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋1
31－x ＋3
＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x
3（3＋3x
） ＝
3＋3
x
3（3＋3x
）＝3
3
.
13. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①②③④为他们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求出f(5)的值；
(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3) 求n≥2时，1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1
f （n ）－1
的值．
解：(1) f(5)＝41.
(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …
由此式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.
f(n ＋1)－f(n)＝4n ?f(n ＋1)＝f(n)＋4n ?f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n
－3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2
－2n ＋1.
(3) 当n≥2时，
1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12? ??
??1
n －1－1n ，
所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋
1
2
? ??
??1－1n ＝32－12n .
第2课时 直接证明与间接证明
一、 填空题
1. 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．
答案：方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根
解析：“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3
＋ax ＋b ＝0没有实根”． 2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是____________． 答案：m 解析：∵a＞b ＞0，∴a ＞b ，a －b ＞0. ∴m 2－n 2 ＝a ＋b －2ab －(a －b)＝2b －2ab ＝ 2b(b －a)＜0.∴m 2＜n 2 . 又m ＞0，n ＞0，∴m ＜n. 3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n .若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 答案：2n 解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2 ＝(a n ＋1)(a n ＋2 ＋1)?a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2?a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1?a n (1＋q 2 －2q)＝0?q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n. 4. 已知函数f(x)满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2 （2）＋f （4） f （3） ＋ f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2 （4）＋f （8） f （7）＝________． 答案：16 解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2 (n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）f （n ）＝2，故f 2 （1）＋f （2）f （1） ＋ f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2 （4）＋f （8）f （7）＝2f （2）f （1）＋2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8） f （7） ＝16. 5. 已知直线l⊥平面α，直线m ?平面β，有下列命题：① α∥β?l ⊥m ；② α⊥β?l ∥m ；③ l∥m ?α⊥β；④ l⊥m ?α∥β.其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①③ 解析：① ? ??? ?l⊥αα∥β?l ⊥β，又m ?β，∴ l ⊥m ，①正确；② l⊥α，当l ?β且m 不垂直α时，则l 必与m 相交，故②错误；③ ? ??? ?l∥m l⊥α?m ⊥α，又m ?β，∴ β⊥α，故③正确；④ 若α∩β＝n ，且m∥n 时，l ⊥α?l ⊥n ?l ⊥m ，故④错误． 6. 已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2 ，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案：c≥b>a 解析：∵ c－b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a)2≥0，∴ c ≥b.已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵ 1＋a 2 －a ＝? ????a －122＋34 >0，∴ 1＋a 2>a.∴ b ＝1＋a 2 >a.∴ c ≥b>a. 7. 对实数a 和b ，定义运算“?”：a ?b ＝? ????a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2)?(x －x 2 )，x ∈R .若函数y ＝f(x) －c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________． 答案：(－∞，－2]∪? ????－1，－34 解析：由题意可得f(x)＝???? ?x 2－2，x 2－2－（x －x 2 ）≤1，x －x 2，x 2－2－（x －x 2 ）＞1 ＝? ????x 2 －2，－1≤x≤32 ， x －x 2 ，x ＜－1或x ＞32 ， 函数图象如图所示． 函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有2个交点，由图象可得c≤ －2或－1＜c ＜－3 4 . 8. 