第10章单指数与多因素模型

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第三部分资本市场均衡

第10章单指数与多因素型

1. 某资产组合管理机构分析了60种股票，并以这60种股票建立了一个均方差有效资产组合。

a. 为优化资产组合，需要估计的期望收益、方差与协方差的值有多少？

b. 如果可以认为股票市场的收益十分吻合一种单指数结构，那么需要多少估计值？

2. 下面是第1题的两种股票的估计值：

股票期望收益贝塔值特定企业标准

差

A130.830

a. 股票A、B的标准差是多少？

b. 假设按比例建立一个资产组合：

股票A 0.30

股票B 0.45

国库券0.25

计算此资产组合的期望收益、标准差、贝塔值及非系统标准差。

3. 考虑下图中股票A 、B 的两条回归线：

a. 哪支股票的企业特定风险较高？

b. 哪种股票的系统(市场)风险较高？

c. 哪种股票的R 2较高？

d. 哪种股票的阿尔法值高？

e. 哪种股票与市场的相关性较高？

4. 考虑股票A 、B 的两个(超额收益)指数模型回归结果： R A =1%+1.2R M R -SQR ＝0.576

RESID STD DEV-N ＝10.3% R B =-2%+0.8 R M R -SQR=0.436

RESID STD DEV -N=9.1%

a. 哪种股票的企业特有风险较高？

b. 哪种股票的市场风险较高？

c. 对哪种股票而言，市场的变动更能解释其收益的波动性？

d. 哪种股票有除CAPM 模型预测的收益以外的平均超额收益？

e. 如果r f 恒为6%，且回归以总量计而非超额收益计，股票 A 的回归的截距是多少？ 用下列数据回答第5~第11题，假设对股票A 、B 的指数模型是根据以下结果按照超额收益估算的： R A =3%＋0.7R M ＋e A R B =-2%+1.2R M ＋e B M =20% R -SQR A =0.20 R -SQR B =0.12

5. 每种股票的标准偏差是多少？

6. 分析每种股票的方差中的系统风险部分和企业特有风险部分的变化。

7. 这两种股票之间的协方差与相关系数各是多少？

8. 每种股票与市场指数间的协方差各是多少？

9. 这两个回归的截距项是否与CAPM 模型相符？解释其值的含义。

10. 如果把60%的资金投入到股票A ，40%投资于股票B ，重作第5、6、8题。

11. 如果50%的资金按第10题比例投资，30%投资于市场指数，20%投资于国库券，重作第10题。

12. 在一个只有两种股票的资本市场上，股票 A 的资本是股票 B 的两倍。 A 的超额收益的标准差 为30%，B 的超额收益的标准差为 50%。两者超额收益的相关系数为 0.7。

a. 市场指数资产组合的标准差是多少？

b. 每种股票的贝塔值是多

少？

c. 每种股票的残差是多少？

d. 如果指数模型不变，股票A 预期收益超过无风险收益率 11%，市场资产组合投资的

i 2 风险溢价 是多少？

13. 最近某股票经评估，其贝塔值为1.24。

a. 美林公司计算的该股票经调整的贝塔值为多少？

b. 假设投资者估计如下回归结果描述了贝塔值随时间的变化： t ＝0.3+0.7 t －1，投资者预测明 年的贝塔值是多少？

14. 将ABC 与XYZ 两支股票在1989~1998年间的收益率数据以普通最小二乘法按股票市场指数的以 年度表示的月收益百分率回归，可以得到如下结论：

统 计 ABC 股票(%) XYZ 股票(%)

