韩信点兵算法流程图
韩信点兵算法流程图
韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？
这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它
用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：
1×70＋2×21＋2×15－105
＝142－105
＝37
因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
1900年，德国大数学家大卫?希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。
小学奥数韩信点兵典型例题和解题思路
韩信点兵典型例题与解题思路 一、基本原理： ?a÷b...r 表示方式b|（a-r），b|（a+b-r），其中r为余数，减去余数就可 以整除；b-r意味着如果再补这么多数据，就可以整除。如10÷3=3...1。如余数为1，10-1=9，可以整除；1缺少2，如果补3-1=2，就可以整除，也就是10+2可以整除。 ?m|a，n|a，p|a，相当于【m，n，p】|a （1）A÷3...1；A÷4...1；A÷6...1 【3,4,6】|（A-1）---A-1=12K---A=12K+1 （2）A÷3...2；A÷4...3；A÷6...5；补数相同为1，【3,4,6】|（A+1）---A+1=12K---A=12K-1 二、基本规律 1）减同余 若a÷m...r；a÷n...r；则【m,n】|（a-r） 2）加同补（补数，除数-余数） 若a÷m...r1；a÷n...r2；且m-r1=n-r2则【m,n】|（a+m-r） 3）逐级满足 （1）A÷3 (2) （2）A÷5 (3) 由（2）得A-3=5K A=5K+3 (3) 将（3）代入（1），的（5K+3）÷3 (2) 3|（5K+3-2）
3|（3K+2K+1） 3|（2K+1）K最小为1 A=5×1+3=8 三、例题 例1、一个大于10的自然数除以4余3，除以6余3，则这个数最小为多少？ 解：A÷4...3 A÷6...3----------[4,6]|(A-3) A-3 = 12K A=12K+3 K=1，A=15 例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7个数缺5个，则苹果有多少个！ 解：A÷3...3 A÷5...2 A÷7...2----------[3,5,7]|(A-2) A-2= 105K A=105K+2，当K=1，A=107 例3、一个自然数除以6余2，除以8余4，这个数最小为多少？ 解：A÷6...2 A÷8...4------------【6,8】|（A+4） A+4 =24K A=24K+4 当K=1时，A=24×1-4=20 例4，一个自然数除以7余1，除以9余2，这个自然数最小为多少？ （1）A÷7 (1) （2）A÷9 (2) 由（2）得A=9K+2 (3) 将（3）代入（1），的（9K+2）÷7 (1) 7|（9K+1） 7|（7K+2K+1）
余数问题之韩信点兵
余数问题之韩信点兵 减同余、加同补： 例1、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下2个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下2个。问小林同学买了至少多少个棒棒糖？ 例2、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下1个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下3个。问小林同学买了至少多少个棒棒糖？ 【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？ 【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。这堆糖至少有多少块？ 【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？ 逐级满足： 例3、1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？ 2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？ 【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？ 【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。 例4、三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？ 三、拓展提高： 1、有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。那么这筐苹果至少_______个。
[趣味数学] 韩信点兵
[趣味数学] 韩信点兵 民间故事《韩信点兵》： 韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的兴建立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。比如，已知军队人数大概在1000-1100左右，如果1-3报数余2人，1-5报数余3人，1-7报数余2人，则韩信立刻知道总人数1073人。 汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是每次出战都士气大振，经常大获全胜。把韩信点兵问题再换个更简单的说法，就是说，有个数除3余2，除5余3，除7余2，问你这个数字最小是几？也可以给定一个范围，问你是几。 这类问题，纠结应该怎么下手解决呢？对于这样的问题，要先观察，是否存在规律，如果符合一定的规律，则可以通过
简单口诀来实现；如果没有规律，那么就要通过一些特殊方法处理。 一、有规律问题的解法 重要口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加 先来说说最后一句，最小公倍加，意思是，不管什么情况，先把最小公倍数求出来，这个是作为基础。然后根据不同情况进行辨别，如何继续处理。 （一）和同加和 意思是，如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。 例：一个数除5余3，除6余2，除7余1 解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因为5＋3＝6＋2＝7＋1＝8，所以这个数最小就是8，其余满足条件的数字是210的倍数＋8，比如218、428…… （二）差同减差 意思是，如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。 例：一个数除5余3，除6余4，除7余5 解题思路：5、6、7的最小公倍数是210，因为5－3＝6－4＝7－5＝2，所以这个数最小就是：210－2＝208，其余满足条件的数字是210的倍数＋208，比如418、628……（三）余同取余