对于一切实数x ，不等式x 2 ＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案：[－2，＋∞) 解析： 当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a≥－? ????|x|＋1|x|(x≠0)，而|x|＋1|x|≥2，∴ a ≥－2. 9. 若二次函数f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2 －p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)>0，则实数p 的取值范围是______________． 答案：? ????－3，32 解析：令?????f （－1）＝－2p 2 ＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2 －3p ＋9≤0， 解得p≤－3或p≥32， 故满足条件的p 的取值范围是? ????－3，32. 10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于任意 不同的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f(x 1)－f(x 2)|<1 2 .那么他的反设应该是________． 答案：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1 －x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥1 2 解析：要证明的问题是全称命题的形式，则其结论的否定应该是特称命题的形式，即“函数f(x)在[0，1] 上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥1 2 ”． 二、 解答题 11. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ① sin 213°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°； ② sin 215°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③ sin 218°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°； ④ sin 2(－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤ sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1) 选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34 . (2) 三角恒等式为sin 2α＋cos 2 (30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34 . 证明如下：sin 2α＋cos 2 (30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2 －sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2 α＋34cos 2α＝34 . 12. 已知二次函数f(x)＝ax 2 ＋bx ＋c(a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0 (1) 求证：1 a 是f(x)＝0的一个根； (2) 试比较1 a 与c 的大小； (3) 求证：－2 (1) 证明：∵ f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴ f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ f(c)＝0， ∴ x 1＝c 是f(x)＝0的根，又x 1x 2＝c a ， ∴ x 2＝1a ? ????1a ≠c ，∴ 1 a 是f(x)＝0的一个根． (2) 解：假设1a ??1a ＝0矛盾，∴ 1a ≥c.∵ 1a ≠c ，∴ 1a >c. (3) 证明：由f(c)＝0，得ac 2 ＋bc ＋c ＝0，即ac ＋b ＋1＝0，∴ b ＝－1－ac.又a>0，c>0，∴ b<－1. 二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22 a .又a>0，∴ b>－2，∴ － 2 13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，n ∈N * . (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设数列{a 2 n }的前n 项和为T n ，求S 2n T n ； (3) 判断数列{3n －a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论． 解：(1) 当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 因为a 1≠0，所以a n a n －1 ＝2，从而数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n . (2) 因为a 2n ＝(2n )2＝4n ，所以a 2n ＋1a 2n ＝4， 故数列{a 2 n }是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而S 2n ＝2（1－22n ）1－2＝2(4n －1)， T n ＝4（1－4n ）1－4＝43(4n －1)， 所以S 2n T n ＝32 . (3) 不存在．证明：假设{3n －a n }中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k(m 则2(3n －a n )＝3m －a m ＋3k －a k ， 即2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k . 因为m ， 所以n ＋1≤k. 因为2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k ≥3m －2m ＋3n ＋1－2n ＋1 ， 所以－3n ≥3m －2m ，不等式不成立． 所以数列{3n －a n }中不存在三项成等差数列．第3课时 数学归纳法 一、 填空题 1. 利用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N * 时，从“n ＝k”变到 “n＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________________． 