阿尔法 -3.20 7.3 贝塔 0.60 0.97 R 2 0.35 0.17 残差

13.02

21.45

试说明这些回归结果告诉了分析家们关于 1989~1998年间每种股票的风险收益关系的什么信息。 假定两种股票包含在一个优化了的资产组合当中，结合下列取自两所经纪行的截止 1998年12月的两年 内的每周数据资料，评价以上回归结果对于未来的风险收益关系有何意义。

a. 如果投资者目前持有充分多样化的资产组合，投资者愿意增加哪种股票的持有量？

b. 如果投资者只能投资于债券与这两种股票中的一种，投资者会如何选择？请用图表或定量 分析说明股票的吸引力所在。

经 纪 行 ABC 股票的贝塔值

XYZ 股票的贝塔值

A 0.62 1.45 B

0.71

1.25

答案：

l. a. 要优化该资产组合，必须：

n =

60个均值估计值 n =

60个方差估计值 (n 2-n )/2 =

1 770 个协方差估值 (n 2+3n )/

2 =

1 890 估计值 b. 在单指数模型中：

r i -r f = i + i (r M - r f )+e i 每种股票收益率的方差可以分解成以下几个部分：

(l) 2

2

由于共同的市场因素导致的方差。

(2) 2

(e )由于特定企业未预计到的事件造成的方差。

在这个模型中Cov(r i ，r j )= i j

n =60个均值E (r i )的估计值，

，需要的估计参数估计值的数目为：

n =60个敏感性系数 i 的估计值，

n =60个企业特定方差 2e i 的估计值，以及 1个市场均值E (r M )的估计值 1个市场方差 2M 的估计值 182个估计值

因此，单指数模型将需要的参数估计值的数目从 1 890 减少到了 1 8 2 个，更一般地说，是从

(n 2+3n )/2减少到3n +2个。

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第三部分 资本市场均衡

2 2 2 2. a. 每种独立股票的标准差由下式给出： i =[ i

M + 2(e i )]1/2

因为 A =0.8， B =1.2， (e A )=30%， (e B )=40% M =22%，我们有：

A =(0.82

×

222+302)1/2=34.78%

B =(1.22

×

222+402)1/2=47.93%

b. 资产组合的预期收益率是单个证券的预期收益率的加权平均值： E (r p )=w A E (r A )+w B E (r B )+w f r f

这里w A 、w B 和w f 是股票A 、B 和国库券的各自的资产组合权数。 代入公式可得：

E (r p )=0.30×13+0.45×18+0.25×8=14%

资产组合的 值等同于各证券的 值的加权平均值： P =w A A +w B B +w f f

国库券的 值( f )为0。因此资产组合的 值等于： P =0.30×0.8+0.45×1.2+0=0.78 资产组合的方差为： p = p

+ 2

(e P )

这里，

2 2

是系统组成成分， 2(e )是非系统的成分。由于残差是不相关的，非系统的方 p M P 2 2 2 2 2

(e P )=w A

(e A )+w B (e B )+w f

(e f )

=0.302

×302

+0.452×402+0.252×0=405

这里 2(e A )和2(e B )是股票A 和股票B 所具有的企业特有 (非系统的)方差，而 2(e f )是国库券的非系统 的方差，等于0。因此资产组合的标准残差项为：

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第三部分 资本市场均衡

B M 2 B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

e P )=(405)1/2=20.12%

资产组合的总体方差为：

P =0.78 ×22 +405=699.47 2 2

标准差为26.45%。

3. a. 两张图描述出了股票的证券特征线 (SCL)。股票A 的企业特有风险更高，因为 A 的观察值偏离

SCL 的程度要大于B 。偏差是用每个观测值偏离SCL 的垂直距离来测度的。 b. 是证券特征线的斜率，也是系统风险的测度指标。股票 B 的证券特征线更陡峭，因此它的系 统风险更高。

