2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1-1.5.2

1.5.1-1.5.2 汽车行驶的路程

[课时作业] [A 组 基础巩固]

1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1

n

B.2n

C.3n

D.

12n

解析：把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为3－1n ＝2

n

.

答案：B

2．在求由x ＝a ，x ＝b (a

①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；

④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

解析：n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.

答案：A

3．把区间[a ，b ](a

n

] B ．[

i －1n (b －a )，i

n (b －a )] C ．[a ＋i －1n ，a ＋i

n

] D ．[a ＋

i －1n (b －a )，a ＋i

n

(b －a )] 解析：区间[a ，b ](a

n

，第i 个小区间是[a ＋

i －1n ·(b －a )，a ＋i

n

(b －a )](i ＝1,2，…，n )．

答案：D

4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3

所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )

A.1

9 B.125 C.127

D.130

解析：将区间[0,1]三等分为[0，13]，[13，23]，[23，1]，各小矩形的面积和为S 1＝03

·

13＋(13)3·13＋(23)3·13＝981＝1

9

. 答案：A

5．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积的和式

的极限形式正确的是( )

A.lim n →∞∑n

i ＝1[1

1＋

i

n

2

·2n

]

B.lim n →∞∑n

i ＝1[1

1＋

2i

n

2

·2n

]

C.lim n →∞∑n

i ＝1 (11＋i 2·1

n

) D.lim n →∞∑n

i ＝1[1

1＋

i

n

2

·n ]

解析：将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2

n ，第i 个小区间为[

i －n

，2i n

](i

＝1,2，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得，所求曲边梯形面积的和式的极限形式

应为lim n →∞∑n

i ＝1

[1

1＋

2i

n

2

·2n

]．

答案：B

6.∑n

i ＝1

i

n

＝________. 解析：∑n

i ＝1

i n ＝1n

(1＋2＋3＋…＋n )＝1n

·n

n ＋

2

＝

n ＋1

2

.

答案：

n ＋1

2

7．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2

＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.

解析：将区间[0,2]5等分为??????0，25，??????25，45，??????45，65，??????65，85，????

??85，2，以小区间左端

点对应的函数值为高，得S 1＝

??????1＋? ????252＋1＋? ????452＋1＋? ????652＋1＋? ????852＋1×25＝3.92，同理S 2＝

????

??? ????252＋1＋? ????452＋1＋? ????652＋1＋? ????852＋1＋22＋1×25＝5.52. 答案：3.92 5.52

8．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．

解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n

)＋2

＝3

n

(i －1)＋5.

∴s n ＝∑n

i ＝1

[3n (i －1)＋5]·1

n

＝????

??3n

[0＋1＋2＋…＋n －1]＋5n ·1n

＝3n

2·

n n －1

2

＋5＝32(1－1

n

)＋5.

∴s ＝lim n →∞s n ＝3

2＋5＝6.5. 答案：6.5 m

9.如图所示，求直线x ＝0，x ＝3，y ＝0与二次函数f (x )＝－x 2

＋2x ＋3所围成的曲边梯形的面积．

解析：如图，

(1)分割

将区间[0,3]n 等分，则每个小区间[

i －

n

，3i n ](i ＝1,2，…，n )的长度为Δx ＝3n

.

分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．

(2)近似代替

以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．

则当n 很大时，用n 个小矩形的面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S . (3)求和

S n ＝∑n

i ＝1

f (3

i －1

n )Δx ＝∑n

i ＝1

[－9

i －12

n 2

＋2×

3

i －1n ＋3]×3

n ＝－27n

3[12＋22＋…＋(n －1)2

]＋18n

2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9

＝－27n 3×16(n －1)n (2n －1)＋18n 2×

n n －2＋9

＝－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1

n

)＋9.

∴S ≈S n ＝－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1

n )＋9.

(4)取极限

S ＝lim n →∞

S n ＝lim n →∞[－9(1－1n )(1－12n )＋9(1－1

n )＋9] ＝－9×(1－0)×(1－0)＋9×(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形的面积为S ＝9.

