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掺杂B

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掺杂B、N、Al和S石墨烯的气体吸附:一个理论研究

几种常见的气体分子吸附硼、氮、铝和硫掺杂的石墨烯是一种运用密度泛函理论的理论研究。硼和氮掺杂石墨烯保持平面模型,而铝和硫原子会从石墨烯层伸出。我们发现仅仅一氧化氮和二氧化氮才能吸附在硼掺杂的石墨烯上,同样仅二氧化氮才能吸附在硫掺杂的石墨烯上。铝掺杂的石墨烯更加活跃,可以吸附许多种气体,包括氧气。我们推测硼和硫掺杂的石墨烯对污染气体是一种良好的传感器,例如,一氧化氮气体和二氧化氮气体。

石墨烯是一种令人关注的用于气体传感器的候选者,(并且在吸附层上有最大的交互作用),几乎没有晶体缺陷,低的约翰逊噪音。最近,超高灵敏度的石墨烯的单个二氧化氮分子实验直接证明和理论上解释二氧化氮分子在石墨烯上的掺杂效应。然而,其他的试验和计算表明二氧化氮物理吸附原始石墨烯和室温对气体吸附的存在有关杂质。这表明掺杂杂质允许调整属性和碳纳米结构的化学敏感性。物理吸附可以在传导是发生改变,但化学吸附的影响在传导上应该比物理吸附的影响更加明显,更热稳定。这种化学吸附可以通过渗染剂来增强。掺杂硼、氮、铝和硫石墨烯和单壁碳纳米管在理论和实验上已经进行了研究,但这仅仅只有几个关于掺杂石墨烯上的气体吸附的研究。

图1:硼掺杂石墨烯吸附(a)和铝掺杂石墨烯最稳定的配置(b),及铝掺杂石墨烯吸附氧气分子(c)、硼掺杂石墨烯吸附一氧化氮(d)和二氧化氮(e)、硫

掺杂石墨烯吸附二氧化氮(f)。

在这篇文章,我们对掺杂不同的置换杂质(硼、氮、铝和硫)的石墨烯对大量常见的和污染气体:氢气分子、水分子、氧气分子、二氧化碳分子、一氧化碳分子、二氧化氮分子、一氧化氮分子、二氧化硫分子、氨气分子和氮气分子化学吸附能力进行系统的理论研究。我们计算密度泛函理论中使用交换—关联泛函里的广义梯度密度近似,包括自旋极化。系统把一个掺杂原子代替碳原子建模成一个4*4的石墨烯超晶胞(32个碳原子),然后用一个单分子吸附。相应的掺杂剂浓度为3.125%。一个更大的6*6的超晶胞(72个碳原子),与结构参数为0.02埃小超晶胞有相同的定性结果。正常的方向表面,超晶胞扩展为15埃一个。运用超软赝势与平面波的基础上波动函数中断25里德伯,电荷密度中断200里德伯。布里渊区用一个0.01埃5*5*1包网格和梅特费塞尔—帕克斯顿污点来取样。一个5*5*1的包网格被用于电荷密度的计算原子的位置直到在任何比0.001计数点还小时才能达到最佳优化。吸附能Ea被定义为系统能量和单个分子和掺杂石墨烯层的能量的总和之间的不同。为了达到最小系统错误,相同的超晶胞和关键网格都用于所有的计算中。使用广义梯度近似理论,随之而来的是忽视了范德瓦而斯相互作用,导致一个不正确的物理吸附解释。但我们很少去关心,因为我们的目标是吸附化学分子。所有的计算都执行时用了量子埃斯普雷索包。

让我们首先来考虑单独的石墨烯的掺杂,不仅硼掺杂的石墨烯,而且氮掺杂石墨烯都保持着无掺杂石墨烯的平面形式,如图1(a)。硼掺杂的石墨烯中硼和碳原子之间的间距为1.48埃。氮掺杂的石墨烯中氮原子和碳原子之间的原子距离为1.41埃(相比原始石墨烯他那碳碳键之间的间距为1.42埃)这些结果与先前的关于硼、氮掺杂单壁碳纳米管的理论工作结果相符合。不仅是铝掺杂的石墨烯,而且硫掺杂的石墨烯的掺杂原子都会都会伸出石墨烯表面,其之间的间距铝掺杂石墨烯是1.43埃,硫掺杂石墨烯是1.10埃,如图1(b)。铝掺杂的石墨烯中碳与掺杂原子之间的间距是1.85埃,硫掺杂的石墨烯中硫原子与碳原子间距为1.74埃。先前关于铝掺杂的石墨烯结果假设是一个平面形式,其间距为1.63埃。那么我们上的,这可追踪到长共价键铝碳键,硫碳键的结合键关于他碳碳键硼碳结合键长度,在铝掺杂的石墨烯中铝碳结合键长与铝掺杂的单壁碳纳米管的

铝碳的结合键为1.85埃相近,硫碳结合键长度相当于二甲基硫化物和甲基乙基硫醚(平均键长为1.82埃)。气体吸附的影响是主要的:通过铝掺杂使得局面曲率增加,从而往往会增加局部的反应性。

