数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明

设limAn=A,limBn=B,则有

法则1:lim(An+Bn)=A+B

法则2:lim(An-Bn)=A-B

法则3:lim(An·Bn)=AB

法则4:lim(An/Bn)=A/B.

法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)

(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)

首先必须知道极限的定义:

如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于?ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n ＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,

则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.

根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身)

法则1的证明:

∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.②

设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.

此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.

由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.

即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.

由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.

为了证明法则2,先证明1个引理.

引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)

证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)

①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.

由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.

即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.

由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)

法则2的证明:

lim(An-Bn)

=limAn+lim(-Bn) (法则1)

=limAn+(-1)limBn (引理2)

=A-B.

为了证明法则3,再证明1个引理.

引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.

证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-0|＜ε.④

设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.

此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε2.

由于ε是任意正数,所以ε2也是任意正数.

即:对任意正数ε2,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε2.

由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.

法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.

则liman=lim(An-A)

=limAn+lim(-A) (法则1)

=A-A (引理2) =0.

同理limbn=0.

∴lim(An·Bn)

=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)

=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)

=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)

=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.

引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.

证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε

引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.

证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可

法则4的证明:

由引理4,当B≠0时(这是必要条件),?正整数N1和正实数ε0,使得对?正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.

由引理5,又?正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.

现在对?ε>0,?正整数N2和N3,使得:

当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；

当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；

现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有

|An/Bn-A/B|

=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|

=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|

≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)

≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε

法则5的证明:

lim(An的k次方)

=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次)

=(limAn)的k次方

=A的k次方.

极限四则运算法则

极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

高等数学极限计算方法总结

极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x

（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；

极限的四则运算教案(1)

2.4 极限的四则运算（一） 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 （一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系； （二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释： 高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点：掌握函数极限的四则运算法则； 难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）． 【教学过程】 1．提问复习，引入新课 对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极

限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x

高数求极限方法总结

第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义： 数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1 lim 2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限 作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在， 且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。 （2）一定注意两个重要极限成立的条件。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ， )(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5．连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

数列的极限及运算法则

学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 二、基本题目 1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换

数学基础训练45 数列的极限及四则运算

数学基础训练45 数列的极限及四则运算 ●训练指要 数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n =0. 一、选择题 1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a , 31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于 A.9 B.6 C.2 9 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞ →n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-1 3.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞ →n lim S n 的值等于 A.8 B.16 C.32 D.48 二、填空题 4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________. 5.已知∞ →n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题 6.求下列数列的极限： (1))21(lim 32 3232n n n n n +++∞→Λ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)n n n n n b a b a -+++∞→1 1lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0). (1)求｛a n ｝的通项公式； (2)求11lim n -+∞→n n a a . 数学基础训练45答案 一、1.A 2.B 3.B

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则 (上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时) 一．教学目标： 掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。 二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限 教学难点：无限个数列极限的运算 教学过程： 1. 引入： 今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n - 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是 222212310,(),(),(),.....,()n n n n n -，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332 1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=?+?+?+?===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质： 揭示主题：数列极限的四则运算性质。 2. 概念详细讲解：

数列极限求法及其应用-毕业论文

数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日

容提要 数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

数列求和及极限

数列求和及极限 【知识及方法归纳】 1、 数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法； （4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、 能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。 【学法指导】 1、 在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通 过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。 【典型例题】 例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ， 所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。 【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。 例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。 【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。

高数数学极限总结

函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则 的证明 https://www.wendangku.net/doc/2b15407548.html,work Information Technology Company.2020YEAR

数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使 得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理.

《数列极限的运算法则》教案(优质课)

《数列极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 【教学重点】：运用数列极限的运算法则求极限 【教学难点】：数列极限法则的运用 【教学过程】： 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果,)(lim ,)(lim 0 B x g A x f x x x x ==→→则[]= ±→)()(lim 0 x g x f x x ＿＿＿ []=→)().(lim 0 x g x f x x ＿＿＿＿，=→) () (lim x g x f x x ＿＿＿＿（B 0≠） 二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。例如，若{}n a ，{}n b ，{} n c 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞ →∞ →∞ →lim .lim ).(lim 三、例题： 例1.已知,5lim =∞ →n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞ →

例2.求下列极限： （1）)45(lim n n +∞→； （2）2)11 (lim -∞→n n 例3.求下列有限： （1）1312lim ++∞→n n n （2）1 lim 2-∞→n n n 分析：（1）（2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。 例4.求下列极限： （1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞ →n n n n n n （2）)39312421( lim 1 1 --∞→++++++++n n n

数列的极限及运算法则

数列的极限及其运算法则 学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向 于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近 于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim

高三数学试题数列的极限

数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0 （|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （ b ≠0）. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞ →n lim α n 1=0（α＞0） ②∞ →n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3 232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－51） (1) 2 1 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－5 1） (1) 2 1 +n ）］

=∞ →n lim ［n ×32×43×54×…×2 1++n n ］ =∞ →n lim 2 2+n n =2. 答案:C ●典例剖析 【例1】 求下列极限： （1）∞ →n lim 7 5722 2+++n n n ;（2） ∞ →n lim （ n n +2－n ）; （3）∞ →n lim （ 2 2n + 2 4n +…+2 2n n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因 n n +2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2757 12n n n +++ =5 2. （2）∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2=∞ →n lim 1111++ n =2 1. （3）原式=∞ →n lim 2 2642n n ++++Λ=∞ →n lim 2 )1(n n n +=∞→n lim （1+n 1 ）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim ) 72(lim 22+++∞ →∞ →n n n n n =∞ ∞=1, ②∵∞ →n lim （2n 2+n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2） 要避免出现下面两种错误： ①∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在.