答案：2(2k ＋1) 解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋1＋k ＋1); 从而增加的两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，减少的一项为k ＋1.故左边应增乘的因式为（2k ＋1）（2k ＋2） k ＋1 ＝2(2k ＋1)． 2. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞13 24 的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左 边增加的式子是________________． 答案：1 （2k ＋1）（2k ＋2） 解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1 （2k ＋1）（2k ＋2） ，故应填 1 （2k ＋1）（2k ＋2） . 3. 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2 ，则f(k ＋1)与f(k)的递推关系式是________________． 答案：f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 4. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1 (n∈N * )，则f(k ＋1)－f(k)＝____________． 答案：13k ＋13k ＋1＋1 3k ＋2 解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－? ????1＋12＋13＋1 4＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 5. 在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点．设这n 条直线将平面分成f(x)个部分，则f(k ＋1)－f(k)＝________． 答案：k ＋1 解析：一条直线分成1＋1＝2(个)部分，两条直线分成1＋1＋2＝4(个)部分，三条直线分成1＋1＋2＋3＝7(个)部分，f(n)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ，则f(k ＋1)－f(k)＝[1＋1＋2＋3＋4＋…＋k ＋(k ＋1)]－(1＋1＋2＋3＋4＋…＋k)＝k ＋1. 6. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2 ＝n 4＋n 22 时，当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________． 答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 解析：∵ 当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2 ＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2 . 7. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜7 4 ，…，则可归纳出____． 答案：1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2< 2n ＋1n ＋1(n∈N * ) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1（2＋1）2< 2×2＋1 2＋1 ，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1 (n∈N *)． 8. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n∈N * )成立，其初始值至少应取________． 答案：8 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12 ＝2－1 2 n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 9. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1） 2（2n ＋1） ；当推证n ＝k ＋1等式也成立 时，用上归纳假设后需要证明的等式是____________． 答案：k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2 （2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2） 2（2k ＋3） 解析：当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝k （k ＋1） 2（2k ＋1） ＋ （k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3），故只需证明k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2 （2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2） 2（2k ＋3） 即可． 10. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1 （n ＋1） 2，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)·…·(1－a n )，试通过计算c 1，c 2， c 3的值，推测c n ＝____________． 答案：n ＋2n ＋1 解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×? ????1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×? ????1－14×? ?? ??1－19＝43， c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)·(1 －a 3)＝2×? ????1－14×? ????1－19×? ????1－116＝54 ，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 二、 解答题 11. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n (n∈N * )，a 1＝12 .试通过求a 2，a 3，a 4的值猜想a n 的表达式，并用数学归纳 法加以证明． 解：a 2＝12－a 1＝12－12＝23，a 3＝12－a 2＝12－23＝34，a 4＝12－a 3＝12－34＝4 5 . 猜想：a n ＝n n ＋1 (n∈N * )． 