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西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案

随机过程习题解答

第一章习题解答

1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。求X 的特征函

数，EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。解 0

()()jtx

jtk k X k f t E e

e pq ∞

===

∑ 0

()k jtk

k p q e

∞

==∑ =0

()1jt

jt k p

p qe qe ∞

==-∑ 又20

()k

k k q q E X kpq p kq p

p p

∞∞

======∑∑ 222

()()[()]q D X E X E X P =-=

（其中 00

(1)n

n n n n nx

n x x ∞

∞

====+-∑∑∑）

令 0

()(1)n n S x n x ∞

==+∑

则 1

()(1)1x

n k n x

S t dt n t dt x x

∞

+===

=-∑∑??

220

1()()(1)11(1)1(1)x

n n d

S x S t dt dx

x x

nx x x x ∞

=∴=

-∴=-=

---?∑

同理 2

(1)2k

k k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞

=====+--∑∑∑∑

令20

()(1)k k S x k x ∞

==+∑ 则

()(1)(1)x

k k k k k S t dt k t dt k x

kx ∞∞

∞

+====+=+=∑∑∑?）

2、（1）求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为

1,0()0,0()

0,0p p bx

b x e x p x b p p x --?>?

=>>Γ??≤?

（2）其期望和方差；

（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。解（1）设X 服从(,)p b Γ分布，则

()()

p jtx

p bx

X b f t e

x e dx p ∞

--=Γ? 1()0

()p p jt b x b x e dx p ∞

--=Γ?

101

()()()()(1)p u p p p p

p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b

∞

----==Γ---? 1

(())x p p e x dx ∞

--Γ=

? （2）'1()(0)X p E X f j b

∴=

= 2''221(1)

()(0)X p p E X f j b

= 2

2()()()P

D X

E X E X b

∴===

（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则

121212()

()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b

-++==-

1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+

同理可得：

()()i

P X b f t b jt

∑=∑-

3、设ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是

严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）ln (),()(k Z F X E Z k =并求是常数）。

解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<== （01y ≤≤）

∴ 0

0()0111

y F y y

y y

=≤≤??>?

∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布

()F x ∴的特征函数为1

1()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-? 1

()()(1)jbt

jbt

jta

Y X f t e

f at e

jat

==-

（2）ln ()

()()[]jtz jt F x Z f t E e E e

== =1

ln 0

1jt y

e dy ??

1jt

y dy jt =+?

'2()(1)(1)Z f t j jt -∴=-??+

''23()(1)(2)(1)Z f t j jt -=--??+

()(1)

()(1)!(1)

k k k k Z f t k j jt -+=-??+

()1()(0)(1)!k k k

Z k E Z f k j

∴=

=- 4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1

k k X =∑的分布。

解

()()n

k n

k jt

x X f

t E e

==∑=∑

()k

jtx k E e =∏

=11n

k p

=-∏

=(1)n jt n p qe - =0()k n k jtk n k C p q e ∞

=-∑

∴1

{}()n

k n k k n k P x n k C p q ==+=-∑

5、试证函数(1)

()(1)

jt jt jt e e f t n e -=-为一特征函数，并求它所对应的随机变量

的分布。

证（1）000(1)1(1)

lim ()lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt

t t t e e e e f t n e n e +++→→→--===-- 0000(1)1(1)lim ()lim lim lim 1(1)1jt jnt jt jt jt jt t t t t e e e f t e n e n e

----

→→→→--===-- (0)1f ∴=

lim ()1t f t →= ∴ ()f t 为连续函数

{1()}()(1)

i i k

k i

k jt jt n

n n

jt jt i

k i k i k

jt i k i k jt e e e e f t

t e

n e

λλλλ====--=-∑∑∑∑

=11{1()(1)}(1)

i i i

k k i

k jt jt jt n n jt jt jt i k jt i k jt e e e e e e e

n e

λλ==-++-∑∑ =()111

1[]i k n n n j t t l

i k

i k l e n λλ-===∑∑∑

=1111i

k jlt n n n

i k jlt i k l e

n e

λλ===∑∑∑

=1111

1i k

n n n n jlt jlt i k i l k l e e

n λλ-====∑∑∑∑ 11

()0n n

i k f t t λλ

==∴

-≥∑∑

∴非负定

（2）(1)

()(1)

jt jnt jt e e f t n e -=-

=2(1)(1)(1)