然后,我们寻求单个气体分子吸附在掺杂石墨烯的顶层替代原子的位置上,从不同的掺杂单原子间距和不同的分子取向开始,结果如图表示。在大多数情况下,可以看出小的吸附能是大的分子间距在石墨烯中,除了物理吸附得注意的是一氧化氮和二氧化氮的吸附能(Ea-0.3电子伏特)在图1(d)和图1(e)中显示出相应的原子结构。对于氮掺杂的石墨烯,最大结合能(Ea-0.2电子伏特)是吸附二氧化氮、二氧化硫和氧气分子,但是相应的掺杂单原子间距尤为大(间距大于3埃)。这表明正确的化学吸附并没有成立。硫掺杂的石墨烯仅仅只能吸附二氧化氮单分子,其具有一个尤为大的吸附能,Ea=-0.8电子伏特,其结构与二氧化氮吸附在硼掺杂的石墨烯上相似。最后,铝掺杂的石墨烯非常活跃,除了氢气可以吸附其他所有气体分子,通过结合强的键Al-X(X=O、N、C),Al-X的键长约2埃或者更短。这里,我们仅仅显示氧气分子在铝掺杂石墨烯上的配置,图1(c),其中两个氧原子都吸附在铝原子上。

我们关于硼掺杂的石墨烯的研究结果与Ref.13有所不同,获得局部密度近似。在Ref.13,硼掺杂的碳纳米管发现可以吸附水分子、一氧化碳和氨气分子。氮掺杂的碳纳米管能吸附二氧化氮。这种不同的一个可能原因是碳纳米管的曲率效应,这使得它比石墨烯拥有更加活跃化学性质,也应提出局部密度近似倾向于高结合能。我们关于铝掺杂的石墨烯的研究结果同样与Ref.14在一氧化氮吸附铝掺杂的石墨烯上不同。既然这样,其不同是明显的,这是由于不同基态的铝掺杂石墨烯假设没有气体。

让我们关注二氧化氮吸附在硼、硫掺杂石墨烯上的结果。硼原子伸出平面,其原子间距为0.77埃。当二氧化氮上一个氧原子吸附的硼氧键长为1.56埃。硼碳结合键长扩展到1.56埃,然而,氧氮结合键在硼原子另一个面扩展到1.42埃,相比于单个时是1.22埃。令人注意的是,在硫掺杂石墨烯中硫原子与石墨烯层运动的更近,间距为0.93埃在二氧化氮,在二氧化氮吸附后,硫碳结合键缩短到1.69埃。硫氧结合键长度是1.47埃和更长的一氧化氮键扩展至1.57埃。

图2::二氧化氮吸附硼掺杂石墨烯(a)和硫掺杂石墨烯(b)的态密度。实线代表多数的自旋,虚线代表少数的自旋。竖直的虚线代表系统的费米能级,其在这里被设置为0。

为了更好地理解由于气体吸附、电子计算态密度对硼、硫掺杂石墨烯电子结构的变化。显然金属有一个没有配对的电子吸附会产生自旋极化的消失和开放的禁带宽度0.06电子伏特,如图2(a)所示。系统中二氧化氮吸附在硫掺杂石墨烯会产生自旋极化,并有磁力距0.74Ub。自旋密度的分布示于图3(a),其表明磁化主要位于二氧化氮分子的位置上,态密度在费米能级上实际上增加了吸附能力,如图2(b)可以清楚的显示出。对于二氧化氮吸附硼掺杂石墨烯上一个等直面的三维等高线电子的电荷密度的差异(即,单个的电子的电荷密度石墨烯体系中,负的电子电荷密度是孤立的分子和掺杂石墨烯的计算具有相同的原子位置在单个石墨烯层上),图3(b)清楚地显示出电子电荷密度上二氧化氮中氧原子之间在硼掺杂石墨烯上堆积,表明二氧化氮在硼掺杂石墨烯之间轨道杂化。这样一个成键电荷物理吸附完全没有吸附的气体,例如氨气分子在硼掺杂石墨烯上的吸附,如图3(c)。最后,分析表明二氧化氮吸附硼掺杂石墨烯有一个电荷转移约0.25e,二氧化氮在硫掺杂石墨烯电荷转移为0.76,表明二氧化氮作为电子受体。这样大型电荷转移引起系统的导电率相当大的变化。

吸附能Ea和气体分子吸附在硼、氮、铝和硫掺杂石墨烯层最稳定配置时最短小分子吸附的原子间距。

图3:(a)是二氧化氮吸附在硫掺杂石墨烯间距为0.002到-0.002计数点时自旋密度。(b)是二氧化氮吸附硫掺杂石墨烯电荷密度等值面图的区别。(c)是氨气分子吸附在硼掺杂石墨烯间距为0.005到-0.005计数点。

