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第一学期第一次课

第一章代数学的经典课题

引言（代数学的研究对象）

初等代数：研究数和它的四则运算。难题：1637，费马(Fermat)断言：关于,,x y z 的代数方程n n n x y z +=当2n >时无正整数解。1994年Princeton 大学Wiles 使用现代最深奥的数学理论得出解答。

高等代数：研究各种代数系统以及它们之间的相互关系。

代数系统的概念：一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

代数系统的来历：1832，法国数学家Galois 发现一般五次以上一元高次代数方程没有公式解，所用方法为研究Galois 置换群的结构。即研究某个代数系统的结构。

线性代数：多元一次联立代数方程组以及用以解决这一问题的代数系统的相关理论。

§1 若干准备知识

1.1.1 复数的基本知识

a. 复数

每个复数z 具有z x iy =+的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。 b. 复数的四则运算复数的四则运算定义为：

11221212()()()()a ib a ib a a i b b +±+=±+±112212121221()()()()

a i

b a ib a a bb i a b a b ++=-++ 2

222112222221212211b a b a b a i b a b b a a ib a ib a +-+++=++, (22

0a b +≠). 注1：复数除法公式可由除法是乘法的逆运算推出注2：复数除法公式也可如下推出：

1112

2222()1212211222222222

z z z z a a b b a b a b z z a ib i a ib a b a b =+-+==++++ c.共轭复数的几个运算性质

共轭：复数z x iy =+的共轭复数定义为：z x iy =-；

1212()z z z z ±=± 1212()z z z z ?=? 112

2()z z z z = 2222(Re )(Im )zz x y z z =+=+

Re ()2z z z =

+ 1

Im ()2z z z i

- d. 复平面

C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。 e.复数的三角表示

向量 z = x + iy 的长度称为复数 z 的模, 记做 |z|. 显然

|z| =

22y x +

实轴的正向与向量 z 之间的夹角(z ≠ 0) 称为 z 的辐角, 记作 θ, 显然 θ 有无穷多个不同的值, 记作

Arg z = θ + 2k π , k ∈ Z

Arg z 中只有一个值 α 满足 - π < α ≤ π , 称它为 z 的主辐角.记作arg z

对复数 z ( ≠ 0), 有

Re z = |z| cos (Arg z ), Im z = |z| sin (Arg z )

复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+； f. 用复数的三角表示做乘除法

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设,αβ是两个非零复数

||(cos sin )i αα??=+, ||(c o s s i n

ββψψ=+ 则有

(,)

x y

||||[cos()sin()]

i αβαβ?ψψ?=+++

对除法，有

/||/||[cos()sin()]

i αβαβ?ψ?ψ=-+-

g. n 次单位根

令

cos sin i e i ???=+

表示模为1，辐角为?的复数。于是

()i i i e e e ?ψ?ψ+?=

给定正整数n ，考察下列n 个复数

222cos

sin k i n

k k e

i n n

ππ

=+ 其中0,1,2,,1k n =- . 这n 个复数就是以坐标原点O 为中心的单位圆的内接正n 边形的n 个顶点. 显然有

222cos sin cos 2sin 21n

k i n k k e i k i k n n π

ππππ????=+=+= ? ??

???

因此,上述n 个复数222cos

sin k i n

k k e i n n

ππ

=+恰好是n 次代数方程10n x -=在复数系C 内的n 个根，称为n 次单位根

1.1.2 数域的定义

定义（数域）设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数，且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K 内任意两个数a 、b （a 可以等于b ），必有K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时，，且当，，则称K 为一个数域。例1.1 典型的数域举例：复数域C ；实数域R ；有理数域Q ；Gauss 数域：Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q }，其中i =1-。

命题任意数域K 都包括有理数域Q 。

证明设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈a K a ，且。于是

K a

K a a ∈=

∈-=10，。

进而∈?m Z > 0,

K m ∈+??++=111。

最后，∈?n m ,Z > 0，

K n m ∈，K n

n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差) 设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集，记做

B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，

记做B A \。

定义（集合的映射）设A 、B 为集合。如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素（记做)(a f ）

，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 ).

(,:a f a B A f →

如果B b a f ∈=)(，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像(集)，记做)(A f ，即

{}A a a f A f ∈=|)()(。

若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈，使得

b a f =)(，则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射，则称f 为双射，或称一一对应。

设f 是从A 到B 的一个映射，如果存在B 到A 的映射g ，使得,B A fg id gf id ==，则称f 是一个可逆映射. 映射g 称作f 的逆映射. 容易看出，f 的逆映射是唯一的.

命题1.3 设f 是从A 到B 的一个映射，如果f 是双射，那么f 可逆，反之，如果f 可逆，那么f 是双射.

证明：先证明如果f 是双射，那么f 可逆.

因为f 是满射，所以任意b B ∈，必存在a A ∈，使得()f a b =。又因为f 是单射，所以满足这一条件的元素a A ∈是唯一确定的。因此，我们得到一个法则g ，使得对任意

b B ∈，按此法则对应于A 中唯一元素()g b a =，使得()f a b =。于是g 为B 到A 的一个

映射，且(())f g b b =，即B fg id =。现在对任意a A ∈，显然有(())g f a a =，即A gf id =，

故f 可逆，且1

f g -=。

再证明如果f 可逆，那么f 是双射.

