高中立体几何模拟试题(含答案解析)

高中立体几何模拟题

一．选择题（共9小题）

1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）

①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；

②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；

③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；

④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

A．3 B．2 C．1 D．0

2．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）

A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）

3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为

，若α∥β，则k=（）

A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4

4．已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）

A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）

5．若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1

6．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）

A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）7．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）

A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）

A．B．C．D．

二．填空题（共3小题）

10．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．

11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．

12．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，

点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．

三．解答题（共18小题）

13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

14．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C∥平面AB1D．

15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

16．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；

（2）求三棱锥的体积V S

．

﹣ABC

17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA∥平面BDE；

（2）BD⊥平面PAC．

18．如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．

20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC 于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；

（Ⅱ）求证：BD⊥FG．

21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．

（I）求证：CA1⊥C1P；

（II）若四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．

22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；

（2）求点D1到面BDE的距离．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

（Ⅰ）求证：PB⊥DM；

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

24．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．

（1）求证：AB∥平面DEG；

（2）求证：BD⊥EG；

（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．

25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

26．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；

（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；

（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M

﹣BQ﹣C的大小．

28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．

（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

29．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；

（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；

（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

30．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；

（Ⅱ）求二面角A﹣PF﹣E的正切值．

2017年03月25日1879804507的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2016春?孝感期末）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）

①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；

②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；

③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；

④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

A．3 B．2 C．1 D．0

【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，﹣y，﹣z）；

关于yOz平面的对称点为P2（﹣x，y，z）；

关于y轴的对称点为P3（﹣x，y，﹣z）；

点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

故①②③错误．

故选C．

2．（2015秋?石家庄校级期末）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），

=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）

A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，

∴=，，=．

∴=﹣

=

=[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]

=

=（﹣2，﹣3，﹣3）．

故选：B．

3．（2015?邹城市校级模拟）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）

A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4

【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为

，

∵α∥β，由题意可得，

∴k=4．

故选：D．

4．（2014秋?越城区校级期末）已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）

A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）

【解答】解：∵与的夹角为钝角，

∴cos＜，＞＜0．且与不共线

∴?＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）

∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠

∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．

故选B．

5．（2014秋?从化市校级期末）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）

A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1

【解答】解：∵，，，cos60°=．∴，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．

故选B．

6．（2015春?济南校级期中）设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）

A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）?（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，（﹣1，1，﹣1）?（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，

∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．

故选B．

7．（2016秋?兴庆区校级期末）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）

A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）

【解答】解：∵（2，﹣4，4）=2（1，﹣2，2），

∴向量（2，﹣4，4）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．

故选C．

8．（2015?株洲一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）

∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．

∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

故答案为D．

9．（2015?广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）

A．B．C．D．

【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．

因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，

故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．

过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．

因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以

∠FBG=∠BCA=．

故选A．

二．填空题（共3小题）

10．（2016秋?碑林区校级期末）设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=4．

【解答】解：∵α∥β，∴∥，

∴存在实数λ使得．

∴，解得k=4．

故答案为：4．

11．（2009?安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【解答】解：设M（0，y，0）

由12+y2+4=1+（y+3）2+1

可得y=﹣1

故M（0，﹣1，0）

故答案为：（0，﹣1，0）．

12．（2016秋?临沂期末）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1

的夹角是．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．

由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，

则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．

∴=（0，﹣1，1），=（2，0，2）．

∴===．

∴异面直线EF和BC1的夹角为．

故答案为：．

三．解答题（共18小题）

13．（2015?重庆校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC 的中点．

（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

【解答】（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵G为对角线AC的中点，

∴GM∥AD，且GM=AD，

又∵FE∥AD，

∴GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．

又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，

∴EG∥平面ABF．…（4分）

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高．

∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，

∴△AEF是正三角形．

∴∠AEF=60°，

由EF∥AD知∠EAD=60°，

∴EN=AE?sin60°=．

∴三棱锥B﹣AEG的体积为

．…（8分）

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，

∴CD⊥AE．

∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE=60°，

∴∠FAD=120°．

又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，

由余弦定理，得ED=．

∴EA2+ED2=AD2，

∴ED⊥AE．

又∵ED∩CD=D，

∴AE⊥平面DCE，

又AE?面BAE，

∴平面BAE⊥平面DCE．…（12分）

14．（2014?南昌模拟）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C∥平面AB1D．

【解答】证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，

所以AD⊥B1B （2分）

因为D为正△ABC中BC的中点，

所以AD⊥BD （2分）

又B1B∩BC=B，

所以AD⊥平面B1BCC1（4分）

又AD?平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（6分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （7分）