10．火箭发射后t s 的速度为v (t )(单位：m/s)，假定0≤t ≤10，对函数v (t )，按v (t 1)Δt ＋v (t 2)Δt ＋…＋v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义．

解析：将区间[0,10]等分成n 个小区间，每个小区间的长度为Δt ，在每个小区间上取一点，依次为：t 1，t 2，t 3，…，t i ，…，t n ，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度，这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时间段内运行的路程．

从而S n ＝v (t 1)Δt ＋…＋v (t i )Δt ＋…＋v (t n )Δt ≈S (火箭在10 s 内运行的路程)， 这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)Δt ＋v (t 2)·Δt ＋…＋v (t n )Δt 所作的和的实际背景．

当分割无限变细(Δt 无限趋近于0)时，S n 就无限趋近于火箭在10 s 内运行的总路程．

[B 组 能力提升]

1.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为

直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )

A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面

B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面

C ．在t 0时刻，两车的位置相同

D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面

解析：由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与t 轴所围成图形的面积大，则在

t 0、t 1时刻，甲车均在乙车的前面．

答案：A

2．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2

在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为?

?

??

??a i －

n ，ai

n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积? ????ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则S n ＝∑i ＝1n

?

????ai n 2·a

n ＝

a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2

)＝a 33·? ????1＋1n ? ????1＋12n ，依题意得lim n →∞ a 33? ????1＋1n ·? ????1＋12n ＝9，∴a 33＝9，

解得a ＝3.

答案：C

3．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．

解析：把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，所以物体运动的路程近似值为s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.

答案：55

4．如图，某施工队在修建公路时要在小山坡边切去一个几何体．已知该几何体每隔10 m 的直截面面积分别为 3.4,5.6,6.3,4.8,3.5(单位：m 2

)，计算大约需移动的土方数为________ m 3

.

解析：整个几何体需移动的土方数V ＝(0＋3.42)×10＋(3.4＋5.6

2

)×10＋(

5.6＋

6.32)×10＋(6.3＋4.82)×10＋(4.8＋3.52)×10＋(3.5＋02)×10＝236 m 3

， 所以大约需移动的土方数为236 m 3

. 答案：236

5．求由直线x ＝1，x ＝3，y ＝0和抛物线y ＝3x 2

所围成的图形的面积． 解析：(1)分割

把区间[1,3]n 等分，每个小区间的长度为2n

.

(2)近似代替

取第i 个区间的左端点的函数值f [1＋i －

n

]

＝3[1＋

i －n

＋

i －2

n 2

]为小矩形的高，

可得第i 个小曲边梯形的面积的近似值为 ΔS i ＝6

n

[1＋

i －n

＋

4i －2

n 2

]．

(3)求和

把这n 个小曲边梯形的面积求和得S n ＝6＋n －n

＋

n －

n －

n

2

.

(4)取极限

对(3)中的和式取极限，得所求图形的面积为

S ＝lim n →∞

[6＋n －

n

＋

n －

n －

n

2

]＝26.

即由直线x ＝1，x ＝3，y ＝0和抛物线y ＝3x 2

所围成的图形的面积为26.

6．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．

解析：将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x . (1)分割

在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间：

??????0，b n ，??????b n ，2b n ，…，??????n －1b n ，b 记第i 个区间为?

???

??

i －

b n ，i ·b n (i ＝1,2，…，

n )，其长度为Δx ＝i ·b n －

i －

b n

＝b

n . 把在分段?

?????0，b n ，?

???

??b n ，2b n

，…，?

???

??n －b

n ，b 上所做的功分别记作：

ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替

取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知： ΔW i ≈F ?

??

??

i －

b n ·Δx ＝k ·

i －b n

·b

n

(i ＝1,2，…，n )． (3)求和

W n ＝∑i ＝1

n ΔW i ≈∑i ＝1

n

k ·

i －b n ·b n

＝kb 2

n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n n －2

＝

kb 22? ?

?

??1－1

n . 从而得到W 的近似值

W ＝W n ≈

kb 22? ?

?

??1－1n . (4)取极限

W ＝lim n →∞W n ＝lim n →∞∑i ＝1

n

ΔW i

＝lim

n →∞ kb 22?

?

???1－1n ＝kb 2

2. 所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 2

2

.