(1)

jt jt jt jt n tj jt

e e e e e n e --+++- =1

1n jtk

k e n =∑

∴1{}k P x k n

≤= （0,2,k n = ）

6、证函数2

()1f t t =

+为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解（1）

()n

i k

i k f t t λλ

==-∑∑

101()

1n n

n n

i k

i k i k i k t t M

λλλλ====≥≥+-+∑∑

∑∑

（1,max{}i k i j n

M t t ≤≤=-）

且()f t 连续(0)1f = ∴()f t 为特征函数（2）2211111

()[]11()211f t t jt jt jt

==++--+ =(1)(1)0

1[]2jt x

jt x e

dx e dx ∞

∞

+---?? =12jtx x

dx ∞

--∞

? =12x

jtx e e dx ∞

--∞

? ∴1()2

x P x e -=

7、设12n X X X ，，相互独立同服从正态分布2(,)N αδ，试求n 维随机向量

12(,,)n X X X 的分布，

并求出其均值向量和协方差矩阵，再求X 1

i i X n ==∑的率密度函数。

解 121

(,,)()i

n x i i P x x x P

x ==

∏

()

1exp{}2(2)n

i i n n

x a σ

πσ=-=

∑

又 i X 的特征函数为：221

()exp{}i X f t jat t σ=- 12221

,12

(,)()exp{()}n n

X X X n i i i i i f t t t f t jat t σ====-∑∏ ∴ 均值向量为{,,}αααα=

∴ 协方差矩阵为222(,,)B diag σσσ=

又

22121

()(,,)()exp{]n

t t t t

n n n n n X i f t f f jat t σ====-∏

8、设X ．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(,)m p 及(,)n p 分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b Γ的分布。求X+Y 的分布。

解（1）0

()k

jtx jtx x x n x X k n k

x f t e

P e C p q --===∑∑

()n

it x x n x n x pe C q --=∑

(

p n

jt x

x n q x q

e C -=∑

=(1)p n jt n

q e -+

=()jt n q pe -+

则 12,1,2()()()jt jt m n

X Y f t t pe q pe q =++

∴

()()()()jt m n X Y X Y f t f t f t pe q ++==+

∴(,)X Y b m n p ++

（2）

12()

12()(1)

()(1)

(,)

p X p p X Y jt f t b

jt f t b

X Y p p b --++=-∴=-∴+Γ+ 9、已知随机向量（X 、Y ）的概率密度函数为

4[1()],1,1(,)0,xy x y x y p x y ?+--<<=??

其他

求其特征函数。

解

12()12(,){}j t x t y f t t E e +=

＝1211

()3314

11(1)j x t y e x y xy dy +--?+-?? ＝11

331

2221

[cos ()sin ]jt x e dx t y j x y xy t y dy -+-??

＝1212

sin sin t t t t 10、已知四维随机向量1234(,,,)X X X X 服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为44,()kl B E δ?=1234求（X X X X ）。

解 144

14140

14(,)(,)()[

](,)

t t f t t E X X j t t -==?=?

又 '

1142(,)exp[]

f t t tBt =- ＝4

exp{}k

l k l

k l t t σσ==-

∑∑

其中11

12131421

2223243132333441

4243

44B σσσσσ

σσσσσσσσσσσ?? ? ?= ? ? ???

cov(,)kl k l

X X σ= (,1,2,k l =

∴

123

E σσσσσ

σ++1234（X X X X ）= 11、设12

3X X X ，和相互独立，且都服从N （0，1），试求随机变量112212Y X X Y X X =+=+和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。

解 12,33

,1231

(,,)exp{}X X X k k

k f t t t j

t x

==∑

＝3

exp{}k k jt x k k k e t ===-∑∏

＝123,,1234(,,)X X X f u u u u +

＝222

112122exp{[(())]}u u u u +++

12、设123X X X ，和相互独立，都服正态分布δ2N （0，），试求：

（1）随机向量123（X ，X ，X ）

的特征函数。（2）设112123123,,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量123(,,)S S S 的特征函数。（3） 121232Y X X Y X X =-=-和组成的随机向量12（Y，Y）的特征函数。解（１）1

222

,,1232331232331(,,)exp{[()()]}2

X X

X f t t t t t t t t t t t t σ+++=-+++++ （２）1

2,3

,123112233(,,){exp[()]}S S S f t t t E j t s t s t s =++

＝123123233{exp[(()()]}E j t t t x t t x t x +++++ ＝1

,,123233(,,)X X X f t t t t t t +++

＝2221232331exp{[()()]}2

t t t t t t σ-+++++ （３）112212()