韩信点兵(同余问题)
二信点兵 例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23…. 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，…. 它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5. 如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件. 题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. 例3朝末年，楚汉相争.信帅1500名将士与楚王大将锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数. 解：第1步先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的数： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，…， 第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数： 3，8，13，18，23，28，…. 第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8. 8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n (n=0，1，2，…)。
韩信点兵同余问题
二韩信点兵 例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23…. 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，…. 它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5. 如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)， 事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件. 题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. 例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数. 解：第1步先列出满足其中一个条件的数（一般从小到大），即除以3余2的数： 2，5，8，11，14，17，20，23，26，…， 第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数： 3，8，13，18，23，28，…. 第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8. 8就是满足除以3余2，除以5余3的最小的那个数。 3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×n (n=0，1，2，…)。 列出这一串数是8，23，38，…， 第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数 2，9，16，23，30，…， 第5步归纳第3步第4步得到的数列。就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个。3，5，7的最小公倍数是105 ，满足三个条件的所有数是23+105×n(n=0，1，2，…) 第6步那么韩信点的兵在1000-1100之间，应该是23+105×10=1073人 如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒以内），假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？
密码学简答题及计算题
简答题及计算题 1.RSA 算法中n ＝11413，e ＝7467，密文是5859，利用分解11413＝101×113，求明文。 解：10111311413n p q =?=?= ()(1)(1)(1001)(1131)11088n p q ?=--=--= 显然，公钥e=7467，满足1＜e ＜()n ?，且满足gcd(,())1e n ?=，通过公式1mod11088d e ?≡求出1mod ()3d e n ?-≡=， 由解密算法mod d m c n ≡得3mod 5859mod114131415d m c n ≡== 2.用C 语言编写欧几里德算法的程序。 #include
非常实用的流程图符号及说明.doc
标准程序流程图的符号及使用约定 一,引言 程序流程图(Progran flowchart)作为一种算法表达工具,早已为工国计算机工作者和广大计算机用户十分熟悉和普通使用.然而它的一个明显缺点在于缺乏统一的规范化符号表示和严格的使用规则.最近,国家标准局批准的国家标准(GB1525-89)<<信息处理--数据流程图,程序流程图,系统流程图,程序网络图和系统资源图的文件编制符号及约定>>为我们推荐了一套标准化符号和使用约定.由于该标准是与国际标准化组织公布的标准ISO5807--85 Information processing--Documentation symbols and comventions for data,program and system flowcharts,program network charts and system resources charts是一致的,这里将其中程序流程图部分摘录出来,并做了一些解释,供读者参考. 根据这一标准画出的程序流程图我们称为标准流程图. 二,符号 程序流程图表示了程序的操作顺序.它应包括: (1)指明实际处理操作的处理符号,包括根据逻辑条件确定要执行的路径的符号. (2)指明控制流的流线符号. (3)便于读写程序流程图的特殊符号. 以下给出标准流程图所用的符号及其简要说明,请参看图1. 图1 标准程序流程图符号 1.数据---- 平行四边形表示数据,其中可注明数据名,来源,用途或其它的文字说明.此符号并不限定数据的媒体. 2.处理---- 矩形表示各种处理功能.例如,执行一个或一组特定的操作,从而使信息的值,信息形世或所在位置发生变化,或是确定对某一流向的选择.矩形内可注明处理名或其简工功能. 3.特定处理---- 带有双纵边线的矩形表示已命名的特定处理.该处理为在另外地方已得到详细说明的一个操作或一组操作,便如子例行程序,模块.矩形内可注明特定处理名或其简要功能. 4.准备---- 六边形符号表示准备.它表示修改一条指令或一组指令以影响随后的活动.例如,设置开关,修改变址寄存器,初始化例行程序. 5.判断----- 菱形表示判断或开关.菱形内可注明判断的条件.它只有一个入口,但可以有若干个可供选择的出口,在对符号内定义折条件求值后,有一个且仅有一个出口被激活.求值结果可在表示出口路径的流线附近写出. 6.循环界限---- 循环界限为去上角矩形表示年界限和去下角矩形的下界限构成,分别表示循环的开始和循环的结束.