现设12,a a A ∈，若12()()f a f a =，因为f 可逆，有

111122(())(())a f f a f f a a --===

这意味着当12,a a A ∈为不同元素时，1()f a ，2()f a 是B 中不同元素，即f 是单射。设任意b B ∈，因为f 可逆，其逆映射g 存在，为B 到A 的一个映射。设()g b a A =∈，那么()(())()B f a f g b id b b ===。这表明f 是满射。 1.1.4 求和号与求积号

1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ，我们使用如下记号：

∑==+++n

i i n a a a a 1

21 ,

∏==n

i i n a a a a 1

21 .

当然也可以写成

∑≤≤=+++n

i i

n a

a a a 121......,

∏≤≤=

i i

n a

a a a 121.......

2. 求和号的性质. 容易证明，

∑∑===n i n

i i i a a 1

λλ

∑∑∑===+=+n

i n i n

i i i i i

b a b a

)(

∑∑∑∑=====n i m j n

i ij m

j ij

a a

111

事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：

n n m

m a a a a a a a a a ......

(2)

122221112

11 分别先按行和列求和，再求总和即可。

比如先按行求和，第i 行的和为1

i ij

j A a

∑，各行之和加起来为

()m m n m n

i i j i j A a a

=======∑∑∑∑∑。如果先按列求和，第j 列的和为1

j ij

i B a

∑，各列之和加

起来为

()n

j j i j i B a a

=======∑∑∑∑∑。两种方法都是对mn 个元素求和，当然相等，所以

∑∑∑∑=====n

i m j n

i ij m

j ij

a a

111

。

习题课：P .14–16 2.(2), 3, 5, 8, 12, 14.

习题3. 设S 是前n 个自然数所成集合，即{1,2,,}S n = 。f 是S 的一个变换。（2）如果f

是

满射，证明

必然是单射。

证：设有两个不同的数12,a a S ∈，若123()()f a f a a ==，那么f 不可能是满射，因为

像元素小于n 。

习题 5. 全体有理数集合记为

，全体偶数所成集合记为

，证明这两个集合存在双射

()2k f a k =。

证：先证明

f 是单射。按照映射规则，若有两个有理数

11m n 与22

n 满足1212(

)()m m f f k n n ==，那么必有1212k m m a n n ==，也就是说11m n 与22

n 相等。所以如果1212m m n n ≠

，必有1212

()()m m

f f n n ≠，即f 是单射。再证明

f 是满射。很显然，每一斜行

121121k k k k -→→→→- 中元素1

与前1k -个斜行中所有的元素都不相等，所以()1

k f k ≥，这说明前k 个斜行中必有一个元素k a ，使得()k f a k =。

习题13. 设,K L 是两个数域，证明K L 仍为数域的充要条件是K L ?或L K ?。

证：充分性显然。

必要性：否则，必有,,,k K l L k L l K ∈∈??，显然,0?k l ≠。考虑元素kl ，因为K L

仍为数域，所以k l K L ∈ 。

若(

k l K l k l K

∈?=∈，矛盾；类似有

()1

kl L k kl L l

∈?=

∈矛盾。 (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =；

当

(1)0f =，由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m ?=?∈；

当

(1)1f =，由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?∈。

习题14. 设A 全体有理数集合，f 是A 的一个变换。证明：对任意,a b A ∈，

()()()f a b f a f b +=+；()()()f ab f a f b =的充要条件是A f id =或f

为零变换。

证：充分性显然。必要性：

(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+?=； (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =；

当

(1)0f =，由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m ?=?∈；

当

(1)1f =，由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?∈。

习题15. 设f 是Q 到复数域的一个映射，且对任意,Q αβ∈，

()()()f f f αβαβ+=+；()()()f f f αβαβ=，证明f

只能是下列三种映射之一：

（1）()0f Q αα=?∈ （2）(,f a a a b Q +=+?∈

（3）

(,f a a a b Q +=-?∈

证：

(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+?=； (1)(1)(1)(1)0f f f f =?=或(1)1f =；

当

(1)0f =，由上述可知()0()f n n Z =?∈()0(,)n

f m n Z m

?=?∈；此时，

0(2)f f f f ===?，所以0f =。于是

(()(0,f a f a f a bf a b Q +=+=+=?∈

当

(1)1f =，由上述可知()()f n n n Z =?∈()(,)n n

f m n Z m m

?∈。此时，

===?，所以)2

f f f f

2(2)

f或f=。于是

+=+=+=?∈

()()2)(2)(2),

f a f a a f b a b Q

课后习题：P.14–16 1.(1), 2.(3), 4.(2), 7, 13, 15.