,12(,){}j t y t y Y Y f t t E e

+∴=

＝1112223{exp[(()]}E j t x t t x t x -+-+

＝2222

111222

exp[(()]}t t t t σ-+-+ 13、设123（X，X ，X）服从三维正态分布N （0，B），其中协方差矩阵为,ld δ?33B=（），且

2112233.δδδδ===试求。

解222222123[()()()]E X X X δδδ---

＝2222222224261231213231[][]3[]E X X X E X X X X X X E X σσ-+++-

又'12()exp{}

f t tBt =- 123

442

1222

2t t t f b t t σ===?∴=+? 同理可得 22

41313()2E X X b σ=+ 22422323()2E X X b σ=+

222622221231213122313()228E X X X b b b b b σσσ=+++ ∴22

122313

[()()()]8E X X X b b b

δδ---= 14、设12n X X X ，，相互独立同服从分布δ2

N （0，）

。试求21

exp()n

n i i Y X ==-∑的期望。

解2(0,)k X N σ (1,2,k n =

令12(,,)n X x x x = 12(,,)n t t t t = 则

222'

221

11()exp{(,,)}exp{}22n X k k f t tdiag t t σσσσ==-=-∑

1(){exp()}n

n k k E Y E t =∴=-∑

2211

k x n

x k k d x σ+∞

--=-∞

∏?

1)2n k

y x σ

21221

((1))2k n

y k k e dy σ+∞

--=-∞

＝21

(1)2n

k σ

=+ ＝2

(12)n σ-+

15、设X ．Y 相互独立同分布的(0,1)N 随机变量，讨论22X

U X Y V Y

=+=

和的独立性。解 22

12Z X Y X

Z Y

?=+?

?=?? ∴有

12x z x y x z y y ?=??=+?????

=??=???

或x y ?=??

??=?? 则21

22122222(1)x y

x J

z y

--=

=--=-+

又222

1(,)2x y X Y R x y e π

+-?=

2(,)x y R ∈

11212,121222211(,)[](0,)2(1)

z Z Z P z z e z z R z π-∴=->∈+

1211()2

z Z P z e -= 1(0)z >

2222

11()21Z P z z π=?+ 2z R ∈ ∴1Z 服从指数分布，

2Z 服从柯西分布，且

对21,2(),z z R ?∈有

1212,1212(,)()()Z Z Z Z P z z P z p z =? ∴12,Z Z 相互独立。

16、设X ． Y 相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论

U X Y V X Y

=+=

+和的独立性。解（1）0

()0

0x X x e P x x -≥?=?

(),0,0

(,)0x y X Y x y e P x y -+≥≥?=??

其它

(2) 0010

u U V

u v ue P u -≤≤

（u,v）=e 其它

(3) 00

()(,)0U U V u

u P u P u v dv ue u +∞

--∞

001()101V u v v P v ue du v +∞-?

<≥?

=?=≤

∴ (,)()()U V U V P u v P u P v = 对2(,)u v R ?∈均成立

∴,U V 相互独立

17、设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数分别如下，试求)Y y =E （X

（1）1,0,0(,),0

y y

x y e

p x y y --?>>?=???

其它

（2）2,0(,),0

x y x

e p x y λλ-<

证（1）{}()X Y E X Y y xP x y dx +∞

-∞

==?

11x y

x y

y y x e dx y y

e dx y

+∞

--+∞

--?=?

（2）221()

x y x y

x e dx

E X Y Y e dx λλλλλ

λ+∞

-+∞

-+==?

18、设X 、Y 是两个相互独立同分布的随机变量，X 服从区间[0，1]上的均匀分布，Y 服从参数为λ的指数分布。试求（1）X 与X+Y 的联合概率密度；（2）().D X Y y =

解 1(0,1)

()0X x P x ∈?=?

? 其它

()0

y Y e P y λλ-≥?=??y 0

y<0

∴,01(,)0

y X Y x e P x y λλ-≤≤≥?=??y 0

其它y<0

令U X V X Y =??

=+? 则10J =≠ x u

y v u

=??=-?