《韩信点兵》教学设计
小学数学文化丛书《历史与数学》 《韩信点兵》教学设计 教学内容：小学数学文化丛书《历史与数学》第115-119页的内容 教学目标： 1、让学生了解韩信点兵(物不知数)问题的由来。 2、让学生经历解决韩信点兵(物不知数)问题的探索过程,并能自主尝试运用古代方法解决问题, 掌握剩余定理，拓展学生解题思路。 3、让学生了解列举法、化繁为简等数学思想的方法，从而培养学生的综合思维能力。 4、学生能在了解中国古代光辉灿烂的数学成就中,开阔数学视野,提高数学素养,增强爱国主义情感。 教学重点： 掌握剩余定理 教学难点： 探索剩余定理 课前准备： 课前准备:生:课前浏览、阅读有关汉朝大将韩信的历史知识。 师：教学PPT 教学步骤： 一、情境导入 1、课前，老师请同学们通过阅读书本、上网浏览，了解有关汉朝大将韩信的历史故事，你了解到哪些内容，先让我们来聊一聊吧。指名交流。 2、播放《韩信点兵》的故事 师：秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信带领1500名将士与楚王大将
李锋交战。韩信的部队与楚将军大战一场，死伤四五百人。还剩多少人士兵，再次交战能胜利吗？韩信立即命令士兵排队，清点人数。令士兵3人一排，还多2人；令士兵5人一排，还多3人；令士兵7人一排，还多2人。韩信胸有成竹地说：我军有1073名勇士，敌人不足五百人，我们一定能打败敌人。 课件：士兵原有1500人，死伤四五百人，现令士兵排队。士兵3人一排，还多2人；士兵5人一排，还多3人；士兵7人一排，还多2人，问还剩多少人？ 3、你们能一下算出这个数据吗？（不能）这里面有着数学奥秘。想去探索吗？这就是我们今天要探究的韩信点兵。板书：韩信点兵当时，韩信说出这个数字时，大家就很惊讶问：你是怎么算的呢？韩信高兴地说：孙子算经里早有这个算法了。 课件出示：孙子算经 4、只要我们能把这个问题解决了，韩信点兵这个问题就一定能受到启发。也就是化繁为简的思想算一算。 二、新授 （一）探一探：其题其解（《孙子算经》课件—化繁为简数学思想） 1、出示《孙子算经》课件 生读：今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 提问：这是什么意思？指名学生说题意 学生探究其算法。指名交流，强调列举法。
余数问题之韩信点兵
余数问题之信点兵 减同余、加同补： 例1、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下2个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下2个。问小林同学买了至少多少个棒棒糖？ 例2、小林同学非常喜欢吃棒棒糖。有一天，小林同学给自己买了一盒的棒棒糖。他算了一下，如果他每天吃3个，最后剩下1个；如果每天吃4个，最后剩下2个；如果每天吃5个，最后剩下3个。问小林同学买了至少多少个棒棒糖？ 【练习1】一个两位数除以4余3，除以7余3，问这个两位数至少是多少？ 【练习2】一个自然数除以8余2，除以9余3，问这个数至少是多少？
【练习3】一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩下3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块。这堆糖至少有多少块？ 【练习4】一个小于100的自然数，除以3余2，除以7余2，则满足条件的自然数有哪些？ 逐级满足： 例3、1）一个数除以3余2，除以5余4，问满足条件的最小自然数为多少？ 2）一个数除以3余2，除以5余4，除以7余3，问满足条件的最小自然数为多少？ 【练习1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数？
【练习2】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为多少？ 【练习3】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。 例4、三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是多少？ 三、拓展提高： 1、有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个。那么这筐苹果至少_______个。
(完整版)同余问题知识点讲解
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就 可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打 包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打 包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.【余数的加法定理】 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.【余数的乘法定理】 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.【同余定理】 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、【弃九法原理】： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7
程序算法描述流程图.doc