总之,第一性原理计算表明石墨烯掺杂不同杂质的展品行为暴露在普通和污染气体分子。铝掺杂石墨烯拥有非常活跃的化学性质,因而我们推测其不适合作为气体传感器使用。氮掺杂石墨烯的化学性质有可能不活跃,而硼掺杂石墨烯和硫掺杂石墨烯能够吸附二氧化氮气体分子和同样可能吸附一氧化氮气体分子。电子结构的变化预计通过吸附和轨道杂化产生大量变化的导电性,使它们能用作为例如一氧化氮和二氧化氮等大气中污染气体重要的传感器。

这篇论文工作由中国国家自然科学基金在(美国)国家安全委员会允可支持的。10734140和60621003,是中国的国家基础研究计划(973项目)和中国国

家高科技ICF委员会,批准号为2007CB815105。中国P.G.认可支持,所有的计算都是由超级计算机的研究中心运行的。

LEFT与LEFTB函数用法

LEFT、LEFTB 函数 全部显示根据所指定的字符数,LEFT 返回文本字符串中第一个字符或前几个字符。 LEFTB 基于所指定的字节数返回文本字符串中的第一个或前几个字符。 函数LEFT 面向使用单字节字符集(SBCS) 的语言,而函数LEFTB 面向使用双字节字符集(DBCS) 的语言。您计算机上的默认语言设置对返回值的影响方式如下: ?无论默认语言设置如何,函数LEFT 始终将每个字符(不管是单字节还是双字节)按 1 计数。 ?当启用支持DBCS 的语言的编辑并将其设置为默认语言时,函数LEFTB 会将每个双字节字符按 2 计数,否则,函数LEFTB 会将每个字符按 1 计数。 支持DBCS 的语言包括日语、中文(简体)、中文(繁体)以及朝鲜语。 有关详细信息,请参阅下列帮助主题:

?启用特定语言的Windows XP 支持(东亚、东南亚、印度尼西亚和从右向左书写语言) ?在Microsoft Office 中启用以其他语言输入文本 语法 LEFT(text,num_chars) LEFTB(text,num_bytes) Text是包含要提取的字符的文本字符串。 Num_chars指定要由LEFT 提取的字符的数量。 ?Num_chars 必须大于或等于零。 ?如果num_chars 大于文本长度,则LEFT 返回全部文本。 ?如果省略num_chars,则假设其值为1。 Num_bytes 按字节指定要由LEFTB 提取的字符的数量。示例1:LEFT 如果将示例复制到一个空白工作表中,可能会更容易理解该示例。 如何复制示例

?创建一个空白工作簿或工作表。 ?选择“帮助”主题中的示例。 不要选择行或列标题。 从“帮助”中选择示例 ?按Ctrl+C。 ?在工作表中,选择单元格A1,然后按Ctrl+V。 ?要在查看结果和查看返回结果的公式之间进行切换,请按Ctrl+`(重音符),或在“公式”选项卡上的“公式审核”组中,单击“显示公式”按钮。 1 2 3 A 数据 Sale Price 瑞典 公式说明(结果) =LEFT(A2,4) 第一个字符串中的前四个字符(Sale)

专题02 函数概念与基本初等函数B辑(解析版)

2021年高考数学压轴必刷题(第一辑) 专题02函数概念与基本初等函数B 辑 1.【2019年江苏14】设f (x ),g (x )是定义在R 上的两个周期函数,f (x )的周期为4,g (x )的周期为2,且f (x )是奇函数.当x ∈(0,2]时,f (x )=2,g (x )= {k(x +2),0<x ≤1, ?12,1<x ≤2, 其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 . 【答案】解:作出函数f (x )与g (x )的图象如图, 由图可知,函数f (x )与g (x )=?12 (1<x ≤2,3<x ≤4,5<x ≤6,7<x ≤8)仅有2个实数根; 要使关于x 的方程f (x )=g (x )有8个不同的实数根, 则f (x )=√1?(x ?1)2,x ∈(0,2]与g (x )=k (x +2),x ∈(0,1]的图象有2个不同交点, 由(1,0)到直线kx ﹣y +2k =0的距离为1,得√k 2=1,解得k =√2 4(k >0), ∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k =1 3, ∴1 3≤k <√2 4. 即k 的取值范围为[1 3, √24 ). 故答案为:[1 3 , √24 ). 2.【2018年新课标3文科16】已知函数f (x )=ln (√1+x 2?x )+1,f (a )=4,则f (﹣a )= . 【答案】解:函数g (x )=ln (2?x )

满足g (﹣x )=ln (√1+x 2+x )=√1+x ?x =?ln (√1+x 2?x )=﹣g (x ), 所以g (x )是奇函数. 函数f (x )=ln (√1+x 2?x )+1,f (a )=4, 可得f (a )=4=ln (√1+a 2?a )+1,可得ln (√1+a 2?a )=3, 则f (﹣a )=﹣ln (√1+a 2?a )+1=﹣3+1=﹣2. 故答案为:﹣2. 3.【2018年浙江15】已知λ∈R ,函数f (x )={x ?4,x ≥λ x 2?4x +3,x <λ,当λ=2时,不等式f (x )<0的解集 是 .若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 【答案】解:当λ=2时函数f (x )={ x ?4,x ≥2 x 2 ?4x +3,x <2 ,显然x ≥2时,不等式x ﹣4<0的解集:{x |2≤x <4};x <2时,不等式f (x )<0化为:x 2﹣4x +3<0,解得1<x <2,综上,不等式的解集为:{x |1<x <4}. 函数f (x )恰有2个零点, 函数f (x )={x ?4,x ≥λ x 2 ?4x +3,x <λ的草图如图: 函数f (x )恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4. 故答案为:{x |1<x <4};(1,3]∪(4,+∞). 4.【2018年上海11】已知常数a >0,函数f (x )=2x 2x +ax 的图象经过点P (p ,65 ),Q (q ,?15).若2p +q =36pq ,则a = . 【答案】解:函数f (x )=2x 2x +ax 的图象经过点P (p ,65 ),Q (q ,?1 5).