用数学归纳法证明如下： ① 当n ＝1时，左边＝a 1＝12，右边＝11＋1＝1 2 ，所以等式成立； ② 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k k ＋1 ＝k ＋1k ＋2＝k ＋1 （k ＋1）＋1 ，所 以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②得，当n ∈N * 时等式都成立． 12. 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n(n 2－n 2)＝an 4＋bn 2 ＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论． 解：分别用n ＝1，2，3代入解方程组???? ?a ＋b ＋c ＝0， 16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18 ??????a ＝14 ，b ＝－14 ， c ＝0. 下面用数学归纳法证明． ① 当n ＝1时，由上可知等式成立； ② 假设当n ＝k 时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22 ]＋…＋k[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k(k 2－k 2 )＋1·(2k＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋ k(2k ＋1)＝14k 4＋? ?? ??－14k 2＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2 ，∴ 当n ＝k ＋1时，等式 成立． 由①②得等式对一切的n∈N * 均成立． 13. 已知(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (其中n∈N * )，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n . (1) 求S n ； (2) 求证：当n≥4时，S n >(n －2)2n ＋2n 2 . (1) 解：取x ＝1，则a 0＝2n ；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n ，∴ S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n . (2) 证明：要证S n >(n －2)2n ＋2n 2，只需证3n >(n －1)2n ＋ 2n 2 ， 当n ＝4时，81>80；假设当n ＝k(k≥4)时，结论成立，即3k >(k －1)2k ＋2k 2 ， 两边同乘以3 得：3k ＋1>3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k·2k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2 －4k －2]． 而(k －3)2k ＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k ＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k ＋4(k －2)(k ＋1)＋6>0， ∴ 3k ＋1>[(k ＋1)－1]2k ＋1＋2(k ＋1)2 ，即n ＝k ＋1时结论也成立， ∴ 当n≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2 成立． 综上，原不等式成立． 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 2019高考数学复习计划（含时间表） xx年高考数学复习计划 一、学情分析： 暑假过后，文科及艺体班和理科班开始高考第一轮复习复习，体育理科班尚有部分选修没有结束。由于今年我省规范办学，教学时间略显紧张，特别是学理科的学生。为顺利完成教学任务，积极组织教学，决胜高考特制定如下方案。 二、指导思想 以校领导、年级组精神为指导，集思广益踏踏实实搞好集体备课；2、以新的高考方案为指导，稳扎稳打钻研《考试说明》备好每一节课；3、以重读课本例题、重做课本练习，做实基础为指导，步步为营上好每一节课，不留死角、盲点，落实好每一个知识点； 三、文、理科班复习方案 带领学生重读教材，重做练习。重点例题重点研究，多做变式探讨；重点习题反复做，变式做。每周集中时间做一份12题左右的综合题试卷。 2、精心编写学案。在上课前认真做好每一题，做到上课时决不照本宣科；对基础知识梳理部分，要做到查漏补缺形成知识系统；对例题习题尽量做到一题多解，又要注重通法的总结；适当补充最新考试信息题，以便紧跟形势；认真 组织单元练习，要限定时间认真监考，仔细批阅按标准量分，力争准确检测学生的学习效果。 3、密切关注最新高考信息，随时调整复习方案。 四、体育理班复习方案 尽快结束选修课的教学，争取在8月中旬开始进入第一轮复习。 2、深入研究《考试说明》，不补充难度大的例题习题，以完成书本内容为主。 3、每周做一次10题的小测试，以促进学生学习并检测学习效果。 五、复习计划 具体安排 第一轮复习 第一轮复习(八月初到二月底),基础知识复习阶段。在这一阶段,老师将带领同学科重温高中阶段所学的课程,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在第一次学习时,老师是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 2019年高考数学复习备考指导 数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。小编准备了高考数学复习备考指导，具体请看以下内容。 一、全国卷与广东卷的异同点 1.题型结构与满分相同 试题都是由选择题、填空题、解答题构成;满分均为150分。 2.题量与赋分不同 广东卷总题量为21题(考生解答20题)，其中选做题为2选1，客观题占70分，解答题占80分。 全国卷总题量为24题(考生解答22题)，其中选做题为3选1，客观题占80分，解答题占70分。 3.试题分布不同 广东卷理科选择题8道，填空题7做6，解答题6道;文科选择题10道，填空题5做4，解答题6道。全国卷文、理科选择题12道，填空题4道，解答题6道(选做题3选1)。 广东卷选做题为填空题(2选1，满分5分)。全国卷选做题为解答题(3选1，满分10分) 在解答题中，广东卷为6道必做题，全国卷为5道必做题和1道选做题。 4.试题难度（顺序）不同 20192019年广东卷理科解答题顺序： 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题2019 三角 概率与统计立体几何数列 解析几何函数与导数2019 三角 概率与统计立体几何数列 解析几何函数与导数2019 统计 立体几何 函数与导数 解析几何 数列与不等式 20192019年广东卷文科解答题顺序完全相同： 三角概率与统计立体几何数列解析几何函数与导数20192019年全国卷Ⅰ理科解答题顺序： 年份 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 第22-24题 2019 三角 立体几何 概率与统计 解析几何 函数与导数 2019年高考复习计划-学习计划 进入新高三总复习之后，可以预见学生的学习时间越来越少了，绝大多数学校或同学给自己悬上了高考倒计时。