c. 证券特征线的R 2(或者说相关系数的平方 )是股票收益率的被解释方差与整体方差的比率，而 总体方差又等于被解释方差和不可解释方差 (股票的残差方差)的和。

R 2

=( 2 )/

+ 2(e ) i M i M i 因为股票 B 的可解释方差要高 (它的被解释方差为 2

(e )要小，它的R 2要高于股票A 。

，因为它的 值要高，而它的残差

平方 d. 是以期望收益率为轴线的证券特征线的截距。股票 A 的 是一个很小的正值，而股票B 的 为 负数，因此A 的 更高。

e. 相关系数就是R 2的平方根，因此股票B 与市场的相关性更高。

4. a. 企业特有风险通过标准残差项来测度，因此，股票 A 的企业特有风险更高：10.3>9.1。

b. 市场风险是以 来衡量， 即回归曲线的斜率。A 的 系数更高：1.2>0.8。

c. R 2测度的是整体方差中可由市场收益率来解释的部分。 A 的R 2大于B ：0.576> 0.436。

d. 由CAPM 模型估计的超过平均收益的程度用 来测度， 即证券特征线的截距。 (A )=1%要大 于 (B )=-2%。

e. 用总收益(r )来代替超额收益(R )，重写证券特征线的公式。 r A -r f =a + (r M -r f ) r A =a +r f (1- )+ r M 现在的截距等于：

a +r f (1- )=1+r f (l -1.2)

因为r f =6%，截距应等于：1-1.2=-0.2%。 5. 每种股票的标准差可以从下面有关 R 2的等式中推出： R i =( i M )/ i =被解释方差/总体方差 因此， = A

M /R A =0.72×202

/0.20=980

=31.30% 对于股票

B B =1.22×202

/0.12=4 800 B =69.28%

6. A 的系统风险为： A M =0.702×202=196

而A 的企业特有风险(残余方差)，即A 的总体风险和它的系统风险的差额为： 980-196=784 B 的系统风险为 B M =1.22×202=576

而B 的企业特有风险(残余方差)为： 4 800 -576=4 224

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第三部分资本市场均衡

7. A和B的收益率之间的协方差为(因为残差假定为非相关的)：

2

Cov(r A，r B)= A

B

=0.70×1.2×400=336

A和B的收益率之间的相关系数为：

(A，B)=Cov(r A，r B)/( A B)=336/31.30×69.28=0.155

8. 注意相关系数是R2的平方根：= R2

Cov(r A，r M)= A M=0.201/2××20=280

Cov(r B，r M B M=0.121/2×69.28×20=480

9. 从回归结果中得出的非零值与CAPM模型不一致。问题在于的估计值是反映了样

本偏差还是真的有定价错误。要检验截距A为3%，B为-2%)是否显著异于零的假设，我们

需要计算每个截距点的t检验值。

10. 对资产组合P，我们可以算出：

=[0.62×980+0.42×4 800+2 ×0.4×0.6×336]1/2

=[1 282.08]1/2=35.81%

P

=0.6×0.70+0.4×1.2=0.90

(e P)= 2P-2P 2M=1 282.08 -0.902×400=958.08

Cov(r P，r M)= 2M=0.90×400=360 运用单个股票与市场

的协方差，可以得到相同的结果：Cov(r P，

r M)=Cov(0.6r A+0.4r B，r M)=0.6Cov(r A，r M)+0.4Cov(r B，r M)

=0.6×280+0.4×

480=360

11. 注意国库券的方差和它与任意资产的协方差都等于0。因此，对于资产组合Q：

Q

=w2P 2p w M 2M+2×w P×w M×Cov(r P，r M)

Q

=[0.52×1 282.08+0.32×400+2×0.5×0.3×360]1/2

=[464.52]1/2=21.55%

Q

=0.5×0.90+0.3×1+0=0.75

2(e Q)= 2Q-2Q 2M=464.52-0.752×400=239.52

Cov(r Q，r M)= Q 2M=0.75×400=300

12. 在一个仅有两只股票的资本市场上，A的资本是B的两倍，意味着

w A=2/3，w B，A=30%，B=50%，(A，B)=0.7。

a. 市场指数资产组合的方差为：

M=w2

A 2

A+w2

B

2

B+2w A B A B

=(2/3)2302+(1/3)2502+2(2/3)(1/3)0.7×30×50=1 144.4

=33.83%

b. 股票A的

为：

A

=Cov(r A，r M)/ 2M

这里

Cov(r A，r M)=Cov[r A，(2/3r A+1/3r B)]=2/3×2A+1/3×Cov(r A，r B)