FIND、FINDB 函数

FIND、FINDB 函数 本文介绍Microsoft Excel 中FIND和FINDB函数的公式语法和用法。 说明 函数FIND 和FINDB 用于在第二个文本串中定位第一个文本串,并返回第一个文本串的起始位置的值,该值从第二个文本串的第一个字符算起。 重要: FIND 适用于使用单字节字符集(SBCS) 的语言,而FINDB 适用于使用双字节字符集(DBCS) 的语言。您的计算机上的默认语言设置对返回值的影响方式如下: ?无论默认语言设置如何,函数FIND 始终将每个字符(不管是单字节还是双字节)按1 计数。?当启用支持DBCS 的语言的编辑并将其设置为默认语言时,FINDB 会将每个双字节字符按2 计数。否则,FINDB 会将每个字符按 1 计数。 支持DBCS 的语言包括日语、中文(简体)、中文(繁体)以及朝鲜语。 语法 FIND(find_text, within_text, [start_num]) FINDB(find_text, within_text, [start_num]) FIND 和FINDB 函数语法具有下列参数: ?find_text必需。要查找的文本。 ?within_text必需。包含要查找文本的文本。 ?start_num可选。指定开始进行查找的字符。within_text 中的首字符是编号为1 的字符。 如果省略start_num,则假定其值为1。 备注 ?FIND 和FINDB 区分大小写,并且不允许使用通配符。如果您不希望执行区分大小写的搜索或使用通配符,则可以使用SEARCH 和SEARCHB 函数。 ?如果find_text 为空文本(""),则FIND 会匹配搜索字符串中的首字符(即编号为start_num 或 1 的字符)。 ?Find_text 不能包含任何通配符。 ?如果within_text 中没有find_text,则FIND 和FINDB 返回错误值#VALUE!。 ?如果start_num 不大于0,则FIND 和FINDB 返回错误值#VALUE!。 ?如果start_num 大于within_text 的长度,则FIND 和FINDB 返回错误值#VALUE!。 ?可以使用start_num 来跳过指定数目的字符。以FIND 为例,假设要处理文本字符串“AYF0093.YoungMensApparel”。若要在文本字符串的说明部分中查找第一个“Y”的编号,请将start_num 设置为8,这样就不会搜索文本的序列号部分。FIND 从第8 个字符开始查

§4-6-噶玛函数和贝塔函数

§4-6 伽马函数和贝塔函数 在概率统计和其他应用科学中会用到伽马函数和贝塔函数.有的反常积分的计算最后会归结为贝塔函数或伽马函数. 1.伽马函数 反常积分 10 e d t x x x +∞--? 是带有奇点0)1(时,积分110 e d t x x x --? 收敛;对于右端第二个积分,根据不等 式 23e 1(0)2!3!!! n n x x x x x x x n n ≥+++++≥≥ (见§2-9) 只要取正整数n t >,则有 111! 0e (1)e t t x x n t x n x x x ---+-≤=≤≤<+∞ 根据柯西判别法,积分 11 e d t x x x +∞ --? 收敛.因此,积分 10 e d t x x x +∞--? 对任意0t >都收敛. 当0t ≤时,在积分 110 e d t x x x --? 中,由于 1 111e e e x t x t t x x x ------=≥(注意11t -≥) 根据柯西判别法,奇异积分 1 10 e d t x x x --? 发散,因此,积分 10 e d t x x x +∞--? 也发散. 现在,当0>t 时,可用 )(t Γ10 e d t x x x +∞--= ? )0(>t 定义一个函数,称它为伽马函数.伽马函数)(t Γ除极少数函数值外,其余函数值都是无理数.就像三角函数用表一样,也专门制有伽马函数表(用在概率统计中). 伽马函数)(t Γ的特殊值有