但大多数同学们在这个阶段普遍感到比较茫然，无从下手。新高三马上要进入第一轮复习了，所以我们也应该利用好这一年的时间，有针对性的解决现在存在的问题，为自己赢得迈向成功起点的机会。 下面说一下常规的备考阶段和学习目标，以及当前我们务必要做的几件事： 高三三轮复习按时间大致分为： (一)第一轮复习(9月3月初)基础能力过关时期 一边是高中三年课程的回顾，一边是知识遗漏的查找，这也是为高考总复习知识系统化、能力化做好准备的时期。高考是考三年的内容，而在高一高二落下的知识很多，而高考的其中的一个黄金定律8020法则，就是指高考试题的80%是基础知识，20%是稍难点的综合题，把这部分的基础做好的话，就可以上一所不错的大学。所以必须把这两年的基础知识补上，避免高考时这些知识变成失分点，自己通过做大量的题来找漏洞效果不明显而且又浪费了时间。最后以致于信心受挫，决定放弃学习了。这是学习中的最可怕的现象。我们做题不贵多而贵精。应该做囊括高考的重点、难点、考点的题和通过对照老师讲的具体内容检测出漏洞。 显然大部分学生已经完成了这个阶段，如果少部分学生基础没有掌握牢固的话，还是老老实实的按照第一轮的思想去备考，因为整个高考中，基础及中等难度的分数比例非常之高，抓好基础将能获取更多的分数。 (二)第二轮复习(3月初5月中)综合能力突破时期 1、进行典型题训练，提升实战能力。高考黄金定律二就是典型题法则，其实如果我们把高考的方向把握准了，高考的出题模式弄清楚，我们在平时的学习会很轻松。不只是在数学、物理这样的理科有典型题，文科的东西也是遵循这一原则的，比如语文的作文，一篇文章好的结构、好的句子，我们都可以用来模仿，比如诚信是小朋友将拾到的一分钱放在警察叔叔手里时脸上的笑容，是少先队员宣誓时眼中的闪光。诚信是焦裕禄推开乡亲柴门送去的那一阵春风，它是孔繁森将藏族老妈妈冻伤的双脚捂进怀中的深情。这是关于诚信的比喻，那我们就可以借鉴一下，仿造句子。如：诚信是开国领袖面对新中国第一缕曙光作出的中国人民从此站起来了的召唤。诚信是继往开来的领路人俯瞰西部作出的中国要实现伟大复兴的决定。学习就是一个由模仿到驾驭的过程，我们在借鉴别人精彩点的同时也是积累知识的过程，最终由量变到质变，使我们成为一个出口成章、才华横溢的人，所谓熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。 2、构建知识体系，进行专项练习。体系是综合的根本，专题是提高的保证。我们在回忆信息过程中会出现的暂时性的遗忘。高三学生在考试时经常答案就在嘴边就是写不出来这种情况就是我们所说 2019年高考总复习：命题的真假 1．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈R ，log 2x ＝0 B ．?x ∈R ，cosx ＝1 C ．?x ∈R ，x 2>0 D ．?x ∈R ，2x >0 答案 C 解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以A 、B 项均为真命题，02＝0，C 项为假命题，2x >0，选项D 为真命题． 2．(2018·广东梅州联考)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则非p 是( ) A ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 B ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 C ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 D ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 答案 B 解析 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B. 3．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 答案 C 解析 若x>y ，则－x<－y 成立，即命题p 正确；若x>y ，则x 2>y 2不一定成立，即命题q 不正确；则非p 是假命题，非q 为真命题，故p ∨q 与p ∧(非q)是真命题，故选C. 4．(2018·浙江临安一中模拟)命题“?x 0∈R ，2x 0<12或x 02>x 0”的否定是( ) A ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2或x 02≤x 0 B ．?x ∈R ，2x ≥1 2或x 2≤x C ．?x ∈R ，2x ≥1 2且x 2≤x D ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2且x 02≤x 0 答案 C 解析 特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C. 5．已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x|y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①?m ∈A ，m ?B ；②?m ∈B ，m ?A ；③?m ∈A ，m ∈B ；④?m ∈B ，m ∈A. A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ． 姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =． 2018年高考数学考试大纲：出现新考点题型有变化考纲摘录 知识要求 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次，分别用A，B，C 表示。（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题；（2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决；（3）掌握（C）：要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决。 试题类型 全卷分选择题、填空题、解答题三种题型。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程。文、理科全卷题型、题量和赋分分别如下： 试卷结构 文科卷： 1.全卷22道试题均为必做题； 2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题7道，每道5分，共35分；解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分。 理科卷： 1.全卷22道试题，分为必做题和选做题。其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题； 2.