∴(),,01(,)(,)0

v u X X Y X Y u v u e P u v P u v u J λλ--+≤≤≥?=-=?? 其它

（2）111

3412()()D X Y y D x ===-=

19、设,0,1,2,n X n =±± 是一列随机变量，且01211n k k

k n n X n n n ??

? ?- ???

，其中K 是正常数。试证：

（1）当1n k X >时，几乎收敛于0。（2）当2n k X >时，均方收敛于0；（3）当20n k X ≤时，不均方收敛于。证令0X =

k P 1k n

- 1k n

n X

n - 0 n

k P 2

- 2

∴

2n X 0 2n

∴{lim

0}1n n P X →∞== ( 当1k >，2

lim 0k n n

→∞

=) n X 几乎肯定收敛于0

22{}{}2k n n E X X E X n --==

当2

22lim {}lim 20k n n n k E X X n -→∞→∞

>-== 时， ∴n X 均方收敛于0

当2k ≤时，2

lim {}0n n E X X →∞

-≠ 即0n X 不均方收敛于。

20、设,,.P P P

n n n n X a Y b X Y a b ??→??→±??→+试证

证0ε?>

{()()}n n x y a b ε±-±≥={()()}n n x a y b ε-±-≥

{}{}2

n n x a y b εε

?-≥-≥

∴0{()()}n n P x y a b ε≤±-±≥

{}{}02

n n P x a P y b εε

≤-≥+-≥→ ()n →∞

∴ P

n n x y a b ±??→±

第二章习题解答

1.设(1,2,)X i = 是独立的随机变量列，且有相同的两点分布112211-??

，令1(0)0,()n

i i Y Y n X ===∑，试求：

（1）随机过程{(),0,1,2,}Y n n = 的一个样本函数；（2） [(1)]P Y k =及P[Y(n)=k]之值；（3） [()]P Y n k =；（4）均值函数；（5）协方差函数；

解：（1）当1i X = 时，(1,2,)i = ，()y n n =

（2）1

2111{(1)}{}0

k P y k P X k =-?====??或其它

12X X + 2 0 -2

k P

14 12 1

1412

121

{(2)}{}20

k k p Y k P X X k k =??=?==+==?=-???其它

当n 为奇数时

Y （n） n -

2n -+ 1- 1 2n - n

k P

n n

12n n

C 122n n n

C -

122

n n n

C + 12n n n C - 2

n n C

当n 为偶数时

Y （n） n -

2n -+ 2- ０ 2 2n - n

k P

n n

12n n

C [

2n n n C -

[]122

n n n

C + 12n n n C - 2

n n n C

（４）1

[()][]()n n

i i i i E Y n E x E x ====∑∑

而()0i E x =

[()]E Y n

∴= （５）1

[(),()]{]n n

i j i j Cov Y n Y m E x x ===∑∑

m n ≤若 2

{}{}n n

k k k k E x E x m ====∑∑

∴ 若n m <，则有Cov[Y(n),Y(m)]=n 即有Cov[Y(n),Y(m)]=min(n,m)

2.设X(t)cos sin A t B t ωω=-，其中A 、B 是相互独立且有相同的2(0,)N σ分布的随机变量，ω是常数，(,)t ∈-∞+∞，试求：（1）X （t ）的一个样本函数；（2）X （t ）的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。解：（1）当A=B=1时，X(t)cos sin t t ωω=-

（2）cos ()(,)sin t X t A B t ωω??= ?-?? 1(,)~(0,)A B N B 21200B σσ??= ???

()X t ∴ ～2

(0,)N σ

2()(,)x X p x x σ-

∴=

∈-∞+∞

（3）[()]0E X t =

cov[(),()]{(cos sin )(cos sin )}X s X t E A s B s A t B t ωωωω=--

2cos ()s t σω=-

3.设随机过程1()(cos sin ),0n

k k k k k X t Y t Z t t ωω==+≥∑。其中1212,,,,,,n n Y Y Y Z Z Z 是相互独

立的随机变量，且,k k Y Z ～2(0,),1,2,k N k n σ= 。（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；（2）证明{X(t)}是正态过程。

解：（1）1[()][()cos ()sin ]0n

k k k k k E X t E Y t E Z t ωω==+=∑

(,)[()[]]X R s t E X s X t =

2212

{[(cos sin )][(cos sin )]}

[(cos cos sin sin )]

cos ()

n n

k k k k k k k k k k n

k k k k k k k n

k E Y s Z s Y t Z t E Y s t Z s t s t ωωωωωωωωσ

ω=====++=+=-∑∑∑∑

（2）121212((),(),,())(,,,,,,,)n n n X t X t X t Y Y Y Z Z Z A =

1212(,,,,,,,)~(0,)n n Y Y Y Z Z Z N B 其中1112112

1112112cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin n n n n n n n n n n t t t t t t A t t t t t

t ωωωωωωωωωωωω??

