中国数学奥林匹克 前19届试卷汇编

中国数学奥林匹克试卷汇编

(1-19届)

第一届中国数学奥林匹克(1986年)

1.已知a1, a2, ... , a n为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足

x1+ x2+ ...+x n=1的任意非负实数x1, x2, ... , x n，有不等式

a1x1+ a2x2+ ...+a n x n≧a1x12+ a2x22+ ...+a n x n2成立。请证明上述命题及其逆命题。

2.在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC

边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？

3.设z1, z2, ... , z n为复数，满足| z1|+ | z2 |+ ...+| z n|=1。求证：上述n个复

数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。

4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。求证：四

个三角形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。

5.能否把1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一

个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。请证明你的结论。

6.用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。求证：一定存在一个

边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。

第二届中国数学奥林匹克(1987年)

1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2

可被6整除。

2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边

的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知

i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。

ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。

试求

(1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。

(2)所有结点上数的总和S。

3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通

过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。

结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。

4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，

一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。

5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的

球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。

6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所

有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

高中数学奥林匹克竞赛试题

高中数学奥林匹克竞赛试题 (9月7日上午9：00-11：00) 注意事项：本试卷共18题，满分150分 一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则 (A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数 (C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c| ＋|2a ＋b|，则 (A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N (D)M 、N 的大小关系不能确定 3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异 面的正方体的棱的条数是 (A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则 (A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形 5.ΔABC 中，∠C ＝90°。若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关 系中正确的是 (A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞2 1- (C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤2 1 6.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为 (A)双曲线 (B)椭圆 (C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分） 7. 满足条件{1，2，3}? X ?{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。 8. 函数a |a x |x a )x (f 22-+-=为奇函数的充要条件是＿＿＿＿。 9. 在如图所示的六块土地上，种上甲或乙两种蔬菜（可只种其中一种，也可两种都种），要求相邻两块土地上不都种甲种蔬菜，则种蔬菜的方案数共有＿＿＿＿种。 10. 定义在R 上的函数y ＝f(x)，它具有下述性质： (i)对任何x ∈R ，都有f(x 3)＝f 3(x)， (ii)对任何x 1、x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f(x 1)≠f(x 2)，

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点． 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题） 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =． （付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

数学奥林匹克初中训练一附答案

数学奥林匹克初中训练题(一) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.已知33333a b c abc a b c ++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如 果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- ( )3.在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案 ( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;② 2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 ( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么: (A)22S CP (B)22S CP = (C)2 2S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有: (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车. 2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+, 那么P 的最小值是 . 3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

数学奥林匹克初中训练二附答案

数学奥林匹克初中训练题(二) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支 共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需: (A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元 ( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则 此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2 ( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别 是,m n ,则有: (A) 1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%m n ( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x 取最大值,此最大值 为:(A)3+4+5+ (D)5 ( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满 足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5 (B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3 ( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N 为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于: (A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.若实数,x y 满足(1x y =,则 x y += . 2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设 ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当 12p p p + 取最大值时,∠A= .

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，