程序算法描述流程图 程序算法描述流程图 算法的方法 递推法 递推是序列计算机中的一种常用算法。它是按照一定的规律来计算序列中的每个项，通常是通过计算机前面的一些项来得出序列中的指定项的值。其思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法利用了计算机速度快和不知疲倦的机器特点。 递归法 程序调用自身的编程技巧称为递归(recursion)。一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。一般来说，递归需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条件不满足时，递归前进;当边界条件满足时，递归返回。 注意： (1) 递归就是在过程或函数里调用自身; (2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。 穷举法 穷举法，或称为暴力破解法，其基本思路是：对于要解决的问题，列举出它的所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从而得到问题的解。它也常用于对于密码的破译，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。例如一个
已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多尝试10000次就能找到正确的密码。理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题只在于如何缩短试误时间。因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩小密码组合的范围。 贪心算法 贪心算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。 用贪心法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下,以迭代的方法做出相继的贪心选择,每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题, 通过每一步贪心选择,可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。 贪婪算法是一种改进了的分级处理方法，其核心是根据题意选取一种量度标准，然后将这多个输入排成这种量度标准所要求的顺序，按这种顺序一次输入一个量，如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最佳解加在一起不能产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中。这种能够得到某种量度意义下最优解的分级处理方法称为贪婪算法。 对于一个给定的问题，往往可能有好几种量度标准。初看起来，这些量度标准似乎都是可取的，但实际上，用其中的大多数量度标准作贪婪处理所得到该量度意义下的最优解并不是问题的最优解，而是次优解。因此，选择能产生问题最优解的最优量度标准是使用贪婪算法的核心。 一般情况下，要选出最优量度标准并不是一件容易的事，但对某问题能选择出最优量度标准后，用贪婪算法求解则特别有效。
算法与流程图模板
算法与流程图
§13.1 算法与流程图 1. 以下对算法的描述正确的有 个. ①对一类问题都有效; ②算法可执行的步骤必须是有限的; ③计算能够一步步地进行, 每一步都有确切的含义; ④是一种通法, 只要按部就班地做, 总能得到结果. 答案 4 2.任何一个算法都必须有的基本结构是 . 答案 顺序结构 3.下列问题的算法适宜用选择结构表示的是 ( 填序号) . ①求点P( -1, 3) 到直线l:3x-2y+1=0的距离 ②由直角三角形的两条直角边求斜边 ③解不等式ax+b ＞0 (a ≠0) ④计算100个数的平均数 答案 ③ 4.下列4种框图结构中, 是直到型循环结构的为 ( 填序号) . 基础自测
答案② 5.( ·广东理, 9) 阅读下面的流程图, 若输入m=4, n=3, 则输出a= , i= .( 注: 框图中的赋值符号”←”也能够写成”=” 或”: =”) 答案12 3 例1已知点P( x0, y0) 和直线l:Ax+By+C=0, 求点P( x0, y0) 到直线l 的距离d, 写出其算法并画出 流程图. 解算法如下: 第一步, 输入x0,y0及直线方程的系数A, B, C.
流程图: 第二步, 计算Z 1←Ax 0+By 0+C. 第三步, 计算Z 2←A 2+B 2. 第四步, 计算d ←2 1Z Z . 第五步, 输出d. 例2 ”特快专递”是当前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式, 某快递公司规定甲、 乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算: f =? ? ?>?-+?≤)100(85 .0)100(6.0100) 100(6.0ωωωω 其中f(单位: 元)为托运费,ω为托运物品的重量( 单位: 千克) .试设计计算费用f 的算法, 并画出流程图. 解 算法如下: S1 输入ω; S2 如果ω≤100,那么f ←0.6ω; 否则 f ←100×0.6+(ω-100)×0.85; S3 输出f. 流程图为: 例3 ( 14分) 画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图. 解 流程图如下图.