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（8分）

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，

所以DE∥A1C （10分）

又DE?平面AB1D，

所以A1C∥平面AB1D （12分）

15．（2011?陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD?平面ABD．

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，

从而

所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：

16．（2016?徐汇区一模）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，

BC=，SB=．

（1）证明：SC⊥BC；

．

（2）求三棱锥的体积V S

﹣ABC

【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A

∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，

又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC

（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，

∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，

∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，

=××AC×BC×SA=×2××=．

∴V S

﹣ABC

17．（2016秋?咸阳期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA∥平面BDE；

（2）BD⊥平面PAC．

【解答】证明（1）连接OE，

在△CAP中，CO=OA，CE=EP，

∴PA∥EO，

又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥PO

又∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC

∴BD⊥平面PAC

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题 1. 在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角111C BD A --的大小． 解析：如图9-43，在平面B C D 11内作11BD E C ⊥，交1BD 于E ．连结E A 1，设正方体棱长为a ，在△11BD A 和△11BD C 中，a D C D A ==1111，a B C B A 211==，11 BD BD = a 3=，∴ △11BD A ≌△11BD C ，∵ 11BD E C ⊥，∴ 11BD E A ⊥，∴ 11EC A ∠ 二面角111C BD A --的平面角．在Rt△11D BC 中，?=∠9011B C D ，∴ 111112121BD E C BC D C ?=?，∴ a a a a E C 32321=?=,在△11EC A 中，= =E C E A 11 a 32，a C A 211=，213 2322)2(3232cos 22211-=?-???? ??+???? ??=∠a a a a a EC A ，110 EC A ∠?＜ ?180＜，?=∠∴120 11EC A 2. 如图9-50，点A 在锐二面角??-MN -??的棱MN 上，在面??内引射线AP ，使AP 与MN 所成的∠PAM 为45°，与面??所成的角为30°，求二面角??-MN -??的大小．

解析：如图答9-44，取AP 上一点B ，作BH ⊥??于H ，连结AH ，则∠BAH 为射线AP 与平面??所成的角，∴ ∠BAH =30°，再作BQ ⊥MN ，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面??内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ ⊥MN ，∴ ∠BQH 为二面角??-MN -??的平面角． 图答9-44 设BQ =a ，在Rt△BAQ 中，∠BQA =90°，∠BAM =45°，∴ a AB 2=，在Rt△BAH 中∠BHA =90°，∠BAH =30°，∴ a BH 22= ．在Rt△BHQ 中，∠BHQ =90°，BQ =a ，a BH 2 2=，∵ ∠BQH 是锐角，∴ ∠BQH =45 即二面角??-MN -??等于45°． 3. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB ＝2 1CD ，侧棱PB⊥底面ABCD ，PC ＝5，BC ＝3，ΔPAB 的面积等于6，若平面DPA 与平面CPB 所成的二面角为α，求α. 解析：平面DPA 与平面CPB 有一公共点P ，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA 和CB 的延长线的交点E 是它们的另一公共点.由公理二，PE 就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根. 解 延长DA 交CB 的延长线于E ，连PE ，则PE 就是平面DPA 和平面CPB 的交线. ∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD. ∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE. 作CF⊥PE 于F ，连DF 由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α. ∵AB＝ 2 1CD ，PC ＝5，BC ＝3，∴PB＝4. S ΔPAB ＝6，∴AB＝3，CD ＝6，DC AB ＝EC EB ＝21.

必修二_立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行，则其中一个平面的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成? 2、直线和平面垂直，则该线与平面任一直线垂直 3、在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 90 1、二面角的平面角为?