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；试题按难度（难度=实测平均分/满分）分为容易题、中等题和难题. 难度在 0.70以上的题为容易题，难度在0.40-0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题。控制三种难度的试题的合适分值比例，试卷总体难度适中。 题型变化对文科生影响更明显 2019届高三理科数学一轮复习计划 目录 一、背景分析 (1) 三、目标要求 (1) 四、具体计划 (2) （一）总体要求 (2) （二）要解决的问题 (2) （三）总体思路设计 (3) 五、测试制度 (3) （一）周测 (3) （二）单元测试 (3) （三）月测 (3) （四）备注 (3) 六、课程分类 (4) （一）知识梳理课 (4) （二）能力提高课 (4) （三）章节复习课 (4) （四）试卷讲评课 (5) 七、一轮复习进度计划具体安排如下 (5) 2019届高三理科数学一轮复习计划 一、背景分析 近几年来的高考数学试题逐步做到科学化、规化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面、比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查学生进入高校学习所需的基本数学素养，这些变化应引起我们在教学中的关注和重视。 二、指导思想 在全面推行素质教育的背景下，努力提高课堂复习效率是高三数学复习的重要任务。通过复习，让学生更好地学会从事社会生产和进一步学习所必需的数学基础知识，从而培养学生思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心。老师要在教学过程中不断了解新的教学信息，更新教育观念，探求新的教学模式，准确把握课程标准和考试说明的各项基本要求，立足基本知识、基本技能、基本思想和基本方法教学，针对学生实际，指导学法，着力培养学生的创新能力和运用数学的意识和能力。 三、目标要求 第一轮复习要结合高考考点，紧扣教材，以加强双基教学为主线，以提高学生能力为目标，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。为此，确立一轮复习的总体目标：通过梳理考点，培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生养成思考严谨、分析条理、解答正确、书写规的良好习惯，为二轮复习乃至高考奠定坚实的基础。具体要求如下： 1、第一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实双基的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高学生对实际问题的阅读理解、思考判断能力；以及数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 2、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。一定要把复习容中反映出来的数学思想方法的教学体现在第一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于题的熟练。 3、要强化运算能力、表达能力和阅读能力的训练，课堂教学时要有意识安排时间让学生进行完整的规的解题训练，对解题过程和书写表达提出明确具体的要求，培养学生良好的解题习惯，提高解题的成功率和得分率。同时要加强处理信息与数据和寻求设计合理、简捷的运算途径方面的训练，提高阅读理解的水平和运算技能。落实网上阅卷对解题规、书写轻重、表达完整等新的要求。 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 新课标高考数学一轮复习技巧 高考数学一轮复习技巧1 高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。如果你认为高三学习是 第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不 会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。 学习上更要听话，教高三的老师都是经历了几次或十几次高考授课，非常有经验，复习的 进度、复习的内容、复习的顺序，都是长期教学实践中总结出来的。高考的变化及新要求，都会在复习中渗透进去。而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生每年都 有最后会碰的“头破血流”的。 高考数学一轮复习技巧2 高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生 上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完 成对知识、方法、能力的提高。如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。而不应 该因为不适应这个老师的教学方法，就不喜欢这个老师，进而就不喜欢这门课程，这样受 损失的只有学生自己。 高考数学一轮复习技巧3 复习每天都要进行，即使今天没有数学课，也要对知识加以复习，这就要求有一个计划，首先对时间加以计划，每天都要有数学的复习时间，四十分钟一节课左右，周末应有 两节课的时间;其次对学科加以计划，哪个时间段看哪个学科，要做到心中有数，计划有 了贵在坚持。 高考数学一轮复习技巧4 作业应该是检验听讲和复习效果的手段，不应看成一个负担，作业要认真对待，把每 一次作业看成一次考试，不能敷衍了事，不会做的题目可以与同学研讨，但不要直接抄写，每次作业都是一次练习的机会，不要错过。 高考数学一轮复习技巧5 高三复习阶段的考试是非常多的，考试是对知识、方法、能力、经验的检验，每次考 试都是一个积累，大家应该充分运用它。首先，考试要独立完成，不要看别人的，否则会 掩盖你的漏洞，失去老师对你的关注，也会失去对自己的正确估价。一两次考试成绩的好坏，说明不了什么，考好了不证明你就没有问题，考不好也不是说你彻底不行了。考试成 绩不真实，最后会在高考中体现出来，吃亏的还是学生自己。其次，考试要注重基础题的 解答，要明确考试是靠做“对”会做的题得分，而不是去做不会做的题得分你得不到分， 取得好成绩是依靠做“对”多少，而不是做“了”多少，因此大家要学会“放弃”，不要 2019届高考复习计划 高三年级生物备课组 本阶段为高三上学期，复习内容按必修一、三(前两章)、二的各章节顺序进行，以教材为主，让学生扎扎实实掌握基础知识，准确掌握重要概念、原理、过程等，并辅以适量的训练题,学生在完成一轮复习后能够理清知识点，构建完整和系统的知识框架，在复习的同时对以前学习的不足进行修补，而且阶段性的复习总结要跟上，及时检测学生学习效果，在高考全国卷中,除了基础知识的考查外，还重视能力的考查,如理解能力、实验与探究能力、获取信息的能力、综合运用能力、科学表述生物学现象及原理，这些能力需要在一轮复习中通过回归教材、知识的讲解和习题的分析训练来培养和加强，恢复参加高考全国3卷考试已有三年全国卷试题整体较稳定。