高中数学题库高一部分-B函数-数列的概念

设()f x 是定义在D 上的函数,若对D 中的任意两数12,x x (12x x ≠),恒有 ()()121212123 333??+<+ ???f x x f x f x ,则称()f x 为定义在D 上的C函数. (Ⅰ)试判断函数()2=f x x 是否为定义域上的C函数,并说明理由; (Ⅱ)若函数()f x 是R 上的奇函数,试证明()f x 不是R 上的C函数; (Ⅲ)设()f x 是定义在D 上的函数,若对任何实数()0,1α∈以及D 中的任意两数12,x x ,恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-,则称()f x 为定义在D 上的C 函数. 已知()f x 是R 上的C 函数,m 是给定的正整数,设(),0,1,2,,n a f n n m ==,且00,2m a a m ==,记12f m S a a a =+++. 对于满足条件的任意函数()f x ,试求f S 的 最大值. 答案: (Ⅰ) ()2 =f x x 是C函数, 证明如下: 对任意实数12,x x (12x x ≠)及()0,1α∈, 有()()121212123 333??+-- ???f x x f x f x 222121212123 333??=+-- ???x x x x

()212209 =--f f . (#) 同理,取121,1=-=x x ,可证1 1()(1)33< f f . 与(#)式矛盾. ∴()f x 不是R 上的C函数. (Ⅲ)对任意0n m ≤≤,取1x m =,20x =,[]0,1n m α=∈. ()f x 是R 上的C 函数, ()n a f n =,且00,2m a a m == ∴()()()()()()121211n a f n f x x f x f x αααα==+-≤+-22n m n m = ?=. 那么()212212f m S a a a m m m =+++≤?+++=+. 可证()2f x x =是C 函数,且使得2n a n =(0,1,2,,)n m 都成立,此时2f S m m =+. 综上所述,f S 的最大值为2m m +. 来源:09年北京海淀月考一 题型:解答题,难度:较难

二级单选-函数和代码复用

1关于递归函数的描述,以下选项中正确的是 A 函数内部包含对本函数的再次调用 B 函数比较复杂 C 包含一个循环结构 D 函数名称作为返回值 正确答案:A 2关于递归函数基例的说明,以下选项中错误的是 A 递归函数必须有基例 B 每个递归函数都只能有一个基例 C 递归函数的基例决定递归的深度 D 递归函数的基例不再进行递归 正确答案:B 3以下选项中,不属于函数的作用的是 A 复用代码 B 提高代码执行速度 C 降低编程复杂度 D 增强代码可读性 正确答案:B 4假设函数中不包括global保留字,对于改变参数值的方法,以下选项中错误的是 A 参数是整数类型时,不改变原参数的值 B 参数是组合类型(可变对象)时,改变原参数的值 C 参数是列表类型时,改变原参数的值 D 参数的值是否改变与函数中对变量的操作有关,与参数类型无关 正确答案:D 5在Python中,关于函数的描述,以下选项中正确的是. A Python函数定义中没有对参数指定类型,这说明,参数在函数中可以当作任意类型使用 B 函数eval()可以用于数值表达式求值,例如eval("2*3+1") C 一个函数中只允许有一条return语句 D Python中,def和return是函数必须使用的保留字 正确答案:B 6 给出如下代码: def func(a,b): c=a**2+b b=a return c a=10 b=100 c=func(a,b)+a 以下选项中描述错误的是 A 执行该函数后,变量c的值为200 B 执行该函数后,变量a的值为10 C 执行该函数后,变量b的值为100 D 该函数名称为func

C语言标准库函数bsearch 详解

C语言标准库函数bsearch详解 (2010-11-0817:43:08) 转载 标签: 分类:C语言 it C语言中bsearch包含在头文件中,此函数可以根据你给的条件实现二分查找,如果找到元素则返回指向该元素的指针,否则返回NULL;对于有多个元素匹配成功的情况,bsearch()未定义返回哪一个。使用bsearch函数也要自己定义比较子函数。 函数原型 void*bsearch(const void*key,const void*base,size_t num,size_t size, int(*cmp)(const void*,const void*)); 解释一下参数 key指向要查找的元素 base指向进行查找的数组 num数组中元素的个数 size数组中每个元素的大小,一般用sizeof()表示 cmp比较两个元素的函数,定义比较规则。需要注意的是,查找数组必须是经过预先排序的,而排序的规则要和比较子函数cmp的规则相同。 因为使用bsearch函数要求数组预先排好序,所以该函数通常和快速排序函数(qsort)一起使用,关于qsort函数,详见《C语言标准库函数qsort详解》关于bsearch()的具体应用请见《POJ2503Babelfish C语言版》 C语言中可以用bsearch()实现二分查找。同qsort()一样,bsearch()也包含在 key指向所要查找的元素,base指向进行查找的数组,nmem为查找长度,一般为数组长度,size为每个元素所占的字节数,一般用sizeof(...)表示,comp

指向比较子函数,它定义比较的规则。需要注意的是,数据必须是经过预先排序的,而排序的规则要和comp所指向比较子函数的规则相同。如果查找成功则返回数组中匹配元素的地址,反之则返回空。对于有多于一个的元素匹配成功的情况,bsearch()未定义返回哪一个。 例:

B样条曲线与曲面..

