求二次函数的值域
2
2
)2()3(|
1|4)2(2
||4
3)1(-=--=---=x y x x y x x x y 复习回顾求下列函数的定义域
)
,1(1
)()4(1
)()3(]
3,2[23)2(2
3)1(+∞∈==-∈+=+=x x x f x
x f x x y x y 例1.求下列函数的值域
注：求值域之前一定要看清定义域，没有定义
域的要先求出定义域。
例2.的值域求二次函数63)(2
+-=x x x f 变式1.
的值域求二次函数]3,2[63)(2-+-=x x x x f 变式
2.的值域
求二次函数],2[63)(2a x x x x f -+-=
值域经典题型
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；
（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)
高中数学专题训练二次函数与幂函数 一、选择题 1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( ) A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1 4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( ) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2] 6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( ) 7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0 D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 二、填空题 8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________． 9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 10．设函数f1(x)＝x 1 2 ，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝ ________. 11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________． 12．已知幂函数f(x)＝x 1－α 3 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是 减函数，那么最小的正整数a＝________. 13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 14．已知函数f(x)＝2 x －x m，且f(4)＝－ 7 2 . (1)求m的值； (2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域． 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项 二次函数的值域及应用 教学内容：二次函数值域及应用 教学目标： 1、知识与能力目标：理解并掌握二次函数用配方法求值域，能够熟练求出含有字母参数的二次函数值域求法及应用。 2、过程与方法目标：培养学生观察、比较、分析、推理的能力。让学生体会由特殊到一般和数形结合的思想方法。 3、情感与价值观目标：在交流讨论过程中体验探究的方法、乐趣和价值。获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。培养学生科学的探究精神。 教学重点： 二次函数在给定区间上的值域的求法 教学难点： 对称轴含参数时二次函数定区间值域的求法 教学方法： 启发、讨论、引导式 教学过程： （一）复习回顾 我们知道，二次函数()02≠++=a c bx ax y 当R x ∈时的值域是先把它配方为 a b ac a b x a y 44222 -+??? ??+= 则当0>a 时，值域为???????+∞-∈,442a b ac y ；当0 象进行分析），注意函数在这一区间内的单调性。 举例：已知函数322--=x x y 求函数)(x f y =在下列区间上的值域。 （1）[]2,0x ∈-（2）[]2,4x ∈（3）]3,0[∈x （4）]2,1[-∈x 过程： 1）对称轴为[]12,0x =?-，且[]2,0x ∈-在对称轴x=1左侧 故函数f(x)在区间[0,2]上为减函数。 所以函数)(x f y = 的值域是：[-3,5](指出对称轴与区间位置特征) 2）对称轴[]12,4x =?，且[]2,4x ∈在对称轴x=1右侧 故函数f(x)在区间[2，4]上为增函数。 所以函数)(x f y = 的值域是：[-3,5] (指出对称轴与区间位置特征) 3）对称轴]3,0[1∈=x ，且顶点的纵坐标为函数的最小值， 所以函数)(x f y = 的值域是：[-4,0] (指出对称轴与区间位置特征) 4）同上。函数值域为[-4,0] 引导学生的得出规律-----二次函数的值域与区间之间存在着什么样关系？(教师引导、学生讨论) 求二次函数值域时，要紧紧抓住对称轴和区间的位置关系。 分为四种情况： （1）对称轴在区间右边 （2）对称轴在区间左边 （3）对称轴在区间内，且靠近左端点 （4）对称轴在区间内，且靠近右端点 针对不同的位置，二次函数的值域的求法使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用运动的观点看问题。 （三）巩固新知、举一反三 例：已知函数2223,y x ax a =-+-若[]1,2,x ∈-求函数最小值()m a 。 学生分析：讨论对称轴x=a 与区间[-1，2]的位置关系。 当 时， 22)1()()(2 m in -+=-==a a f a m x f 当 时， 当 时， 14)2()()(2 m in +-===a a f a m x f (,1)a ∈-∞-[]1,2a ∈-min ()()()3f x m a f a ===-(2,)a ∈+∞ 函数求值域方法之值域换元法 函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。 