? ?

，222222

1212(,,,,,)k k B diag σσσσσσ=

由n 维正态分布的线性性质得

12((),(),,())n X t X t X t ～'(0,)N A BA

因此X(t)是正态过程。

4.设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1）2()(),0;X t W t t =≥ （2）1

()(),0X t tW t t

=> （3）12()(),0X t c W c t t -=≥ （4）()()(),01X t W t tW t t =-≤≤ 解：（1）22()[()][()]X m t E X t E W t t σ===

22222(,)[()()][()][()]2{[()()]}X R s t E W s W t E W s E W t E W s W t ==?+?

4422min (,)st s t σσ=+

（2）1

()[()]0X m t E tW t

1111

(,)[()()][()()]X R s t E sW tW stE W W s t s t

=?=?

2211

min(,)

st s t s t σσ==

（3）1212()[()][()][()]0X m t E X t E c W c t c E W c t --====

1212(,)[()()][()()]X R s t E X s X s E c W c s c W c t --=?=?

2222222[()()]min(,)min(,)

c E W c s W c t c c s t s t σσ--=?=??=

（4）()[()][()()]0X m t E X t E W t tW t ==-=

(,)[()()]X R s t E X s X t =

[]

2{[()()][()()]}

(1)(1)()()(1)(1)min(,)

E W s sW s W t tW t s t E W s W t s t s t σ=--=--=--

5.设到达某商店的顾客组成强度为λ的Poisson 流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若{(),0}Y t t ≥是购买商品的顾客流，证明

{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

证：令n X 表示“第n 个顾客购买商品”，则(1),(0)1n n P X p P X p q ====-=且

()

1()N t n n Y t X ==∑。其中()N t 为[0,]t 时间段内到达商店的顾客人数，则()Y t 的特征函数

为

()(){exp[()]}Y t f u E juY t =

()

(1)

{exp[]}

{exp[]()}{()}

()

[]!ju N t n n N t k n k n

ju n t

n p t e E ju X E ju X N t n P N t n t pe q e n e

λλλ=∞==∞

-=-===?==+=∑∑∑∑

∴{(),0}Y t t ≥是强度为p λ的Poisson 流。

6.在题5中，进一步设{(),0}Z t t ≥是不购买商品的顾客流，试证明{(),0}Y t t ≥与

{(),0}Z t t ≥是强度分别为p λ和(1)p λ-的相互独立的Poisson 流。

证：（1）()()()N t Z t Y t =+

∴ ()

()

(){exp[()]}N t Z t i i f

u E ju N X ==-∑

0()(1)(1)

(){exp[()]}!1

[()]!

ju ju n n

i n i n

ju ju t

n t p qe t t p e t E ju n X e

n te pe q e n e e

λλλλλλλ∞

-==∞

-=+---=-?=+==∑∑∑

(){exp[()]}N f u E juN t =

(1)

()!ju k juk

t k t e t e

e k e

λλλ∞

-=-=?=∑

∴()()()N

Y Z f

u f u f u =?

∴{(),0}Z t t ≥与{(),0}Y t t ≥独立且强度为(1)p λ-的Poisson 流。

7.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 流。试证明：（1）12{()(),0}N t N t t +≥是强度为12λλ+的Poisson 流；

（2）在1{(),0}N t t ≥的任一到达时间间隔内，2{(),0}N t t ≥恰有k 个时间发生的概率为

1212

),0,1,2,k k p k λλλλλλ=

=++

证：（1） 1212()

()()(){}ju N N N t N t f t E e ++=

121212(1)

(1)

()(1)

{}{}ju ju ju

juN juN e e e

E e E e e

e λλλλ--+-=?=?=

∴ {(),0}N t t ≥是强度为12λλ+的Poisson 流。

（2）令T 表示过程12{()(),0}N t N t t +≥任两质点到达的时间间隔。A 表示2{(),0}

N t t ≥恰有1个事件发生在1{(),0}N t t ≥的任一到达时间间隔内，则

2121210

(){}x y x

P A P T T e dx e dy λλλλ∞∞

--=<=??

