四川省成都石室中学2012届高三10月月考(数学文)答案

石室中学高2012级10月月考数学（文科）试题答案

一、选择题：

二、填空题答案：13、 14、 15、 16、○1○3

三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17（本小题满分12分）已知函数21

()21

x x a f x ?-=+为奇函数，

（1） 求常数a 的值；（2）求函数)(x f 的值域. 解：(1)由题知函数是定义在R 上的奇函数。

所以由，得

………………………4分

(2)由(1)知

又因为

所以原函数的值域为：（-1，1）. ………………………12分 18（本小题满分12分）

在ABC ?中，角C B 、、A 所对的边分别为c b a 、、，且3

1

cosA ＝， （1）求A C

B 2cos 2

sin

2

++的值； （2）若3=a ，求bc 的最大值。 解：(1)因为

,

所以原式==

==………………………6分

(2)由余弦定理得:

所以

所以当且仅当

时取得最大值………………………12分

19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为22

n n n

S +=,

（1）求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列1{}n n a x -的前n 项和（其中0x >）. 解：（1）当

时，

当

检验当

时成立，所以

………………………5分

（ 2）当1x =时,

, ………………………7分

当1x ≠时,

(1)

()1x ?得

(2)

由（1）-（2）得：

………………………11分

综上所述: ………………………12分

20、

（本小题满分12分）已知函数f (x )=－x 3＋ax 2＋b (a ,b ∈R ).

(1)当a ＞0时,函数f (x )满足f (x )极小值=1,f (x )极大值=

27

31

,试求y =f (x )的解析式; (2)当x ∈［0,1］时,设f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a ∈［

2

3

,3］且a

为常数,求θ的取值范围. 解:(1)由f ′(x )=－3x 2＋2ax (a ＞0), 令f ′(x )=0,得x =0或x =

3

2

a . ………………………1分

当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:

∴??

???=++-=====.2731194278)32(,1)0(33a a a f y b f y 极大值

极小值………………………4分

解得b =1,a =1.∴f (x )=－x 3＋x 2＋1. ………………………………6分

(2)当x ∈［0,1］时,tan θ=f ′(x )=－3x 2＋2ax , ………………………7分

由于a ∈［

23,3］,∴21≤3

a ≤33.

∴f ′(0)≤f ′(x )≤f ′(3

a

).………………………10分

∴0≤f ′(x )≤32a ,即0≤tan θ≤3

2

a ,

∵0≤θ≤π,∴θ∈［0,arctan 32

a ］,

∴θ的取值范围是［0,arctan 3

2

a ］. ………………………12分

21、（本小题满分12分）

已知函数32()2f x x x ax =+-，对于任意实数x 恒有/2()224f x x x ≥+-，

（1）求实数a 的取值范围；（2）当a 最大时，关于x 的方程()||f x k x =恰有两个不同的根，求实数k 的取值范围。 解：（1）

,

即在R 上恒成立， 即, 所以

. ………………………4分

(2)当

时，

;

方程

恰有两不相等的根， 易知其中一个根必然是

，所以当

时方程

有且只有一个根。

即函数的图像与直线有且只有一个交点。…………………7分

的图为

由图可得的取值范围为：………………………12分

22、（本小题满分14分）

（1）*

n N ∈，求数列21

{

}n n

+的前n

项和n S （2）*

n

N ∈，求证：数列1{

}(1)(2)n n n ++的前n 项11

42(1)(2)

n T n n =-++

（3）*

n N ∈，求证： 3333111129123424

n +

++++< 解：（1）

………………………3分

(2)

………………………7分

(3) 因为……………………….10分

又因为当n=1时，成立。当n=2时，成立,………….11分当时，

=

所以当原不等式成立。……………………….14分