五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法 类型一：一般换元法 形如：y=ax+b ±d cx + 方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=d cx +，用t 表示x ，带入原函数得到一个关于t 的二次函数，求解值域即可。 例1：求函数1)(--=x x x f 的值域 分析：本题),1[+∞∈x ，在取值区间内，x 单调增，1-x 单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。 解：另1-=x t （0≥t ），则12+=t x ， 代入)(x f 得1)(2+-=t t x f （0≥t ） 本题实求二次函数在指定区间内的范围 ③巧用万能公式：2 tan 12tan 2sin 2θ θ θ+= 2 tan 12tan 1cos 2 2 θ θθ+-= 三角换元时，尤其注意确定好θ的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。 例2：求21)(x x x f -+=的值域 分析：本题若使用一般换元法，则只能得到2x 与2t 之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为2x 前面的系数是-1，所以使用公式①换元 解：令θsin =x ， 012≥-x ，∴]1,1[-∈x ，]1,1[sin -∈∴θ 另]2 ,2[π πθ- ∈（原因：方便后面化出来的θcos ，不用讨论正负性了） 代入)(x f ，得θθ2sin 1sin )(-+=x f =|cos |sin θθ+ ]2 ,2[π πθ- ∈，θθcos sin )(+=∴x f 辅助角公式，合一变形得：)4sin(2)(πθ+=x f （]2 ,2[π πθ-∈） ]4 3,4[4 π ππ θ- ∈+ ，∴]2,1[)(-∈x f 变式：求22)(x x x f -+=的值域 分析：另θsin 2=x 即可 二次函数在闭区间上的值域问题 题型一【定函数定区间】 例1．函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在区间[－1，1]上的最小值是－1，最大值是11． f (x )＝2x 2－6x ＋3＝2(x －32)2－32 ，x ∈[－1，1]. 练习：若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254 ，－4]，则m 的取值范围是 [32，3]_________ ． 题型二【动函数定区间】 例2．求函数y ＝x 2＋tx ＋1在区间[－1，1]上的最值； 【分类讨论】 解：（1）函数y ＝x 2＋tx ＋1的对称轴为直线x ＝－t 2 ． 1°若－t 2 ≤－1，即t ≥2时，函数在[－1，1]上单调增， 当x ＝－1时，y min ＝2－t ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 2°当－1＜－t 2 ＜0，即0＜t ＜2时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 3°当0≤－t 2 ＜1，即－2＜t ≤0时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ； 4°当－t 2 ≥1，即t ≤－2时，函数在[－1，1]上单调减， 当x ＝1时，y min ＝2＋t ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ． 例3．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值． 解：f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2＝4(x －a 2 )2－2a ＋2，x ∈[0，2]． （1）当a 2 ＜0，即a ＜0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得a ＝1－2或a ＝1＋2（舍）； （2）当0≤a 2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2＝3，解得a ＝－12 （舍）； （3）当a 2 ＞2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得a ＝5＋10或a ＝5－10（舍）． 综上，a ＝1－2或a ＝5＋10． 题型三【定函数动区间】 例4．函数f (x )＝x 2－4x －4在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．试写出g (t )的表达式，作出g (t )的图象，并求g (t )的最小值． 【分类讨论】 函数f (x )＝(x －2)2－8． 不同函数类型值域求解方法归纳 题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求 6a )(2+-=x x x f 的值域 解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(222 2 -≥- +??? ? ?-=+-=x x x x f 所以值域为?? ????∞+-，4a 62 例2． 求 6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 解答：函数图像法：423216)(2 2+??? ? ?-=+-=x x x x f 画出函数的图像可知，6)(2 +-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在 1-=x 时取到最大值8，可得值域为?? ? ???8423，。 例3． 求 6a )(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a -≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知， a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，. ② 当0a 2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知， a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2 min -==f f ,此时值域为?? ????