8.设{(),0}N t t ≥是Poisson 过程，n τ和n T 分别是{(),0}N t t ≥的第n 个事件的到达时间和点间间隔。试证明：（1）()(),1,2,n n E nE T n τ== ；（2）()(),1,2,n n D nD T n τ== 。证：2

(),(),(),()n n n n n

E T E D T D ττλ

===

∴()(),1,2,n

n E nE T n τ

== ()(),1,2,n n D nD T n τ==

9.设某电报局接收的电报数()N t 组成Poisson 流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。解：

10.设1{(),0}N t t ≥和2{(),0}N t t ≥分别是强度为1λ和2λ的独立Poisson 过程，令

12()()(),0X t N t N t t =+≥，求{(),0}X t t ≥的均值函数与相关函数。

解：121212[()][()()][()][()]()E X t E N t N t E N t E N t t λλ=-=-=-

1212(,)[()()]{[()()][()()]}X R s t E X s X t E N s N s N t N t ==--

111221222211122221212[()()()()()()()()]

min(,)2min(,)

()()min(,)

E N s N t N s N t N s N t N s N t st s t st st s t st s t λλλλλλλλλλ--+=+-++=-++

11.设{(),0}X t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，T 是服从参数为γ的指数分布的随机变量，且与{()}X t 独立，求[0,]T 内事件数N 的分布律。解：由[0,]T 内N 的分布律为：

()(())()!

k x

T x P N T k e p x dx k λλ∞

--∞

==?

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） 1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程习题答案A

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布. （a ）若Λ,2,1=t ，证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳，（b ）设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关，不平稳，与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列，定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，) 1(n X 为平稳过程. 同理可证，Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P

???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2

随机过程课后习题

习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求的分布。 5．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的概率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--<

随机过程与马尔可夫链习题答案

信息论与编码课程习题1——预备知识概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？分析：天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知已知{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |[]5.00,0|0====Y X Z P ，，，，，，即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率由于X ，Y 相互独立，则有 = 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示，且，，求： 1）的分布律与数学期望 2）的分布律与数学期望 3）大于10的概率 4）由上面的例子，你是否能得到离散随机变量函数的数学期望的一般表达式？包括一元和多元随机变量函数。 X Y 5 6 1 0.2 0.3 2 0.1 0.4

分析： 1） 2）说明：主要考虑联合分布律与随机变量函数分布律的关系 3） 4） and so on. 3、已知随机变量的概率密度函数为，其中，为的函数，求： 1）随机变量X 小于或等于5的概率 2）随机变量Y 的概率密度函数 3）随机变量Y 大于10的概率 4）随机变量Y 的数学期望分析 1） 2）假设用分别表示随机变量X 的分布函数、随机变量Y 的概率密度函数和分布函数，则有：有 3） 4） 4、已知随机变量和的联合概率密度函数为，。 1）求随机变量Z 的数学期望 2）求随机变量Z 的概率密度函数 3）结合习题3，总结连续随机变量的函数的数学期望的一般表达式，包括包括一元和多元 Z1 6 7 9 10 P 0.2 0.3 0.1 0.4

随机过程习题答案

随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布， b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+= 所以),(~)(2 t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为 ),(,21);(2 22)(+∞-∞∈= -- x e t t x f t b x π，),0(+∞∈t 均值函数 b t X E t m X ==)]([)( 相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2 2 b btV bsV stV E +++= 2 b st += 2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。解对于任意0>t ，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=- )ln (1}ln {1}ln {t x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=- ≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度 xt t x f t x f Y 1 )ln ();(- =，0>t 均值函数 ? ∞ +--===0 )(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t Y X 相关函数

随机过程复习题(含答案)演示教学

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为 ),,(4 12141， ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ，则167)2(12=P ，16 1 }2,2,1{210= ===X X X P

北邮研究生概率论与随机过程试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，

表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；若已知100 100!1 !(100)()!2 k k k P A -= ，则2f dP Ω=? . 0 2 10(),2550 2525k k kP A =+=∑ 4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度 2,01,0, (,)0,x y x f x y <<<? =??? 其他，20(1())E X t dt π ω=? 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1 ()()X t W t =，则相关函数2 (1,2)2 X R σ= . 7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为 0.50.500.50.500.20.30.5P ?? ?= ? ???

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