四、B 样条曲线与曲面 Bezier 曲线具有很多优越性,但有二点不足: 1)特征多边形顶点数决定了它的阶次数,当n 较大时,不仅计算量增大,稳定性降低,且控制顶点对曲线的形状控制减弱; 2)不具有局部性,即修改一控制点对曲线产生全局性影响。 1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数,从而改进上述缺点。 B样条曲线的数学表达式为: ∑=+?= n k n k k i n i u N P u P 0 ,,) ()( 在上式中,0 ≤ u ≤ 1; i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出:B样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n),则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。 在以上表达式中: N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数,也称B样条分段混合函数。其表达式为: ∑ -=+--+??-=k n j n j n j n k j k n u C n u N 0 1,)()1(!1)( 式中:0 ≤ u ≤1 k = 0, 1, 2, …, n 1.均匀B 样条曲线 1 一次均匀B 样条曲线的矩阵表示 空间n+1个顶点 i P (i = 0,1,…,n )定义n 段一次(k =0,1,n=1)均匀B 样条曲线,即每 相邻两个点可构造一曲线段P i (u ),其定义表达为: []10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=??? ?????????-=-u n i u u P i i i P P =(1-u )P i -1 + u P i = N 0,1(u )P i -1 + N 1,1(u )P i 第i 段曲线端点位置矢量:i i i i P P P P ==-)1(,)0(1,且一次均匀B 样条曲线就是控制多边 形。

三角函数B(含答案)

三角函数B 一、填空题: 1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =2,b =3,则cosA = ,sinB = ,tanB = , 2、直角三角形ABC 的面积为24cm 2 ,直角边AB 为6cm ,∠A 是锐角,则sinA = ; 3、已知tan α= 12 5 ,α是锐角,则sin α= 4、cos 2(50°+α)+cos 2 (40°-α)-tan(30°-α)tan(60°+α)= ; 5、如图,机器人从A 点,沿着西南方向,行了4个单位,到达B 南偏东60°的方向上,则原来A 的坐标为 .(结果保留根号). 6、等腰三角形底边长10cm ,周长为36cm ,则一底角的正切值为 . 7、某人沿着坡度i=1: 3的山坡走了50米,则他离地面 米高。8、如图, 在坡度为1:2 的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 9、在△ABC 中,∠ACB =90°,cosA= 3 3 ,AB =8cm ,则△ABC 的面积为____ 10、如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米,此时,梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面墙上N ,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为b 米,梯子的倾斜角45°,则这间房子的宽AB 是 米。 二、选择题: 11、sin 2 θ+sin 2 (90°-θ) (0°<θ<90°)等于( )A 0 B 1 C 2 D 2sin 2 θ 12、在直角三角形中,各边的长度都扩大3倍,则锐角A 的三角函数值 ( ) A 也扩大3倍 B 缩小为原来的 3 1 C 都不变 D 有的扩大,有的缩小 13、以直角坐标系的原点O 为圆心,以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点,且OP 与x 轴正方向组成的角为α,则点P 的坐标为 ( ) A (cos α,1) B (1,sin α) C (sin α,cos α) D (cos α,sin α) 14、如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连结BD ,若cos ∠BDC = 53 ,则BC 的长是 ( )A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 15、已知a 为锐角,sina=cos500 则a 等于( )A 200 B 300 C 400 D 50 x O

sortb函数的用法

C++ sort()函数的用法MSDN中的定义: template void sort(RanIt first, RanIt last); //--> 1) template void sort(RanIt first, RanIt last, Pred pr); //--> 2) 头文件: #include using namespace std; 1.默认的sort函数是按升序排。对应于1) sort(a,a+n); //两个参数分别为待排序数组的首地址和尾地址 2.可以自己写一个cmp函数,按特定意图进行排序。对应于2) 例如: int cmp( const int &a, const int &b ){ if( a > b ) return 1; else return 0; } sort(a,a+n,cmp); 是对数组a降序排序 又如: int cmp( const POINT &a, const POINT &b ){ if( a.x < b.x ) return 1; else if( a.x == b.x ){ if( a.y < b.y ) return 1;

else return 0; } else return 0; } sort(a,a+n,cmp); 是先按x升序排序,若x值相等则按y升序排 与此类似的还有C中的qsort,以下同附上qsort的使用方法: #include 格式 qsort(array_name,data_number,sizeof(data_type),com pare_function_name) (void*)bsearch (pointer_to_key_word,array_name,find_number, sizeof(data_type),compare_function_nam e) e.g. int Cmp(const void*a,const void *b) { int*pa=(int*)a,*pb=(int*)b; if(*pa>*pb) return 1; else if (*pa==*pb) return 0; else return -1; }

贝塔函数的应用

Β函数,又称为贝塔函数或第一类欧拉积分,是一个特殊函数,由下式定义: 其中。 目录 [隐藏] ? 1 性质 ? 2 伽玛函数与贝塔函数之间的关系 ? 3 导数 ? 4 估计 ? 5 不完全贝塔函数 o 5.1 性质 ? 6 参见 ?7 参考文献 ?8 外部链接 [编辑]性质 Β函数是对称的,也就是说: 它有许多其它的形式,包括:

其中是伽玛函数。 就像伽玛函数描述了阶乘一样,我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数: [编辑]伽玛函数与贝塔函数之间的关系 为了推出两种函数之间的关系,我们把两个阶乘的乘积写为: 现在,设, ,因此: 利用变量代换a = r cos θ和b = r sin θ,可得:

因此,有: [编辑]导数 贝塔函数的导数是: 其中ψ(x)是双伽玛函数。 [编辑]估计 斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式: [编辑]不完全贝塔函数 不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广,把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替,就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。 不完全贝塔函数定义为:

当x = 1,上式即化为贝塔函数。 正则不完全贝塔函数(或简称正则贝塔函数)由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义: 当a和b是整数时,计算以上的积分(可以用分部积分法),可得: [编辑]性质 [编辑]参见 ?贝塔分布 ?二项分布 ?伽玛函数 伽玛函数和贝塔函数在概率统计中的应用 周占杰 【摘要】:首先通过伽玛函数和贝塔函数的定义及性质;然后将他们应用到概率统计中。例如一些常见分布的数字特征:数学期望,方差等以及一些常见分布密度函数的推导。最后给出他们在Bayes统计应用及概率统计证明问题。 【作者单位】:铁岭师范高等专科学校; 【关键词】:伽玛函数及贝塔函数Bayes估计伽玛分布正态分布概率统计数学期望随

表示的是含有的代数式B函数的值域也就是其定义中的数集B

新课标高一数学同步测试—第一单元(函数及其表示) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.下列四种说法正确的一个是 ( ) A .)(x f 表示的是含有x 的代数式 B .函数的值域也就是其定义中的数集B C .函数是一种特殊的映射 D .映射是一种特殊的函数 2.已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b),且f (2)=p ,q f =)3(那么)72(f 等于 ( ) A .q p + B .q p 23+ C .q p 32+ D .23q p + 3.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( ) A .x x y y = =,1 B .1,112-=+?-= x y x x y C .33,x y x y == D . 2)(|,|x y x y == 4.已知函数2 3212 ---= x x x y 的定义域为 ( ) A .]1,(-∞ B .]2,(-∞ C .]1,21 ()21 ,(- ?--∞ D . ]1,2 1()21,(- ?--∞ 5.设?? ???<=>+=)0(,0)0(,) 0(,1)(x x x x x f π,则=-)]}1([{f f f ( ) A .1+π B .0 C .π D .1- 6.下列图中,画在同一坐标系中,函数bx ax y +=2 与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图 象只可能是 ( ) 7.设函数x x x f =+-)11(,则)(x f 的表达式为 ( ) A .x x -+11 B . 11-+x x C .x x +-11 D . 1 2+x x 8.已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ,若0)(

B样条曲线矩阵

五、B样条曲线的矩阵表示 1)二阶B样条曲线 设空间P0 P1, …., P n为n+1个控制点,节点矢量为其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线P j(t)的矩阵表示为: ; 其中,。 对于二阶均匀B样条曲线,其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同: 。 2)三阶B样条曲线 给定节点矢量为,n+1个控制点为P0,P1, …., P n。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j(=i-2)段三阶B样条曲线P j(u)的矩阵表示为: ; 其中, 。 对于三阶均匀B样条曲线,其矩阵表示为 。 三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为: P i,3(0)=(P i+P i+1)/2,

P i,3(1)=(P i+1+P i+2)/2; P'i,3(0)= P i+1-P i, P'i,3(1)=P i+2-P i+1, P'i,3(1)=P'i+1,3(0); P''i,3(t)=P i-2P i+1+P i+2 , 三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点;首末点的切矢方向与相应边重合;二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量P i+1-P i和P i+2-P i+1所构成的对角线矢量。 三阶均匀B样条曲线段为抛物线,两相邻曲线段之间为一阶连续。 3)四阶B样条曲线 设节点矢量为,控制点为P0P1, …., P n,其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线P i(u)的矩阵表示为: ;。 其中, , m =-m2,2/3- m3,3-(t i+1-t i)2/[(t i+2-t i)(t i+2-t i-1)],m r,j是第r行第j列的元素。 3,2 第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线P j(t)的矩阵表示: 。 三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导矢量分别为: P (0)=(P i+4P i+1+P i+2)/6, i,4 P (1)=(P i+1+4P i+2+P i+3)/6; i,4 P' (0)=(P i+2-P i)/2, i,4 P' (1)= (P i+3-P i+1)/2, i,4 P' (1)= P'i+1,3(0); i,3

B函数函数与方程

设a 为实数,函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1)若(0)1f ≥,求a 的取值范围; (2)求()f x 的最小值; (3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞,直接写出.... (不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 答案: (1)若 (0)1f ≥,则2 0||111 a a a a a 得(0x x x a ??-≥??>? 1 ))22 a ∈时,(,)x a ∈+∞

2 )[a ∈ 时,)x ∈+∞ 3 )(,22 a ∈- - 时,3(,[)33a a x a +-∈+∞ 来源:09年高考江苏卷 题型:解答题,难度:较难 设a 为实数,函数f (x )=2x 2+(x -a )|x -a |. (1)若f (0)≥1,求a 的取值范围; (2)求f (x )的最小值; (3)设函数h (x )=f (x ),x ∈(a ,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集. 答案: 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 (1)若(0)1f ≥,则2 ||111 a a a a a