--a 74a 62，. ③ 当2a 0 ≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知， a 7)1(max +=-=f f ，4 a 6)2a (2 min -==f f , 所以此时值域为?? ? ???+-a 74a 62， ④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知， a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f 所以此时的值域为 []a 7a 7+-， 题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法 例4． 求 () 62log )(22+-=x x x f 的值域 解答：复合形式用换元：令622+-=x x t ，则由例1可知，[)+∞∈,5t 根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2 例5． 求 624)(1++=+x x x f 的值域 解答：因为()2 2 4 x x =，所以，采用换元法，令x t 2 =，则()+∞∈ ,0t 则原函数变为622 ++t t ，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6 题型三：分式函数的值域 分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界 法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数1 3 2)(++= x x x f 的值域 解法一：分离变量法。将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令 1+=x t ，原函数变为t t t 1 212+=+，由反比例函数的性质可知，值域为()()+∞∞-,22, 解法二：反函数法。利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令 1 3 2)(++= =x x x f y ，则32+=+x y yx ，得到23--=y y x ，可知2≠y 例7． 求函数1 3 2)(++= x x x f 在[]10， 的值域 解法一：分离变量之后采用函数图像法。令1+=x t ，[]2,1∈t ，原函数变为 含参数的二次函数求值域问题专题 有时参数在区间上， 有时参数在解析式上， 构成了有时轴动区间定， 而有时轴定区间动 1 函数222f x --（x)=x 的定义域为[]-1，m ，值域为[]-31，，则实数m 的取值范围是[]1，3 2 已知函数22+3f x -（x)=x 在区间[]0，m 上有最大值3，最小值2 ，则实数m 的取值范围是 []12， 3 已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]内有最大值－5，求a 的值. 解: ∵f(x)的对称轴为,20a x =①当;455)2()]([20,120max =?-==≤≤≤≤a a f x f a a 时即 ②当;5,54)0()]([02max -=?-=--==a a f x f a 时不合； 综上，.54 5-==a a 或 4 已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ， (1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3?k ＝1； (2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3?k ＝－3. (3)当k ＝0时，显然不成立． 故k 的取值集合为{1，－3}． 答案：{1，－3} 5 . 已知a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2)(有最小值－1，最大值1.求使函数取得最大值和最小值时相应的x 的值. 解: ∵a >0，∴f(x)对称轴;1)()]([,02min b a x f x f a x =?-==∴<- = ①当;,11)1()]([,212 max 不合时即=?=-=≥-≤-a f x f a a ②当,2221)2 ()]([,20,021max +-=?=-=<<<-<-a a f x f a a 时即 ∴212 -=-=a x . 综上，当.1)]([,21;1)]([,1max min =-=-==x f x x f x 时当时 ．已知函数f(x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x 中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值 含有参数的闭区间上二次函数的最值与值域（分类讨论） （一）正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）定轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴定区间；（4）动轴动区间。 题型一：“定轴定区间”型 例1、函数 y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习：已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 题型二：“动轴定区间”型 例2、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ①当a ＜0时，==min (0)3f f ，==-max (4)198a f f ②当0≤a＜2时，2min (a)3a f f ==-max (4)198f f a ==- ③当2≤a＜4时，2min (a)3a f f ==-，==max (0)3f f ④当4≤a 时，min (4)198f f a ==-，==max (0)3f f 练习：已知函数=+--2()(21)3f x ax a x 在区间3[,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
二次函数的值域
函数求值域方法之值域换元法
二次函数在闭区间上的值域问题
函数求值域的方法
含参数的二次函数求值域问题解析
人教版必修一求函数值域的几种常见方法
高中函数值域的经典例题 12种求法
最全函数值域的12种求法(附例题,习题)[1]
含参数二次函数的值域习题