但又体现了一定的变化趋势.只有深入研究历年全国卷考试特点，并充分了解学情和教情,实施正确的策略,方能决胜高考： 一、准确把握学生的学情 1、学生普遍存在以下问题: 基础知识遗忘率高,主干知识把握不清，反思总结习惯缺失、解题盲目、效率低，对理综考试经验不足、时间分配不合理、应试技巧弱。 2、态度决定高度，思维影响行动，端正学生的学习态度是关键，多和学生交流，关注学生各阶段学习过程中的学习情绪，因势利导，帮助学生化解负面情绪，激发其学习的积极性和主动性。 二、明确一轮复习教学目标 1、准确掌握重要概念：名词术语、本质属性(内涵)、使用条件及范围(外延)、例证(正例、反例、特例)、错误概念等、原理过程等。把握知识间的内在联系，形成知识的网络结构。 2、能用文字、图表以及数学方式等多种表达形式准确地描述生物学概念和原理。 3、能对生物的结构和功能、部分和整体、生物与环境的一些关系问题进行分析和解答。 4、能选用恰当的方法验证简单的生物学事实、探究简单的生物学问题，并对实验信息进行处理和分析。 5、能运用所学知识与观点，通过比较、分析与综合等方法对某些生物学问题进行解释、推理、做出合理的判断或得出正确的结论。 高考一轮复习（一） ——集合与函数 一、集合 1.集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系：对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法： ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2.集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 B A ? （或)A B ? A 中的任一元素都属于B (1)A ?A (2)A ?? (3)若B A ?且B C ?，则A C ? (4)若B A ?且B A ?，则A B = A(B) 或B A 真子集 A ≠ ?B （或B ≠ ?A ） B A ?，且B 中 至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子集） (2)若A B ≠?且B C ≠?，则A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元素 都属于B ，B 中的任一元素都属于 A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 3.集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数 第1讲集合与简易逻辑（一） 1.1 集合的基本概念 1.2 集合的基本概念考点总结 1.3 命题及充要条件基本概念 1.4 命题及充要条件的考点 第2讲集合与简易逻辑（二） 2.1 逻辑连接词的基本概念 2.2 逻辑连接词的考点 2.3 习题课 第3讲函数基础（一） 3.1 函数的概念及表示法 3.2 函数概念考点总结 3.3 函数的单调性与最值基本概念3.4 函数的单调性与最值考点总结 第4讲函数基础（二） 4.1 函数的奇偶性和单调性 4.2 函数性质的考点总结 4.3 习题课 第5讲初等函数（一） 5.1 二次函数与幂函数基本概念5.2 二次函数与幂函数考点总结5.3 指数与指数函数基本概念 5.4 指数和指数函数考点总结 第6讲初等函数（二） 6.1 对数和对数函数基本概念 6.2 对数和对数函数考点总结 6.3 习题课 第7讲函数的应用（一） 7.1 函数的图像的基本概念 7.2 函数的图像考点总结 7.3 函数的零点与方程的基本概念 7.4 函数的零点与方程考点总结第8讲函数的应用（二） 8.1 函数模型的基本概念 8.2 函数模型考点总结 8.3 习题课 第9讲导数的性质 9.1 导数的基本概念 9.2 导数性质的考点总结 9.3 极值与导数 9.4 极值与导数考点总结 第10讲导数的应用 10.1 导数的应用 10.2 导数应用考点总结 10.3 习题课 第11讲导数的计算 11.1 微积分的基本概念（理）11.2 微积分考点总结（理）11.3 例题精讲（一） 11.4 例题精讲（二） 第12讲导数分析 12.1 例题精讲（一） 12.2 例题精讲（二） 12.3 导数大题精讲（一）12.4 导数大题精讲（二） 第13讲导数大题精讲 13.1 导数大题常见题型（一）13.2 导数大题常见题型（二）13.3 导数与不等式 第14讲三角函数 14.1 三角函数基本概念 2019年高考数学复习：高考数学背诵需要背 什么 学数学也需要背? 数学属于理科。对于理科的学习，大家听得最多的就是刷题，刷完题再刷题。 如果大家刷完题，发现怎么都没有进步，那就一定要往下看。 数学只是不断的刷题，这绝对错误，殊不知刷完以后还需要背诵。高考数学背诵需要背什么? 高考数学需要背的有解题技巧、解题步骤。也就是说，当你每次刷卷子的时候，遇到你不会的题目，然后看完答案以后发现新方法，或者你没见过的步骤，这时候一定要背下来，这样有助于你积累方法，积累经验。 那么，高考数学背解题技巧真的有用吗?高分小编从另外一个方面来说说背数学技巧的作用。 高考文科生一般很怕数学，觉得数学是理科生的专项，文科生不能学好。那是因为文科生比较怕创新题，一出创新题就懵了。其实平时大家都见过各种题，平常的试题中一定有遇见创新题，看见了这些灵活的题，不要仅仅停留在表面，深入，理解，加记忆。解题技巧不背，你怎么得高分?要背，把没见过的一定要背下来。 那高考数学需要背的内容，平时应该怎样积累? 背书的前提，还是要有一定量的刷题，只有通过刷题，才能积累解题技巧、解题策略。那么刷题和背诵技巧要如何结合? 1.意识。你做每道题都要有意识去想“这道题的方法是什么，我为什么没做出来，我却在哪里，这道题的难点在哪?它对应那样的结题套路?” 2.习惯。一定要有总结的习惯。这道题错了，为什么，这种方法怎么用?比如遇到系数讨论分离参数，遇到直角想到建系，遇到解析几何想弦长定理等等。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识 记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就 很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。 2019届高三数学一轮复习方案 为备战2019年高考，合理有效利用各种资源科学备考，特制定本方案，来完成高三数学一轮复习； 一、指导思想 立足课本，以纵向为主，顺序整理，真正落实“低起点，勤反复、滚动式复习”，抓牢三基，重视展现和训练思维过程，总结和完善解题程序，渗透和提炼数学思想方法，加强章节知识过关，为二轮（条件允许可进行三轮）复习打下坚实的基础，大约在2019年年初结束。 二、复习要求 1、在一轮复习中，指导学生对基础知识、基本技能进行梳理，使之达到系统化、结构化、完整化；通过对基础题的系统训练和规范训练，使学生准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通法。 2、一轮复习必须面向全体学生，降低复习起点，在夯实“双基”的前提下，注重培养学生的能力，包括：空间想象、运算求解、推理论证、数据处理等基本能力。