立体几何典型例题精选(含答案)

F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ?=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,?如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

立体几何经典题型汇总

1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线. （1）. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点 [注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．． 向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面. ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在 任何一个平面内的两条直线） （2）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）. （直线与直线所成角]90,0[??∈θ） （向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. （3）. 两异面直线的距离：公垂线段的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直. [注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）

高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料

2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料

BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1

(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积． A B C D E 图5

高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中数学立体几何练习题精选试卷 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题2分，共40分） 1．设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（） ①l?α，m?α，且l∥β，m∥β； ②l?α，m?α且l∥m； ③l∥α，m∥β且l∥m． A．1个B．2个C．3个D．0个 2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0）、B（0，4，0）、C（4，4，0）、D（0，0，2），则此三节棍体外接球的表面积是（） A．36πB．24πC．18πD．12π

3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D． 4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（） A．16B．2C．4D． 5．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（） A．2πB．4πC．πD．8π 6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（） ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D． A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④ 7．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）

-2017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

高一立体几何经典例题复习课程

立体几何周练 命题人---王利军 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A 、A B α? B 、AB α? C 、由线段AB 的长短而定 D 、以上都不对 2、下列说法正确的是 A 、三点确定一个平面 B 、四边形一定是平面图形 C 、梯形一定是平面图形 D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成 60o 角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是 A 、l ∥a B 、l 与a 异面 C 、l 与a 相交 D 、l 与a 没有公共点 6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上 C 、点P 必在平面ABC 内 D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ， a ∥ b ，则a ∥M ；③若a ⊥ c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱 10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个

空间立体几何高考知识点总结与经典题目

空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。

（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。 则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ， 又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

高一立体几何试题及答案详解

潜山中学２００６．高一立几阶段考试题 一．选择题：（１２*５＝６０） １．设有两条直线a 、b 和两个平面α、β，则下列命题中错误的是 （ ） A ．若//a α，且//a b ，则b α?或//b α B ．若//a b ，且,a b αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//αβ，且,a b αβ⊥⊥，则//a b D ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥ ２.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) （A ）棱台 （B ）棱锥 （C ）棱柱 （D ）都不对 ３、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等， 如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成角为 （ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 ４．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与D E 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确的是 （ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D.③④ D ．③④ ５、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为ο 45， 腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） A. 2 221+ B. 22+ C. 21+ D. 2 2 1+ ６、给出下列关于互不相同的直线,,m n l 和平面,αβ的四个命题: （1） , ,,m A A l m ?=?点ααI 则 l 与m 不共面；（2） l 、m 是异面直线， α αα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若 m l m l //,//,//,//则βαβα；（4）若 ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=??I ，则β α//，其中为错误的命题是 （ ）个. Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ７、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ① 若b a ⊥，α⊥a ，α?b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β ⊥a ； ③若β⊥a ，βα ⊥，则α//a 或α?a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ( )

高中数学立体几何经典大题训练.

高中数学立体几何大题训练 1. 如图所示,在长方体 1111ABCD A B C D -中, AB=AD=1, AA 1=2, M 是棱 CC 1的中点 (Ⅰ求异面直线 A 1M 和 C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ证明:平面 ABM ⊥平面 A 1B 1M 1 2. 如图, 在矩形 ABCD 中,点 , E F 分别在线段 , AB AD 上, 243 AE EB AF FD ===

=. 沿直线 EF 将 AEF V 翻折成 ' A EF V , 使平面 ' A EF BEF ⊥平面 . (Ⅰ求二面角 ' A FD C --的余弦值; (Ⅱ点 , M N 分别在线段 , FD BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 ' A 重合,求线段 FM 的长。 3. 如图, 直三棱柱 111ABC A B C -中, AC BC =, 1AA AB =, D 为 1BB 的中点, E 为 1AB 上的一点, 13AE EB =. (Ⅰ证明:DE 为异面直线 1AB 与 CD 的公垂线; (Ⅱ设异面直线 1AB 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 111A AC B --的大小. 4. 如图,在四棱锥 P — ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA ⊥平面 ABCD , AP =AB , BP =BC =2, E , F 分别是 PB , PC 的中点 . (Ⅰ证明:EF ∥平面 PAD ;

(Ⅱ求三棱锥 E — ABC 的体积 V. 5. 如图,棱柱 111ABC A B C -的侧面 11BCC B 是菱形, 11B C A B ⊥ (Ⅰ证明:平面 1 ABC ⊥平面 11A BC ; (Ⅱ设 D 是 11AC 上的点, 且 1//A B 平面 1B CD , 求 11 :A D DC 的值 . 6. 已知三棱锥 P -ABC 中, PA ⊥ ABC , AB ⊥ AC , PA=AC=?AB ,