EXCEL的函数大全(完整版)

实用EXCE的函数 1.ADDRESS 用途:以文字形式返回对工作簿中某一单元格的引用。 语法:ADDRESS(row_num,column_num,abs_num,a1,sheet_text) 参数:Row_num是单元格引用中使用的行号;Column_num是单元格引用中使用的列 标;Abs_num指明返回的引用类型(1或省略为绝对引用,2绝对行号、相对列标,3相对行号、绝对列标,4是相对引用);A1是一个逻辑值,它用来指明是以A1或R1C1返回引用样式。如果A1为TRUE或省略,函数ADDRESS返回A1样式的引用;如果A1为FALSE,函数ADDRESS 返回R1C1样式的引用。Sheet_text为一文本,指明作为外部引用的工作表的名称,如果省略sheet_text,则不使用任何工作表的名称。 实例:公式“=ADDRESS(1,4,4,1)”返回D1。 2.AREAS 用途:返回引用中包含的区域个数。 语法:AREAS(reference)。 参数:Reference是对某一单元格或单元格区域的引用,也可以引用多个区域。 注意:如果需要将几个引用指定为一个参数,则必须用括号括起来,以免Excel将逗号作为参数间的分隔符。 实例:公式“=AREAS(a2:b4)”返回1,=AREAS((A1:A3,A4:A6,B4:B7,A16:A18))返回4。 3.CHOOSE 用途:可以根据给定的索引值,从多达29个待选参数中选出相应的值或操作。 语法:CHOOSE(index_num,value1,value2,...)。 参数:Index_num是用来指明待选参数序号的值,它必须是1到29之间的数字、或者是包含数字1到29的公式或单元格引用;value1,value2,...为1到29个数值参数,可以是数字、单元格,已定义的名称、公式、函数或文本。 实例:公式“=CHOOSE(2,"电脑","爱好者")返回“爱好者”。公式“=SUM(A1:CHOOSE(3,A10,A20,A30))”与公式“=SUM(A1:A30)”等价(因为CHOOSE(3,A10,A20,A30)返回A30)。 4.COLUMN

B样条函数一到三次函数详细推导过程

B 样条函数一到三次的详细推导过程 已知第k 个关节的1n +个控制点(0,1,2,,)i P i n =L ,可以定义r 次B 样条函数,其可以表示为 ,0 ()()n i i r i Q t PN t ==∑ 这里,()i r N t 为r 次B 样条函数的基函数,可以由以下递推公式得到 1,01()0 i i i t t t N t +≤≤?=? ?其它 1,,11,111 ()= ()()i i r i r i r i r i r i i r i t t t t N t N t N t t t t t ++-+-++++--+-- B 样条的阶次对轨迹的性能影响比较大,阶次低光顺性不好,阶次高容易引起振荡,因此选择三次B 样条函数,当阶次3r =时,第i 段轨迹可以表示为 一次B 样条函数推导 2,1,01,0121 ()= ()()i i i i i i i i i t t t t N t N t N t t t t t +++++--+-- 11,121221 [,]()=[,]i i i i i i i i i i i t t t t t t t N t t t t t t t t +++++++-?∈?-??-?∈?-? 如果令11i i t t +-=,且将区间都变化为[0,1],在区间[1,2]用1t t =+变换上式 ,1[0,1]()=1[0,1]i t t N t t t ∈??-∈? 0,1i = 为了使在000,1111,1(),P P N t P P N ==,故将上式变换为 ,11[0,1] ()=[0,1] i t t N t t t -∈??∈? 0,1i = 二次B 样条函数推导 3,2,11,1231 ()= ()()i i i i i i i i i t t t t N t N t N t t t t t +++++--+--

B-spline Curves(B样条曲线)

Motivation Consider designing the profile of a vase. The left figure below is a Bézier curve of degree 11; but, it is difficult to bend the "neck" toward the line segment P4P5. Of course, we can add more control points near this segment to increase the weight to that region. However, this will increase the degree of the curve. In many cases, it is not worth to use such a high degree polynomial. As discussed in a previous page about the derivatives of a Bézier curve, we can join two Bézier curves together. As long as the last leg of the first curve and the first leg of the second have the same direction, we can at least achieve G1 continuity because the tangent vectors have the same direction but may have different length (i.e., if the lengths are the same, it becomes C1 continuous). The middle figure above uses this idea. It has three Bézier curve segments of degree 3 with joining points marked with yellow rectangles. This shows that with multiple low degree Bézier curve segments satisfying the G1 continuous condition, we still can design complex shapes. But, maintaining this G1continuous condition may be tedious and undesirable. Is it possible that we still can use lower degree curve segments without worrying about the G1 continuous condition? B-spline curves are generalizations of Bézier curves and are developed to answer this question. The right figure above is a B-spline curve of degree 3 defined by 8 control points. In fact, there are five Bézier curve segments of degree 3 joining together to form the B-spline curve defined by the control points. In the above, those little dots subdivide the B-spline curve into Bézier curve segments. One can move control points for modifying the shape of the curve

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