学习北京 101中学心得体会周

学习北京一零一中学办学理念有感黄泥塘镇第二小学教师周珍林今天我有幸参见学校领导易昌发老师所做的“关于北京101中学校长郭涵的教育理念学习”的培训，深有感触。尤其是该校响应国家颁布的中长期教育改革纲要中强调要德育为先的方针政策，树立“立德树人是教育的根本任务”的宗旨，让我感悟到：要办好一所学校，首先必须要有健康育人的宗旨。一、有着悠久的办学历史，是众多领导人展翅的起点北京一零一中学是中国共产党在老区创办并迁入北京的唯一所中学。1955年，学校定名为北京一零一中,郭沫若同志亲笔题写校名，并释其含义为“百尺竿头，更进一步”。我们先来看看该校的办学成果，就知道他为什么值得全国推崇并向之学习的原因了。其先进的办学理念，高素质的教师队伍，把握时代发展脉搏的教育改革，使学校获得高质量的办学成果：重点大学升学率90%以上，有6位同学先后获北京市高考状元。在国际奥林匹克竞赛、全国、市区学科竞赛，以及国际国内的中学生体育比赛、艺术大赛和科技创新大赛中连年取得优异成绩。为国家培养的3万多名优秀毕业生，已成为各条战线的骨干力量。党的十六大当选的中央委员和政治局委员中，有6人毕业于北京一零一中，有4人担任着党和国家领导职务。此外，还有不少人担任了省部级和大军区的党政军主要领导工作，许多人成为蜚声海内外的专家学者和各行各业的先进模范人物。

二、以立德树人作为教育的根本郭涵校长在接受记者采访时谈到：“100分不满足，要得101分，所以我觉得学校的与时俱进从那个时候就开始了。65年，学校形成了非常好的文化和传统，我们自己做了一个总结：第一，首先是自强不息，不辱使命的责任意识。在每个重要历史关头，都有敢于担当的责任之时。第二，健康育人的宗旨。第三，百尺竿头，更进一步的进取精神。这些精神丰富了我们教育的内涵，也帮助我们去寻找教育的规律。”在话语中我们得到了郭校长再次对办学理念的诠释，这也是育人的最终目的。近年，十七大讲德育为先，这次国家颁布的中长期教育改革纲要再一次强调要德育为先，立德树人是教育的根本任务。郭涵校长还谈到他们非常重视常规管理。现在有很多套道德观念，有时候无所适从，所以要扎扎实实地进行养成教育。另外还非常强调德育的入脑入心，把德育做实在，在活动中去育人。这正对应了该校的一个口号就是“用心做德育，像对待智育一样去做德育。” 三、放飞学生个性，努力为学生搭建多个平台郭涵校长在关于90后一些有个性的学生群体，怎么样搭建一个很好的平台，让他们能够发挥个性时谈到：“个性这方面，我觉得跟创新人才的培养相关。不张扬他的个性，全部是大一统，将来很难培养出创新人才。从学校来讲，我们首先在课程方面给他们搭建了一个展示个性的平台。从必修课的课程改革开始我们就注重一些教学方式的改革，比如探究、讨论、互助、合作，在

上地101中学2014年入学方式分析

上地101中学2014年入学方式分析上地实验中学小升初入学方式主要包括：推优、特长、共建、住宿、派位这几种方式，根据学生和家庭的实际情况，可以选择最适合的一种入学升学方式入学。以下为优胜教育整理的上地101中学各种入学方式的分析。小升初推优上地实验中学具有接收海淀区内推优生的资格，2013年小升初接收推优生的名额 40，主要招收海淀、东升、西苑、四季青、西北旺、温泉、上庄、苏家坨招生区域的具有推优资格的学生。特长招生已取消上地101中学没有特长生的招生指标，2013年小升初取消了上地101招收科技特长生的招生计划，因此想要通过特长途径进入101中学的学生，把目光转移到其他的升学途径上。有特长的学生可以好好利用，准备其他中学的特长报名及考试。目前2014年小升初政策尚未出台，特长方面会不会有变化不清楚，关注上地101中学的2014年小升初。住宿生招生 2014年小升初在了解上地101中学时，不得不重视上地101 中学住宿生的招生通知，根据往年情况来看，报名上地101中学的小升初学生是非常多的，且上地101本身对住宿生的招生计划人数也非常多。上地101中学2013年小升初面向全区招收住宿学生 234人，这是海淀区所有招收住宿生的公办中学中招收人

数最多的学校。上地101中学的2014年小升初学生及家长，可以留意住宿报名相关情况。共建单位上地101中学的共建单位中有不少部队单位，如总参、二炮、发改委、实创等。据了解，2013年小升初上地101中学共建考试中，实创集团、二炮等均参加。不过每年共建单位都可能发生变化，有共建关系的小升初学生及家长，可提前关注下共建考试时间及内容。海淀小升初派位依据海淀区小升初2013年对口划片派位表，上地101中学对应的派位小学有：上地实验小学、中关村一小天秀校区、中关村二小百旺校区、中关村一小党校校区（原北宫门小学）、北大附小（非子弟）、清华附小（非子弟）、西苑小学。从往年上地101中学小升初的情况来看，上地101中学是比较偏爱三好学生的，如果有三好学生证书，学生综合学业水平比较好，这种情况下，建议提前做好相应准备，并且要特别注意共建和住宿这两种途径