复习教学要充分考虑到本班学生的实际水平，坚决反对脱离学生实际的任意拔高和只抓几个“优生”放弃大部分“差生”的不良做法，不做或少做无效劳动，加大分层教学和个别指导的力度，狠抓复习的针对性、实效性，提高复习效果。 3、在将基础问题学实学活的同时，重视数学思想方法的复习。 一定要把复习内容中反映出来的数学思想方法的教学体现在一轮复习的全过程中，使学生真正领悟到如何灵活运用数学思想方法解题。必须让学生明白复习的最终目标是新题会解，而不是单单立足于陈旧题目的熟练。 三、一轮复习进度表 1、理科 日期一轮复习主要内容用卷 8月1日--8月7日第1讲集合 第2讲命题及重要条件 第3讲 逻辑联结词与全称命题、特称命题 限时小 题训练 8月8日--9月28日第4讲函数概念及其表示 第5讲函数的单调性与最值（二次） 第6讲函数的奇偶性与周期性 第7讲二次函数与幂函数 第8讲指数与指数函数 第9讲对数与对数函数 第10讲函数的图象 第11讲函数与方程 第13讲变化率与导数、导数的运算 第14讲导数在研究函数中的应用 第15讲定积分与微积分基本定理 限时小 题训练 导数强 化练习 复习卷 2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I) 函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。现举例如下：1．比较大小 例1．比较与的大小： 解：， 由于及0 证：（反证法）。 令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1, ∴ f(x1)=f(x2)=0 (1) ∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数， 又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2) 由(1),(2)知，两者矛盾， 故方程x3+x+1=0至多有一个实根。 4．解不等式 例4．解不等式(2x-1)5+2x-1 2019届高三数学复习备考计划 一、指导思想 按照新课程标准的要求，根据数学高考试题“稳中求变，变中求新，新中求活，活中求能”的特点和本校学生的实际，在高三数学复习中我们以潜心钻研新课标、仔细研究新考纲、有效落实双基、科学组织备考为指导思想，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益，以加强双基教学为主线，以提高学生数学能力为目标，加强学生对知识的有效理解、联系应用，同时，结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力。 二、复习依据 根据新课程指导实施意见，以人教社新教材、普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）为复习依据，仔细阅读研究新课程标准，同时参考近几年高考试题及新课程标准和教材。 三、复习计划 1、一轮基础复习（2018年8月初-----2019年3月上旬）【以《创新大课堂》为蓝本】 第一阶段复习，基础知识复习阶段，要体现基础性、全面性、熟练性，有效性。 （1）基础性：根据数学新课程标准，强调复习内容应是数学课程标准要求的数学基础知识，它包括数学基础知识、基本技能和基本方法。 （2）全面性：根据考纲的要求，对高中数学中的每个知识点进行全面的复习，对常用数学方法进行全面的总结。 （3）熟练性：即指通过复习，学生对数学基础知识和基本数学方法要熟练地掌握和运用，要加强运算求解、数据处理的能力，为以后进一步复习打下扎实的基础。 （4）有效性：即指通过复习，学生能够科学有效的解答试题，得到试卷的有效分数。 要到达目的： （1）深化对“双基”的掌握和运用； （2）形成有效的知识模块 （3）归纳总结常用的数学思想方法； （4）帮助学生积累解题经验，提高解题水平； （5）训练学生的数学运算求解、数据处理能力，特别是有条理的书面表达能力。 具体做法：按照资料章节讲练，安排见附表。 2、二轮专题复习（2019年3月中旬-----2019年5月初）【专题和试题】 第二阶段复习注意必考点，关注热点，立足得分点，分析易错点，把握准确无失误。同时要重点研究新的考纲，严格落实考纲对知识点的要求，要体现“深刻性、拓展性和发散性”。 2019年高考数学总复习：双曲线 1．双曲线x 236－m 2－y 2 m 2＝1(0 由此可得：mn<0是方程x 2m ＋y 2 n ＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件．故选 B. 5．(2017·河北邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 答案 A 解析 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2 ＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x±2y ＝0， 选A. 6．(2018·湖北孝感一中月考)设点P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a>0，b>0)上一点，F 1，F 2分别是双 曲线的左、右焦点，已知PF 1⊥PF 2，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的一条渐近线方程是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝3x C ．y ＝2x D ．y ＝4x 答案 C 解析 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|，得|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4c 2＝16a 2＋4a 2，即c 2＝5a 2，则b 2＝4a 2，即b ＝2a ，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝2x.故选C. 7．(2018·安徽屯溪一中模拟)已知双曲线的离心率为72，且其顶点到其渐近线的距离为2217，则双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 3 ＝1 C.x 23－y 24＝1或y 23－x 2 4＝1 D.x 24－y 23＝1或y 24－x 2 3 ＝1 答案 D 解析 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)．双曲线的离心率为e ＝c a ＝ a 2＋ b 2 a 2 ＝1＋b 2a 2＝72，∴b a ＝32，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32 x. 由题意，顶点到渐近线的距离为 | 3 2a|3 4 ＋1＝221 7，解得a ＝2，高三数学第一轮复习教案(1)
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