小学奥数同余问题
小学奥数同余问题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为 被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的 角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最 后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子 表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 ++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4
C语言流程图表示方法
第二章: 改变程序流程 算法和流程图 2.1.1算法 计算机语言只是一种工具。光学习语言的规则还不够，最重要的是学会针对各种类型的问题，拟定出有效的解决方法和步骤即算法。有了正确而有效的算法，可以利用任何一种计算机高级语言编写程序，使计算机进行工作。因此，设计算法是程序设计的核心。 并非只有“计算”的问题才有算法。广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为“算法”。不要把“计算方法”（computational method）和“算法”（algorithm）这两个词混淆。前者指的是求数值解的近似方法，后者是指解决问题的一步一步的过程。在解一个数值计算问题时，除了要选择合适的计算方法外，还要根据这个计算方法写出如何让计算机一步一步执行以求解的算法。对于计算机外行来说，他们可以只使用别人已设计好的现成算法，只需根据算法的要求给以必要的输入，就能得到输出的结果。对他们来说，算法如同一个“黑箱子”一样，他们可以不了解“黑箱子”中的结构，只是从外部特性上了解算法的作用，即可方便地使用算法。但对于程序设计人员来说，必须会设计算法，并且根据算法编写程序。 对同一个问题，可以有不同的解题方法和步骤。例如，求1+2+3+…+100，可以先进 行1+2，再加3，再加4，一直加到100，也可采取100+(1+99)+(2+98)+…+ (49+51)+50＝100+50+49×100＝5050。还可以有其它的方法。当然，方法有优劣之分。有的方法只需进行很少的步骤，而有些方法则需要较多的步骤。一般说，希望采用方法简单，运算步骤少的方法。因此，为了有效地进行解题，不仅需要保证算法正确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法。 一个计算问题的解决过程通常包含下面几步: 确立所需解决的问题以及最后应达到的要求。必须保证在任务一开始就对它有详细 分析问题构造模型。在得到一个基本的物理模型后，用数学语言描述它，例如列出 选择计算方法。如定积分求值问题，可以用矩形法、梯形法或辛普生法等不同的方 法”，就是研究用什么方法最有效、最近似地实现各种数值计算的，换句话说，计算 方法是研究数值计算的近似方法的。 确定算法和画流程图。在编写程序之前，应当整理好思路，设想好一步一步怎样运 骤，它表示工作的流程，称为流程图。它能使人们思路清楚，减少编写程序中的错 误。 编写程序。 程序调试，即试算。一个复杂的程序往往不是一次上机就能通过并得到正确的结果 正式运行得到必要的运算结果。 2.1.2流程图
(解答题36道)第四章 同余式
第四章 同余式 三、解答题 1、设(,)1a m =，k 与m 是正整数，又设0(mod )k x a m ≡，证明同余方程(mod )k x a m ≡的 一切解x 都可以表示成0(mod )x yx m ≡，其中y 满足同余方程1(mod )k y m ≡。 解：设1x 是0(mod )k x a m ≡的任意一个解， 则一次同余方程01(mod )yx x m ≡有解y ， 再由001()(mod )k k k k k y a y x yx x a m ≡≡≡≡ 得1(mod )k y m ≡， 即1x 可以表示成0(mod )x yx m ≡，其中y 满足同余方程1(mod )k y m ≡； 反之，易知如此形式的x 是(mod )k x a m ≡的解。 2、解同余方程组()()31mod1047mod15x x ≡???≡?? 解：这同余方程组的解与同余方程组()()()()31mod 2, 31mod5, 47mod3,47mod5 x x x x ≡?? ≡??≡??≡? 的解相同， 但第二个同余方程()31mod5x ≡可化为()2mod5x ≡, 第四个同余方程()47mod5x ≡可化为()2mod5x ≡-, 与()2mod5x ≡矛盾，所以原同余方程组无解. 3、设素数2p >,求同余方程( ) 2 1mod l x p ≡的解 解：同余方程可写为()()( )110mod l x x p -+≡ 由于()1,1|2x x -+,所以上式等价于( ) 10mod l x p -≡或( )10mod l x p +≡
因此，对任意的1l ≥解为() 1,1mod l x p ≡- 解数为2. 4、求同余式3 2 ()4560(mod 27)f x x x x =-+-≡ 解：∵()0(mod3),()0(mod3)f x f x '≡≡无公解 ∴20有唯一解0(mod3)x ≡ 以13x t =代入()0(mod9)f x ≡得1(0)3(0)0(mod9)f t f '+≡ 但(0)3(mod9)f ≡，(0)5(mod9)f '≡ 故1360(mod 9)t +≡，2120(mod 3)t +≡，11(mod 3)t ≡ 因此12213,39t t x t =+=+是()0(mod9)f x ≡的唯一解 将239x t =+代入()0(mod 27)f x ≡得2(3)9(3)0(mod 27)f t f '+≡ 但(3)0(mod 27)f ≡，(3)8(mod 27)f '≡ 故2890(mod 27)t ?≡，280(mod 3)t ≡，20(mod3)t ≡ 设2333,327,3(mod 27)t t x t x ==+≡是()0(mod 27)f x ≡的唯一解。 5、4521(mod132)x ≡. 解： 因为(45,132)3 =∣21 ,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x . 我们再解不定方程74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3132 21≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132 221≡?+≡x .