=(2/3)×302+(1/3)×0.7×30×

50=950

因此

A=950/1 144.4=0.83

对于股票B，

Cov(r B，r M)=Cov[r B，(2/3r A+1/3r B)]=2/3×Cov(r A，r B)+1/3

×2B

=2/3×0.7×30×50+1/3×502=1

533.3

因此，

B=1 533.3/1 144.4=1.34

c. 每只股票的残余方差为：

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第三部分 资本市场均衡

下载

2

(e A )= 2A - 2A 2M =302.832×1 144.4=11 1.6 和

2

(e B )= 2B - 2B 2M =502-1.342×1 144.4=445.1 d. 如果指数模型成立，则下式也成立：

(r A -r f )= A (r M -r f ) 11%=0.83(r M -r f ) 因此市场风险溢价为：

r M -r f =11%/0.83=13.25%

因为A 的 小于1.0，它的风险溢价要小于市场的风险溢价。 13. a. 美林公司通过选择 的样本估计值并将它用权数 2/3和1/3来和1加权平均的方法调整 ，结果 如下：

调整后的 =(2/3)×1.24+(1/3)×1=1.16

b. 如果你当前的 估计值为 t -1=1.24，则

t =0.3+0.7×(1.24)=1.168

即明年的 估计值。 14. 回归的结果提供了 1989~1998年间以每月收益率为基础的定量的收益和风险的测度。 ABC 股票：ABC 股票的 为0.60，大大低于股票的平均 值1.0，表明当标准普尔 500每上升或下降 一个百分点， A BC 股票的收益率平均地上升或下降仅 0.6个百分点。这表明ABC 股票的系统风险或市场 风险比典型股票的风险相对要低。 A BC 股票的 或者说是超额收益为-3.2%，表明当市场收益率为 0时， A B C 股票的平均收益率为 - 3 . 2% 。A B C 股票的非系统风险，或者说剩余风险，用 (e )来测度，等于

13.02%。它的R 2

为0.35，表明它和超过典型股票值的线性回归的拟合值很接近。

XYZ 股票：XYZ 股票的 比0.97略高，表明XYZ 股票的收益率情况类似于 为1.0的市场指数，因此 该股票在被观测期内具有平均的系统风险。XYZ 股票的 为正而且相当大，表明平均而言， XYZ 股票有 一个接近于7.3%的收益率，是独立于市场收益率的。剩余风险为 21.45%，仅为ABC 股票的一半，表明 对XYZ 股票来说，在回归线附近观测值分布比较分散。相应的回归模型的拟合也较差，这与 R 2仅为0.17 也是一致的。

如果可以假设在长期内，两只股票的 值保持稳定，只包括一只股票的投资或其他分散化的资产 组合投资的影响可能是很不同的，因为它们的系统风险有很大的差别。取自两家经纪公司的 数据可 能有助于分析家们得出将来的一些推论。 A BC 股票的 估计值不论基础数据的样本区间如何都很相似。 它们在0.60~0.71之间变动，都远远地低于市场的平均值 1.0。XYZ 股票的 根据三种不同的计算来源有 很大的变化，最大值达到最近两年的每周价格变动观测值所得的 1.45。可以推知XYZ 股票未来的 可能 远大于1.0，这意味着它含有的系统风险可能比根据 1989~1998年的季度数据回归所显示的系统风险要 大。

结论是这些股票表现出明显不同的系统风险特征。如果这类股票加入到一个充分分散化的资产组 合中，XYZ 股票将会增加资产组合整体的波动性。

15. a. 股票A 的 为：

A =r A -[r f + A (r M -r f )]

=11-[6+0.8(12-6)]=0.2%

对于股票B ：

B -[6+1.5(12-6)]=-1%

在资产组合中加入股票A 是很好的决策。而对 B 卖空可能更合适。

b. 股票的风险报酬率

为：

S A =(11-6)/10=0.5 S B =(14-6)/11=0.

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当只能持有一种股票时，股票B 更好。