算法流程图及ASM图
算法流程图及ASM图 引例设计一个逻辑电路，其输入信号X=x n-1x n-2 …x 0， Z为输出信号 ， 表示X中包含的 1的个数。电路可用如下的流程图描述： 图5-2-1 含1统计电路 5.2.1 算法流程图 算法流程图由工作块、判别块、条件块、开始结束块以及指向线组成。 图5-2-2 算法流程图的工作块 图5-2-3 算法流程图的判别块
图5-2-4 算法流程图的条件块 图5-2-5 算法流程图的开始块和结束块 如对引例的含1统计电路增加一个序列开始标志信号START和一个统计结束标志信号DONE，则其框图为如下： 图5-2-6 含1统计电路的算法流程图 5.2.2 算法设计 例5-2-1 设计如下左图所示的乘法电路。图中，输入信号A=A 4A 3 A 2 A 1 是被 乘数，B=B 4B 3 B 2 B 1 是乘数，且均为4位二进制数，P=A*B是输出信号，为8位二进制数。START 为启动信号，END为结束标志。其算法逻辑图见下右图。
图5-2-7 乘法器的算法流程图 例5-2-2 设计一个电路，用于计算平面上两点之间的距离。该电路输入信号为两个8位二进制数X和Y，分别代表两点横坐标的差值和纵坐标的差值，电路输出为Z，表示两点之间的距离。计算误差要求小于10%。 图5-2-8 例5-2-2的算法流程图 5.2.3 电路划分与逻辑框图 例5-2-3 根据含1统计电路的算法流程图，画出电路的逻辑框图。如下。 图5-2-9 含1统计电路的逻辑框图 例5-2-4 画出4位二进制乘法器的逻辑框图。如下。 图5-2-10 乘法器的逻辑框图
例5-2-5根据距离运算电路的算法流程图，画出该电路的逻辑框图。 图5-2-11 距离运算电路的逻辑框图 5.2.4 数据处理单元的设 计 例5-2-6 设计含1统计电路的数据处理单元。如图。
整除问题和余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题 姓名得分 一、整除问题基础训练题 1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？ 2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？ 3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？ 4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？ 5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？ 6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？
7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？ 8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？ 9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？ 10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？ 11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？ 12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？
13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？ 14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？ 15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？ 16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。 17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？ 18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？
关于韩信点兵歇后语
关于韩信点兵歇后语 对中国历史有一定了解的朋友都知道西汉开国功臣韩信，他与萧何、张良并列为汉初三杰。作为中国历史上赫赫有名的军事思想“谋战”派代表人物，并且被后人奉为“兵仙”和“战神”，在他的身上肯定衍生出很多富有文化、军事内涵的词汇，歇后语“韩信点兵——多多益善”就是其中一例哦！ 韩信点兵——多多益善 “韩信点兵”的成语来源淮安民间传说：刘邦曾经问他：“你觉得我可以带兵多少？”韩信：“最多十万。”刘邦不解的问：“那你呢？”韩信自豪地说：“越多越好，多多益善嘛！”刘邦半开玩笑半认真的说：“那我不是打不过你？”韩信说：“不，主公是驾驭将军的人才，不是驾驭士兵的，而将士们是专门训练士兵的。” 一、 淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”，其次有成语“韩信点兵，多多益善”。韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信马上说出人数：1049。 二、 在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7
余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ①有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23…… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…… 除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29…… 它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9…… 一个数除以12的余数是唯一的。上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数。很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，……，无穷无尽。事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数。这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件。《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个。然后再与第三个条件合并，就可找到答案。 ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26…… 再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28…… 这两列数中，首先出现的公共数是8。3与5的最小公倍数是